北师大版中考数学专项复习：一元二次方程的解法【十大题型】

专题2.2一元二次方程的解法【十大题型】

【北师大版】

>题型梳理

【题型1直接开平方法解一元二次方程】..........................................................1

【题型2配方法解一元二次方程】...............................................................4

【题型3公式法解一元二次方程】...............................................................6

【题型4因式分解法解一元二次方程】...........................................................8

【题型5十字相乘法解一元二次方程】..........................................................10

【题型6用适当方法解一元二次方程】..........................................................14

【题型7用指定方法解一元二次方程】..........................................................18

【题型8用换元法解一元二次方程】............................................................23

【题型9解含绝对值的一元二次方程】..........................................................24

【题型10配方法的应用】.......................................................................27

►举一反三

知识点1：直接开平方法解一元二次方程

根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.

直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为X?=p(p>0)或(mx+n)2=p(p>0,m*0)的形式;

②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.

【题型1直接开平方法解一元二次方程】

[例1](23-24九年级上.广东深圳•期中)将方程(2x—I7=9的两边同时开平方，

得2%—1=,

即2x-1=或2久-1=,

所以的=，x2=.

【答案】±33-32-1

【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤，一步步解出方程即可

【详解】V(2%-1)2=9

/.2x-1=±3

2x—1=3,2x—1—3

•・久］%2

【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键

【变式1-1](23-24九年级上.贵州遵义・阶段练习)用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()

A.x2+9=0B.-2x2=0C.x2-3=0D.(x-2)2=0

【答案】A

【分析】根据负数没有平方根即可求出答案.

【详解】解：(A)移项可得/=-9,故选项A无解；

(B)-2x2=0,即/=o,故选项B有解；

(C)移项可得/=3,故选项C有解；

(D)(刀一2/=0,故选项D有解；

故选A.

【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法.

【变式1-2](23-24九年级上.陕西渭南.阶段练习)如果关于x的一元二次方程(X-5/=巾-7可以用直接

开平方求解，则m的取值范围是.

【答案】m>7

【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可.

【详解】解：♦.•方程0—5)2=爪-7可以用直接开平方求解，

m—7>0,

解得：m>7,

故答案为：m>7.

【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键.

【变式1-3](23-24九年级上.河南南阳•阶段练习)小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：

解方程x(x+4)=6.

解：原方程可变形，得：[(久+2)—2][(%+2)+2]=6.0+2)2—22=6,(*+2)2=10.直接开平方并

整理，得.x1——2+V10,x2——2—V10.

我们称小明这种解法为“平均数法”

(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+5)(%+9)=5时写的解题过程.

解：原方程可变形，得：[(久+a)-切[(x+a)+b]=5.(x+a)2—b2=5,/.(x+a)2=5+b2.直接开

平方并整理，得.久i=c,x2—d.

上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为,,,.

(2)请用“平均数法”解方程：(x-5)(久+7)=12.

【答案】⑴7,2,-4,-10.

(2)%1=-1+4A/3,x2=-1-4V3.

【分析】(1)仿照平均数法可把原方程化为[(x+7)—2][。+7)+2]=5,可得0+7)2=9,再解方程即

可；

(2)仿照平均数法可把原方程化为[(x+1)—6][(x+l)+6]=12,可得(x+l)2=48,再解方程即可；

【详解】(1)解：•..(x+5)O+9)=5,

/.[(x+7)-2][(x+7)+2]=5,

A(%+7)2-4=5,

；.(久+7尸=9,

/.x+7=3或％+7=—3,

解得：X]—4,%2=—10.

...上述过程中的。、b、c、d表示的数分别为7,2,-4,-10.

(2)V(x-5)(%+7)=12,

[(x+1)-6][(%+1)+6]=12,

(久+1乃-36=12,

；.(久+1尸=48,

/.x+1=4V3,x+1=-4y/3,

解得：Xj=-1+4-\/3,亚=-1—4V3.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二

次方程是解本题的关键.

