中考数学总复习提升专项知识涉及二次函数的图形变化类问题与二次函数有关的创新类问题(2种命题预测+77种题型+专题训练+3种解题方法)含答案及解析

第三章函数重难点05涉及二次函数的图形变化类问题，与二次函数有关的创新类问题（2种命题预测+7种题型汇总+专题训练+3种解题方法）【题型汇总】类型一涉及二次函数的图形变化类问题题型01平移变换平移方式（n＞0)一般式顶点式平移口诀向左平移n个单位，顶点坐标(h-n，k)左加向右平移n个单位，顶点坐标(h+n，k)右减向上平移n个单位，顶点坐标(h，k+n)上加向下平移n个单位，顶点坐标(h，k-n)下减1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3图象的对称轴是直线x=−1，图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为1,0，直线y=x+n经过点B，且与y(1)填空：a=____；b=____；n=_____．(2)将该二次函数图象向右平移m个单位，使抛物线顶点M落在直线BC上，试求m的值．(3)在（2）的条件下，设Pt,0是x轴上的一动点，若△MBP外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求t2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移mm>0个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点(1)求抛物线C1(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线Q1:y=−x2+bx+c与x轴交于A

(1)请求出抛物线Q1(2)如图1，在y轴上有一点D0,−1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得题型02旋转变换5．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2(1)分别求抛物线y1和y(2)如图1，点F的坐标为−6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求(3)如图2，点H的坐标为0,−2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知抛物线C1经过原点，且与直线l交于A−2,(1)求抛物线C1的解析式和tan(2)若D是抛物线C1上的一个动点（在点A和点B之间），作DE⊥l于点E，DF∥y轴交l于点F，在点D运动的过程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面积最大？若存在，请求出此时点D的坐标及△DEF(3)将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再平移使其顶点在直线l上，且经过点A，得到抛物线C2，试问在抛物线C2上是否存在点P，使△ABP是以AB8．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2,−2，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线y=ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M(1)求抛物线y=ax(2)求证：点A，M，A1(3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．题型03翻折变换二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值.9．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=2510．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1:y=x2−2x−3的顶点为P．直线l过点M0,mm≥−3，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L

(1)当m=1时，求点D的坐标；(2)连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2(3)在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．

11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B6,0和点D4,−3与x轴另一个交点A．抛物线与y(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C'，点G的对应点G'，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q12．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点13．（2024·广东惠州·模拟预测）综合运用如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=−x2+4x+5交x轴于A，B两点(点A在点(1)直接写出A，B，C三点的坐标．(2)作直线x=t0<t<5，分别交x轴、线段BC、抛物线C1于D，E，F三点，连接CF．若△BDE与△CEF相似，求(3)如图2，过点C作CG∥x轴，交抛物线C1于点G，将抛物线C1在点G右下方的图象沿直线CG向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y=x+n与新的图象只有2个公共点时，请求出题型04对称变换变换方式变换后口诀关于x轴对称x不变，y变-y关于y轴对称y不变，x变-x关于原点对称x变-x，y变-y关于对称x变2x1-x，y变2y1-y14．（2023·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L:y=ax2+bx+6与x轴相交于A(−3,0)和B(−2,0)两点，与y轴相交于点C(1)求抛物线L的函数表达式．(2)若抛物线L'与抛物线L关于原点O对称，F是抛物线L'位于第四象限的点，过点F作FE⊥y轴于点E，连接FO．若△AOC与△EOF相似，求点15．（2024·江西吉安·三模）已知抛物线L:y=x2−4mxm≠0，直线x=m将抛物线L分成两部分，首先去掉其不含顶点的部分，然后作出抛物线剩余部分关于直线x=m的对称图形，得到的整个图形L'称为抛物线L（1）感知特例如图所示、当m=1时，抛物线L:y=x2−4mx上的点B，C，A，D，E分别关于直线x=m对称的点为B'，C'，A…BCADE……

…①补全表格；②在图中描出表中对称点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到图象记为L'③若双抛图形L'与直线y=t恰好有三个交点，则t的值为④若双抛图形L'的函数值随着x的增大而增大，则x的取值范围为探究问题（2）①若双抛图形L'与直线y=t恰好有三个交点，则t的值为；（用含m②若双拋图形L'的函数值随着x的增大而增大，直接写出x的取值范围；（用含m16．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：y=−x2+bx+c经过点A−3,−1，与(1)求抛物线的函数表达式；(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交AB于点D，求CDOD的最大值及此时点C(3)作抛物线F关于直线y=−1上一点的对称图象F'，抛物线F与F'只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线F'对称轴上一点，若以B，E，G，H17．（2024·陕西西安·二模）如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过A−1,0，B5,3(1)求该抛物线L的表达式；(2)抛物线L'与抛物线L关于直线BC对称，P是抛物线L的x轴上方且在对称轴左侧的一点，过点P作y轴的平行线交抛物线L'于点Q，点P、Q关于抛物线L的对称轴对称的点分别为M、N．试探究是否存在一点P，使得四边形PQNM为长宽之比是1:2的矩形？若存在，求出点类型二与二次函数有关的创新类问题题型01与二次函数有关的新定义问题【命题预测】新定义问题是数学考试中必考的题型,无论在哪个阶段,都会出现此类问题,但究其本质都是“新瓶装旧酒”“新瓶”就是新的定义,“旧酒”就是学过的知识,然后设计出具有针对性的考题来考查学生的知识迁移应用能力.18．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点Px1,y1，当点Qx2,y①点Q13,8，Q2②若直线y=x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为2,4③抛物线y=x2−④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．419．（2024·湖北武汉·模拟预测）我们定义一种新函数：形如y=ax2+bx+ca≠0,bA．当x=1时，函数的最大值是4B．函数值y随x的增大而增大，则x≥C．关于x的方程x2D．当直线y=x+m与该图象恰有三个公共点时，则m=120．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点0,1是函数y=x+1图象的“近轴点”．（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；①y=−x+3；②y=2x；③（2）若一次函数y=mx−3m图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．21．（2024·四川·中考真题）【定义与性质】如图，记二次函数y=ax−b2+c和y=−ax−p2定义：若抛物线C1的顶点Qp,q在抛物线C上，则称C1性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点Pb,c【理解与运用】（1）若二次函数y=−12x−22+m和y=−12【思考与探究】（2）设函数y=x2−2kx+4k+5①若函数y=−x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点x1,0，x2,0

