第三章 函数的概念与性质（压轴题专练）-2024-2025学年人教版高一数学必修第一册

第三章函数的概念与性质(压轴题专练)

1.(2024・全国•高考真题)已知函数的定义域为R,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且当x<3时/(x)=x,

则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

c./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【分析】代入得至Uf⑴=1,『(2)=2,再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.

【详解】因为当x<3时〃x)=x,所以八1)=1"(2)=2,

又因为/(x)>/(x-l)+/(x-2),

则/(3)>/(2)+/(I)=3,/(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>/(5)+/(4)>13,/(7)>/(6)+/(5)>21,

/(8)>/(7)+/(6)>34,/(9)>/(8)+/(7)>55,/(10)>/(9)+/(8)>89,

/(H)>/(10)+/(9)>144,/(12)>/(11)+/(10)>233,/(13)>/(12)+/(II)>377

/(14)>/(13)+/(12)>610)(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知〃20)>1000,则B正确；

且无证据表明ACD一定正确.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用/(1)=L7(2)=2,再利用题目所给的函数性质

/(%)>/(x-l)+/(x-2),代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.

2.(2024・上海•模拟预测)已知函数y=/(x)具有以下的性质：对于任意实数。和。，都有

/(«+^)+/(a-^)=2/(a)./(&),则以下选项中，不可能是了⑴值的是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【分析】根据题意令a=6=0得"0)=0或40)=1;令a=6=楙可得/(x)=-八0"-〃0),

代入/⑼即可求解.

【详解】因为函数y=对于任意实数。和匕，者B有〃a+6)+6)=2"a)-/S),所以令々=6=0,

有/(。)+/(。)=2/(。卜/(0),即2〃0)"(0)—1]=0,所以"0)=0或/(0)=1；

令a=6.,x为任意实数，有〃尤)+/(0)=2d即小)=2/出"出一/(°)；

因为所以〃x)“〃°)，

当"0)=0时，/W>0;当〃0)=1时，/(x)>-l；

所以〃x)的值不可能是—2,

故选：A.

3.⑵24•重庆•模拟预测)已知函数y=/(x)的定义域是(y,O)U(O,+s),对任意的hX2G(0,-H»),x产3，

都有々""L>。,若函数y=/(x+l)的图象关于点(-1,0)成中心对称，且/(1)=4,则不等式

%2—%]

4

〃x)>—的解集为()

X

A.(-1,O)U(O,1)B.(-1,0)口(1，心)

C.(^o,-l)u(0,l)D.(^o,-l)u(l,+oo)

【答案】B

【分析】由题意，构造函数g(x)=#(x),判断函数g。)的奇偶性和单调性，结合函数的奇偶性和单调性解

不等式即可.

【详解】由函数y=/(x+1)图象关于点(-1,0)中心对称，知函数/(X)图象关于点(0,0)中心对称，

所以“X)为奇函数.

令g(x)=#(x),则g(-x)=H(-x)=M»=g(x),所以g(x)为偶函数，

对于%，尤,e(0,+s),有g(%)_g区)>0(&.4),所以g(x)在(。,口)上单调递增，

X2-Xx

所以g(M在(-8,。)上单调递减.

由/(1)=4,得g⑴=4,g(-l)=4,

当x>0时，/(x)>3变形为V(x)>4,即g(x)>g⑴，解得了>1；

X

4

当尤<0时，/(*)>-变形为犷》<4,即g(x)<g(-l),解得一1cx<0,

X

4

综上，不等式”x)>2的解集为(-1,0)7(1,+8).

X

故选：B

【点睛】关键点点睛：构造函数g(x)=4(x),利用函数g(x)的奇偶性和单调性解不等式是解决本题的关键.

4.(2024.河南•模拟预测)已知函数〃x)的定义域为R,对于任意实数x,y满足

/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),且/(1)=1,则下列结论错误的是()

A."0)=2B.〃尤)为偶函数

C.“X)为奇函数D./(2)=-1

【答案】C

【分析】由条件等式通过取特殊值求/⑼，"2)由此判断A,D,再取特殊值确定/(无)，/(-X)的关系结

合函数的奇偶性的定义判断选项B,C.