知识点2配方法解一元二次方程

将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(aK0)的形式；②方程两边同除以二

次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④

把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法

来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

【题型2配方法解一元二次方程】

【例2】（23-24九年级上•广东深圳•期中）用配方法解方程，补全解答过程.

51

3久2-=-X.

22

解：两边同除以3,得.

移项，得一一J

6o

配方，得

即（久一击2=含

两边开平方，得

111111

nBnPX—,^XiX—

12121212

所以%1=1，%=

2~6

【答案】/一|="%2一"+舄)2=|+舄)2%-A=±l|

【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1,常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完

全平方公式变形后，开方即可求出解.

【详解】3X2-|=|X.

解：两边同除以3,得/一三=三口

66

移项，得/一2%=3

66

配方，得--"+（静="（凯

即（第--2121

144

两边开平方，得x-±=±*，

即%一专=苫，或X—专=一芳

所以%1=1,X=

26

【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【变式2-1］（23-24九年级下•广西百色・期中）用配方法解方程/-6x-1=0时，配方结果正确的是（

A.(尤一3)2=9B.0—3)2=10C.(*+3)2=8D.(x-3)2=8

【答案】B

【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤.根据配

方法的步骤，求解即可.

【详解】解：%2-6%-1=0

移项得：x2—6x—1

配方得：%2-6%+9=1+9

即（％—3）2=10

故选:B

【变式2-2]（24-25九年级上•全国•假期作业）用配方法解方程：%2+2mx-m2=0.

【答案】=-m+V2m,x2=­m—V2m

【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法.先移项，再进行配方，最后开方即可得.

【详解】解：移项得/+2小久=Hl?,

配方得/+2mx+m2=m2+m2,即（x+m）2=2m2,

所以原方程的解为：xr--m+y/2m,x2-—m—s/2m.

【变式2-3]（2024•贵州黔东南•一模）下面是小明用配方法解一元二次方程2/+钮-8=0的过程，请认

真阅读并完成相应的任务.

解：移项，得2/+钮=8第一步

二次项系数化为1,得/+2x=4第二步

配方，得（久+2>=8第三步

由此可得x+2=±2V2第四步

所以，=—2+2A/2,x2——2—2V2第五步

①小明同学的解答过程，从第一步开始出现错误;

②请写出你认为正确的解答过程.

【答案】①第三步；②详见解析

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程2/+4x-8=0变为/+2x=4,

然后配方为0+1）2=8,再开平方即可.

【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；

②2万2+4久一8=0,

移项，得2/+4X=8,

二次项系数化为1,得/+2X=4,

配方，得(x+l)2=5,

由此可得x+1=±V5,

所以，X]=-1+V5,%2=-1-.

知识点3公式法解一元二次方程

当b2-4ac20时，方程ax?+bx+c=0(a40)通过配方，其实数根可写为x=但詈亘的形式，这个

式子叫做一元二次方程2*2+5*+©=0缶K0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解

一元二次方程的方法叫做公式法.

【题型3公式法解一元二次方程】

【例3】(23-24九年级上•山西大同•阶段练习)用公式法解关于尤的一元二次方程，得刈=-6±V,49,则

2X4

该一元二次方程是—.

【答案】4/+6x+1=0

【分析】根据公式法的公式X="士?'Tae,可得方程的各项系数，即可解答.

2a

【详解】解：••・X=毋迎Jac=-6±®4X4X1,

2a2X4

•••a=4,b=6,c=1,

从而得到一元二次方程为4/+6x+l=o,

故答案为：4x2+6x+l=0.

【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键.

【变式3-1](23-24九年级上.广东深圳•期中)用公式法解一元二次方程：(%-2)(3%-5)=0.

一元二次方程

I

化成办2+bx+c=0的形式

I

a=?b=?c=?

求/二〃一4〃。

心0?

是/'否

代入求根公式求解无实数根

解：方程化为37-11%+10=0.

a=3,b=,c=10.

