磁场、带电粒子在磁场中的运动（讲义）-2025年高考物理二轮复习 （解析版）

专题10磁场带电粒子在磁场中的运动

目录

01考情透视目标导航............................................................................3

02知识导图•思维引航............................................................................4

03核心精讲•题型突破............................................................................5

题型一磁场的性质...........................................................................5

【核心精讲】...............................................................................5

一、磁场叠加问题的解题思路................................................................5

二、安培力的分析与计算....................................................................5

【真题研析】...............................................................................6

【命题预测】...............................................................................7

考向一磁场的叠加...........................................................................7

考向二安培力作用下的平衡问题..............................................................9

题型二带电粒子在匀强磁场中的运动..........................................................11

【核心精讲】..............................................................................11

一、带电粒子在匀强磁场运动的基本公式.....................................................11

二、带电粒子在匀强磁场运动的“两个确定”.................................................11

三、带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论...............................................11

【真题研析】..............................................................................11

【命题预测】..............................................................................13

考向一直线边界............................................................................13

考向二圆形边界............................................................................15

考向三多解问题............................................................................16

题型三带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型....................................................18

【核心精讲】..............................................................................18

一、放缩圆模型............................................................................18

二、旋转圆模型............................................................................19

三、平移圆模型............................................................................19

四、磁聚焦模型............................................................................19

【真题研析】..............................................................................20

【命题预测】..............................................................................22

考向一放缩圆模型.........................................................................22

考向二旋转圆模型.........................................................................24

考向三平移圆模型.........................................................................26

考向四磁聚焦模型.........................................................................28