【详解】因为V无,yeR,/(x+-y)+/(x--y)=f(x)/(_y),

取x=l,y=0可得41)+/(1)=/(1)"0),又/(1)=1,所以"0)=2；A对；

取x=0,V=x可得〃£)+〃一力=〃0)〃尤)，因为"0)=2,所以〃-x)=/(x),所以为偶函数,

C错，B对；

取x=l,y=l可得〃2)+八0)=〃1)八1),又"1)=1,40)=2；

所以〃2)=-1,D对；

故选：C.

_丫2丫〉Q

一2'「，若存在。44,10],使/(a-尤2)<9/(尤)，

X，尤<U

则X的取值范围是()

A.[-5,2]B.H，l]C.[4,10]D.(-oo,2]

【答案】A

【分析】根据〃3X)=9/(X)以及函数的单调性化简不等式[”-白49〃力，根据存在性问题的知识

列不等式，由此求得尤的取值范围.

【详解】"3尤)=]；,，：；。=9〃力，

[9x,x<0

所以/(a-x2)<9〃尤)=〃3元)，

由于/(元)在R上单调递减，

所以存在ae[4,10],使a-YN+3xVa成立，

所以无2+3x410,厂+3x—1。=(x+5)(x—2)WO,

解得-5<x<2,所以尤的取值范围是15,2]

故选：A

_尤2龙〉0

【点睛】考虑到分段函数〃X)=2'"可以转化为了("=-小，由此可判断出9/(x)可以转化为/(3x),

Ji，人4U

从而可以使用函数的单调性来化简题目所给不等式.恒成立问题或存在性问题，往往是转化为最值来列不等

式，从而求得正确答案.

---------F2,%<C

6.(23-24高一上•福建龙岩•期末)已知函数/(无)=尤，若/(无)的值域为⑵6],则实数c的

取值范围是()

「，1〕-；,0C.[-1,0)D.-1，4

A.-1,--B.

4_

【答案】A

【分析】首先分析函数丁=f-2工+3的取值情况，从而判断cWl,再结合c2-2c+3W6得到-LWcWl,再

分04c<l和两种情况讨论，当-LWcvO时结合函数y=-工+2在(-*c)上的单调性，得至I]

X

--+2<6,从而求出。的取值范围.

C

【详解】对于函数y=2x+3=(x—1了+2,当x=3时，y=6,当X=1时，y=2,

而一，w。，即有一!+2e2,依题意可得cVl,Xc2-2c+3<6,解得一

所以—1WcW1；

当0<cWl时，函数/⑺在(-8,0)上的取值集合为(2,+8),不符合题意，

当—lVc<0,函数丫=-工+2在(-s,c)上单调递增，

X

则2<-^+2<-1+2,所以《--+2<61

c，解得TWcW-：，

4

XC-l<c<0

所以实数C的取值范围是T，-；

故选：A

【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到T《cWl,再分OVcVl和—lVc<0两种情况讨论.

7.(2024.全国.模拟预测)已知定义在R上的函数”到满足〃%+1)=3/(“，当时,

=巨手1.若v%£(—8刁，f(x)>-18,贝h的取值范围是()

10101111010

A.——,+ooB.C.T'WD.—00,——

3T5T3

【答案】D

【分析】根据题意可得当时,的单调性和最值，进而结合〃x+l)=3/(x)以及恒成立问题

分析求解.

2

—X,XG

/、|2x+l|-l3

【详解】由题意可知：当x<T,0］时,4,°

-2x—2

3­

上单调递增,〃且〃的最小值为一；

可知/a)在上单调递减，在-1,0x)<0x)

当xe(0,l]时，x—1e(—1,0],/(x)=3/(x—1)=|2x—1|—12—1；

当xe(l,2]时,x-2e(-l,0],/(x)=32/(^-2)=3|2x-3|-3>-3；

3

当x«2,3]时，x-3e(-l,0],/(^)=3/(^-3)=9|2X-5|-9>-9；

当xe(3,4]时，x—4e(—l,0],/(x)=34/(^-4)=27|2x-7|-27>-27.

^27|2x-7|-27=-18,解得片弓或工=弓,

因为Vxe(foj］,/(x)>-18,所以区下，

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数、方程与不等式相互转化的应用

(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助.

(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问

题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围.