22．（2024·黑龙江大庆·中考真题）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数”y=3x+1，其“倍值点”为−1，−2．下列说法不正确的序号为①函数y=2x+4是“倍值函数”；②函数y=8x的图象上的“倍值点”是2，③若关于x的函数y=m−1x2+mx+1④若关于x的函数y=x2+m−k+2x+n4−k2的图象上存在唯一的“倍值点”，且当23．（2023·江苏南通·中考真题）定义：平面直角坐标系xOy中，点Pa,b，点Qc,d，若c=ka，d=−kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点−4,6是点2,3的“(1)函数y=−4x的图象上是否存在点1,2的“k级变换点”?若存在，求出(2)点At,12t−2与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点(3)关于x的二次函数y=nx2−4nx−5nx≥0的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线24．（2022·湖南湘西·中考真题）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．

(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标．(2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2022·贵州遵义·中考真题）新定义：我们把抛物线y=ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y=bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y=2x(1)写出C2的解析式（用含a(2)若a>0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，①当MN=6a时，求点P的坐标；②当a−4≤x≤a−2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a26．（2021·江苏南通·中考真题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y=1（1）分别判断函数y=x+2,y=x（2）设函数y=3x(x>0),y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W227．（2020·四川遂宁·中考真题）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．28．（2024·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A−1,2，B−1,−1，C3,−1，D3,2，在点M11,1，M2(2)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接AC(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以AB为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．29．（2024·辽宁·模拟预测）定义：A（1−n，0），B（1+n，0）(1)如图1，当n=1时，一次函数y=kx+k是“特别函数”，求k的取值范围；(2)如图2，函数y=−x2+2x+(3)如图3，在2的条件下，函数y=−x2+2x+14与CB交于点D(4)当m−1≤x≤m+2时，函数y=−x2+2x+1430．（2024·湖南株洲·二模）定义：若直线y=−1与开口向下的抛物线有两个交点，则这两个交点之间的距离叫做这条抛物线的“反碟长”．如图，已知抛物线L1：y=−x2与直线y=−1相交于P(1)填空：抛物线L1的“反碟长”PQ=(2)抛物线L1随其顶点沿直线y=12①当抛物线L1的顶点平移到点6,3时，求抛物线L2的解析式以及抛物线②当抛物线L2的顶点A和抛物线L2与直线y=−1的两个交点B，C构成一个等边三角形时（点B在点C左右），求点31．（2024·湖南·模拟预测）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数y=x−1与x轴的交点坐标是1,0，所以函数y=x−1是“零点函数”，1是该函数的“零点”．(1)请完成以下两个小题：①下列函数中，是“零点函数”的为（

）A．y=2x+3

B．y=2x

②请写出下列函数的“零点”：一次函数y=2x+2的“零点”是，二次函数y=x2−2x+1(2)已知二次函y=ax2+2bx+3c是“零点函数”（a，b，c①若a=1,b+cb−c=16，函数的“零点”是x1,②若一次函数y=2x−2c与二次函数y=ax2+2b+1x+c相交于点Ax3,y3和题型02与二次函数有关的材料阅读问题【命题预测】阅读理解型问题以能力立意为目标，综合考核数学素养与数学应用能力。阅读理解型问题，可以是阅读某个(新)概念、(新)知识或某种(新)方法，理解概念、知识的本质或者是掌握新方法，然后利用概念、方法去解决问题；也可以是设计一个新的数学背景，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法与思想，然后在把握本质、理解实质的基础上作答。这类题目往往可以考察出学生的阅读能力、分析推理能力、数据(信息)处理能力、表达能力、知识迁移能力，综合性强，灵活度高。因此，近些年来，阅读理解型问题频频出现在全国各地的中考试题中。32．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2通过思考，小丽得到以下3种方法：方法1

方程x2−x−6=0的两根为x1=−2，x2=3，可得函数y=x2−x−6的图像与x方法2

不等式x2−x−6<0可变形为x2<x+6，问题转化为研究函数y=x2与y=x+6的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是方法3

当x=0时，不等式一定成立；当x>0时，不等式变为x−1<6x；当x<0时，不等式变为x−1>6x．问题转化为研究函数任务：(1)不等式x2(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；A.分类讨论

