北师大版八年级数学专项复习：一次函数与实际问题（原卷版）

第14讲一次函数与实际问题

1.能通过函数图像获取信息，发展形象思维；

2.能利用函数图像解决简单的实际问题

3.初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系

4.通过函数图像解决实际问题，培养学生的数学应用能力，同时培养学生良好的环保意识和

热爱生活的意识。

［雷基础知识^

---------------------IIIII1IIII1I1IIIII1IIII1IIIIIIIIIII1IIIII-----------------------

知识点1:分段函数

有的题目中，如下左图，当自变量X发生变化时，随着X的取值范围不同，y和X的函数

关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了

变化。这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们

把这类函数归类为分段函数。

在有的题目中，如下右图，含有两个一次函数的图像，我们需要对两个函数的相关变量进行对

比。

V

二、利用一次函数的知识解应用题的一般步骤

（1）设定实际问题中的变量；

（2）建立一次函数表达式；

（3）确定自变量的取值范围，保证函数具有实际意义；

（4）解答一次函数实际问题，如最大（小）值；（5）写出答案。

考点一：根据实际问题列除一次函数表达式

U例1.（2022秋•东营区校级期末）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度

是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的

取值范围是（）

A.S=120-30/（0W/W4）B.5=30/（0WW4）

C.S=120-30t（r>0）D.S=30t（r=4）

【变式1-1］（2022春•平遥县期中）百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格）的

基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正

确的是（）

长度x/m1234

售价W元8+0-316+0.624+0.932+1.2…

A.y=8x+0.3B.y=（8+0.3）%C.y=8+0.3xD.y=8+0.3+x

【变式1-2］（2023•济南二模）学校食堂按如图方式摆放餐桌和椅子.若用x表示餐桌的张数,

y表示椅子的把数，请你写出椅子数y（把）与餐桌数x（张）之间的函数关系式.

nnncCc

cDC□cD

IJUuuIJ

【变式1-3］（2022春•海口期末）已知一根弹簧在不挂重物时长6c机，在一定的弹性限度内，

每挂1依重物弹簧伸长0.3cm.则该弹簧总长y（cm）随所挂物体质量x（kg）变化的函数

关系式为.

考点二：利用一次函数解决方案问题

例2.（2023•新市区一模）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案.

方案一：没有底薪，只付销售提成；

方案二：底薪加销售提成.

如图中的射线h,射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工

资yi（单位：元）和丁2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（xNO）的函数

关系.

（1）分别求”、户与x的函数解析式；

（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资

超过3000元.这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

【变式2-1］（2022秋•于洪区期末）某公司要印制宣传材料，甲、乙两个印刷厂可选择，甲

印刷厂只收取印制费，乙印刷厂收费包括印制费和制版费.

（1）甲印刷厂每份宣传材料的印制费是一元；

（2）求乙印刷厂收费y（元）关于印制数量x（份）的函数表达式，并说明一次项系数，常

数项的实际意义；

（3）若印制相同数量，乙印刷厂的收费总是低于甲厂，求印制数量的范围.

【变式2-2］（2023•禹州市一模）为弘扬爱国精神，传承民族文化，某校组织了“诗词里的中

国”主题比赛，计划去某超市购买A,5两种奖品共300个，A种奖品每个20元，8种奖

品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）.

方案一：A种奖品每个打九折，3种奖品每个打六折.

方案二：A,3两种奖品均打八折.

设购买A种奖品x个，选择方案一的购买费用为v元，选择方案二的购买费用为y2元.

（1）请分别写出a，”与x之间的函数关系式.

（2）请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少.

考点三：利用一次函数解决销售利润问题

1Al例3.（2022•昭阳区一模）某市雾霾天气趋于严重，甲商场根据民众健康需要，代理销售

每台进价分别为600元、560元的A、3两种型号的空气净化器，如表是近两周的销售情况:

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）

销售时销售数量销售收

段A种型号（台）3种型号（台）入（元）

第一周323960

第二周547120

（1）求A,3两种型号的空气净化器的销售单价；

（2）该商店计划一次购进两种型号的空气净化器共30台，其中3型净化器的进货量不超

过A型的2倍.设购进A型空气净化器为x台，这30台空气净化器的销售总利润为y元.