8.(23-24高二上.湖南.期中)已知定义域为R的函数“X)满足/(力=-〃-3)，当2G(ro,0］且工产超

时，"［二；")<。成立・若存在工4°，1］使得了(1一以一元2)<〃2-。)成立,则实数〃的取值范围是()

A.(-oo,l)B.仅&,+8)

C.2—2\/2,—2+2\/2^D.(l,+oo)

【答案】D

【分析】由已知判断函数的单调性，再分离参数讨论即可.

【详解】由条件可知函数/(X)在R上单调递减.

存在无40』使得/(1-⑪-4</(2-0)成立等价于存在xe[O,l]使得不等式1一依一尤2>2”成立.

由]_依_了2>2_。得(1_力4>r+1,

V%e[O,l],/.l-x>0,

，①当x=l时，0>2不成立；

②当九式0,1)时，〃〉土上有解.求当.[0,1)时，函数>=土士的最小值.

1-x1-x

令t=l一般(。』)，则y=^~=(l—,+L+”，

](1、t1

设0<4<t2="+----2—t2-------2=(tx-t2)——,

4\^2J邛2

因为.—彳2(。/《一1(°,¥2)°'

2

所以％-%>0,所以函数y=f+]-2是(0』上的减函数，所以当且仅当7=1,即X=o时，ymin=l.

故a>l,

故选：D.

9.(2024.陕西榆根模拟预测)若函数在xe[a,b]时，函数值y的取值区间恰为(左>。)，则称[a,可

为〃尤)的一个“左倍倒域区间”.定义在R上的奇函数g(%),当xe(-oo,0]时，g(x)=/+(加+2)x+m-2,

则g(x)在区间[〃加+2]内的“8倍倒域区间”为()

A.[2,4]B.[2,V2+1]C.[2,方]D.[2,6+1]

【答案】D

【分析】先求得g(x)的解析式，判断出g(x)在区间口V〃+2]上的单调性，由此列方程组来求得正确答案.

【详解】因为g(x)为定义在R上的奇函数，所以g(0)=加-2=0,所以加=2.

因为当xe(-co,0］时，g(x)=x2+4x,所以当xe(0,+oo),-xe(-8,0)时，g=-g(-%)=-x2+4x,

-x2+4x,x>0

所以g(无)=,

x2+4x,x<0

则当xe[2,4]时，g(x)单调递减,

28

—a+4A。=—

a

设2Va<6«4,由<

-b24b=-

+b

/—4a?+8=（〃—2）（q2—2Q—4）—0

、［Z73-4/72+8=（/?-2）（Z?2-2Z?-4）=0，

解得a=2,b=5/5+1,

所以g（X）在区间［2,4］内的“8倍倒域区间”为［2,^+1］,

故选：D

【点睛】求解有关“新定义”函数问题的解题策略是：理解辨析题目所给“新定义”，将新的问题，转化为学过

的知识来进行求解.如本题中，将“8倍倒域区间”转化为函数的单调性与最值来进行求解.

10.（23-24高一上•江苏淮安•阶段练习）函数/（尤）是定义在R上的偶函数，且在［0,+℃）上是增函数，若对

任意xw［（VT，均有〃xT）"y（2x）,则实数f的最大值是（）

A.-B.-C.-D.3

422

【答案】B

【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得归-"引2可，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.

【详解】因为xe［0j-l］,所以厂1＞。，则

因为函数〃x）是定义在R上的偶函数，所以/（力=川尤|），

则由〃xT）N/（2x）得川网）,

又因为〃x）在［0,+A）上是增函数，所以卜一以2x|,

两边平方化简得3y+2比-产W0在xe［0J-日恒成立，

令g（x）=3x?+2a-产，则g（x）1mx（。，

又因为g（x）开口向上，对称轴为x=-（＜。，

所以8。）=3尤2+2比-产在彳€［0,力-1］单调递增，

13

则g（X）max=g«-1）=4〃一8/+3W0,解得］W,

3

又因为，＞1,所以1＜74万，

所以r的最大值为

故选：B.

