2025新高考数学：数列新定义与综合应用（学生版）

3新右考裁考，裁科新更义易徐合点用

-----------------------------------------------------OLH1O-----------------------------------------------------

题型一1

题型二3

题型三7

题型四8

题型五11

题型六18

题型七26

题型八35

好题训练............................................................................40

高考真题训练........................................................................69

题型一

1.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列

数：1,1,2,3,5,8,…，该数列的特点是:从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的

一列数所组成的数列｛册｝称为“斐波那契数列"，则—+:+虑+…+*24是斐波那契数列中的第

02024

______项.

2.（2024•贵州遵义•模拟预测）（多选）数列｛冗｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列，又称黄

金分割该数列,从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即同+2=冗+i+Fn（n€N*），则下列选项正确

的是（）

=

A.2*io55B.用+用+耳+片++月3=月4

C.用+网+或+国+……+&24=琢25D.皆+琢+M2+理+……+琛=及.咒+1

3.（23-24高三上•河北廊坊•期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,

8,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即an+2=册+i+册⑺6N*）,故此数列称为斐波那契数

歹U,又称为“兔子数列”，其通项公式为a”=,设乃是不等式

Iog2［（l+〃K）”—（1—0出＞n+6的正整数解，则"的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

4.（2024•河南•模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术

领域有着广泛应用，把斐波那契数列｛尺｝（E=鸟=L豆+2=同+冗+i）中的奇数换成0，偶数换成1可得

到0—1数列｛%｝，若数列｛册｝的前九项和为S”,且S*=100，则k的值可能是（）

A.100B.201C.302D.399•••

5.(24-25高二上•山东青岛•阶段练习)在数学上，斐波纳契数列｛册｝定义为：&=1,a?=1,册+2=an+

an+1,斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据an+2=an+a„+1可得册=an+2—an+1，所以电+

H--\-an=(a3—«2)+(a4—«3)H-----F(a„+2—a„+i)=册+2—a2=册+2—1,类比这一方法，可得出+谖+…

硫=()

A.714B.1870C.4895D.4896

6.(2024•山东•模拟预测)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列

数：1,1,2,3,5,8,13,21,….该数列的特点如下:前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它

前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用F(n)(nGN*)表示斐波那契

数列的第n项,则数列仍⑺｝满足:F(l)=F(2)=1,F(n+2)=F(n+1)+F(n).则下列说法正确的

是()

A.F(10)=34

B.3尸(n)=F(n—2)+尸(九+2)(n>3)

C.F⑴+F⑵+…+1(2023)=斤(2025)-1

D.[F(l)]2+[F(2)]2+-+[F(2023)]2=F(2023)-F(2024)

题型二差数列及阶差数列

7.(23-24高二上•云南昆明・期末)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了

一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16从第二

项起,每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数

歹U.现有二阶等差数列｛飙｝,其前六项分别为1,3,6,10,15,21,则色当的最小值为

n+1---------

8.(23—24高三下•重庆•阶段练习)定义:满足*：—=g(q为常数，"CN*)的数列｛册｝称为二阶等

比数列，q为二阶公比.已知二阶等比数列卜)的二阶公比为方，电=1«2=方,则使得册>2024成立

的最小正整数九为()

A.7B.8C.9D.10

9.(2024.全国.模拟预测)给定数列｛册｝,称｛an—为｛册｝的差数列(或一阶差数列)，称数列｛a.—

小｝的差数列为｛册｝的二阶差数列……

(1)求｛2叶的二阶差数列；

(2)用含小的式子表示｛2叶的m阶差数列，并求其前几项和.

•••

10.（2024・四川自贡・一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公

式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次

差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前

7项分别为3,7,13,23,39,63,97,则该数列的第8项（）

A.131B.139C.141D.143

11.（2024.四川南充.三模）对于数列｛%｝，规定^an为数列｛册｝的一阶差分，其中△飙=册+i—%（九CN*）,规

定为数歹!J｛册｝的k阶差分，其中△%“="-%”+】一A-anSeN*）.若an=gT『T），则

△2»6=（）

A.7B.9C.11D.13

12.（2024•吉林长春•模拟预测）对于数列｛时｝,称｛AaJ为数列｛aj的一阶差分数列，其中Aan=an+1-

an（nEN*）.对正整数k（k>2）,称｛△忆/为数歹U｛an｝的k阶差分数列，其中=^an+1

_Lc1n已知数列｛%｝的首项©=1,且｛AM+I—七一2"｝为｛a„｝的二阶差分数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）设勾=，稼_4+2）,｛4｝为数列｛%｝的一阶差分数列，对VnGN*,是否都有之立&=源成立？

并说明理由；（其中G为组合数）

⑶对于（2）中的数列｛g｝,令%红苧2，其中。Vt<2.证明：f%V2"-2r.

