充分必要条件的综合考查-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

重难点02：充分必要条件的综合考查

一、知识点梳理

L总方针

①定义法：若pnq,则p是q的充分条件（或q是p的必要条件）；若pnq,且q分p,则p是q的充分不必要

条件（或q是p的必要不充分条件）.

②集合法：利用集合间的包含关系.例如，命题p：xEA,命题q：xEB,若AUB,则p是q的充分条件

（q是p的必要条件）；若AQB,则p是q的充分不必要条件（q是p的必要不充分条件）；A=B,则p是q

的充要条件.

2.充分必要条件涉及知识点1（平面向量）

①向量数量积的坐标表示

（1）已知两个非零向量。=（%，乂），b=（x2,y2）,a-b=xtx2+y^2

（2）设。=（x,y）,则|a『=x?+或|止出+或

（3）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（占,%）、（%,%）,那么

Ici|=小&-x?）~+（M—%）?（平面内两点间的距蜀公式）.

②平面向量平行（共线）的坐标表示

设非零向量0=（占,％）/=（%,%），则。//6=（芯,％）=刈%，%），即J%,或

[%=&必

玉％一%乂=0•

③三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知

A（X1,B（X2,y2）,C（x；,y3）,AB=（x2-xlty2-yt）,AC=（x3-xt,y3-yt）,

若（无?—玉）（%—%）—（W—玉）（%—%）=。，则A,B,C二点共线.

④向量在几何中的应用

（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

a//60a=76(6w0)o(%],%)=几(%2，%)

（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件Q_Lb=0o%%=。

（3）求夹角问题，利用cos6=

（4）求线段的长度，可以利用同=病或电卜/-乂）2

3.充分必要条件涉及知识点2（空间线面）

①要证线〃面，条件为3个，其中必有《线•面》

②要证线，面，条件为2个，其中必有《线〃线或面〃面》

③要证线〃线（面〃面），条件为2或3个，其中必有《两个线，面》

④要证线，线（面，面），条件为2个，其中必有《，、〃（u）》

⑤要证线，线（面，面），条件为3个，其中必有《卜心工、》

、线，面、〃〃

4.充分必要条件涉及知识点3（不等式）

①两个同号实数相加，和的符号不变，符号语言：a>0,b>0na+b>0；a<0,b<0=>a+b<0

②两个同号实数相乘，积是正数，符号语言：a>Q,b>0^ab>0；a<Q,b<0^ab>0

③两个异号实数相乘，积是负数，符号语言：a>0,b<0^ab<0

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0,符号语言：XG/?^X2>0,%=0O%2=（）.

（1）对称性：QVQ（2）传递性：b>c=>〃>c（3）可力口性：Q>5OQ+C>5+C（C£R）

c>0ac>be

（4）可乘性：a>b,vc=0=>〃c=Ac（5）可加法则：a>b,c>d^>a+c>b+d.

c<0^=>ac<be

(6)可乘法贝！J：a>b>0,c>d>0^a-c>b-d>0(7)可乘方性：a>b>b,neN"=a">bn>0

11

/c、2,广，a+b,a?+/..a+b.2a+1).„.~

(8)-——-<yjab<——<J——-——(Q>0/>0)或a。W(——)<——-——(a>0,Z?>0)

ab

5.充分必要条件涉及知识点4(数列)

(1)等差数列中，公差为d,则

①若W，P，9EN*,且根+〃二夕+4，则%i+%=〃p+4，特别地，当m+〃=2p时4+%=24.

②下标成公差为根的等差数列的项®,ak+m,a-小…组成的新数列仍为等差数列，公差为他•

③若数列也｝也为等差数列，贝火。“±2｝，｛也土耳，（历人为非零常数）也是等差数歹人

2/14

(4)6(1++4Zj,%+4+。6，%+。8+。9,.......仍是等差数列.

⑤数列｛彳为+可(九6为非零常数)也是等差数列.

(2)设等比数列｛风｝的公比为q

①若rn,n,p,qwN,,.1.m+n=p+q,则4,=。屋/，特别地，当〃2+"=2p时明•<?”=a；.

②下标成等差数列且公差为机的项右，ak+m,q+2,“，…组成的新数列仍为等比数列，公比为小.