B.转化思想

C.特殊到一般

D.数形结合(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．33．（2022·湖南永州·中考真题）已知关于x的函数y=ax(1)若a=1，函数的图象经过点1,−4和点2,1，求该函数的表达式和最小值；(2)若a=1，b=−2，c=m+1时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围．(3)阅读下面材料：设a>0，函数图象与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B两点均在原点左侧，探究系数a，b，c应满足的条件，根据函数图像，思考以下三个方面：①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以Δ=②因为A，B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c>0；③上述两个条件还不能确保A，B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需−b综上所述，系数a，b，c应满足的条件可归纳为：a>0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y=ax2−2x+3的图象在直线x=1的右侧与x34．（2022·山西·中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（称为抛物线）与下面根据抛物线的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）和一元二次方程根的判别式△=（1）a>0时，抛物线开口向上．①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0．∵∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0．∵∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．∴一元二次方程ax③当△=b……（2）a<0时，抛物线开口向下．……任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为35．（2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考下面是小文同学撰写的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应任务．探索特殊系数一元二次方程的解通过学习我们知道：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b第一类，当a+b+c=0时，根据方程解的概念可知方程必有一个解为1，那么另一个解是多少呢？分析如下：∵a+b+c=0，∴b=−a−c．∴a=a=ax(x−1)−c(x−1)=(x−1)(ax−c)．∴方程ax2+bx+c=0∴x−1=0或ax−c=0．∴x1=1，∴当a+b+c=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x我还用求根公式法，证明了以上结论是正确的．第二类，当a−b+c=0时，同理可以求出这类方程的实数根．……任务：(1)阅读内容中，将方程ax2+bx+c=0变形为(x−1)(ax−c)=0A．配方法

B．公式法

C．因式分解法(2)请直接写出一个二次函数的表达式，使其函数图象经过点−1,0；(3)请直接写出当a−b+c=0时，一元二次方程ax(4)请写出材料中划线部分小文同学的证明过程．36．（2022·湖南株洲·中考真题）阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根x1、x2有如下关系：(1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点1,1，求c的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点Ax1,0、Bx2,0，其中x1<0<x2、x1>x2，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、①求关于x的一元二次方程ax②若NP=2BP，令T=1a237．（23-24九年级下·江西吉安·期中）阅读下列材料并完成问题．抛物线y=ax2（a>0）的图象如图（1）所示，我们把点A0,14a称为该抛物线的焦点，把抛物线上任意一点P到焦点的距离PA称为焦半径，把直线y=−14a[知识感悟]（1）抛物线y=18x2的焦点A的坐标是______，若抛物线上点P的坐标为4,2，则焦半径[问题探究]（2）对于抛物线y=ax2（a>0）上点P，试猜想焦半径PA与准距[知识应用]（3）如图（2），已知抛物线y=12x2的焦点为A，点P为抛物线上一点，连接PA，过点P作直线y=−12的垂线，垂足为B，直线y=−12与题型03与二次函数压轴题有关的新考法类问题38．（2024·广东东莞·三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和B【数学理解】(1)①已知点A−2,1，则d0,A=______，②函数y=−2x+40≤x≤2的图象如图①所示，B是图象上一点，(2)函数y=4xx>0的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点C(3)函数y=x2−5x+7(x≥0)的图象如图③所示，D是图象上一点，求d39．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描点：请将表格中的x,y描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax−ℎ2+k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB=m方案一：将二次函数y=ax−ℎ2+k平移，使得顶点C与原点O①此时点B'②将点B'坐标代入y=ax2中，解得a=________；（用含m方案二：设C点坐标为ℎ,k①此时点B的坐标为________；②将点B坐标代入y=ax−ℎ2+k中解得a=________；（用含m(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB=4，且AB∥x轴，二次函数C1:y1=2x+ℎ2+k和C2:y2=ax+ℎ240．（2024·辽宁·中考真题）已知y1是自变量x的函数，当y2=xy1时，称函数y2为函数y1的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数y1图象上任意一点A(m,n)，称点B(m,mn)为点A“关于y1的升幂点”，点B在函数y1的“升幂函数”y2的图象上．例如：函数y1=2x，当y2=xy1=x⋅2x=2x2时，则函数(1)求函数y1=1(2)如图1，点A在函数y1=3x(x>0)的图象上，点A“关于y1的升幂点”B在点(3)点A在函数y1=−x+4的图象上，点A“关于y1的升幂点”为点B，设点A①若点B与点A重合，求m的值；②若点B在点A的上方，过点B作x轴的平行线，与函数y1的“升幂函数”y2的图象相交于点C，以AB，BC为邻边构造矩形ABCD，设矩形ABCD的周长为y，求y关于③在②的条件下，当直线y=t1与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E，F，G，当直线y=t2与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M，N，若EF=MN41．（2024·湖南长沙·中考真题）已知四个不同的点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,(1)当A，B两点的坐标分别为−1,−4，3,4时，求代数式2024a+1012b+3(2)当A，B两点的坐标满足a2+2(y(3)当a>0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2(y1+y2)a+y12+y22=0，2a242．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=x2+2x+c（c是常数）经过点−2,−2．点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、−m，点C的横坐标为−5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求证：当m取不为零的任意实数时，tan∠CAB(3)作AC的垂直平分线交直线AB于点D，以AD为边、AC为对角线作菱形ADCE，连结DE．①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积；②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围．43．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为−2时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．(1)直接写出k，a，b的值．(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．Ⅱ．若关于x的方程ax2+bx+3−t=0（t为实数），在0<x<4Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为−m+1．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．44．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数y=−2x

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下x⋯−−2−−1−011325⋯y⋯−03m303230−⋯其中，m=________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；(2)点F是函数y=−2x2+4x图象上的一动点，点A2,0，点B(3)在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=−2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q1,0关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，45．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=x2−x+c与x轴交于点A−1,0和点B，与(1)求抛物线的解析式；(2)当0<x≤2时，求y=x(3)将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+