•••

题型三

13.（23-24高三上•四川绵阳•阶段练习）若数列｛cj满足cn+1=或则称｛cj为“平方递推数列”.已知数

列｛册｝是“平方递推数列”，且电>0,电/1,则（）

A.｛Igaj是等差数列B.｛lg@+i—IgaJ■是等差数列

C.｛册册+1｝是“平方递推数列”D.｛%+1+%｝是“平方递推数列”

14.（2024.海南.模拟预测）（多选）已知数列｛4｝满足:①IZ；②ViCN*,i&n,a,+i=取，kCN*,则称

数列｛册｝为“类平方数列”，若数列｛6„｝满足:①数列｛bn｝不是“类平方数列”;②将数列｛bn｝中的项调整

一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列｛0｝为“变换类平方数列”，则（）

A.已知数列an=n（l<n<7,n6N*）,则数列｛册｝为“类平方数列”

B.已知数列｛册｝为：3,5,6,H,则数列｛aj为“变换类平方数列”

C.已知数列｛册｝的前八顶和为a3+箕2+9,则数列｛%｝为“类平方数列”

D.已知a“=sin等，n=l,2,3,4.则数列｛时｝为“变换类平方数列”

题型四

15.（2024•江西新余•模拟预测）我们规定:若数列｛除｝为递增数列且｛4｝也为递增数列，则｛鼠｝为“X-数

歹

/Q\n3

2

（1）已知：an=,bn=log3n,cn=n，数列｛aj,｛bj,｛cj中其中只有一个X—数列，它是：；请从另

外两个数列中任选一个证明其不是X-数列.

（2）已知数列｛斯｝满足：n（an+1—an）=an+a19Qi=l,Sh为｛%｝的前n项和，试求｛an｝的通项并判断数

列｛点｝是否为X—数列并证之.

（3）已知数列｛册｝、｛图｝均为X—数列，且的>0,仇>0,求证:数列G,=ajb”也为X—数列.

•••

16.（24-25高三上•河南•开学考试）若数列｛册｝的相邻两项或几项之间的关系由函数/Q）确定，则称/Q）

为｛an｝的递归函数.设｛册｝的递归函数为/Q）=—砂十力.

⑴若0VQIVLan+i=/（an）（nEN*）,证明:｛an｝为递减数列；

⑵若M+i=/（M）+5。九+境,且电=~|~,｛an｝的前n项和记为Sz

①求s“；

②我们称gQ）=同为取整函数，亦称高斯函数,它表示不超过C的最大整数，例如[1.2]=1,[-1.3]=

_若丁四—2024

2=y—，求

■右Zg(Z).

nhs-ai+li=l

17.（2024.广东深圳.模拟预测）已知｛册｝是各项均为正整数的无穷递增数歹U，对于kCN*,定义集合瓦=

｛iCN*a〈A;｝,设d为集合瓦中的元素个数，特别规定:若瓦=0时，既=0.

⑴若册=2",写出仇，匕2及的值；

（2）若数列｛bn｝是等差数歹U,求数列｛an｝的通项公式；

（3）设集合S=｛s|s=n+a„,n€A/-*｝,T=｛玳=71+0,?167\/'*｝,求证：SUT=N*且SClT=0.

•••

题型五数列的凹凸性

18.（2024.安徽池州.模拟预测）定义:若对V%CN*,R>2,耿_】+加+iW2aA恒成立，则称数列｛册｝为“上凸数

列”.

⑴若册=商二I,判断｛诙｝是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是,请说明理由.

⑵若｛an｝为"上凸数列"，则当m>ri+2（m,7iCN*）时，与+a”W0mT+an+1.