考情透视•目标导航

题统计

2024年2023年2022年

命题要点

2024浙江卷14、2023•江苏卷12、2022.湖北卷.TU、

2024・贵州卷・T5、2023•福建卷16、2022•湖南卷13、

2024•重庆卷-T13、2022•全国卷15、

2024•福建卷16、2022•江苏卷13、

磁场的性质

2022•浙江卷13、

热

考

角

度

2024江西卷17、2023•全国乙卷118、2022•辽宁卷18、

2024湖北卷17、2023•全国甲卷120、2022•广东卷17、

带电粒子在匀

强磁场中的运2024•河北卷110、2023・湖北卷・T15、2022・湖北卷・T8

动及动态圆问

题

高考对带电粒子在有界磁场中的运动的考查较为频繁，以选择题和计算题中

命题规律出现较多，选择题的难度一般较为简单，计算题的难度相对较大。与安培力有关

的通电导体在磁场中的加速或平衡问题，也应引起足够重视。

预计在2025年高考中，还会以选择题的形式对安培力的大小方向和平衡问

考向预测

题还会有考查，同时重点关注带电粒子在有界磁场中的运动问题。

对于安培力的考查多以导体棒为典型模型予以命题;对于带电粒子在磁场中

命题情景

的运动多以平行边界、圆形边界的磁场命题较多。

常用方法整体法和隔离法、正交分解法、画图法

磁感强度大小：〃二力“izn

磁聚焦模型：轨迹圆半径与磁场圆半径相等

核心增出翱型空衲

//•\\

题型一磁场的性质

核心精讲「I

一、磁场叠加问题的解题思路

1.根据安培定则确定通电导线周围磁场的方向。

2.磁场中某点磁感应强度的方向为该点磁感线的切线方向。

3.磁感应强度是矢量，多个通电导体产生的磁场叠加时，合磁场的磁感应强度等于场源单独存在时在该点磁感

应强度的矢量和。

二,安培力的分析与计算

1.安培力公式：尸=ILBsinB。

2.弯曲通电导线的有效长度

xBx

(1)当导线弯曲时，L是导线两端的有效直线长度(如图所示)。

(2)对于任意形状的闭合线圈，其有效长度均为零，所以通电后在匀强磁场中受到的安培力的矢量和为零。

3.安培力方向的判断

(1)判断方法：左手定则。

(2)方向特点：既垂直于8,也垂直于/,所以安培力一定垂直于8与1决定的平面。

4.通电导线在磁场中的平衡和加速问题的分析思路

(1)选定研究对象。

(2)变三维为二维，如侧视图、剖面图或俯视图等，并画出平面受力分析图，其中安培力的方向要注意

F安，B、b安，/；如图所示。

n

平面图

（3）列平衡方程或牛顿第二定律方程进行求解。

|真题研析工

--------------

1.（2022•全国•高考真题）安装适当的软件后，利用智能手机中的磁传感器可以测量磁感应强度瓦如图,

在手机上建立直角坐标系，手机显示屏所在平面为xOy面。某同学在某地对地磁场进行了四次测量，每次

测量时y轴指向不同方向而z轴正向保持竖直向上。根据表中测量结果可推知（）

测量序号Bx/MBy/|1TBZ/RT

1021-45

20-20-46

3210-45

4-210-45

A.测量地点位于南半球

B.当地的地磁场大小约为5011T

C.第2次测量时y轴正向指向南方

D.第3次测量时y轴正向指向东方

【答案】BC

【详解】A.如图所示

地球可视为一个磁偶极，磁南极大致指向地理北极附近，磁北极大致指向地理南极附近。通过这两个磁极

的假想直线(磁轴)与地球的自转轴大约成11.3度的倾斜。由表中z轴数据可看出z轴的磁场竖直向下，则

测量地点应位于北半球，A错误；

B.磁感应强度为矢量,故由表格可看出此处的磁感应强度大致为B=废+&=腐不够计算得B工50nT,

B正确；

CD.由选项A可知测量地在北半球，而北半球地磁场指向北方斜向下，则第2次测量，测量为<0,故y

轴指向南方，第3次测量%>0,故x轴指向北方而y轴则指向西方，C正确、D错误。

故选BC。

【技巧点拨】

(1)题中z轴方向始终为负，说明测量地点磁感应强度竖直分量向下，位于北半球；

(2)根据矢量合成法则求得合磁场的大小和方向。

2.(2024.贵州.高考真题)如图，两根相互平行的长直导线与一“凸”形导线框固定在同一竖直平面内，导线

框的对称轴与两长直导线间的距离相等。已知左、右两长直导线中分别通有方向相反的恒定电流A、l2,且

h>l2,则当导线框中通有顺时针方向的电流时，导线框所受安培力的合力方向()

A.竖直向上B.竖直向下C.水平向左D.水平向右

【答案】C

【详解】根据右手螺旋定则可知导线框所在磁场方向向里，由于。>/2,可知左侧的磁场强度大，同一竖直

方向上的磁场强度相等，故导线框水平方向导线所受的安培力相互抵消，根据左手定则结合尸=B/L可知左

半边竖直方向的导线所受的水平向左的安培力大于右半边竖直方向的导线所受的水平向右的安培力，故导

线框所受安培力的合力方向水平向左。

故选C。

【技巧点拨】

(1)根据右手安培定则判断导线框里的磁场方向；

(2)根据左手定则判断安培力的方向，根据大小，判定合力方向。

I命题预测T

考向一磁场的叠加

3.（2024•江苏镇江•一模）如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线乙、L2,L中的电流方向向左，