第三章函数重难点05涉及二次函数的图形变化类问题，与二次函数有关的创新类问题（2种命题预测+7种题型汇总+专题训练+3种解题方法）【题型汇总】类型一涉及二次函数的图形变化类问题题型01平移变换平移方式（n＞0)一般式顶点式平移口诀向左平移n个单位，顶点坐标(h-n，k)左加向右平移n个单位，顶点坐标(h+n，k)右减向上平移n个单位，顶点坐标(h，k+n)上加向下平移n个单位，顶点坐标(h，k-n)下减1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3图象的对称轴是直线x=−1，图象与x轴交于A，B两点，点B坐标为1,0，直线y=x+n经过点B，且与y(1)填空：a=____；b=____；n=_____．(2)将该二次函数图象向右平移m个单位，使抛物线顶点M落在直线BC上，试求m的值．(3)在（2）的条件下，设Pt,0是x轴上的一动点，若△MBP外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，试求t【答案】(1)−1；−2；−1(2)m=6(3)10−【分析】（1）将点B坐标代入直线y=x+n中求出n，根据二次函数的对称轴和经过点1,0得到方程组，解方程即可求出a、b；（2）将抛物线化为顶点式，平移后得到平移后的顶点坐标，再将顶点坐标代入直线求解y=x+n；（3）先求出平移后的解析式，设抛物线对称轴与x轴交于点N，根据题意易得到△MBP外接圆的圆心必在边BM的中垂线上，设该中垂线交抛物线于点E，F，进而求出点E，F的坐标，过点E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为K，Q，得到这两点的横坐标，进而求出P1和P2的横坐标，即可求出【详解】（1）解：∵点B坐标为1,0，直线y=x+n经过点B，∴0=1+n，∴n=1．∵二次函数y=ax2+bx+3图象的对称轴是直线x=−1，B∴−b2a=−1联立组成方程组为b=2aa+b+3=0解得a=−1b=−2故答案为：−1；−2；−1．（2）解：由题意知：抛物线解析式为y=−x2−2x+3将y=−(x+1)2+4的图象向右平移m其顶点坐标为M(m−1,4)．∵顶点M恰好落在直线y=x−1上，∴4=m−1−1，∴m=6．（3）解：由题意知：平移后的抛物线解析式为y=−(x−5)2+4设抛物线对称轴与x轴交于点N．∵BN=NM=4，∴△BNM为等腰直角三角形．∵P点在x轴上，则△MBP外接圆的圆心必在边BM的中垂线上．设该中垂线交抛物线于点E，F．由M(5,4),B(1,0)可知线段MB的中点坐标为(3,2)，N(5,0)，故可求得该中垂线解析式为yEN∴解方程组y=−解得：x1.2即E，F两点的横坐标分别为11−17过点E，F分别作x轴的垂线，垂足分别为K，Q，则K，Q两点的横坐标分别为11−17∴KB=11−∴P从而P1点的横坐标为10−同理QB=11+∴P从而P2点的横坐标为10+∴t的取值范围是10−17【点晴】本题主要考查了二次函数的综合，二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，二次函数平移规律，二次函数与一次函数的交点，理解相关知识是解答关键．2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移mm>0个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S【答案】(1)y=−0.1x(2)10(3)2或4；【分析】（1）根据题意得到C(0,1)，A(2,0.6)，B(−2,0.6)，设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)（2）分别求出AO，BO所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到S1，表示出新抛物线找到交点得到S【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ)C(0,1)，A(2,0.6)，B(−2,0.6)，∴ℎ=0，k=1，把点A坐标代入所设解析式中得：4a+1=0.6，解得：a=−0.1，∴y=−0.1x（2）解：设AO的解析式为：y=k1x，BO分别将A(2,0.6)，B(−2,0.6)代入y=k2k1=0.6解得：k1=0.3，∴AO的解析式为：y=0.3x，BO的解析式为：y=−0.3x，联立直线解析式与抛物线得：0.3x=−0.1x解得x1同理，解−0.3x=−0.1x2+1∴F(−5,−1.5)，E(5,−1.5)，∴E，F两点之间的距离为：5−(−5)=10；（3）解：当y=0时，−0.1x解得：x=±10∴S1∵抛物线向右平移mm>0∴y=−0.1(x−m)当x=0时，y=−0.1m当y=0时，−0.1(x−m)2+1=0∴S2∵S2∴35解得：m1=2，m2=−2（不符合题意舍去），综上所述：m等于2或4；【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及平移的规律：左加右减，上加下减．3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线C1:y=ax2+43x−4的图象经过点(1)求抛物线C1(2)将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P【答案】(1)y=(2)C2:y=53x−(3)存在，点P的坐标为：2,2或−1,3【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键．（1）将点D的坐标代入抛物线表达式y=ax（2）由题意得：C2:y=53x−12+（3）分∠BAP为直角、∠DBP为直角、∠HPD为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标．【详解】（1）解：将点D的坐标代入抛物线表达式y=ax2+43则抛物线的表达式为：y=5（2）解：由题意得：C2当x=1时，y=5故点D在抛物线C2（3）解：存在，理由如下：①当∠BAP为直角时，如图1，过点D作DE⊥BD且DE=BE，则△BDE为等腰直角三角形，∵∠BDG+∠EDH=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∴∠BDG=∠DEH，∵∠DGB=∠EHD=90°，∴△DGB≌△EHDAAS∴DH=BG=1，EH=GD=1+2=3，∴点E2,2当x=2时，y=53x−35∴点P即为点E2,2②当∠DBP为直角时，如图2，同理可得：△BGE≌△DHBAAS∴DH=3=BG，BH=1=GE，∴点E−1,3当x=−1∴点E在抛物线C2∴点P即为点E−1,3③当∠HPD为直角时，如图3，设点Ex,y同理可得：△EHB≌△DGEAAS∴EH=x+2=GD=y+1且BH=y=GE=1−x，解得：x=0且y=1，∴点E0,1当x=0时，y=5即点E不在抛物线C2综上，点P的坐标为：2,2或−1,3．4．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线Q1:y=−x2+bx+c与x轴交于A