1.(江西省重点中学协作体2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题)函数/(力=区称为取整函数，

也称高斯函数，其中国表示不大于实数x的最大整数，例如：[-3.5]=-4,[2.1]-2,则下列命题正确的是

()

A.函数〃"=3为偶函数

B.函数y=x-[x](xeR)的值域为[0,1)

「I15

C.若[尤]=2,则苫+不不的最小值为、

D.不等式[X]2-[^]<2的解集为{x|-l<x<3}

【答案】BCD

【分析】对于A,代值验证即可，对于B,根据高斯函数的定义分析判断，对于C,先求出尤的范围，然后

根据对勾函数的性质求解判断即可，对于D,解不等式后再根据高斯函数的定义可求得结果.

【详解】对于A,==显然〃-1)工/(1),故A错误；

对于B,由取整函数的定义知：

；・函数V=x—[司(xeR)的值域为[0,1),故B正确；

、1

对于由于r则易知x—1)H—————-+1

C,[x]=2,2<x<3,x+2(—1)'2(^-1)，

而函数y=(xT)+/^+l在[2,3)上单调递增，

15

，当x=2时，工+2(尤_])的最小值为故C正确；

对于D,[x『-|x]W2,则一lV[x]W2,故一1(尤<3,故D正确.

故选：BCD.

X

2.(23-24高二下.江苏徐州•期末)已知函数7(x)=心，则()

33

A.f

B.〃x)为奇函数

C.小）在区间上单调递增

D.集合卜“尤）=2,。>4,的元素个数为4

【答案】ABD

【分析】对于A直接计算即可，对于B验证-〃x）=/（r）,对于C先证明（0,£|上的单调性，再根据奇

偶性得到［-3彳）上的单调性，对于D把问题转化方程Y-aW+a=0解的个数的判断.

【详解】对A,=故A正确；

对B,〃尤）的定义域为XH±L关于原点对称，/（-x）=pp=gZT=-/（x）.所以为奇函数，故

B正确；

r_L-、r，C1r\%X-l+l.1

对C,当0<%<大n时，/(%)=----=-----=1+----x-l<0,根据y=xT单调递增，所以“X）在

2x—1x—1x—1

单调递减，

又因为“X）是奇函数，所以“X）在';，o］单调递减，且〃。）=。，所以“X）在上单调递减，故

C错误；

对D,/（x）=g,a>4得：1—；~~^=_=>兀2国+〃=0,

当工20时，方程%之一〃W+a=。可化为%2一依+〃=o,

因为a>4,止匕时八=々2_41=〃（々_4）>0,方程的两根满足/+%2=〃>。，玉%2=〃>0，可以说明为，入2〉0,

所以当xNO时，炉―〃忖+〃=0有两个不相等正根，

当％<0时，方程炉-4,+〃=。可化为%2+◎+〃=（）,

因为a>4,止匕时A=〃2_4a=Q（Q_4）>0,方程的两根满足七十%4=—〃<。，%/=〃>0，可以说明％3，工4<0，

所以当了<0时，/―〃W+a=。有两个不相等的负根，

综上所述，方程f-4耳+，=0有四个不相等的实数解，即集合有4个元素，故D正确.

故选：ABD

f（«—l）x+l,x<0

3.（23-24高一下•福建•期中）已知函数/（x）="八，则以下说法正确的是（）

|x",x>0

A.若a=-L,则/（无）是R上的减函数

B.若。=0,则"X）有最小值

C.若则/⑴的值域为(0,口)

D.若。=3,则存在%e(L”),使得/小)=/(2—%)

【答案】BC

【分析】把选项中的〃值分别代入函数Ax),利用此分段函数的单调性判断各选项.

—2x+l,x<0

【详解】对于A,若。=一1,/(%)=

x-1,x>0

/⑺在(-8,0)和(0,+8)上单调递减，故A错误；

f—x+l,x<0,

对于B,若Q=0,/(%)=〈八，

当XV0时，f(x)=-x+l,/(X)在区间(-8,0]上单调递减,

/(%)>/(0)=1,则Ax)有最小值1,故B正确；

1—x+1,x0,

对于c,^a=~,/(x)=2,

21

x2,x>0,

当xWO时，/(x)=-；x+l,/(x)在区间(3,0]上单调递减，/(%)>/(0)=1;

当尤>0时，/(x)=£，/*)在区间(°，+的上单调递增，/(尤)>"0)=0,

则fM的值域为(0,”)，故c正确;

f2x+1,x<0,

对于D,右a=3,7(%)=43八

[x,x>0,

>l

当%e(l收)时，f(Xo)=^o-

当2-%e(0,l),即l<x0<2时，"2-无0)=(2-%)建(0,1)；

当2-x°e(F,0],即时，"2—毛)=3—

即当2-%e(-co,0]时，/(2-x0)e(^x>,l],

所以不存在％e(l，a>),使得/(Xo)=/(2—x。)，故D错误.