（i）若数列S”为｛aj的前几项和,证明：S”>葭4+册）；

.____

（ii）对于任意正整数序列/i,g,g,…m，…，为（n为常数且n>2,nEN*）,若媛—1>

i=l

-A\—1恒成立，求的最小值.

19.（24-25高三上・安徽亳州•开学考试）已知数列｛an｝,对于任意的八CN*,都有册+an+2>2an+1,则称数

列｛aj为“凹数列”.

（1）判断数列飙=2”是否为“凹数列”，请说明理由；

（2）已知等差数列｛0｝,首项为4,公差为d,且｛乎｝为“凹数列”，求d的取值范围；

（3）证明:数列｛cj为“凹数列”的充要条件是“对于任意的k,m,nEN*,当Vn时，有包子<

m—k,

GiCm,,

n—m

•••

20.（24—25高二上•上海•阶段练习）已知数列｛册｝,对于任意的正整数八，都有a“+a“+2>2a”+i则称数列

｛an｝是严格凹数列.

⑴若数列｛时｝,｛bn｝的通项公式分别为a“=—44=3”,判断数列｛4｝,｛0｝是否为严格凹数歹U，无需

说明理由；

（2）证明：''对于任意正整数的k,m,n,当卜时，有上务<上为”是“数列｛品｝为严格凹数

m—kn—m

歹U”的充要条件；

（3）函数夕=/（乃是定义在正实数集上的严格增函数,/（1）=0且数列｛/（"）｝是严格凹数列，严格增数

N/N\

列X1,X2,…，HN（正整数N为常数且N>2）各项均为互不相等的正整数，若£以谕</2^-^恒成

i=l'i=l）

立,求实数/I的取值范围.

•••

题型六数列的周期性

21.（2024.上海青浦.二模）若无穷数列｛册｝满足:存在正整数T,使得an+T=an对一切正整数n成立，则称

｛册｝是周期为T的周期数列.

（1）若册=sin（3场+f）（其中正整数m为常数,nCN,n»,判断数列｛aJ是否为周期数列,并说明

理由；

（2）若a„+i=an+sinan（nGN,n>1）,判断数列｛aj是否为周期数歹U,并说明理由；

（3）设｛bn｝是无穷数列，已知an+1=bn+sinajnGN,n>1）.求证:“存在电,使得｛aj是周期数列”的

充要条件是“｛0｝是周期数列”.

22.（2024.广东珠海.一模）对于数列｛aj，若存在常数T,如（下,%6N*），使得对任意的正整数n>处,恒有

册+7=M成立，则称数列｛%｝是从第n0项起的周期为T的周期数列.当为=1时,称数列｛an｝为纯周

期数列；当九。>2时,称数列｛时｝为混周期数列.记［x］为不超过c的最大整数,设各项均为正整数的数

划「一"山［号，册为偶数

歹！｛册｝满足：册+,一皿..

11=<［乌ay+2口嗨%］,册为奇数

（1）若对任意正整数"都有M¥1,请写出三个满足条件的电的值；

（2）若数列｛册｝是纯周期数列，请写出满足条件的电的表达式，并说明理由：

m

（3）证明：不论电为何值，总存在m,nGN*使得an=2—l.

•••

23.（2024.湖南长沙.一模）对于数列｛册｝,如果存在正整数T,使得对任意"SCN*）,都有册+7=M,那么数

列｛%｝就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期.若周期数列｛0｝,｛品｝满足:存在正整数上对每一个

i（i4比iCN*）,都有也=q,我们称数列®｝和｛cn｝为“同根数列”.

1,71=1

（1）判断数列册=sin7wr、bn=h，7i=2是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不

力,一—与-2,

是，说明理由；

（2）若｛册｝和｛0｝是“同根数列”，且周期的最小值分别是小+2和m+4（/nCN*）,求％的最大值.