△=炉—4ac=—4x3xl0=l>0.

方程实数根.

x==,

即%1=，%2=1•

【答案】一11（-11）2有两个不相等的一（?产等i2

2X36

【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即.

【详解】解：方程化为3/一llx+10=0.

a=3,b=-11,c=10.

△=fo2-4ac=（-11）2-4x3xl0=l>0.

方程有两个不相等的实数根.

-（-n）±Vin±i

x=------------=-------,

2X36

艮口久1=2,%2=

故答案为：—11；（—11）2；有两个不相等的；（士2.

2X3R6

【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键.

【变式3-2]（23-24九年级上•河南三门峡•期中）用公式法解方程—a/+法一。=o40）,下列代入公

式正确的是（）

2

Ax=一匕±J-2-4ax(-c)cb±y/b-4ac

B.x=-----------

2x(―Q)2a

2

r_匕±J匕2-4ax(—c)--b±yjb-4ac

D.x=-=----------

2x(—Q)2a

【答案】B

【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断.

【详解】解：方程—ax?+b*-c=0（a力0）可化为ax?—bx+c-0

由求根公式可得：”=土也正史远=些好王

2a2a

故选：B

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键.

【变式3-3]（23-24九年级上•广东深圳•期中）用求根公式法解得某方程a/+族+c=0（a40）的两个根互

为相反数，则（）

A.h=0B.c=0C.b2—4ac=0D.b+c=0

【答案】A

【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根%1、％2，由题意得%1+%2=0,可求出b=0.

【详解】•・・方程a/++。=o（aW0）有两根，

A=b2-4ac>0且aH0.

求根公式得到方程的根为工=生等近两根互为相反数,

-b-y/b2-4ac„

所以％1+%2=。，即生4+---------=0,

2a

解得6=0.

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元二次方程一公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的

关键.

知识点4因式分解法解一元二次方程

当一个一元二次方程的一边是0,另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程

转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

【题型4因式分解法解一元二次方程】

【例4】（23-24九年级下.安徽亳州•期中）关于久的一元二次方程x（x-2）=2-比的根是（）

A.-1B.0C.1和2D.—1和2

【答案】D

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案.

【详解】解：,.”（刀一2）=2—x,

—2）+（%-2）=0,

：.{x+1）（%-2）=0,

/.x+1=0或x—2=0,

解得x=-1或％=2,

故选：D.

【变式4-1]（23-24九年级上•陕西榆林•阶段练习）以下是某同学解方程/一3%=-2久+6的过程：

解：方程两边因式分解，得x（x-3）=-2（久-3）,①

方程两边同除以0—3）,得x=—2,②

，原方程的解为x=-2.③

(1)上面的运算过程第步出现了错误.

(2)请你写出正确的解答过程.

【答案】⑴②

(2)过程见解析

【分析】(1)根据等式的性质作答即可；

(2)先移项，然后用因式分解法求解.

【详解】⑴解：•••(％-3)可能为0,

二不能除以(久一3),

.♦.第②步出现了错误

故答案为②.

(2)解：方程两边因式分解，得-3)=—2(x—3),

移项,得*0-3)+20-3)=0,

A(x-3)(x+2)=0,

♦,—3,~2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,

熟练掌握各种方法是解答本题的关键.

【变式4-2](23-24九年级下•安徽安庆・期中)对于实数n,定义运算m^\n=m2-2n,例如：2团3=

22—2x3=—2.若油5x=0,则方程的根为()

A.都为10B.都为0C.。或10D.5或一5

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意.

现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可.

【详解】解：根据定义运算小加i=m2-2n可得，

久团5x=0即为/—5x-2=0,

即x(x-10)=0,

%1=0,x2—10,

则方程的根为0或10.

故选：c.

【变式4-3](13-14九年级.浙江.课后作业)利用因式分解求解方程

(1)4y2=3y；

(2)(2%+3)(2久-3)-久(2K+3)=0.

【答案】(1)yi=。,%=：；(2)叼=—|,久2=3

【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；

(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.