(1)请求出抛物线Q1(2)如图1，在y轴上有一点D0,−1，点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E,F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点(3)如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得【答案】(1)y=−(2)E−2,3；(3)点P的坐标为(1,0)或(−2,3)【分析】（1）把A−3，0，C（2）假设存在这样的正方形，过点E作ER⊥x于点R，过点F作FI⊥y轴于点I，证明△EAR≅△AOD,△FID≅△DOA，可得ER=3,AR=1,FI=1,IO=2,故可得E−2,3，（3）先求得抛物线Q2的解析式为y=−(x+1−2)2+4=−(x−1)2+4，得出K(1,4)，H(3,0)，运用待定系数法可得直线BC的解析式为y=−x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P【详解】（1）∵抛物线Q1:y=−x2+bx+c与x轴交于A∴把A−3，0−9−3b+c=0解得，b=−2∴解析式为：y=−x（2）假设存在这样的正方形DAEF，如图，过点E作ER⊥x于点R，过点F作FI⊥y轴于点I，

∴∠AER+∠EAR=90°,∵四边形DAEF是正方形，∴AE=AD,∠EAD=90°,∴∠EAR+∠DAR=90°,∴∠AER=∠DAO,又∠ERA=∠AOD=90°,∴△AER≅△DAO∴AR=DO,ER=AO,∵A∴OA=3,OD=1,∴AR=1,ER=3,∴OR=OA−AR=3−1=2,∴E−2,3同理可证明：△FID≅△DOA∴FI=DO=1,DI=AO=3,∴IO=DI−DO=3−1=2,∴F1,2（3）解：抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK=∠CHK∵y=−x∴抛物线Q1的顶点坐标为(−1,4)∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q∴抛物线Q2的解析式为y=−∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H∴K(1,4)，H(3,0)，设直线BC的解析式为y=kx+n，把C(0,3)，H(3,0)代入得n=33k+n=0解得：k=−1n=3∴直线BC的解析式为y=−x+3，过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，设KP交直线BC于M或N，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK则T(0,4)，M(m,−m+3)，N(t,−t+3)，