24.（24-25高三上•黑龙江牡丹江•阶段练习）对于数列｛%｝,若存在常数T,n0｛T,n0GN*），使得对任意的

正整数口>叫,恒有％+T=%成立,则称数列｛册｝是从第no项起的周期为T的周期数列.当如=1时,

称数歹U｛册｝为纯周期数列；当为>2时，称数歹U｛册｝为混周期数列.记同为不超过x的最大整数,设

除册为偶数

各项均为正整数的数列｛%｝满足：an+1=I马尹+2口。&温,册为奇数

（1）若对任意正整数"都有M¥1,请写出三个满足条件的电的值；

（2）若数列｛时｝是常数列，请写出满足条件的电的表达式，并说明理由；

m

（3）证明：不论Qi为何值，总存在m,nETV*使得an=2—l.

•••

25.（23-24高三上•北京丰台・期末）对于数列｛斯｝,如果存在正整数T,使得对任意n（n€N*），都有an+T=

a“，那么数列｛aj就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期.若周期数列｛0｝,｛6｝满足:存在正整数

私对每一个i（i＜瓦iCN*），都有bi=q,我们称数列｛bn｝和｛cn｝为“同根数列”.

（1）判断下列数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；

[1,71=1,

①a“=sinnit；②勾=＜3,71=2,

九＞3.

（2）若｛册｝和｛bj是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5,求证：RW6；

（3）若｛an｝和｛bn｝是“同根数列”，且周期的最小值分别是小+2和巾+4（巾GN*）,求％的最大值.

•••

题型七数列的新概念

26.（2024.江苏南通.模拟预测）定义：已知数列｛%｝⑺CN*）的首项a1=1,前几项和为S”.设义与k是常数,

若对一切正整数九，均有S%—SJ=加%成立，则称此数列为“4&%”数列.若数列｛飙｝meN*）是

“今&2”数列,则数列｛册｝的通项公式册=（）

O

1(71=1)1(n=l)

A.3x4"-2C.4x3时2

3x4-2(介)2)4X3"-2(n)2)

27.（23-24高三下•湖南长沙•阶段练习）对于无穷数列｛%｝,若对任意小,nGN*,且小#九，存在％GN*,使

得cm+c„=cfc成立,则称｛册｝为“G数列”.

（1）若数列｛&｝的通项公式为0=2几,试判断数列｛0｝是否为“G数列”，并说明理由；

（2）已知数列｛%｝为等差数列，

①若｛a„｝是"G数列"，0，1=8,a2CN*,且a?〉电,求a2所有可能的取值；

②若对任意nCN*,存在kCN*,使得念=S”成立,求证:数列｛an｝为“G数列”.

•••

28.（2024•辽宁•三模）若实数列｛an｝满足VnCN*,有册+an+2>2an+1,称数列｛册｝为“T数列”.

⑴判断飙="4=1皿是否为“T数列”，并说明理由；

（2）若数列｛a｝为“T数列”，证明：对于任意正整数瓦出且A;V小Vn,都有马>虫子

nn—mm—K,

2024

（3）已知数列｛QJ为“T数列”，且2。尸0.令Al=max｛|aJ,|Q2024|｝，其中max｛a,b｝表示Q,b中的较大

i=l

者.证明：VkC｛l,2,3,…,2024｝,都有—需

29.（2024•福建泉州•模拟预测）若无穷数列｛册｝满足:对于VneN*,a"1—硬=p,其中p为常数，则称数列

｛4｝为P数列.

（1）若一个公比为q的等比数列｛g｝为“P数列”，求q的值；

（2）若ai=1,p=2,｛勿｝是首项为1,公比为3的等比数列，在以与yk+1之间依次插入数列｛成｝中的卜项

构成新数列｛cn｝:yx,al,y2,al,al,y3,al,al,al,yi,...，求数列｛c„）中前30项的和S30.

（3）若一个"P数列"｛%｝满足ai=2,a2=2V2,an>0,设数列［工）的前几项和为方.是否存在正整数

小,3使不等式北>用肝I-1对一切nCN*都成立？若存在，求出小水的值;若不存在，说明理由.