【详解】⑴4y2=3y；

4y2-3y=0

y(4y-3)=0

y=0或4y-3=0

.c3

•-7i=0,y2=-)

故答案为：%=0,y2=I；

(2)(2%+3)(2%-3)-x(2x+3)=0

(2x+3)(x-3)=0

2%+3=0或％—3=0

——5,第2—3,

故答案为：=—|,x2=3.

【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根.例如：解方程4y2=3y时，给方程两边

同除以y,解得y=3,而丢掉y=0的情况.

【题型5十字相乘法解一元二次方程】

【例5】(23-24九年级下•广西百色•期中)以下是解一元二次方程。久2+日+。=0(£1力0)的一种方法：二

%Ci

次项的系数。分解成常数项c分解成QC2,并且把的，。2,q,C2排列为：然后按斜线

交叉相乘,再相加，得到。遇2+azG，若此时满足。遥2+a2cl=6,那么a/+族+c=0(a片0)就可以因

式分解为(口6+q)(ct2X+c2)=0,这种方法叫做“十字相乘法”.那么6/-llx-10=0按照“十字相乘法”

可因式分解为()

A.(%-2)(6%+5)=0B.(2%+2)(3%-5)=0

C.(%-5)(6%+2)=0D.(2%—5)(3%+2)=0

【答案】D

【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出6/一llx-10=(2%-5)(3%+2)即可.

2\^-5

【详解】2x2+(-5)X3=-11

，6久2-Hx-10=(2%-5)(3%+2)=0.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题

关键.

【变式5-1](23-24九年级上•江西上饶•期末)试用十字相乘法解下列方程

(I)%2+5%+4=0；

(2)x2+3x-10=0.

【答案】⑴%i=—4,x2=—1；

(2)久1=2,x2=—5.

【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、

因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案;

(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于工的一元一次方程，进一步求解可得答案.

【详解】(1)解：%2+5x+4=0

(%+4)(%+1)=0

%+4=0或％+1=0

・\%i=—4,%2=—1；

(2)解：%2+3%-10=0

(%+5)(x—2)=0

%+5=0或％—2=0

••X]=2,=5•

【变式5-2](23-24九年级下.广西梧州•期中)解关于%的方程%2—7m%+12/=0得()

A.=—3m,x2=4mB.xr=3m,x2=4m

C.打=—3m,x2=-4mD.=3m,x2=—4m

【答案】B

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可.

直接运用十字相乘法解一元二次方程即可.

【详解】解：x2—7mx+12m2=0,

(%—3m)(%—4m)=0,

x—3m=0或％—4m=0,

=3m,x2=4m.

故选B.

【变式5-3](23-24九年级下.重庆•期中)阅读下面材料：

材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解

为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于％,y的二次三项式a/+b%y+cy2,如图1,将％2项系数。=

ar-a2,作为第一列，yz项系数。=J.。2，作为第二列，若。遥2+a2cl恰好等于久y项的系数小那么a/+

22

bxy+cy2可直接分解因式为：ax+bxy+cy=(arx+c1y)(a2x+c2y)

示例1：分解因式：x2+5xy+6y2

解：如图2,其中1=1x1,6=2x3,而5=lx3+lx2；

.'.%2+Sxy+6y2=(%+2y)(x+3y)；

示例2：分解因式：x2-4xy-12y2.

解：如图3,其中1=1x1,-12=-6x2,而-4=1x2+1X(-6)；

••x2—4xy—12y2=(%—6y)(x+2y)；

材料二：关于％,y的二次多项式a/+万町+cy2+〃+匕+/也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的

乘积.如图4,将a=作为一列，c=qc2作为第二列，f=。月作为第三列，若的。2+。2cl=b,arf2+

a2fr=d,crf2+c2fr=e,即第1、2歹！J,第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的

22

结果为：ax+bxy+cy+dx+ey+f=(%%+cry++c2y+f)

图4图5

示例3：分解因式：x2—4xy+3y2—2%+8y—3.