L中的电流方向向上；L的正上方有。、6两点，它们相对于七对称。整个系统处于匀强外磁场中，外磁场

的磁感应强度大小为瓦，方向垂直于纸面向外。已知。、6两点的磁感应强度大小分别为2Bo和之瓦，方向

也垂直于纸面向外。则（）

L2

b....-.......a•

*zr

A.流经L的电流在6点产生的磁感应强度大小为看为

B.流经L的电流在a点产生的磁感应强度大小为2及

C.流经乙2的电流在b点产生的磁感应强度大小为2瓦

D.流经上的电流在a点产生的磁感应强度大小为看瓦

【答案】A

【详解】设乙中的电流在“、b两点产生的磁感应强度大小为七中的电流在。、6两点产生的磁感应强

度大小为治，由安培定则可知L中的电流在。点产生的磁场方向垂直于纸面向里，乙2中的电流在。点产生

的磁场方向垂直于纸面向里；L中的电流在。点产生的磁场方向垂直于纸面向里，乙2中的电流在。点产生

的磁场方向垂直于纸面向外，所以根据已知条件得到BO-（BI+B2）=M殳-BI+=4解得当=詈,

B2=生故选Ao

z12

4.（2025•安徽•一模）根据经典电磁理论，运动的电荷会产生磁场。某带电量为+q点电荷以速率v沿x轴

正方向运动，该运动电荷在x轴上各点产生的磁感应强度恰为0、在y轴上距其r处的M点产生的磁感应强

度大小为黑，方向垂直于平面xOy、其中左是静电常数，c是真空中的光速，据此可以确定半径为R、大小

为/的环形电流在其圆心处产生的磁感应强度的大小为（）

图1图2

D

A，西B.c2fi2/C.-

【答案】C

【详解】设圆环的载流子带电量为q,体密度为九，载流子匀速运动的速率为"，圆环横截面积为S,则环形

电流中包含的载流子个数N=n（2irRS）环形电流产生的磁场可以认为是这N个载流子产生的磁场的叠加，即

Bo=N黑再根据/=nqSv联立可得=嚼故选C。

一4c£R

考向二安培力作用下的平衡问题

5.（2025•江苏南通•二模）在倾角。=37。的光滑导体滑轨的上端接入一个电动势E=3V,内阻r=0.5。的

电源，滑轨间距L=50cm,将一个质量加=40g,电阻R=1Q的金属棒水平放置在滑轨上。若滑轨所在空

间加一匀强磁场，当闭合开关S后，金属棒刚好静止在滑轨上,如图所示。已知sin37。=0.6,cos37°=0.8,g=

10m/s2,下列说法正确的是（）

A.磁感应强度有最小值，为0.32T,方向垂直滑轨平面向下

B.磁感应强度有最大值，为0.4T,方向水平向右

C.磁感应强度有可能为0.3T,方向竖直向下

D.磁感应强度有可能为0.4T,方向水平向左

【答案】C

【详解】A.由闭合电路欧姆定律可得/=R=4一A=2A对金属棒受力分析可知，当安培力沿斜面向上

时，安培力最小，此时/安=mgsind=0.04x10xsin37°N=0.24N当安培力最小，且磁感应强度方向与电

流方向相互垂直时，磁感应强度最小为8„^=赞=黑T=°.24T由左手定则判断可知，磁感应强度的方

向为垂直斜面向下，故A错误;

B.当磁感应强度方向水平向右，安培力竖直向上，当=金属棒刚好静止在滑轨上，可得8=臂=

嘴"T=0.4T但此时磁感应强度并不是最大值，故B错误;

C.当磁感应强度方向竖直向下，金属棒受到安培力方向水平向右，金属棒平衡可得B'〃cos37。=zngsin37。

mgsin3700.04X10X0.6

解得夕=T=0.3T故C正确;

ZLcos37°0.5X2X0.8

D.当磁感应强度方向水平向左，安培力竖直向下，不可能平衡，故D错误。

故选C。

6.（2022・湖南•高考真题）如图Q）,直导线被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴。。上，其所

在区域存在方向垂直指向。。，的磁场，与。。，距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，其截面

图如图（b）所示。导线通以电流/,静止后，悬线偏离竖直方向的夹角为0。下列说法正确的是（）

?

/脑'、

doM(N)

左右

图(a)图(b)

A.当导线静止在图（a）右侧位置时，导线中电流方向由N指向/

B.电流/增大，静止后，导线对悬线的拉力不变

C.tan＜与电流/成正比

D.sin。与电流/成正比

【答案】D

【详解】A.当导线静止在图Q）右侧位置时，对导线做受力分析有

⑥0(0)

可知要让安培力为图示方向，则导线中电流方向应由M指向N,A错误；

BCD.由于与00距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化，有sin。=翳，尸产mgcos。则可看

出sin。与电流/成正比，当/增大时。增大，则cos。减小，静止后，导线对悬线的拉力弦减小，BC错误、

D正确。故选D。

题型二带电粒子在匀强磁场中的运动

核心精讲=]

............