30.（2024.北京东城.二模）设无穷正数数列｛an｝,如果对任意的正整数打，都存在唯一的正整数小，使得am=

5+a2+a3+…+册,那么称｛册｝为内和数歹!J,并令图=巾,称｛图｝为｛an｝的伴随数列，则（）

A.若｛册｝为等差数列，则｛册｝为内和数列

B.若｛册｝为等比数列，则｛厮｝为内和数列

C.若内和数列｛册｝为递增数列,则其伴随数列｛葭｝为递增数列

D.若内和数列｛册｝的伴随数列｛b“｝为递增数歹！J,则｛册｝为递增数列

31.（2024•湖北荆州•三模）“H数列”定义:数列｛册｝的前几项和为S”,如果对于任意的正整数九，总存在正整

数小使Sn=am,则称数列｛册｝是“H数列”.

（1）若数列｛鼠｝的前几项和为方=2",求证:数列｛幻｝是“H数列”；

（2）已知数列｛6｝是数列”，且数列｛%｝是首项为1,公差小于0的等差数列,求数列｛品｝的通项公

式；

（3）若数列｛dn｝满足：dn=bncn,求数列｛dn｝的前ri项和Dn.

—

32.（2024•黑龙江•二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“G型

数列”.

（1）若数列｛册｝满足2%=S”+1,判断｛册｝是否为“G型数列”，并说明理由；

（2）已知正项数列｛aj为“G型数列”,5=1,数列｛6„｝满足K=4+2,以CN*,｛.｝是等比数列，公比

为正整数,且不是“G型数列”，求数列｛册｝的通项公式.

33.（2024•全国•模拟预测）定义:若对于任意的nCN*,数列｛册｝满足a“+i-a”>1,则称这个数列是“T数

列”.

2

（1）已知首项为1的等差数列｛飙｝是“T数列”，且出+a?+…+册<n+n恒成立,求a2的取值范围.

（2）已知各项均为正整数的等比数列｛册｝是“T数列”，数列（舞1不是“T数列”.记晨=马匹，若数列

I2Jn

｛0｝是“T数列”.

①求数列｛b„｝的通项公式.

②是否存在正整数度,§,*「<5<%），使白,（,（成等差数列？若存在，求出r,s,力的所有值;若不存在，

brbsbt

请说明理由.

••

题型八数列的新性质

34.（2024.山东青岛•三模）（多选）若有穷整数数列An：ai,a2,•••a„（n^3）满足：ai+1-a,G

｛-l,2｝（i=l,2,…,n—1）,且5=册=0,则称4具有性质丁.则（）

A.存在具有性质T的A4

B.存在具有性质T的As

C.若Ao具有性质T,则…,中至少有两项相同

D.存在正整数Q使得对任意具有性质T的力A，有542,…，耿T中任意两项均不相同

35.（2024.河南.三模）已知数列｛册｝的前n项和为S”,若存在常数A（A>0），使得Aan>Sn+1对任意nCN*都

成立，则称数列｛册｝具有性质尸口）.

（1）若数列｛册｝为等差数列，且S3=—9,S5=—25,求证:数列｛④｝具有性质P（3）；

（2）设数列｛册｝的各项均为正数，且｛%｝具有性质P0.

①若数列｛%｝是公比为q的等比数列，且4=4,求q的值；

②求4的最小值.

•••

36.（23-24高二下•安徽六安•期末）如果无穷数列｛4｝满足“对任意正整数i,/（i¥/）,都存在正整数k,使得

ak=a：,则称数列｛册｝具有“性质P”.

（1）若等比数列｛册｝的前几项和为S”,且公比q>1,S2=12,S4=120,求证:数列｛册｝具有“性质P”；

（2）若等差数列｛bj的首项法=1,公差dCZ,求证:数列｛晨｝具有“性质P”,当且仅当dEN；

（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列｛品｝具有“性质P”,且213,5%415,1012四个数中恰有两个出现在

数列｛品｝中，求5的所有可能取值之和.

37.（2024・湖北•模拟预测）若项数为小（巾>3）的数列｛4｝满足两个性质：①ai=l,&eN*（i=2,3,…,R）；

〃f｛l,2｝,IWRWn-l

②存在nC｛2,3,…,m—1｝,使得」e（f1]，并记max｛i&是数列｛耿｝的最

大项，IWkWn｝.则称数列｛aj具有性质Q.