解：如图5,其中1=1x1,3=(-1)x(-3),-3=(-3)x1；

满足—4=1X(—3)+1x(—1),—2=1X(—3)+1X1,8—(—3)X(—3)+(—1)x1；

.*.x2—4xy+3y2—2%+8y—3=(%—y—3)(%—3y+1)

请根据上述材料，完成下列问题：

(1)分解因式：x2+3%+2=_；x2—5xy+6y2+%+2y—20=_；

(2)若x,y,TH均为整数，且关于％,y的二次多项式/+-6y2一2%+my-120可用“十字相乘法”分

解为两个一次式的乘积，求出m的值，并求出关于％,y的方程/+-6y2一2%+my-120=-1的整数

解.

仁和叱

【答案】(1)(%+1)(%+2),(%-3y+5)(x-2y-4)；(2)巾=524

m=-56

【分析】(1)①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可;

(2)用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值.

【详解】解：(1)①1=1x1,2=1x2,3=lxl+lx2,

二・原式=(%+1)(%+2)；

②1=1x1,6=(-2)x(-3),-20=5x(-4)

满足(-5)=lx(-2)+lx(-3),l=lx5+lx(-4),2=(-2)x5+(-3)x(-4)

•,*原式=(%—3y+5)(%—2y—4)；

1-35,_匚

„C2+a2cl——5

(2)a

①？-2{l)22+a2fl=1

,2Cif?+C2fl=2

。2c?

alC2+a2cl=11_

-2109-12

②;{aiA+a2fl=-2[□

3-1210

c62+c2fr=m

(x—2y+10)(%+3y—12)=x2+xy-6y2—2%+my-120

Am=54

(%—2y—12)(x+3y+10)=x2+xy—6y2—2x+my-120

Am=—56

当m=54时，(%—2y+10)(%+3y—12)=-1

7

fx-2y+10=l—产―2y+10=-l产=—,小、x=—1

｛尤+3了-]2=-]或｛%+3丫_12=]'｛丫=>(舍)，ty=4

当TH=-56时，(%—2y—12)(%+3y+10)=—1

_69

%-2y-12-1%-2y=12=1x=2或J=g

（舍）

♦+3y+10=-1块。+3y+10=1'R=-4dl2

)5

综上所述，方程/+xy-6y2-2x+my-120=一1的整数解有｛J和｛j]

方法二：/+%y+(—6y2)—2%+my-120=(x4-3y)(x—2y)—2x+my-12y

=(%+3y+a)(%—2y+b)=(第+3y)(x—2y)+(a+/?)%+(3b—2a)y+ab

a+b=—2

产——12或(a—10m=54

｛3b—2a=m=>1b=10~'b=-12=m=-56'

ab=-120

【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键.

【题型6用适当方法解一元二次方程】

【例6】(23-24九年级上.江苏宿迁・期末)用适当的方法解下列方程:

(l)x2=4x；

(2)(%-3)2-4=0；

(3)2x2-4x-5=0；

(4)(x-l)(x+2)=2(%+2).

【答案】⑴久i=4,%2=0

(2)%1=5,x2=1

小2+V142-V14

(3>i=

(4)&=­2,%2=3

【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程

的方法是解题的关键.

(1)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；

(2)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；

(3)利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；

(4)利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答.

【详解】(1)解：/-4%=0

x(x—4)=0,

解得=4,x2=0

(2)解：(x—3—2)(*—3+2)=0

(x—5)(%—1)=0,

解得X1=5,x2=1

(3)解：•••a=2,b=-4,c=-5

b2-4ac=(一4产-4x2x(-5)=16—(-40)=56

4±V562±V14

"x=2x2——2—

4汨2+V142-V14

解n得/=乂2=-^―

(4)解:(x-1)0+2)—2(%+2)=0

(%+2)(%—1—2)—0,

(x+2)(x-3)=0,

x+2—0,x—3—0,

解得X1=-2,尤2=3

【变式6-1](23-24九年级上•山西太原•期中)用适当的方法解下列一元二次方程：

(l)x2+4%-2=0；

(2)x(x+3)=5x+15.