∴KT=TC=1，∠KTC=90°，∴△CKT是等腰直角三角形，∴∠KCT=45°，CK=2∵OH=OC=3，∠COH=90°，∴△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO=45°，CH=2∴∠KCH=180°−∠KCT−∠HCO=90°，∴tan∵∠CPK=∠CHK，∴tan∵tan∴∠BCO=∠CHK，∵BK∥∴∠CBK=∠BCO，∴∠CBK=∠CHK，即点P与点B重合时，∠CPK=∠CHK，∴P∵SK=1，PS=3，∴tan∴∠CPK=∠CHK，∵点P与点C关于直线x=∴P(−2,3)；综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK=∠CHK，点P的坐标为(1,0)或(−2,3)【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．题型02旋转变换5．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−(x−1)2+4(2)①m=4，②存在符合条件的点Q，其坐标为(−4,−21)或(2,3)或(12,−117)【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为y=a(x−1)2+4（2）①过点A(1,4)作AE⊥x轴于点E，根据∠BAD=∠BEA=90°，又因为∠ABE=∠DBA，证明出△BAE∽△BDA，从而得出AB2=BE⋅BD，将BD=2(m+1)，BE=2，AE=4②根据上问可以得到C7,−4，点M的横坐标为4，B−1,0，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，所以分为三种情况讨论：1）当以BC为边时，存在平行四边形为BCMQ；2）当以BC为边时，存在平行四边形为BCQM；3）当以BC为对角线时，存在平行四边形为【详解】（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，∴设二次函数的表达式为y=a(x−1)又∵B(−1,0)，∴0=a(−1−1)解得：a=−1，∴y=−(x−1)2+4（2）①∵点P在x轴正半轴上，∴m>0，∴BP=m+1，由旋转可得：BD=2BP，∴BD=2(m+1)，过点A(1,4)作AE⊥x轴于点E，∴BE=2，AE=4，在Rt△ABE中，A当四边形ABCD为矩形时，AD⊥AB，∴∠BAD=∠BEA=90°，又∠ABE=∠DBA，∴△BAE∽△BDA，∴AB∴4(m+1)=20，解得m=4；②由题可得点A1,4与点C关于点P∴C7,−4∵点M在直线x=4上，∴点M的横坐标为4，存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，1）、当以BC为边时，平行四边形为BCMQ，点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q−4,y1解得：y1∴Q(−4,−21)，2）、当以BC为边时，平行四边形为BCQM，点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q12,y2解得：y2∴Q(12,−117)，3）、当以BC为对角线时，点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，∴Q2,y3得：y3∴Q(2,3)，综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为(−4,−21)或(2,3)或(12,−117)．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC=OA，AB=4，对称轴为直线l1:x=−1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2(1)分别求抛物线y1和y(2)如图1，点F的坐标为−6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN．求(3)如图2，点H的坐标为0,−2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH=2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P【答案】(1)y1=−(2)2+3(3)存在，P3,0或【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线y1的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线y2的二次项系数a为原来的相反数，顶点坐标与抛物线（2）将点F向右平移2个单位至F'，则FF'=2，F'−4,0，过点D作直线l2的对称点为D'，连接F'（3）当点P在直线l2右侧抛物线上时，可得∠1=∠2，作H关于直线l2的对称点H'，则点H'在直线PE上，可求直线PE的表达式为y=2x−6，联立y=2x−6y2=x2−2x−3，解得：x=3或x=1（舍），故P3,0；当点P在直线l2左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N，作HN的垂直平分线交HE于点Q，交y轴于点M，过点E作EK⊥y轴于点K，则QM∥EK，可得QH=QN，可证明出NQ=NE，由QM∥EK，得△HMQ∽△HKE，设HM=2m,MQ=m，则MN=HM=2m，NK=2−4m，在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得m2+2m2=【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G，由题意得AG=BG=2，∵对称轴为直线x=−1，∴B1,0∴OC=OA=3，∴C0,3将A、B、C分别代入y1得：a+b+c=09a−3b+c=0解得：a=−1b=−2∴y1∴y1=−∵抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y∴抛物线y2的a=1，顶点为1,−4∴y2的表达式为：y2（2）解：将点F向右平移2个单位至F'，则FF'=2，F'−4,0，过点D作直线∴ND=ND∵y2∴直线l2为直线x=1∵MN∥x轴，∴MN=1−−1对于抛物线y2=x2−2x−3∴D0,−3∵点D与点D'关于直线x=1∴点D'∵MN∥x轴，FF∴四边形FF∴MF=NF∴FM+MN+DN=NF当点F'而F'∴FM+MN+DN的最小值为2+35（3）解：当点P在直线l2∵抛物线y2∴E∵l2∴∠DHE=∠1，∵∠PEH=2∠DHE，∴∠PEH=2∠1=∠1+∠2，∴∠1=∠2，作H关于直线l2的对称点H'，则点H'∵点H的坐标为0,−2，直线l2：x=1∴H'设直线PE的表达式为：y=kx+bk≠0代入H'2,−2，得：2k+b=−2k+b=−4解得：k=2b=−6∴直线PE的表达式为y=2x−6，联立y=2x−6y2=解得：x=3或x=1（舍），∴P3,0②当点P在直线l2左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N，作HN的垂直平分线交HE于点Q，交y轴于点M，过点E作EK⊥y轴于点K，则QM∥EK∵QM垂直平分HN，∴QH=QN，∴∠QHN=∠QNH，∴∠NQE=2∠NHE，∵∠PEH=2∠DHE∴∠NQE=∠PEH，∴NQ=NE，由点H得：EK=1,KH=2，∵QM∥EK，∴△HMQ∽△HKE，∴HMHK∴HM2设HM=2m,MQ=m，∴MN=HM=2m，NK=2−4m，在Rt△QMN和Rt△ENK中，由勾股定理得∴m2解得：m=511或∴NK=2−20∴ON=4−2∴N0,−设直线PE表达式为：y=a代入点N，E，得：a1解得：a∴直线PE表达式为：y=−2联立y=−2得：−2整理得：11解得：x=911或∴P9综上所述，P3,0或P【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．7．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知抛物线C1经过原点，且与直线l交于A−2,(1)求抛物线C1的解析式和tan(2)若D是抛物线C1上的一个动点（在点A和点B之间），作DE⊥l于点E，DF∥y轴交l于点F，在点D运动的过程中，是否存在某一位置，使得△DEF的面积最大？若存在，请求出此时点D的坐标及△DEF(3)将抛物线C1绕顶点旋转180°后，再平移使其顶点在直线l上，且经过点A，得到抛物线C2，试问在抛物线C2上是否存在点P，使△ABP是以AB【答案】(1)y=x2(2)存在，D−1(3)P1,−3或【分析】本题考查了二次函数的综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是学会分类讨论，注意不要漏解，与方程相结合，利用相似三角形解决最值问题；（1）由待定系数法分别求出抛物线C1的抛物线和直线l的解析式，可求点N坐标，即可求∠BAO（2）由题意可以证明△AON∽△DEF，可得S△DEFS△AON=DFAN2（3）由题意先求出C2解析式y=−x+12+1或【详解】（1）解：设抛物线C1的解析式为：y=a∵抛物线C1经过原点，且与直线l交于A−2,0，∴c=0解得：a=1b=2∴抛物线C1的解析式为：y=设直线l解析式为：y=mx+n，∴3=m+n解得：m=1n=2∴直线l解析式为：y=x+2，如图，设直线与y轴的交点为N，当x=0时，y=2，∴点N的坐标0,2，且点A−2,0∴ON=OA=2，∴∠BAO的正切值=ON（2）∵ON=OA=2，∴AN=22∴S△ANO∵DF∥y轴，∴DF∥ON，∴∠ANO=∠EFD，且∠AON=∠FED=90°，∴△AON∽△DEF，∴S∴S∴当DF最大时，△DEF的面积最大，设点Da,a2∴DF=a+2−a∴当a=−12时，DF的最大值为∴点D−△DEF的面积的最大值为：2（3）∵抛物线C1的解析式为：y=∴设抛物线C2解析式为：y=−∴顶点坐标t,ℎ，∵抛物线C2顶点在直线l上，且经过点A∴ℎ=t+2解得：t=−1ℎ=1或t=−2∴抛物线C2的解析式为：y=−x+12当抛物线C2解析式为y=−∵△ABP是以AB为直角边的直角三角形，∴AP⊥AB或BP⊥AB，∵直线AB解析式为：y=x+2，∴直线AP解析式为：y=−x−2，直线BP解析式为：y=−x+4，若点P在抛物线C2上，点P在直线AP∴y=−x−2∴解得：x=−2y=0（不合题意，舍去）x=1∴点P1,−3若点P在抛物线C2上，点P在直线BP∴y=−x+4∴x∵Δ<∴方程无解，当抛物线C2解析式为：y=−∵△ABP是以AB为直角边的直角三角形，∴AP⊥AB或BP⊥AB，∵直线AB解析式为：y=x+2，∴直线AP解析式为：y=−x−2，直线BP解析式为：y=−x+4，若点P在抛物线C2上，点P在直线AP∴y=−x−2解得：x=−2y=0（不合题意，舍去）x=−1∴点P坐标−1,−1，若点P在抛物线C2上，点P在直线BP∴y=−x+4∴x∵Δ<∴方程无解，综上所述：点P1,−3或8．（2024·山东济宁·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M2,−2，与x轴的交点为A和B（其中点A与原点重合），将抛物线y=ax2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M(1)求抛物线y=ax(2)求证：点A，M，A1(3)若点P是原抛物线上的一动点，点Q是旋转后的图形的对称轴上一点，E为线段AM的中点，是否存在点P，使得以P，Q，E，B为顶点的四边形是平行四边形；若存在请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)见解析(3)存在，P12+6,1或P【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，旋转变换，平行四边形等知识：（1）设抛物线的解析式为y=ax−22−2，把A（2）根据旋转的性质求出A14,−4，求出直线AM的解析式，代入A1的横坐标，求出y=−4（3）根据中点坐标公式求出E1，−1，把原抛物线的对称轴直线x=2绕B4,0逆时针方向旋转90°得直线【详解】（1）解：由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M把A0,0代入得：4a−2=0解得a=1∴y=1∴抛物线的解析式为y=1（2）解：∵M2,−2∴抛物线的对称轴为直线x=2,∵A0,0∴B4,0∴AB=4,由旋转得，BA1=AB=4,B∴A1设直线AM的解析式为y=kx，把M2,−2代入得，∴k=−1,∴直线AM的解析式为y=−x，当x=4时，y=−4，∴点A1在直线y=−x∴A,M,A（3）解：存在，理由如下：∵A0,0，M∴E0+22,原抛物线的对称轴为直线x=2，绕B4,0逆时针方向旋转90°得直线y=−2设Pm,12m2①若PQ,BE为对角线时，则PQ,BE的中点重合，∴解得，m=2+∴点P的坐标为2+6②若PB,QE为对角线时，∴m+4=n+1此方程组无解；③若PE,QB为对角线时，∴m+1=4+n解得，m=2+∴点P的坐标为2+2,−1，综上，点P的坐标为P12+6,1或P题型03翻折变换二次函数的翻转问题的解题思路：①根据二次函数上特殊点的坐标值求得二次函数的表达式；②根据翻转后抛物线与原抛物线的图像关系，确定新抛物线的表达式；③在直角坐标系中画出原抛物线及翻转后抛物线的简易图，根据图像来判断题目中需要求解的量的各种可能性；④根据图像及相关函数表达式进行计算，求得题目中需要求解的值.9．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．