（1）若巾=4,a4=2,写出所有具有性质Q的数列｛a』；

（2）数列｛aj具有性质若巾=2025,a2025=16,求｛册｝的最大项的最大值；

（3）数列｛册｝具有性质若a”=22期,%,=1,且｛册｝还满足以下两条性质：（i）对于满足1Ws<tW

M'的项a,和a”在｛a“｝的余下的项中，总存在满足14pVqWM'的项电,和&,使得a$•电=4•电；（ii）

对于满足A1Ws<tWm■的项a$和a”在｛a„）的余下的项中，总存在满足Af<q的项a?和aq,

使得CLt=5，%.求满足上述性质的m的最小值.

（明驳制秣）

一、填空题

1.（2023・陕西铜川•一模）定义“等和数列”:在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那

么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列｛%｝是等和数列，且的=-1,公和为

1,那么这个数列的前2024项和$2024=

2.（2024•北京通州・三模）若数列｛勾｝、｛c.｝均为严格增数列，且对任意正整数",都存在正整数小,使得脸

€&G+J，则称数列｛，,｝为数列｛品｝的“河数列”.已知数列｛册｝的前八项和为S”,则下列结论中正

确的是.

①存在等差数列｛册｝,使得｛%｝是｛SJ的数列”

②存在等比数列｛册｝,使得｛飙｝是｛SJ的数列”

③存在等差数列｛册｝，使得｛8｝是｛册｝的数列”

④存在等比数列｛%｝,使得｛Sn｝是｛册｝的数列”

3.（2024•全国•模拟预测）将正整数n分解为两个正整数自，k2的积，即八=自治，当自，无两数差的绝对值最

小时，我们称其为最优分解.如12=1x12=2x6=3x4,其中3x4即为12的最优分解，当自，的是打

的最优分解时，定义/（n）=|自—可，则数列｛/（2“）｝的前2024项的和为（）

A.21011-1B.21011C.21012-1D.21012

4.（2024.江苏镇江.三模）若对项数为71的数列｛an｝中的任意一项出,十也是该数列中的一项，则称这样的

数列为“五团）可倒数数列”.已知正项等比数列｛鼠｝是“R（5）可倒数数列”，其公比为g,所有项和为

彳，写出一个符合题意的q的值.

5.（2024•江苏南通•模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为数列”.已知数列｛&„｝（nG

N*）的前n项和为S”,且满足仇=1,2=片—4.设m为正整数.若存在“河〜数列”｛%｝伍€N*）,

与bnOn+i

对任意正整数R,当RW小时，都有瓢WdWck+1成立,则m的最大值为.

二、多选题

6.（2024•江苏南通•模拟预测）在数列｛an｝中，若对VnCN*,都有小丁I=q（q为常数）,则称数列

Qyi+1-an

｛册｝为“等差比数列"，q为公差比,设数列｛%｝的前几项和是S”,则下列说法一定正确的是（）

A.等差数列｛&｝是等差比数列

B.若等比数列｛册｝是等差比数歹U,则该数列的公比与公差比相同

C.若数列｛Sj是等差比数列，则数列｛册+J是等比数列

D.若数列｛%｝是等比数列，则数列｛SJ等差比数列•••

7.（23-24高三上•上海普陀・期末）对于无穷数列｛4｝,给出如下三个性质：①©V0；②对于任意正整数n,

s，都有an+as<an+s；③对于任意正整数n,存在正整数t，使得飙h>“定义：同时满足性质①和②的数

列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为>数列”，则下列说法正确的是（）

A.若｛狐｝为“s数列”，则｛%｝为“力数列"B.若4=（—］）"，则｛册｝为“力数列”

C.若册=2n—3,则｛册｝为％数列”D.若等比数列｛册｝为>数歹/则｛册｝为％数列”

8.（2024•河北承德•二模）对于给定的数列｛册｝,如果存在实数p,q,使得an+1=pan+q对任意nWN*成立,

我们称数列｛册｝是“线性数列”，则下列说法正确的是（）

A.等差数列是“线性数列”

B.等比数列是“线性数列”