【答案】(1)%1=遍—2,x2=—V6—2

(2)%!=—3,x2=5

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的

关键.

(1)利用配方法解方程;

(2)先移项，再利用提公因式法解方程.

【详解】(1)解：移项，得%2+4%=2,

配方，得/+4%+4=2+4,

(%+2)2=6,

两边开平方，得汽+2=±V6,

所以，=V6-2,x2=—V6—2；

(2)解：原方程可变形为：%(%+3)=5(x+3),

%(%+3)—5(%+3)=0,

(x+3)(%—5)=0,

x+3=0或第一5=0,

所以，汽1=—3,上=5

【变式6-2](23-24九年级下.山东泰安・期末)用适当的方法解下列方程

(1)3%2=54；

(2)(%+1)(3%-1)=1；

(3)4x(2x+1)=3(2%+1)；

(4)%2+6x=10.

【答案】⑴%i=3V2,x2=—3V2

⑺V.=士叱.=土叱

(3)Xi=

(4)Xi=-3+V19,%2=-3-V19

【分析】(1)方程整理后，利用直接开平方法求解即可;

(2)方程整理后，利用求根公式法求解即可；

(3)方程利用因式分解法求解即可；

(4)方程利用配方法求解即可.

【详解】(1)解：方程整理得：/=18,

开方得：x=±3&,

解得：久1=3V2,x2——3V2；

(2)解：方程整理得：3/+2X-2=0,

这里a=3,b=2,c=-2,

=22-4x3x(-2)=4+24=28>0,

_-2±2V7_-1±V7

X——,

63

缶刀夕日一1+夕—1—y/7

解得：%1=—^―，%2=二一；

(3)解：方程移项得：4x(2%+l)-3(2x+1)=0,

分解因式得：(2%4-l)(4x-3)=0,

所以2x+1=0或4x-3=0,

解得：X1=一;，x2=

(4)解：配方得：x2+6x+9=19,即(x+3)2=19,

开方得：x+3=±V19,

解得：X1=-3+V19,x2=-3-V19.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的

特征选择恰当的解法是解本题的关键.

【变式6-3](23-24九年级上.海南省直辖县级单位.期末)用适当的方法解下列方程.

(1)0+2)2—25=0；

(2)久2+4x—5=0；

(3)2/—3x+1=0.

【答案】⑴Xi=3,%2=-7

(2)%]=1,%2=-5

(3)久1=5，&=1

【分析】(1)利用平方差公式，可以解答此方程；

(2)利用因式分解法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可.

【详解】(1)解：(%+2)2-25=0,

(%+2—5)(第+2+5)=0,

・•.％—3=0或％+7=0,

解得X1=3,g=-7；

(2)解：%2+4x-5=0,

(x—1)(%+5)=0,

x-1=0或x+5=0,

解得久1-1,%2=-5;

(3)解：2/-3x+l=0,

(2x-1)(%-1)=0,

2x—1—0或x—1=0,

解得X1=I，%2=1.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个

一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就

把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

【题型7用指定方法解一元二次方程】

【例7】(23-24九年级下•山东日照•期末)用指定的方法解下列方程：

(1)4(x-1)2-36=0(直接开方法)

(2)尤2+2x-3-0(配方法)

(3)(x+1)(x-2)-4(公式法)

(4)2(x+1)-x(尤+1)=0(因式分解法)

【答案】(1)xj=4,尤2=-2；(2)xi=l,尤2=-3；(3)xi=3,X2=-2；(4)xi--1,X2=2.