③若仅“｝,｛a｝是项数相同的等比数列，则｛。,“｝、｛<?,„_1｝>｛kan｝(左是常数且左/0)、｛—｝>[a：｝(meN,,

,an

，〃是常数)、｛4•"｝、｛"｝也是等比数列；

b”

④连续七项和(不为零)仍是等比数列.即为s2k-sk,s3k-%,…成等比数列.

6.充分必要条件涉及知识点5(直线与圆)

已知4:\x++£=o,，2：+B2y+G=o

4_L4o44+B[B2=0

/"//2=4打-44=0且y1^2-4(7尸0或4。2-820力0,记忆式(区="大三)

&B2C2

4与4重合，462—44=0,AG—4ci=。，4G—52G=o

7.充分必要条件涉及知识点6(常规不等式)

1.一元二次不等式

一元二次不等式以2+6x+c〉0(。w0),其中A=Zj2-4ac,是方程ax?+6x+c〉0(。w0)的两个

根，且石<%

(1)当a>0时，二次函数图象开口向上.(2)①若△>(),解集为｛x|X〉％或^<西｝.

②若A=0,解集为x|xeR且xw.③若△<(),解集为R.

(2)当a<0时，二次函数图象开口向下.①若A>0,解集为②若AW0,解集为0

2、分式不等式

(1)y〉0=/(x)・g(x)〉0(2)噜<0o/(x).g(x)<0(3)裂之。。[,「，唱‘)'。

g(x)g(x)g(x)[g(x)N0

y(x).g(x)<o

(4)

g(x)g(x)丰o

3、绝对值不等式

⑴lf(x)\>|g(x)|O[/(x)]2>[g(x)]2(2)|/(x)|>g(x)(g(x)>。)of(x)>g(x)或4%)<-g(x);

|/(x)|<g(x)(g(x)>0)o-g(x)</(x)<g(x);

8.充分必要条件涉及知识点7(三角函数)

(1)平方关系：sin2cir+cos2a=l.

(2)商数关系：包W=tana(a^—+k7r)；

cos。2

(3)奇变偶不变，符号看象限，说明：(1)先将诱导三角函数式中的角统一写作〃•工土a；(2)无论有多大，

2

一律视为锐角，判断W•工土a所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；(3)当〃为奇数是，“奇

2

变”，正变余，余变正；当〃为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可

(4)两角和与差的正余弦与正切

①sin(a±4)=sinacos0±cosasin4；②cos(a±/7)=cosacos0sinasin尸；③tan(a±/)=t&ntan'

’1.tanatanf3

(5)二倍角公式

①sin2。=2sincircosa；②cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；③tan2a=(，皿j

1—tana

…二，一、八q.1.入•21-cos2a21+cosla

(6)降次(累)公式：sinacosor=—sin2a\sina=--------------;cosa-----------------

222

二、题型精讲精练

【题型训练-刷模拟】

1.已知向量d=(x+1,-1),b=(x,2),则［)

A.“x=-2”是的充分条件B.“x=l”是“2工厂的充分条件

2

C.“x=-2”是%工6”的必要条件D.“x=§”是“°//6”的必要条件

【答案】B

【分析】由向量平行和垂直的条件计算即可.

4/14

2

【详解】若a//b，贝iJ2（x+l）+x=0,解得x=-（；

若a_Z,6，贝！Jx（x+l）-2=。，解得x=l或x=-2；

所以ACD错误，B正确.

故选：B.

2.已知P：x2-x<0,那么命题P的一个充分不必要条件是（）

121

A.0<x<1B.—1<x<1C.—<x<—D.—<x<2

232

【答案】C

【分析】首先解不等式――％<0,得到不等式的解，利用集合之间的关系判断充分必要性，得到结果.

【详解】x2-x<0,/.0<x<l,-P：0<x<l,运用集合的知识易知，

A中0<xvl是P的充要条件；

B中-Ivxvl是。的必要不充分条件；

C中:是。的充分必要条件条件；

23

D中!<x<2是"的既不充分也不必要条件.

2

故选：C.

已知〃，都是实数，则“竺

3.62”是“0＞人＞0”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性.

【详解】取。=1,b=-l,止匕时匕91=0,J『+（T）2=i，

满足等

,此时a>6>0不成立;

当时，因为/+/>2ab,

所以2（/+62）>（0+32,

所以工+廿>5+6）2,所以

24

a+b

即”

2Y2

综上，“巴W<p+Zr,，是“a>b>0”的必要不充分条件.