C.若p¥1且的=q,则册=「--

1—p

D.若pWl且电=9,则｛册｝是等比数列｛gp"T｝的前71，项和

9.（2024•湖南衡阳•模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确保

自己的风险,这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数河，使得对一切正整数",都

有|册|则称｛3｝为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称为

收敛数列，如数列册=（，显然对一切正整数n都有|册|W1，而：的极限为0，即数列｛册｝既有界也收

敛.如数列bn=（-1厂,显然对一切正整数"都有瓦|W1,但不存在极限，即数列也｝有界但不收敛.下列

数列是有界数列但不收敛的数列有（）

A.an=sin（rz7r+-^-）B.an=cos（ri7r+^）

c—_册-1n-sin（n7r+1）

.CLy—2,—J,Qyi—U.CLn—

%—2n

10.（2024•河南•一模）对于数列｛aj（a“CN+）,定义既为电，a?,…，耿中最大值（fc=1,2,-,n）（nGNQ,把

数列｛0｝称为数列｛an｝的“双值数列”.如数列2,2,3,7,6的“又值数列”为2,2,3,7,7,则（）

A.若数列｛4｝是递减数列,则｛勾｝为常数列

B.若数列｛册｝是递增数列，则有an=bn

C.满足｛0｝为2,3,3,5,5的所有数列｛册｝的个数为8

100

D.若册=（―2厂（九eN+），记Sn为他｝的前n项和，则S100=4（2-1）

O

三、解答题

11.（2024•内蒙古包头•二模）已知数列｛册｝为有穷数列，且a”CN*,若数列｛册｝满足如下两个性质，则称数

列｛册｝为小的R增数列：

①的+a2+a3H=m；

②对于1<i</Wn,使得a｛<电的正整数对（i,j）有A;个.

（1）写出所有4的1增数列；

（2）当九=5时,若存在Hi的6增数列，求nz的最小值.

12.（23-24高二下•广东深圳•阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把

所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1,2进行构造，第一次得到数列1,3,2；第二

次得到数列1,4,3,5,2；依次构造，第九（neN*）次得到的数列的所有项之和记为―

⑴设第72次构造后得的数列为1,±1,22,…，g,2,则册=3+21+/2H----1■软,请用含Xi,X2,…，欲的代数

式表达出册+i，并推导出a„+i与。„满足的关系式；

（2）求数列｛册｝的通项公式an；

（3）证明：——F——F——I----1--—<《

。2。3Q/iJ

••

13.（2024•贵州贵阳•二模）给定数列｛册｝,若满足的=a（a>0且a¥1）,对于任意的n,mEN*,都有an+m=

%•%,则称数列｛册｝为“指数型数列

⑴已知数列｛an｝满足电=l,a„=2anan+1+3an+1（nEN*），判断数列是不是“指数型数列"?若

是，请给出证明，若不是,请说明理由;

（2）若数列｛册｝是“指数型数列"，且的=事（aeN*）,证明:数列｛aj中任意三项都不能构成等差数

OJIO

列.

14.（2024・湖北•模拟预测）若正整数小，n只有1为公约数，则称小，n互质，欧拉函数是指,对于一个正整数

九，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数,记作0（力，例如44）=2"（5）=4.

（1）求R⑹，W（3"）,w（4"）；

⑵设v寸播冷E'”--求数列｛%｝的前几项和飞

⑶设勾=—,"eN*,数列也｝的前几项和为黑,证明：黑<!，

2口（4九）一1y

••

15.(23-24高三下.云南昆明.阶段练习)(a,b)表示正整数a,b的最大公约数，若山咫，…以仁|1,2,-m|

(k,mGN*),且VTG\x1,x2---xk\,(x,m)=1,则将A;的最大值记为<p(rn)，例如：？⑴=1,夕⑸=4.

⑴求R(2),.(3),3⑹;

⑵设M=0(2").

⑴求数列|aj的通项公式，

(讥)设bn="+2n—1)・册,求数列历/的前n项和Tn.

16.(2024.全国.模拟预测)设满足以下两个条件的有穷数列aiQ,…,a"为"5=2,3,4,…)阶“曼德拉数列”:

①ai+a2+a3H----Fan=0；②|aj+|a2|+血|4-b|an|=1.

(1)若某2fe(fc6N*)阶“曼德拉数列”是等比数列,求该数列的通项a„(lWnW2M用瓦门表示)；

(2)若某2R+l(kCN*)阶“曼德拉数列"是等差数列,求该数列的通项a„(lWnW2k+1,用表示)；

(3)记九阶“曼德拉数列”{%}的前％项和为5展3=1,2,3,…，n)，若存在mC{1,2,3,…,n},使Sa=y,

试问：数列{5}(i=l,2,3,…,九)能否为八阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列;若不能，请说明

理由.