故选：BC

4.(23-24高一上・浙江•期末)已知函数y=/(x)的图象关于y轴对称，且对于y=/(x)(xeR)，当4％e(F,0]

时，/(用)[/(々)<0恒成立,若/(2分)<f(2尤2+1)对任意的xeR恒成立，则实数a的取值范围可以是下

面选项中的()

A.(-8,0)B.

C.[0,挺)D.(0,+oo)

【答案】BC

【分析】根据条件可得，函数y=/(x)为偶函数，在(-应0)上单调递减.根据单调性与奇偶性的关系可得,

函数在(0,+◎上单调递增，进而可推出12axi<2/+1恒成立.对x是否为0进行讨论，利用基本不等式即可

求得实数。的范围.

【详解】由已知可得，函数>=/(尤)为偶函数，

又对于，=/Q)(xeR),当玉,%©(-8,0)时，小)一"<0恒成立,

玉一马

即％，苞w(ro,0),若都有/(再)>/(%)成立，则y=/(x)在(7,0)上单调递减,

又函数y=/(尤)为偶函数，则y=f(x)在(0,+8)上单调递增.

又f(2ax)=/(|2ax|)</(2/+1)对任意的xeR恒成立，则可得12ax|<2%2+1.

当X=0时，不等式为0<1显然成立；

当XH0时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可.

「12x2+11I1,1_C-i_i_J-/r-

因为r5、T=5斗|+讨)7义2/卧同=后

当且仅当2m=土，即.±正时，等号成立.

所以，|°|<五,解得一0<a<忘.

综上所述，实数。的范围是

故选：BC.

5.(23-24高二上•云南昆明・期末)若函数人处在定义域内的某区间M上是增函数，且幺2在又上是减函

X

数，则称函数"X)在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是()

A.若〃尤)=/,则存在区间M使7(x)为“弱增函数”

B.若/(尤)=x+L则存在区间M使f(x)为“弱增函数”

X

C.若“尤)=尤+/,则“X)为R上的“弱增函数”

D.若/(x)=d+(4-a)x+a在区间(0,2]上是溺增函数"，则。=4

【答案】BD

【分析】利用题干函数定义结合二次函数，募函数，对勾函数性质逐项判断即可得到答案

【详解】对于A,/(天)=/在(0,+8)上为增函数，>在(0,+co)上是增函数，

X

故不存在区间M使/«=%2为“弱增函数”，故A错误;

对于B,由对勾函数的性质可知：〃X)=尤+,在工")上为增函数，

＞=皿=1+/在［1,3上为减函数，

X

故存在区间/=口，+°°)使/(x)=x+L为“弱增函数”，故B正确；

X

对于C,因为，(无)=》+尤3,易得了⑺在R上单调递增，＞=31=1+尤2,

X

易得△乃在(0,+8)上是增函数，在(-8,0)上为减函数，

X

故/(%)=%+/不是R上的“弱增函数”,故C错误；

对于D,若f(x)=/+(4_。在区间(0,2］上是“弱增函数”，

则“无)=，+(4-。h+。在(0,2］上为增函数，所以解得公4,

又产细=x+(4-〃)+@在(0,2］上为减函数，

XX

易知。＜0时＞=';^='+(4-。)+q为增函数；故a＞0,

XX

又由对勾函数的单调性可知，&22,则。24,

综上o=4.故D正确，

故选：BD.

x+x—2WxWHI2

1.(23-24高一上•安徽安庆•阶段练习)已知函数〃x)='-■；，若加=一£，则f(x)的值域

是;若函数“X)的值域是-：,2,则实数机的取值范围是.

【答案】-|，2-1,1

【分析】作出函数图象，结合图象根据函数的定义域即可求解函数的值域；结合二次函数的性质，根据题

意解得参数满足的不等式，求得答案.