一、带电粒子在匀强磁场运动的基本公式

2

1.向心力公式应2=加亍。

2.轨道半径公式:r=器。

3.周期公式:7=平=黑。

1/qtt

4.运动时间公式:仁?兀

211

二,带电粒子在匀强磁场运动的“两个确定”

1.圆心确定：

(1)与速度方向垂直的直线过圆心；

(2)弦的垂直平分线过圆心；

(3)轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。

2.半径确定：

(1)利用广翳公式确定半径；

bq

(2)利用平面几何知识求半径。

三,带电粒子在磁场中的临界极值问题四个结论

1.刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

2.当速率v一定时，弧长(或圆心角小于180。时的弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间

越长。

3.当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长。

4.在圆形匀强磁场中，若带电粒子速率v一定且运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，则入射点和出射点为磁

场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)

真题研析

7.(2024・广西•高考真题)。盯坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为8,方向垂直

纸面向里。质量为机，电荷量为+q的粒子，以初速度v从。点沿无轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y

轴正向夹角为45。，交点为P。不计粒子重力，则P点至。点的距离为（)

XXXXXX

B

XXXXjXX、

XxXXxX

C.(1+鱼偌D.(1+日谭

qB2qB

【答案】c

【详解】粒子运动轨迹如图所示

在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有quB=小告可得粒子做圆周运动的半径r=等根据几何关系可得P

点至。点的距离5=r+⑥=（1+V2）,故选Co

【技巧点拨】

（1）画出轨迹，根据入射方向和出射方向确定圆心；

（2）根据洛伦兹力向心力公式确定半径，通过几何关系确定待求物理量。

8.（2024・湖北.高考真题）如图所示，在以。点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强

磁场，磁感应强度大小为瓦圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为7"、电

荷量为q（q>o）的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是（）

A.粒子的运动轨迹可能经过。点

B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向

C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为空

3qB

D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为沁

【答案】D

【详解】AB.在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出的；根据圆的特点可知粒子

的运动轨迹不可能经过。点，故AB错误;

C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域，时间最短则根据对称性可知轨迹如图

则最短时间有翳故C错误;

D.粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则轨迹如图所示

设粒子在磁场中运动的半径为r,根据几何关系可知r=苧根据洛伦兹力提供向心力有quB=小9可得"=

曾故D正确。故选D。

【技巧点拨】

(1)在圆形匀强磁场区域内，沿着径向射入的粒子，总是沿径向射出；

(2)根据对称性，画出轨迹，找出时间最短的条件。

命题预测

考向一直线边界

9.(2024•江西景德镇•一模)如图所示，abed为纸面内矩形的四个顶点，矩形区域内(含边界)处于垂直

纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度大小为ad=L,ab=V3Lo一质量为机、电荷量为q(q>0)的

