2025年北师大新版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年北师大新版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、若向量对任意的成立，则（）A.B.C.D.2、半径为5cm，面积为25cm2的扇形中；弧所对的圆心角为（）

A.2°

B.2π弧度。

C.2弧度。

D.4弧度。

3、设全集U是实数集R；M={x|x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）

A.{x|2＜x＜3}

B.{x|x＜3}

C.{x|1＜x≤2}

D.{x|x≤2}

4、设是等差数列的前项和，已知则等于（）A．13B．35C．49D．635、【题文】在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax；y＝x＋a的图象，可能正确的是()．

6、若函数是幂函数，则的值为（）A.B.C.D.7、已知递增等比数列{an}的第3项，第5项，第7项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后构成一个等差数列，则数列an的公比为（）A.B.C.D.8、下列计算正确的是(

)

A.(m鈭�n)2=m鈭�n

B.log23隆脕log25=log215

C.210鈭�29=29

D.(鈭�12527)23=鈭�259

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、直三棱柱ABC-A1B1C1的每一个顶点都在同一球面上，若AC=BC=C1C=1，∠ACB=90°，则A、C两点间的球面距离为____．10、则_________.11、【题文】关于函数给出下列四个命题：

①时，只有一个实数根；

②时，是奇函数；

③的图象关于点对称；

④函数至多有两个零点.

其中正确的命题序号为______________.12、【题文】E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，则AC与平面EFGH的位置关系是____13、【题文】如图，一个空间几何体的主视图、侧视图是周长为4一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为____

14、【题文】一个组合体的三视图如图；则其体积为________________．

15、已知函数f（x）=x|x2﹣3|，x∈[0，m]，其中m∈R，当函数f（x）的值域为[0，2]时，则实数m的取值范围____．16、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足=+则=______．17、若tan娄脕=2

则2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕=

______．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)18、如图；在△ABC中，AB=10，BC=14，AC=16；

（1）求三角形的外接圆的半径R；

（2）若AD为∠BAC的内角平分线；求AD的长．

19、20、【题文】（本题满分12分）

已知定义域为的函数是奇函数。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）解不等式21、求lg﹣lg25+ln+21+log23的值．22、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中：（Ⅰ）求证：AC∥平面A1BC1；

（Ⅱ）求证：平面A1BC1⊥平面BB1D1D．

23、已知sin（+）=-cos（+）=--5π＜α＜-2π，-＜β＜求sin（+）的值．评卷人得分四、作图题(共2题，共18分)24、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．25、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．评卷人得分五、证明题(共2题，共8分)26、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．27、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．评卷人得分六、计算题(共3题，共24分)28、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．29、计算：+sin30°．30、设cos（α﹣）=﹣sin（﹣β）=且＜α＜π，0＜β＜求cos（）的值．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【解析】试题分析：两边平方得整理得恒成立，考点：向量运算及不等式恒成立问题【解析】【答案】B2、C【分析】

因为半径为5cm，面积为25cm2的扇形；

所以扇形的弧长：l，25=所以l=10；

所以扇形的圆心角为：=2．

故选C．

【解析】【答案】求出扇形的弧长；然后求解扇形的圆心角．

3、C【分析】

图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中；但不在集合M中．

又M={x|x＞2}；N={x|1＜x＜3}；

∴图中阴影部分表示的集合是：

（M）∩N={x|x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}；

故选：C．

【解析】【答案】先观察Venn图；得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．

4、C【分析】【解析】

因为选C【解析】【答案】C5、D【分析】【解析】

试题分析：图A中，由直线方程得则为减函数；排除A；

图B中，由直线方程得则为增函数；排除B；

图C中，由直线方程得则为增函数；排除C；

图D中，由直线方程得则为增函数；故选D；.

考点：函数的图像.【解析】【答案】D6、A【分析】【解答】由题意，得解得．故选A.7、D【分析】【解答】解：设递增等比数列{an}的公比为q；∵第3项，第5项，第7项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后构成一个等差数列；

∴a3a5a7==512，2（a5﹣3）=a3﹣1+a7﹣9，即2（a5﹣3）=+﹣10；

解得a5=8，2q4﹣5q2+2=0；

q2=或2．

q=

∵数列{an}为递增的等比数列，∴q=．

故选：D．

【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式、单调性即可得出．8、C【分析】解：A.m<n

时不成立；不正确；

B.log23隆脕log25=lg3lg2鈰�lg5lg2鈮�log215

不正确．

C.210鈭�29=2?29鈭�29=29

D.(鈭�12527)23=(53)3隆脕23=259

因此不正确．

故选：C

．

利用指数幂与对数的运算性质即可判断出正误．

本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】C

二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】

因为直三棱柱的顶点在球面上；将直三棱柱补成一个四棱柱；

则正四棱柱的对角线为球的直径；

由4R2=1+1+2=4得R=1；

∴AC=

所以∠AOC=（其中O为球心）

A、C两点间的球面距离为

故答案为：．

【解析】【答案】因为直三棱柱的顶点在球面上；将直三棱柱补成一个四棱柱，四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC为90度，就可以求出A，C两点间的球面距离．

10、略

【分析】【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：①时，显然只有一个实数根；

②时，显然所以是奇函数；

③设是函数的图象上的一点，点关于点对称点因为所以点也在函数的图象上，故的图象关于点对称；

④取可得有三个零点.