(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过点F作FG⊥CH于点G，若DFHG=25【答案】(1)y=(2)1或3(3)4,8【详解】（1）设抛物线的解析式为y=ax∵C(0,−4)，∴c=−4，y=ax把A(−4,0)，B(2,0)代入y=ax2+bx+c解得：a=1∴抛物线的解析式为y=（2）∵直线表达式y=kx+6，∴直线经过定点0,6，∴将过点0,6的直线旋转观察和新图象的公共点情况∵把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的解析式为y=1∴新图象表达式为：−4<x<2时，y=−12x2−x+4；x≤−4如下图当直线y=kx+6与翻折上去的部分抛物线相切时，和新图象有三个公共点，

联立y=−12x整理得：xΔ=041+k41+k1+k=±2，k=±2−1，k1k2=−2−1=−3时，如下图所示，经过点

不符合题意，故舍去，如下图，当直线y=kx+6经过点A时，和新图象有三个公共点，

把A(−4,0)代入y=kx+6，得：−4k+6=0，解得：k=3综上所述，当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，k的值为1或3（3）∵F在抛物线上，∴设F坐标为a,1∵OB=2，OC=4，FG⊥CH，∴tantan∠FHG=2HG:FG=1:2，1∴HG:FG:FH=1:2:5∴DF=a，DO=1DC=DO+OC=1DH=1FH=DH−DF=1HG=5∵DF∴a21a2aa−4a1a2=4，代入∴点F的坐标为4,8【点睛】本题考查了二次函数综合、翻折、交点个数问题，结合一元二次方程、三角函数解直角三角形知识点，熟练掌握、综合运用知识点，数形结合是解题的关键．10．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1:y=x2−2x−3的顶点为P．直线l过点M0,mm≥−3，且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L

(1)当m=1时，求点D的坐标；(2)连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2(3)在（2）的条件下，若△BCD的面积为3,E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF=CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．【答案】(1)D(2)y=−x2(3)10−【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标P1,−4（2）由题意得，L1的顶点P1,−4与L2的顶点D关于直线y=m对称，D1,2m+4，则抛物线L2:y=−x−12+2m+4=−x2+2x+2m+3．进而得出可得C0,2m+3，①当∠BCD=90°时，如图1，过D作DN⊥y轴，垂足为N．求得Bm+3,m，代入解析式得出m=0，求得L2:y=−x2+2x+3．②当∠BDC（3）由（2）知，当∠BDC=90°时，m=−3，此时△BCD的面积为1，不合题意舍去．当∠BCD=90°时，m=0，此时△BCD的面积为3，符合题意．由题意可求得EF=FG=CD=2．取EF的中点Q，在Rt△CEF中可求得CQ=12EF=22．在Rt△FGQ中可求得【详解】（1）∵y=x∴抛物线L1的顶点坐标P∵m=1，点P和点D关于直线y=1对称．∴D1,6（2）由题意得，L1的顶点P1,−4与L2的顶点D∴D1,2m+4，抛物线L∴当x=0时，可得C0,2m+3①当∠BCD=90°时，如图1，过D作DN⊥y轴，垂足为N．∵D1,2m+4∴N0,2m+4∵C∴DN=NC=1．∴∠DCN=45°．∵∠BCD=90°，∴∠BCM=45°．∵直线l∥∴∠BMC=90°．∴∠CBM=∠BCM=45°,BM=CM．∵m≥−3，∴BM=CM=2m+3∴Bm+3,m又∵点B在y=∴m=m+3解得m=0或m=−3．∵当m=−3时，可得B0,−3,C0,−3，此时B、C将m=0代入L2得L2