••

17.（2024•广东梅州二模）已知｛M｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前几项的最大值记为喝,即喝=

max｛ai,a2,｝;前几项的最小值记为？ri”,即小八二min｛ai,a2,…,册｝,令外=监一小支n=1,2,3,­••）＞

并将数列｛Pn｝称为M的“生成数列”.

（1）若册=3”,求其生成数列｛p„｝的前71项和；

（2）设数列｛pn｝的“生成数歹『'为｛q"｝,求证：“=qn；

（3）若｛p„｝是等差数列，证明:存在正整数叫,当八＞为时，牝，册+i，册+2，…是等差数列.

18.（2024.山东潍坊.二模）数列｛an｝中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列｛册+「册｝称为

｛狐｝的一阶差数列,记为｛*）｝，依此类推，｛*）｝的一阶差数列称为｛册｝的二阶差数列,记为｛&2）｝，….

如果一个数列｛册｝的p阶差数列｛a^｝是等比数列,则称数列｛册｝为p阶等比数列（pCN*）.

（1）已知数列｛aj满足的=1,%+i=2%+1.

（i）求源）,姨,嫂；

（苴）证明：｛飙｝是一阶等比数列；

（2）已知数列｛0｝为二阶等比数列，其前5项分别为1,筌，斗，华,T，求舞及满足勾为整数的所有八

yyyy

值.

•••

19.（2024.贵州.模拟预测）若给定一个数列｛册｝,其连续两项之差构成一个新数列：a?—5,a3—a2,a4—。3,

■■■,an+1-an,…，这个数列称为原数列｛册｝的“一阶差数列”，记为｛图｝，其中bn=an+1-an.再由｛bn｝的

连续两项的差得到新数列演一仇，仇一3b,-b3,…，0+i—b“，…，此数列称为原数列｛册｝的“二阶差数

列”,记为｛品｝，其中cn=bn+1-bn.以此类推,可得到｛册｝的“p阶差数列”.如果数列小｝的“p阶差数

歹『'是非零常数数列，则称｛册｝为“p阶等差数列”.

⑴证明由完全立方数13,23,33,……，meN*）组成的数列｛%｝是“3阶等差数列”；

（2）若an=n\k>3且A;CZ,nCN*）,证明数列｛a„｝是”阶等差数列”，并且若将｛册｝的“阶差数列”

记作｛a?，｝,则a£）=卜!=1x2x3x---xk（nEN*）.

20.（2024•河南郑州•模拟预测）设任意一个无穷数列｛时｝的前4项之积为雪,若VnGN*,AC｛%｝,则称

｛册｝是T数列.

（1）若｛册｝是首项为—2,公差为1的等差数列,请判断｛册｝是否为T数列？并说明理由；

（2）证明：若｛an｝的通项公式为an=n-2%则｛册｝不是T数列；

（3）设｛an｝是无穷等比数列，其首项a1=5,公比为q｛q>0）,若｛%｝是T数歹!J,求q的值.

•••

21.（2024.广东佛山•模拟预测）定义:一个正整数n称为“漂亮数”,当且仅当存在一个正整数数列ae....

耿,满足①②：

①©Va2V…<afc_1<aJt=n（A:^2）；

②工+▲+...+工=L

（1）写出最小的“漂亮数”；

（2）若n是“漂亮数”，证明：那是“漂亮数”；

（3）在全体满足k=4的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数”日,求九-1是质数的概率.

22.（24-25高三上.河南焦作.开学考试）对于一个正项数列｛%｝，若存在一正实数九使得VnCN*且九〉

2,有a1+Q2H--Fan-i>4册,我们就称｛aj是4—有限数列.

（1）若数歹U｛册｝满足电=1,。2=1，勰=。九一1+为一2⑺>3）,证明：数列｛aj为1一有限数列；

（2）若数列｛册｝是A-有限数列，mM>0,使得VneN*且n>2,%WM,证明：f士>2+

或at

上仁_______1____