粒子，从。点沿"方向运动，不计粒子重力。下列说法正确的是(

----

B

A.粒子能通过cd边的最短时间t=若

2qB

B.若粒子恰好从d点射出磁场，粒子速度12=理

m

C.若粒子恰好从c点射出磁场，粒子速度"=理

m

D.若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<uW理

m

【答案】c

【详解】A.粒子能通过cd边，从c点射出的粒子在磁场中运动的时间最短，根据几何关系

2

（r2-乙/+（V3L）=上?解得上=2L则转过的圆心角sin。=号=?即6=60。粒子在磁场中运动的周期

T=等则粒子能通过cd边的最短时间t=总丁=舞故A错误；

B.若粒子恰好从1点射出磁场，由几何关系可知其半径q=根据解得％=鬻故B错误；

C.若粒子恰好从c点射出磁场，根据几何关系g-LA+（V3L）2=母解得上=2L由洛伦兹力提供向心力

得小⑶=加合解得方=弓手故C正确；

D.若粒子从d点射出磁场，粒子运动轨迹为半圆，从d点出射时半径最大，对应的入射速度最大，贝加m=警

1112m

故若粒子只能从ad边界射出磁场，则粒子的入射速度0<uW等，故D错误。故选C。

10.（2024・广东•二模）如图所示，斜边MN长度为工的等腰直角三角形。MN区域内存在磁感应强度大小为

8的匀强磁场（三角形边界上也存在磁场）。一电荷量为外质量为机的带正电的粒子（不计重力）从斜边

MN上的尸点进入磁场，速度方向与PM间的夹角8=45。，且MP=/经过一段时间，粒子从PN上的。点

（未画出）离开磁场，则下列说法正确的是（）

，：N

,/|

\4p

'''：M

A.磁场方向垂直于纸面向里

B.粒子的最大速度为鬻

C.。点到P点的最大距离为］

D.粒子在磁场中运动的时间为岬

qB

【答案】C

【详解】A.根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，A项错误；

B.速度越大，粒子在磁场中做圆周运动的半径越大，当速度达到最大值时，根据几何关系可知，粒子做圆

周运动的轨迹同时与三角形的。M,ON边相切，且从。点飞出的速度方向与MN的夹角也为8=45。，画出

粒子在磁场中的运动轨迹如图，

由几何关系有小ax=1。S。由洛伦兹力提供向心力有q为axB=小必解得出ax=阴，B项错误；

3rmax67n

C.由几何关系有出。="=）,C项正确；

COStz3

D.粒子做匀速圆周运动的周期7=等粒子在磁场中运动的时间t=?T=二，D项错误。故选C。

qB42qB

考向二圆形边界

11.（2024.云南昆明•模拟预测）一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O,筒内有垂直于纸面向里的匀强磁

场，磁感应强度为及质量为机、电荷量为q的带正电粒子以速度v沿半径SO方向射入磁场中。粒子与圆

筒发生两次碰撞后仍从S孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重

力的情况下，则圆筒的半径为（）

2mv

【答案】B

【详解】粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系做出圆心为。'，圆半径为r,设第一次碰撞点为A,

由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S孔射出，因此SA弧所对的圆心角NAO'S=g由几何关系得r=Rtang粒

子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律得quB=小三联立解得R=粤故选Bo

12.（2024•江西•模拟预测）如图所示，在半径为R、圆心为。的半圆形区域内存在垂直纸面向里、磁感应

强度大小为B的匀强磁场，带电荷量为-q、质量为根的粒子（不计所受重力）从。点沿纸面各个方向射入

匀强磁场后，均从OC段射出磁场，下列说法正确的是（）

A.粒子射入磁场时的最大速度为迎

m

B.粒子射入磁场时的最大速度为空

m

C.粒子在磁场中运动的最长时间为史

qB

D.粒子在磁场中运动的最长时间为胃

qB

【答案】D

【详解】如图所示

当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最大，则有之=：由洛伦兹力提供向心力可得=小色

可得粒子射入磁场时的最大速度为方=鬻粒子在磁场中运动的最长时间为%=T=普故ABC错误，D

正确。故选D。

考向三多解问题

13.（2025•河南安阳•一模）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内存在一理想边界，边界和无轴之间存

在垂直纸面、磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），边界与y轴之间存在沿x轴负方向、电场强

度大小为E的匀强电场。在第四象限内存在平行于y轴向下的匀强电场，在y轴正半轴上有可移动的粒子源

能无初速释放电荷量大小为e、质量为根的电子，电子从静止被电场加速后进入磁场区域均能垂直穿过尤

轴，图中A点坐标为。,0),不计电子受到的重力，求：

(1)磁场的方向；

⑵边界曲线的方程；

(3)能经过A点的电子释放点的纵坐标应满足的条件。

【答案】(1)垂直纸面向里(2)y=J等>0)G)妥川+(2几+l)y=L(n=0,1,2,•••)

【详解】(1)电子能垂直x轴进入第四象限，由左手定则可判定磁场垂直纸面向里。

(2)设电子由静止释放的纵坐标为》到达边界时的速度大小为v,对应边界上点的坐标为(x,y),则有eEx=

jzn/,y=詈解得y=J篝x(x>0)

(3)能经过A点的粒子轨迹如图所示，

设释放点纵坐标为》则有x+(2n+l)y=L(n=0,1,2,…)即满足为y?(l)=L(n=0,1,2,…)时

2.1TIE+2n+y

电子能经过A点。

14.(2024•陕西安康•模拟预测)如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域I和H,区域I内存在