①请写出y关于x的函数关系式；

②该商店购进A型、3型净化器各多少台，才能使销售总利润最大？

【变式3-1]（2022秋•武义县期末）非常时期，出门切记戴口罩.当下口罩市场出现热销，

某超市老板用1200元购进甲、乙两种型号的口罩在超市俏售，销售完后共获利400元.进

价和售价如表：

型号甲型口罩乙型口罩

价格

进价（元/袋）23

售价（元/袋）33.5

（1）该超市胸购进甲、乙两种型号口罩各多少袋?

（2）该超市第二次又以原来的进价购进甲、乙两种型号口罩共500袋，此次用于购进口罩

的资金不少于1220元，但不超过1360元.若两种型号的口罩都按原来的售价全部售完.设

此次购进甲种口罩x袋，超市获利y元，试求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围

和超市的最大利润.

【变式3-2］（2023•市北区校级开学）元旦期间，某经销葡萄的水果店，有两种销售方式：既

可以批发，也兼顾零售.店家规定当顾客一次性购买葡萄超过5箱，就可以享受批发价.市

场调查显示，这两种销售方式中，每箱葡萄所获利润的情况如表所示：

销售方式每箱所获利润（元）

批发30

零售60

（1）已知该水果店元旦假期期间，两种销售方式共卖出100箱葡萄，总获利是3600元求

元旦假期期间，该水果店这两种方式分别销售了多少箱葡萄；

（2）现该水果店计划销售1000箱葡萄，并规定零售葡萄的数量不超过200箱，若设批发

了。箱葡萄，销售1000箱葡萄的总利润为攻元，则根据题意，可得w与。的函数关系式

为;a的取值范围是;

（3）忽略其他影响因素.请分析分别零售和批发多少箱葡萄时，才能使售完这1000箱葡

萄的总利润最大？求最大总利润是多少元.

例4.（2023春•宝丰县月考）“双减”政策颁布后，各校重视了延迟服务，并在延迟服

务中加大了体育活动的力度.某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛

球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，它们的进价和售价如下表：

进价售价

乒乓球拍（元/套）a50

羽毛球拍（元/套）b60

已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元,购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需

花费260元.

（1）求出a,b的值；

（2）该面店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购

进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）.

①求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②该商店实际采购时，恰逢“双十一”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了。元（0<aZ

10）,羽毛球拍的进价不变，已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，则如何

购货才能获利最大？

【变式4］（2021秋•南岸区期末）为了切实保护长江生态环境，长江实施全面禁渔.禁渔后,

某水库自然生态养殖的鱼在市场上热销，经销商老李每天从该水库购进草鱼和鲤鱼进行销售,

两种鱼的进价和售价如表所示：

进价售价（元/斤）

（元/

斤）J__________________________________________________________________

鲤鱼a6

草鱼b销量不超过200斤的部分销量超过200斤的部分

98.5

已知老李购进10斤鲤鱼和20斤草鱼需要160元，购进20斤鲤鱼和10斤草鱼需要140元.

（1）求a,b的值；

（2）老李每天购进两种鱼共300斤，并在当天都销售完，其中销售鲤鱼不少于80斤且不

超过120斤，设每天销售鲤鱼x斤（销售过程中损耗不计）.

①求出每天销售获利y（元）与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②元旦节这天，老李让利销售，将鲤鱼售价每斤降低冽元（加＞0）,草鱼售价全部定为8.5

元/斤，为保证元旦节这一天销售这两种鱼获得最小利润，且最小利润为630元，求机的值.

考点四：利用一次函数解决行程问题

5.（2023春•南关区校级月考）甲车从A地出发匀速驶往3地，半个小时后，乙车沿

同一路线由A地匀速驶往3地，两车距A地的路程y（km）与乙车出发时间x（力）之间的

函数关系如图所示，根据图象回答下列问题:

（1）乙车速度是km/h,a=；

（2）求甲车距A地的路程y与x之间的函数解析式；

（3）直接写出在乙车行驶过程中，甲、乙两车相距15加时x的值.

【变式5-1](2023•新市区校级一模)甲、乙两车分别从A,3两地去同一城市C,他们离A

地的路程y(km)随时间x(/?)变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)43两地的路程为一千米；

(2)求乙车离A地的路程y(km)关于时间x(人)的函数表达式；

(3)当两车相距20千米时，求乙车行驶的时间.

【变式5-2](2023•新华区模拟)小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出

发后10mm,发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追

赶小明，结果与小明同时到达学校，交接课本后立即按原路返回.已知小明距离家的路程s

(km)与离开家的时间/(min)之间的函数关系的图象如图所示.