②当∠BDC=90°时，如图2，过B作BT⊥ND，交ND的延长线于点同理可得BT=DT．∵D1,2m+4∴DT=BT=2m+4∵DN=1，∴NT=DN+DT=1+m+4∴Bm+5,m又∵点B在y=∴m=m+52−2m+5−3∵m≥−3，∴m=−3．此时B2,−3将m=−3代入L2:y=−x③当∠DBC=90°时，此情况不存在．综上，L2所对应的函数表达式为y=−x2（3）如图3，由（2）知，当∠BDC=90°时，此时B则BC=2，CD=BD=2，则△BCD当∠BCD=90°时，m=0，则B3,0∴BC=32+∴CD=2依题意，四边形EFGH是正方形，∴EF=FG=CD=2取EF的中点Q，在Rt△CEF中可求得CQ=在Rt△FGQ中可求得GQ=∴当Q,C,G三点共线时，CG取最小值，最小值为10−【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．11．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B6,0和点D4,−3与x轴另一个交点A．抛物线与y(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，当S1(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C'，点G的对应点G'，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q【答案】(1)①y=14(2)（2，-4）或（0，-3）(3)（1+17，−5+172【分析】（1）①利用待定系数解答，即可求解；②利用待定系数解答，即可求解；（2）过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，设点Em,14m2−m−3，则点Gm,−（3）先求出向上翻折部分的图象解析式为y=−14x−22+4，可得向上翻折部分平移后的函数解析式为y=−14x−22+4−n，平移后抛物线剩下部分的解析式为y=14x−22−4−n，分别求出直线BC和直线C'G'的解析式为，可得BC∥【详解】（1）解：①把点B6,0和点D36a+6b−3=016a+4b−3=−3，解得：a=∴抛物线解析式为y=1②令y=0，则14解得：x1∴点A（-2，0），设直线AD的解析式为y=kx+b∴把点D4,−3和点A4k+b1=−3∴直线AD的解析式为y=−1（2）解：如图，过点E作EG⊥x轴交AD于点G，过点B作BH⊥x轴交AD于点H，当x=6时，y=−1∴点H（6，-4），即BH=4，设点Em,14∴EG=−∵△BDF的面积记为S1，△DEF的面积记为S2，且∴BF=2EF，∵EG⊥x，BH⊥x轴，∴△EFG∽△BFH，∴EGBH∴−14m∴点E的坐标为（2，-4）或（0，-3）；（3）解：y=1∴点G的坐标为（2，-4），当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），∴点C'∴向上翻折部分的图象解析式为y=−1∴向上翻折部分平移后的函数解析式为y=−14x−2设直线BC的解析式为y=k把点B（6，0），C（0，-3）代入得：6k2+∴直线BC的解析式为y=1同理直线C'G'∴BC∥C′G′，设点P的坐标为s,1∵点C'∴点C′向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点G′，∵四边形C'∴点Qs+2,当点P，Q均在向上翻折部分平移后的图象上时，−14s−2当点P在向上翻折部分平移后的图象上，点Q在平移后抛物线剩下部分的图象上时，−14s−22+4−n=当点P在平移后抛物线剩下部分的图象上，点Q在向上翻折部分平移后的图象上时，14s−22−4−n=1综上所述，点P的坐标为综上所述，点P的坐标为（1+17，−5+172）或（1﹣13，【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．12．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，已知抛物线y=x2−x−2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y(1)写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；(2)若直线y=−x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；(3)P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点【答案】(1)y=−(2)b=2或b=3(3)存在，1,0或1+172【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；（2）联立方程组，由判别式△=0求得b值，结合图象即可求解；（3）根据相似三角形的性质分∠CNM=90°和∠NCM=90°讨论求解即可．【详解】（1）解：由翻折可知：C0,2令x2−x−2=0，解得：x1∴A−1,0，B设图象W的解析式为y=ax+1x−2，代入C0,2∴对应函数关系式为y=−x+1x−2=−x（2）解：联立方程组y=−x+by=−整理，得：x2由△=4-4（b-2）=0得：b=3，此时方程有两个相等的实数根，由图象可知，当b=2或b=3时，直线y=−x+b与图象W有三个交点；（3）解：存在．如图1，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，N与C关于直线x=∴点N的横坐标为1，∴P1,0如图2，当CN∥OB时，△OBC∽△NMC，此时，由x2−x−2=2，解得x1∴N的横坐标为1+17所以P1+如图3，当∠NCM=90°时，△OBC∽△CMN，此时，直线CN的解析式为y=x+2，联立方程组：y=x+2y=x2−x−2，解得∴N的横坐标为1+5所以P1+因此，综上所述：P点坐标为1,0或1+172,0【点睛】本题