方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域II内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小

为2B的匀强磁场，OP与间的夹角为30。。一质量为冷带电量为+q的粒子从分界线上的P点以速度V、

沿与分界线。尸成60。角的方向射入区域I,在区域I偏转后直接从。点离开磁场区域，不计粒子的重力。

(1)求。尸之间的距离；

(2)若粒子从尸点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从。点离开磁场区域，求粒子射入时

速度大小的可能值。

MO

【答案】（1）—（2）—（n=O,l,2,3...）

qB3n+2

2

【详解】（1）根据牛顿第二定律=巾?得『=卷粒子运动轨迹如图

OP长度为I=gr=@生

qB

（2）粒子从。点离开一定是从区域I与。N相切离开磁场区域，故乃=g，G=粤=，根据几何关系（6勺+

qBC[-2D2

倔加+岛=OP即（叵翳+叵半川+存器=8=遍詈…警，＞需解得白

(n=0,1,2,3...)

题型三带电粒子在匀强磁场中的动态圆模型

核心精讲:口

一、放缩圆模型

粒子源发射速度方向一定，速度大小不同的带电粒子进入匀强磁场

速度方向一定，速度

时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化

大小不同

而变化

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度U越大，运动半径也

越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂

适用条件直初速度方向的直线尸产'上

X节，XXXX

轨迹圆圆心共线

XXXX

/\:'

x/x”*、、x\X

X:X:X

\•0：、、"

XX*x\^0x

XXXX，X

以入射点尸为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这

界定方法

种方法称为“放缩圆”法

二、旋转圆模型

粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀

mvo

速圆周运动的半径相同，若射入初速度为M),则圆周运动半径万，如图所示

适

速度大小

用

一定，方向

条

不同P

件

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P

轨迹圆圆心共圆

为圆心、半径R=的圆上

mvo

将一半径R="方的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方

界定方法

法称为“旋转圆”法

三、平移圆模型

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁

速度大小一mvo

定，方向一场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为vo,则半径R=］万，如

适

定，但入射点图所示

用

在同一直线XXXXXXX

条xg松以WX

上

件III

轨迹圆圆心带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线

共线平行

mvo

界定方法

将半径R=7万的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法

四、磁雌模型

1.磁发散：如图1所示，有界圆形磁场的磁感应强度为2,圆心为。，从尸点有大量质量为加、电荷量为

q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射

入，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R=r),则粒子出射方向与磁场边界在入射点的切线方向平行。

2.磁汇聚：如图2所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹

圆半径与磁场圆半径相等(R=r),则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出，磁场边界在该点的切线

与入射方向平行。

15.（2024.河北.高考真题）如图，真空区域有同心正方形A8CD和abed,其各对应边平行，ABC。的边长

一定，abed的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面.A处有一个粒子

源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿方向进入磁场。调整abed的边长，可使速度大小

合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由边射出。对满足前述条件的粒子，下列说法正确的是（）

A.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45。，则粒子必垂直BC射出

B.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60。，则粒子必垂直BC射出

C.若粒子经cd边垂直8C射出，则粒子穿过ad边的速度方向与ad边夹角必为45。

D.若粒子经儿边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°

【答案】AD

【详解】A.粒子在磁场中做匀速圆周运动，在正方形abed区域中做匀速直线运动，粒子穿过泪边时速度

方向与ad边夹角为45。，在正方形仍cd区域中的运动轨迹必平行于AC的连线，可知粒子必经过加边，进

入正方形abed区域前后的两段圆弧轨迹的半径相等，并且圆心角均为45。，据此作出粒子可能的两个运动

轨迹如图所示

粒子的运动轨迹均关于直线8。对称，粒子必从C点垂直于BC射出，故A正确;

C.若粒子经加边垂直射出，粒子运动轨迹如图所示

设粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为仇则图中两段圆弧轨迹的圆心角名与仍的关系为。1+。2=90°设