【详解】

22

?、x+x,-2<x<——

当初=-耳时，函数为/(%)=<3

x\,—<%<2

13

22

回出函数图象，由图可知，当％=时，函数有最小值/(X)mm=-§,

2

当x=—2或％=2时，函数有最大值f(%)max=2,则函数的值域为-§,2

当函数的值域为-；，2,由函数图象可知，

当且仅当了=时，函数值y=-；,可得加之一；，

又由/+%=2得1=-2或％=1,结合图象可得相£1,

综上所述，-即加的范围为-.

工心生心位「2:|「1』

故答案为：一12;一5」.

【点睛】方法点睛：数形结合是解分段函数的利器，作出分段函数图象，直接简化运算，提高解题速度.

—X2—2xHXU

2.(23-24高二上.全国•阶段练习)已知函数/(x)=2，若存在实数与，使得对于任意的

——尤〉a

[x2+l

实数X都有/(X)4/(%)成立，则实数〃的取值范围是.

【答案】“<0或走

3

【分析】

作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到。的取值范围.

—X2—2xH—xV〃

2

【详解】函数/(%)=2，若存在实数不，

—；x>a

[x2+l

使得对于任意的实数X都有/(%)w/(x0)成立，

即函数有最大值/(%),

令;=［解得户±3，

x+123

19

分别作出丁=-炉-2》+5、>=舄的图象中下图所示,

当“<0时，函数有最大值/(o)=2,

当OWa<@时，函数无有最大值，

3

当a2日时，函数有最大值/(-1)=|,

所以实数。的取值范围是。<0或a

3

思路点睛：将问题转化为函数有最大值/(%),结合图象分段研究.

3.(23-24高一上•四川成都•阶段练习)定义在R上的函数〃尤)满足〃x+2)=2〃x),且当x«2,4］时，

—X2+4x,2<x<3

f(x)=\x2+2，g(%)=«x+l,对有47,-2］,川使得g(%)=/(占)，则实数。的取

-----,3<x<4

,x

值范围为.

【答案】U、,+，!

【分析】求出“X)在［2,4］上的值域，利用〃x+2)=2/(x)得到“X)在［-2,0］上的值域，再求出g(x)在

上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a的取值范围.

-X2+4x,2<x<3

【详解】当xe［2,4］时，/(x)=f+2,

-------,3<x<4

、龙

由于y=-Y+4x=_(尤-2)2+4为对称轴为片2开口向下的二次函数，

y=^^=x+-,由对勾函数的性质可知，函数在(3,4］上单调递增，

XX

g

可得“X）在［2,3］上单调递减，在（3,4］上单调递增，〃2）=4,〃3）=3,/（4）=5,

\“勾在［2,3］上的值域为［3,4］,在（3,4］上的值域为［§甸，

\了⑴在［2,4］上的值域为3,-,

••1/(x+2)=2/(x),.-./(x)=1/(%+2)=^-/(x+4)=|/(%+6),

故当光£[-4,-2],x+6G[2,4],

「39

\"勾在[y-2]上的值域为,

当°>0时，g（x）为增函数，g（x）=ox+l在上的值域为［-2a+l,a+l］,

-Q>1-2a<5

C,解得/白，故a的范围是在卷；

24l+a1616

116

当a<0时，g（x）为单调递减函数，式力=依+1在上的值域为［a+1,-2a+l］,

-3,

1+fl

o-55

<:,解得aV-］；故。的范围是aW-1，

-<l-2a88

116

500

综上可知故。的范围是—00,----u--Q•

8

4.（23-24高一上•云南西双版纳•期末）已知W+（2—a）x+4—2。>0,对Vxe［2,恒成立，则实数a的

取值范围_____.

【答案】（《,3）

【分析】分析可得原题意等价于/+：>。+2,对切包4,e）恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性分析

求解.

【详解】若％2+（2—。）％+4—2a>0,贝！jx2+2%+4>十（x+2）,

令，=x+2w［4,+oo）,贝1］%=/-2,

可得（，-2）+2（/-2）+4>〃，整理得t+—>a+2,

故原题意等价于/+；>。+2,对Vte［4,+s）恒成立，

•；g⑺=f+；在［4,内）上单调递增，则g⑺Ng（4）=5,

，5>a+2,解得a<3,

即实数。的取值范围(-8,3).

故答案为：(-8,3).