(1)求s(km)与/(min)之间的函数关系；

(2)请在图中画出小明的妈妈距离家的路程s(km)与小明离开家的时间/(加％)之间函

数关系的图象；(备注：请对画出的图象用数据作适当的标注)

(3)直接写出小明的妈妈在追赶小明及返回家的过程中，距学校0.5左加时f的值.

s/km

20t/min

【变式5-3］（2022秋•高邮市期末）甲、乙两地相距150千米，一列快车和一列慢车分别从

甲、乙两地同时出发，沿平行的轨道匀速相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原

路原速返回到甲地时停止;慢车到达甲地时停止.慢车到达甲地比快车到达甲地早0.5小时,

快车速度是慢车速度的2倍.两车距各自出发地的路程j千米与所用时间x小时的函数图

象如图，请结合图象信息解答下列问题：

（1）快车的速度为，慢车的速度为;

（2）求快车返回过程中y与x的函数关系式；

（3）两车出发后经过多长时间相距60千米的路程？

考点五：利用一次函数解决运输问题

6.（2022春•江岸区校级月考）A城有肥料20033城有肥料300/,现要把这些肥料全

部运往C、。两乡，从A城往C、。两乡运肥料的费元用分别为20元〃和25元〃；从B城

往C、D两乡运肥料分别为15元〃和24元/人现C乡需要肥料2403D乡需要肥料2607,

设A城运往C乡的肥料为x吨，运往C乡肥料的总运费为yi,运往D乡肥料的总运费为工；

C乡需要月方阳240吨A城有月阴200吨

运输/

。乡需要月EW60吨,>3城有肥料300吨

（1）写出y关于x的函数关系式以及”关于x的函数关系式并指出自变量的取值范围；

（2）怎么样调度使得该过程的总运费最少并求出最少的运输费以及最少的运输方案；

（3）由于从3城到。乡开辟了一条新的公路，使3城到。乡的运输费每吨减少了a（2Wa

W8）元，如何调度才能使总运费最少？最少运输费是多少？（用含。的式子表达）

【变式6-1]（2022春•黔东南州期末）A城有肥料200吨，3城有肥料300吨，现全部运往C,

。两乡，从A城往C,。两乡运送肥料的费用分别是每吨20元和25元，从5城运往C,D

两乡的运输费用分别是15元和24元，C乡需240吨，。乡需260吨，设A城运往C乡的

肥料量为x吨，总运费为y元.

（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？

【变式6-2]（2022春•武汉期末）2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击

疫情.某省A,3两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C,。市获知A,

3两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区.已知C市有救灾

物资240吨，。市有救灾物资260吨，现将这些抗疫物资全部调往A,3两市.已知从。市运

往A,B两市的费用分别为每吨20元和25元，从。市运往往A,B两市的费用别为每吨15

元和30元，设从。市运往3市的救灾物资为x吨，并绘制出表：

A（吨）B（吨）合计（吨）

Cab240

DX260

总计（吨）200300500

（1）a=,b=,c=（用含x的代数式表示）；

（2）设C,。两市的总运费为攻元，求攻与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值

范围.

（3）由于途经地区的全力支持，。市到3市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，

运费每吨减少加元（加＞0）,其余路线运费不变，若C,。两市的总运费的最小值不小于

10320元，求机的取值范围.

[⑥真题演练]

----------------------illllllllllllllllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会

展中心参观.途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间.车修好后，他们继续开车赶往会展中心.以

下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象.分析图中信息，下列说法正确的是（）

A.途中修车花了30mm

B.修车之前的平均速度是500优/疝？

C.车修好后的平均速度是80M加w

D.车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍

2.（2023•山西）一种弹簧秤最大能称不超过10依的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm,每挂重14物体,

弹簧伸长0.5。九，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系

B.12+0.5%C.y=10+0.5xD.y=0.5x

3.（2023•随州）甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与

时刻r的对应关系如图所示，关于下列结论：①48两城相距300历w；②甲车的平均速度是605?//?,乙

车的平均速度是100初皿；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车.正确的有（）

y/km

A.①②B.①③C.②④D.①④

4.（2023•齐齐哈尔）一辆巡逻车从A地出发沿一条笔直的公路匀速驶向8地，2小时后，一辆货车从A

5

地出发，沿同一路线每小时行驶80千米匀速驶向B地，货车到达B地填装货物耗时15分钟，然后立即

按原路匀速返回A地.巡逻车、货车离A地的距离y（千米）与货车出发时间无（小时）之间的函数关系

如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）48两地之间的距离是千米，a=

（2）求线段PG所在直线的函数解析式;