两正方形的对应边之间的距离为A3为保证粒子穿过ad边，需满足Rsin%>AL且有R一Reos%=AL联立

解得&<60。为保证粒子穿过cd边,需满足Rsin%>"为保证从BC边射出，需满足R-Reos%<以联立

解得%>45。可得粒子经cd边垂直BC射出，粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角范围是45°W/S60。故

C错误；

BD.粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60。时，作出粒子恰好经过c点的运动轨迹如图所示

设粒子在e点进入正方形"cd区域，线段垂直平分轨迹ec,与AB选项的分析同理，粒子的轨迹关于

线段MN对称。线段CE平行于轨迹ec,取圆弧轨迹的中点R过尸点做轨迹ec的平行线分别交A。与

于点G和点尸'，点O为点E关于的对称点。易知点e为ad的中点，点E为的中点，既垂直于ad

和AD设粒子轨迹半径为r,正方形ABCD的边长为2L。由几何关系得rsin60°=3FQ=rsin30°,EP=

L-FQ,PF=———rsin60°,tan/PEF=竺联立解得NPEF=30°因NEGF=60°,故N£FG=90°,即EF

cos30°EP

垂直于GF',由对称性可知四边形EFF，。为矩形，/9垂直于CE,可知点F'是点歹关于的对称点，即

点F是圆弧c”的中点，可知由c到厂粒子的轨迹圆心角为30。，可得粒子垂直BC射出。若粒子速度较大，

轨迹半径较大，则粒子在C点左侧穿过C”，其轨迹如图所示

与临界轨迹对比，粒子第二段的轨迹圆心不会在2C上，故粒子不会垂直射出。若粒子速度较小，轨迹

半径较小，则粒子在c点下方穿过仍，其轨迹如图所示。

与粒子恰好经过c点的运动过程同理，根据对称性可知粒子一定垂直BC射出，故B错误，D正确。

故选AD。

【技巧点拨】

利用不同情况的动态圆的特点，画出轨迹图，找出临界条件；

।命题预测二।

L...............................................................

考向一放缩圆模型

16.（2024.陕西安康.模拟预测）如图所示，在竖直面内有一半径为R的能吸收带电粒子的半圆形装置，在

装置外有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为8,边界湖为过圆心。的一水平直线。一群质量为

m、电荷量为q的带正电粒子以不同的速率从A点竖直向上进入磁场，AO的长度为日R,粒子重力和粒子间

的相互作用不计，sin37°=|,下列说法正确的是（）

A.能够被装置吸收的粒子的最大速度为警

3m

B.能够被装置吸收的粒子的最小速度为雪

3m

C.能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子速度大小为誓

3m

D.能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子运动时间为篝

90qB

【答案】BD

【详解】A.粒子从A点进入磁场，运动轨迹半径最大时有最大速度，当粒子从半圆形装置最右面被该装置

吸收时，其轨迹半径最大，其速度最大，对于粒子有=整理有画有几何关系可知，其粒子的

rm

半径设为Fax，有2小ax=2R+IR所以有上述分析有Umax=甯故A项错误；

B.当运动轨迹最小时，其粒子的速度最小，即粒子从装置最左侧被吸收其半径最小，由几何关系有2rmin=

；7?结合之前的分析可知，有%1m=等故B项错误；

CD.粒子进入磁场运动至圆周上，时间最短即为圆心角最小，根据圆心角等于2倍弦切角可知，时间最小，

即运动轨迹圆的弦切角需最小。如图所示

a

运动时间最短，此时轨迹圆的弦AC与题设半圆相切，由几何关系可知N04C=37。，圆心角为0=53。*2=

106。根据几何关系"更也53。=!/?结合之前的分析'其中勺=翳所以%=警'匕=》署=黑故C

错误，D正确。故选BD。

17.（2024・四川成都•模拟预测）如图所示，边长为L的正三角形ABC内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁

感应强度为瓦。为2C的中点，有一群带电量为+外质量为相的粒子从。点以不同速率沿与8c成30。的

方向进入磁场。不计粒子重力和粒子间的相互作用，以下说法正确的是（）

A

/xXX\

/AXX\

B

D

A.所有从8C边出射的粒子运动时间均相同

B.所有从AC边出射