【分析】(1)直接利用开方法进行求解即可得到答案；

(2)直接利用配方法进行求解即可得到答案；

(3)直接利用公式法进行求解即可得到答案；

(4)直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；

【详解】解：(1)•••40-1)2-36=0

(尤-1)2=9,

.,.尤-1=±3,

♦•尤/=4,X2=-2；

(2)2+2尤=3,

***/+2x+1=4,

(x+1)2=4,

；・冗+1=±2,

・・M=1,X2=-3;

(3)Vx2-x-6=0,

.*.△=1-4xlx(-6)=25,

,1±V251±5

••X=，

22

•・X/=3,X2=-2；

(4)V2(x+1)—x(x+1)=0

(x+1)(2-x)=0,

/.x+l=0或2-x=0,

••X111,X22.

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.

【变式7-1](23-24九年级下•山东烟台・期中)用指定的方法解方程：

(I)%2-4%-1=0(用配方法)

(2)3--Hx=-9(用公式法)

(3)5(x—3)2=/_9(用因式分解法)

(4)2y2+4y=y+2(用适当的方法)

【答案】⑴%1=V5+2,x2=—V5+2

八、11+V13H-V13

(2)%i=——，x=——

OO2

9

(3)%i—3,犯=3

1

(4)乃=->乃=-2

【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答.

(2)先化为一般式，再根据△=炉—4ac算出，以及代入久=型斗进行化简，即可作答.

2a

(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0,进行解出工的值，即可作答.

(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0,进行解出汽的值，即可作答.

【详解】(1)解：x2-4x-1=0

移项，得/-4x=1

配方，得久2—4%+4=1+4,即(久—2)2=5

x—2=+V5

；

角牟得久1=V5+2,x2=—\/5+2

(2)角军：3%2-llx=-9

3x2-llx+9=0

△=b2-4ac=121-4x3x9=121-108=13

.11±V13

•.x=--------

6

缶刀汨11+V1311-V13

oo

(3)解：5(%-3)2=/一9

5(%-3)2-(%2-9)=0

5(%—3)2—(x—3)(%+3)=0

(%—3)[5(%—3)—(%+3)]=(x-3)(4%—18)=0

则第一3=0,4%-18=0

解得%1=3,x2=

(4)解：2y2+4y=y+2

2y2+4y-(y+2)=0

2y(y+2)—(y+2)=0

(2y-l)(y+2)=0

/.2y—1=0,y+2=0

解得yi=[，y2--2.

【变式7-2](23-24九年级上.新疆乌鲁木齐.期中)用指定的方法解方程：

(l)|x2-2x-5=0(用配方法)

(2)久2=8%+20(用公式法)

(3)(久-3)2+4x(x-3)=0(用因式分解法)

(4)(%+2)(3久-1)=10(用适当的方法)

【答案】(1)%】=2+V14,%2=2-V14

(2)%i=10,%2=—2

(3)%i=3,%2=0・6

4

(4)X]=-3,%2=2

【分析】(1)利用配方法解方程即可；

(2)利用公式法解方程即可；

(3)利用因式分解法解方程即可；

(4)先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可.

【详解】(1)移项，得：|%2-2x=5,

系数化1,得：x2-4x=10,

配方，得：x2-4%+4=14,

(x-2)2=14,

x-2=±V14,

=2+V14,打=2—V14;

(2)原方程可变形为久2-8%-20=0,

a=lfb=—8,c=—20,

4=(—8)2-4xlx(-20)=64+80=144>0,原方程有两个不相等的实数根,

-b±yJb2-4ac8±V1448±12

・•・X=------------=---------=-------,

2a22

••—10,%2=—2；

(3)原方程可变形为：(x-3)(x-3+4x)=0,

整理得：(X-3)(5%-3)=0,

解得X1=3,x2=0.6；

(4)原方程可变形为：3/+5%-2-10=0,

整理得：3/+5%-12=0,

(3%-4)(%+3)=0,

•••%1—30,%2—~4

【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步

骤，一元二次方程的求根公式是解题关键.

【变式7-3](23-24九年级上•河北邯郸•期中)按指定的方法解下列方程：

(1)久2=8%+9(配方法)；

(2)2y2+7y+3=0(公式法)；

(3)(x+2尸=3久+6(因式分解法).