2V2

故选：B.

b

4."a>Z?>0”是-6>如一”的()

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，对数函数的性质结合充分不必要的定义即可判断.

b

【详角牟】由a>b>。，得a—b>0,0<—<1,

a

bb

贝ijln—<0,从而a—0〉ln—.

aa

b

取〃=-1/=-2,满足a—b〉ln—,不满足a>Z?>0.

a

b

故“。>6>0”是"a”>In—”的充分不必要条件.

a

故选：A.

5.设aeR,则“a=-1"是"直线L：x+y-2a=0与直线4：(a~-2)x-y+2=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据直线平行求得a=-1，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为/「〃因贝q1x(/-2)=1x(-1),解得。=±1,

若a=—l,则A：x+y+2=0,l2:x+y-2=0,两直线平行，符合题意；

若a=l,则L：x+y-2=0,Z2:x+y-2=0,两直线重合，不符合题意；

综上所述：匕〃/2,等价于a=-L

所以“a=-1”是“直线。：尤+y-2”0与直线4:_2卜-y+2=0平行”的充要条件.

故选：C.

6/14

6.“x>3”是“|无一|>2"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求出绝对值不等式的解，由充分、必要条件概念得解.

【详解】由|无一1|>2,得x>3或x<-l,

故”>3”是“|尤-1|>2”的充分不必要条件.

故选：A

7.已知实数则“m>bc”是“〉>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】实数。>源则。―6>0,

当时，ac-bc=c（a-b）>0,因此c>0,

当C>0时，而a>〃，则ac>反?，

所以“农>儿”是“c>0”的充要条件.

故选：C

8.已知a,bwR,贝『'a=匕=0"是g）"=（；）"成立的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合对数运算判断即可.

【详解】若a=6=0,则（：）"=1=（乎，

反之，取6=1,a=1。823,§）〃=§产23=；=（；匕即§）〃=《）〃成立，不能推出a=6=0,

所以“a=6=0"是（1）a=（乎成立的充分不必要条件.

故选：A

TT

9.已知xeR,贝『'sin(x+—)=1”是“sinx=O”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合诱导公式及同角公式判断得解.

兀.

【详解】isin(x+—)=1,得cosx=l,而sin2%+cos2x=l,贝lJsinx=O；

当sinx=O时，由sin2%+cos2%=l,解得cosx=±l,贝！JsinO+5)=±1,

所以“sin(尤+?=1”是“sinx=0”的充分不必要条件.

故选：A

10.设xeR,则“|x-2>3”是“炉-5%_6>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的定义判断即可.

【详解】因为,一2|>3,所以无一2<-3或无一2>3,解得或x>5,

所以不等式|x-2]>3的解集为｛x|x<T或无>5｝；

因为/-5元一6>0,所以(x-6)(x+l)>。，解得x<-l或x>6,

所以不等式/一5尤一6>0的解集为｛尤1尤<-1或%>6｝；

因为｛x|x<-l或无>6｝是｛x|x<T或x>5｝的真子集，

所以“卜-2|>3”是“尤2一5X一6>0”的必要不充分条件.

故选：B.

11.若P：l<x<2,q：2无>1,则P是4的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】B

【分析】分析由。能否推出q,由4能否推出。，结合充分条件与必要条件的定义判断结论.

【详解】因为由XW｛邓<X<2｝可推出xe｛尤|2x>l｝,

8/14

所以pnq,故P是g的充分条件，

由xw{x|2x>1}不能推出xe{尤|1<尤<2},

所以44P,P不是4的必要条件，

所以P是4的充分不必要条件.

故选：B.

12.“加<L是“工>4”的（）

4m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据充分条件和必要条件的定义研究条件的充分性和必要性.

111—<—=A1

【详解】若上〉4,假设加2：,则由加之:>0可知加一1一"，矛盾，所以加<：,这表明条件是必要的;

m44-4

4

对机=-1,有机=-1<J，—=-1<4,这表明条件不是充分的.

4m-1

所以“加<!”是“工>4”的必要不充分条件.

4m

故选：B.