【点睛】结论点睛：

对VxeM,f(x)>a,等价于［/(x)Lza；

对VxeM,f(x)<a,等价于［f(尤)］1mx

5.(23-24高一上•湖北十堰平介段练习)已知函数〃x)=/+x+2,对％41,2］,以241,2］,且占w%，

不等式|『(网)-)|<Mx「引恒成立,则实数M的取值范围为.

【答案】［5,+»)

【分析】根据题意分析可得故6(无)=/(x)-m在［L2］上是减函数，结合二次函数的性质运算求解.

【详解】显然〃<0不符合题设，

当加■>()时，不妨设玉<龙2，

开口向下，对称轴为尤=一;<1,则/(X)在［1,2］上是增函数，

可得/(%)</(%)，故/&)一/(无2)<°，不一马<。

.••题意等价于/伍)-/a)<加(％f)，即/仇)—见</a)-%，

故％(x)=〃x)-Mr=f+(1—加口+2在［1,2］上是减函数，且/i(x)开口向下，对称轴为彳="三，

M-1

.•.丝解得MN5,

故实数M范围为［5,+w).

故答案为：［5,+oo).

1.(23-24高二下•浙江宁波・期中)已知函数〃同=组士把,函数g(x)=?无+2.

X।1乙

(1)若优=0,求〃尤)的值域;

⑵若机e(0,4］：

(i)解关于*的不等式：/(%)<§(%);

(ii)设a,beR,若实数f满足/(々)"9)=一/，比较—g⑴与!的大小，并证明你的结论.

O

【答案】⑴[-2,2]

)当(且〃?=：时，〃：；当或〃?时，

(2)(i)--,+00(ii=2g(f-?)-g(l)=g(r-/n)-g(l)<1,

m2020

证明见解析

【分析】(1)利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.

(2)利用g(x)—〃x)=(x；J!彳；4)即可求出不等式的解集，然后证明芯2,再代入解析式证明

2\x+1)

g(?-/«)-g(l)<l,最后判断不等号两边相等的条件即可.

O

A丫

【详解】(1)当加=0时，=其定义域为R,

而〃-尤)=-3，=-/(力，故为奇函数，

当x=0时，/(x)=0;

当x>0时，/(“)_而〉=%+!在(0,+8)上的值域为[2,+00),

X-IX

X

故此时/(x)e(0,2],结合〃x)为奇函数可得/(x)的值域是[-2,2].

(2)若机«0,4]：

(i)

,/„/xmcmx2+4xmx+4九x+4)(x—1)'(»zx+4)

由于g(x)X一/(无)=/x+2一一

—x2+l2(X2+1)

故不等式/'(x)4g(x)等价于(x-l)2(wtx+4)>0,即初x+4»0或x=l.

由-应是负数，知原不等式的解集为+8〕；

m\_m)

(ii)

由于关于X的方程与苧=/⑷有解X=a,故关于X的方程(〃a)-向x2-4x+〃a)=0有解.

如果/⑷-mW0,则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即16-4””乂〃.)-山”0.

从而/㈤=0和16-4〃o)(/(a)-加"。这两个结论中，至少有一个成立.

但当/(。)一加=0时，亦有16-4/•⑷(〃。)一机)=1620.

故16-4〃研一定成立,所以〃叭/㈤一加)44.

m—yjm2+16m+[m2+16

同理一向＜4,所以〃

22

m—yjm2+16m+J”/+16

=—4,所以—2"W2.

22

所以由机＞0,即可得到

2

/、/八m/、〜m入m/«、,m八11

g(z-/n)-g(l)=—(Z-/7t)+2---2=—(z-l-/n)<—(1-/71)x=---

ZZZ2Z2o8z2

不等号两边相等当且仅当t=2且加=g.

根据上面的证明过程显然能够得出,

综上，比较的结果为:

当/=2且根=g•时，g«_根)_g(1)1

8

当rw2或根时，g(r-m)-g(l)<1.

2o

【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解

出与之相关的不等式.

%2+1

2.（23-24高一上.广东广州•期中）已知函数〃司=是定义域上的奇函数，且/（-1）=-2.

ax+b

⑴判断并证明函数4%）在（0,+。）上的单调性;

9，

（2）令函数/?（力=f_2/（力«v0）,若对V再,々都有|力（七）-〃（々）后，，求实数/的取值范围.

【答案】（1）函数/（可