考点：函数的基本性质.【解析】【答案】①②③12、略

【分析】【解析】解：利用三角形的中位线平行于底边，我们可以得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论。【解析】【答案】平行13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】

试题分析：由已知组合体的视图可知，该组合体是由下边为一个底面直径为4，高为4的圆柱，上边为一个底面直径为4，高为3的圆锥组成，如图，所以其体积为：故答案为：．

考点：1.三视图;2.圆柱和圆锥的体积公式.【解析】【答案】．15、[1，2]【分析】【解答】解：f（x）=x|x2﹣3|=

（1）（x3﹣3x）′=3x2﹣3，∴x3﹣3x在上单调递增，令x3﹣3x=2得，x=2，∴x

（2）（3x﹣x3）′=3﹣3x2，∴3x﹣x3在[0，1）单调递增，在[1，）上单调递减，∴x=1时3x﹣x3取最大值2，x=0时，取最小值0，即此时f（x）∈[0，2]，∴x且x∈[0，1]时f（x）的值域为[0，2]；

∴x∈[0；1]f（x）值域是[0，2]，x∈[0，2]时f（x）的值域也是[0，2]；

∴m∈[1；2]；

即实数m的取值范围为[1；2]．

故答案为：[1；2]．

【分析】先去绝对值将函数f（x）变成：f（x）=通过求导判断函数x3﹣3x在单调递增，并且令x3﹣3x=2得，x=2，因为f（x）的值域是[0，2]，所以x≤2；同样的办法可判断函数3x﹣x3在[0，1]单调递增，在（1，）单调递减，所以x=1时该函数取最大值2，x=0时取最小值0，所以函数f（x）在[0，1]上的值域是[0，2]，并且x∈[0，2]时f（x）的值域也是[0，2]，所以m∈[1，2]．16、略

【分析】解：∵=+

∴=-

=（+）-

=（-）

=

∴==．

故答案为：．

由平面向量的加减运算求出即可求出的值．

本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是表示出向量是基础题．【解析】17、略

【分析】解：根据题意，原式=2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕=2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕sin2伪+cos2伪=2tan2娄脕鈭�tan娄脕+1tan2伪+1

而tan娄脕=2

则原式=2隆脕2鈭�2+12+1=5鈭�23

故答案为：5鈭�23

．

根据题意，将2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕

变形可得2tan2娄脕鈭�tan娄脕+1tan2伪+1

将tan娄脕=2

代入其中即可得答案．

本题考查同角三角函数基本关系式的运用，解题的关键是正确化简2sin2娄脕鈭�sin娄脕cos娄脕+cos2娄脕.

【解析】5鈭�23

三、解答题(共6题，共12分)18、略

【分析】

（1）在△ABC中，AB=c=10，BC=a=14，AC=b=16；

∴由余弦定理得：cos∠BAC==

∴∠BAC=60°；

设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得：2R===

∴R=

（2）由S△ABD+S△ADC=S△ABC，得×10×AD×sin30°+×16×AD×sin30°=×10×16×sin60°；

解得：AD=．

【解析】【答案】（1）利用余弦定理表示出cos∠BAC；将三边长代入求出cos∠BAC的值，利用特殊角的三角函数值求出∠BAC的度数，再利用正弦定理即可求出外接圆半径R；

（2）根据S△ABD+S△ADC=S△ABC；利用三角形面积公式列出关系式，即可求出AD的长．

19、略

【分析】根据同角的基本关系式，在根据两角和的余弦公式，求出【解析】【答案】20、略

【分析】【解析】

试题分析：利用函数奇偶性；函数单调性求解。

（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即

又由f（1）=-f（-1）知6分。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知易知在上。

为减函数。又因是奇函数，从而不等式：转化为：

所以原不等式的解集为12分。

考点：本题主要考查了函数奇偶性；函数单调性，考查了分析问题；解决问题的能力，考查了运算求解能力，转化能力。

点评：解决此类问题的关键是理解函数奇偶性，掌握函数单调性，要有较好的运算求解能力，难度中等。【解析】【答案】（1）（2）21、解：原式=﹣2lg2﹣2lg5++=﹣2（lg2+lg5）++2×3

=﹣2++6

=【分析】【分析】利用对数的运算法则、对数恒等式即可得出．22、证明：（Ⅰ）因为AA1∥CC1，所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以AC∥A1C1，又A1C1⊂平面A1BC1，AC⊄平面A1BC1，AC∥平面A1BC1；

（Ⅱ）易知A1C1⊥B1D1，因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1

因为BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D；

因为A1C1⊂平面A1BC1，所以平面A1BC1⊥平面BB1D1D【分析】【分析】（Ⅰ）证明四边形ACC1A1为平行四边形，可得AC∥A1C1，即可证明AC∥平面A1BC1；（Ⅱ）证明A1C1⊥平面BB1D1D，即可证明平面A1BC1⊥平面BB1D1D．23、略

【分析】

根据同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式计算即可。

本题考查了同角的三角函数的关系和诱导公式以及两角和的余弦公式，考查了学生的运算能力，属于中档题【解析】解：∵-5π＜α＜-2π；

∴-＜＜-

∴-＜+＜0

∴cos（+）＞0；

∴cos（+）=

∵-＜β＜-＜＜

∴0＜+＜π；

∴sin（+）＞0

∴sin（+）=

∵+=（+）+（+）-

∴sin（+）=sin[（+）+（+）-]=-cos[（+）+（+）]；

=-cos（+）cos（+）+sin（+）sin（+）=-×（-）-×=

即sin（+）=．四、作图题(共2题，共18分)24、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．25、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．五、证明题(共2题，共8分)26、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．27、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．六、计算题(共3题，共24分)28、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；

设DE=x；则AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=9