13.对于任意实数。，b,t^a2+b2>2ab,,^a2>b2,，^（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

［分析］赋值法可知“4+廿>2a6"是>b?”的不充分条件，由a?〉/?'所以。片匕，从而可得片+b2>2ab,

可得结论.

【详解】当。=2,6=3时，满足力+62>2"成立，但不满足/>〃成立，

所以+/>2"”是"/>62，，的不充分条件，

因为。2>万2，所以Xa2+b2-2ab=（a-b）2>0,所以片+">2a6,

所以“a2+b2>2ab”是“a2>b2”的必要条件，

所以“小+廿>2"”是“a?>片”的必要不充分条件.

故选:B.

14.设aeR,贝/'sina=cos夕"是"sin2a;=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据0!?£+8$22=1以及倍角公式，结合充要条件分析判断即可.

【详解】因为sin?cr+cos2a=1,

贝(|sina=cosa,等价于(sina-cosaJ=sin2a+cos2a-2sin«coscr=l-sin2a=0,

等价于sin2(z=l,所以“sina=cosc"是"sin2a=1”的充要条件.

故选：C.

15.已知集合4={尤,+2尤<3},8=卜忙+x<3},则“xeA”是“xeB”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求得集合48,可得结论.

【详解】由尤?+2x<3,可得一3<x<l,所以A={x|-3<x<l},

因为/(x)=2，+尤在R上单调递增，又/⑴=3,

由2'+x<3,可得x<l,所以8={x|x<l},所以AuB,

所以“xeA”是“尤e8”的充分不必要条件.

故选：A.

16.设x,yeR,贝『'冲+l=x+y”的充要条件为()

A.x,y至少有一个为1B.苍〉都为1

C.苍V都不为1D.x2+y2=2

【答案】A

【分析】将孙+i=x+y化为(x-i)(y-D=。求解，结合充分、必要性定义即可得答案.

【详解】由移+i=x+y,贝Mx-D(y-D=。，可得*=1或y=l,即见丁至少有一个为1,

所以“个+l=x+y”的充要条件为至少有一个为1,故只有A符合，其它选项均不符.

故选：A

17.“x>2024”是“白<^—”的()

x2024

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

10/14

件

【答案】A

【分析】由不等式的性质分析即可求得.

【详解】若x>2024,则由不等式的性质知，故充分性成立；

x2024

11112024-r

若上〈一，则上一三7<°，即々：<0，解得无<°或%>2024,故必要性不成立;

x2024x20242024.x

所以“x>2024”是“工<工”的充分不必要条件.

x2024

故选：A.

4

18.对于实数x,“XH2”是“x+—>4”成立的()

x

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】去绝对值符号后由分式不等式的解法求出即可；

44

【详解】不等式等价于x+—>4或x+—<-4,

XX

4丫2-4丫-|-4/7

当％+—>4时，即x讨十今>0,即2x)2>0,解得％>0且XW2；

XX

当尤+±<—4时，Bp-r+4%+4<0,即X(X+2)2<0,解得x<0且XH—2；

%X

所以不等式的解集为{X|XH0,且XH±2},

4

所以“"2”是"％+—〉4”成立的必要而不充分条件，

x

故选：B.

TT

19.已知xeR,贝『'x=—+Z兀(kwZ)”是“cosx=0”的()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分必要条件的定义判断.

兀71

【详解】cos%=0ox=2左兀±—=%=E+—,左£Z,

故选：C.

20.若向量a=（2x,l）,6=（元-则“a’b"是“x=!”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先证明充分性，然后构造反例说明条件不是必要的.

【详解】当x=|时，°/=2元（尤一1）+X2=2X：X[：-1]+]|：=0,所以a'b，故条件是必要的.

2

当x=0时，有XW],但此时=2x（x-l）+x2=0+0=0,故aJ_b，所以条件不是充分的.

故选：B.

21.已知平面向量4=（1,2）,6=（加,-1）,则“加<2”是“°与》的夹角为钝角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】若。与b的夹角为钝角，则°.6<0且。与5不共线，结合向量的坐标运算求得他得取值范围，再

根据包含关系分析充分、必要条件.

【详解】若。与b的夹角为钝角，则°力<0且&与方不共线，

[m-2<01

可得，解得机<2且加工彳，

[2mw-112

因为（-W卜1,21是（f2）的真子集，

所以“m<2”是“