【答案】⑴/=9,%2--L

1

(2)第1=-3,%2=-2,

(3)%i=—2,x2=1.

【分析】(1)先把方程化为一一8%+16=25,可得(％-4)2=25,再利用直接开平方法解方程即可；

(2)先计算△=72-4x2x3=49-24=25>0,再利用求根公式解方程即可；

(3)先移项，再把方程左边分解因式可得(％+2)0-1)=0,再化为两个一次方程，再解一次方程即可.

【详解】(1)解：x2=8%+9,

移项得：x2—8x=9,

.*.%2—8%+16=25,

配方得：(％-4尸=25,

.'.X—4=5或%—4=—5,

解得：/=9,第2=-1.

(2)解：2y2+7y+3=0,

・・・△=72-4x2x3=49—24=25>0,

・o1

••X]—3,%2—~•

(3)解：(％+2)2=3%+6,

移项得：(％+2尸一3(%+2)=0,

/.(x+2)(x-1)=0,

.*.%+2=0或久—1=0,

解得：/=-2,&=L

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题

的关键.

【题型8用换元法解一元二次方程】

【例8】(23-24九年级下•浙江杭州•期中)已知(。2+炉)32+炉+2)-15=0,求+的值.

【答案】3

2

【分析】先用换元法令a?+b=x(x>0),再解关于x的一元二次方程即可.

【详解】解：令。2+/;2=久(％>0),则原等式可化为：

x(x+2)—15=0,

解得：%1=3,%2=-5,

x>0,

x=3,即a2+=3.

。2+抉的值为3.

【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意。2+炉为非负数是本题的关键.

【变式8-1](23-24九年级下•安徽合肥•期中)关于X的方程(/+X)2+2/+2X—3=0,则久2+乂的值是

()

A.-3B.1C.—3或1D.3或一1

【答案】B

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键.

设/+%=3则此方程可化为产+2t-3=0,然后用因式分解法求解即可.

【详解】解：设/+x=3则此方程可化为产+2t—3=0,

A(t-l)(t+3)=0,

•*.t-1=0或t+3=0,

解得h=1,t2=-3,

+x的值是1或一3.

Vx2+%=-3,BP%2+x+3=0,

△=12_4xix3=-11<0

方程无解，故/+%=-3舍去，

'.X2+x的值是1,

故选：B.

【变式8-2](23-24九年级上・广东江门・期中)若(£1+5匕)(£1+56+6)=7,则a+56=.

【答案】1或一7

【分析】本题主要考查解一元二次方程，设a+5b=%,则原方程可变形为比(％+6)=7,方程变形后运用因

式分解法求出x的值即可得到结论.

【详解】解：设a+5b=x,则原方程可变形为x(x+6)=7,

整理得，x2+6%—7=0,

(x-l)(x+7)=0,

%—1=0,x+7—0,

.".x—1,x=—7,

即a+5b=1或一7,

故答案为：1或-7.

【变式8-3](23-24九年级上•山东临沂•期中)利用换元法解下列方程：

(1)2/-3/-2=0；

(2)(——%)2—5(久2—%)+4=0.

【答案】(1)/=V2,x2=-V2

/c、1+V171—7171+V51-V5

(2)%1=-^―，%2=――，％3==―，％4==―

【分析】(1)根据换元思想，设y=%2,贝。=2或y=—%由此即可求解;

(2)设y=%2-%,则y=4或y=l,由此即可求解.

【详解】⑴解：(1)设y=/,则原方程化为2y2-3、一2=0,

Ay=2或y=

当y=2时，%2=2,

x1=V2,x2——V2,

当y=—凯寸，x2=-|,此时方程无解，

・,•原方程的解是%i=V2,x2=—V2.

(2)解：设y=x2-x,则原方程化为y2-5y+4=0,

y=4或y=1,

当y=4时，x2—x=4,

1+V171-V17

••X