（3）货车出发多少小时两车相距15千米？（直接写出答案即可）

5.（2023•宜昌）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度.小聪想用刻度不超过100℃的温度计测算出这

种食用油沸点的温度.在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中

油温，得到的数据记录如下：

时间t/s010203040

油温y/℃1030507090

（1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点.经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温

y（单位：。C）与加热的时间f（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：

可能是—函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）；

（2）根据以上判断，求y关于/的函数解析式；

（3）当加热110s时，油沸腾了，请推算沸点的温度.

Ay/℃

90-1--I—i--LI

।।।।।

80

70

60

50

40

30

20

lO'-n--r-n-T-i

0102030405060丛

6.（2023•广西）【综合与实践】：有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”，某兴趣小

组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请

完成下列方案设计中的任务，

【知识背景】：如图，称重物时，移动秤蛇可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（加0+机）Q+y）,

其中秤盘质量加。克，重物质量机克，秤坨质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤组与零刻线

的水平距离为a厘米，秤坨与零刻线的水平距离为y厘米.

【方案设计】：目标：设计简易杆秤.设定制）=10,M=50,最大可称重物质量为1000克，零刻线与

末刻线的距离定为50厘米.

任务一：确定/和。的值.

（1）当秤盘不放重物，秤坨在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,a的方程；

（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤在从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,。的方

程；

（3）根据（1）和（2）所列方程，求出/和。的值；

任务二：确定刻线的位置.

（4）根据任务一，求y关于用的函数解析式；

（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.

秤纽杆秤不意图

7.（2023•上海）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售.使用这张加油

卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.

（1）他实际花了多少钱购买会员卡？

（2）减价后每升油的单价为y元/升，原价为尤元/升，求y关于尤的函数解析式（不用写出定义域）.

（3）油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？

8.（2023•天津）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍0.66，体育场离宿

舍1.2加1,张强从宿舍出发，先用了10加w匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了30加%之后匀速步行了

10根加到文具店买笔，在文具店停留10机血后，用了20机山匀速散步返回宿舍，下面图中无表示时间，y

表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系.

请根据相关信息，回答下列问题：

（1）①填表：

张强离开宿舍的时间〃"讥1102060

张强离宿舍的距离米优1.2

②填空：张强从体育场到文具店的速度为km/min；

③当50WxW80时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式；

（2）当张强离开体育场15相讥时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度

为0.06切〃加讥，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可）

9.（2023•宁波）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00,部队官兵乘坐军车从营地出发，同

时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学.上午8：00,军车在

离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按

原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（h,z）与所用时间t5）的函数关系

如图2所示.

（1）求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值.

（2）求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.

10.（2023•丽水）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供

了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题:

（1）直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；

（2）求方案二y关于x的函数表达式；

（3）如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案.

圉过关检测］

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1.（2023春•锦江区校级期中）游学期间，两名老师带领x名学生到展览馆参观，已知教师参观门票每张

40元，学生参观门票每张20元.设参观门票的总费用为y元，则y与i的函数关系为（）

A.y=20x+80B.y=80xC.y=40+20%D.y=40x+40

2.（2023•江汉区校级模拟）甲、乙两车从A城出发沿同一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程

中，甲、乙两车离A城的距离y（km）与甲车行驶的时间f5）之间的函数关系如图所示，下列结论正

B.乙车比甲车早出发1小时

C.乙车的速度为60h，4/z

D.当f=2.5时，乙车追上甲车

3.（2023春•宜阳县期中）宜阳县民用电费标准为每度0.56元，则电费y（元）是用电度数x的函数，其

函数关系式为（）

A.x=0.56yB.x=y+0.56C.y=0.56xD.>=尤+0.56

4.（2023春•长安区期中）为增强居民节水意识，某市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即

每月用水不超过10吨，每吨收费。元；若超过10吨，则10吨水按每吨a元收费，超过10吨的部分按

每吨6元收费，公司为居民绘制的水费y（元）与当月用水量x（吨）之间的关系图象如图.有下列结论:

①。=3；

②6=5；

③若小明家2月份用水13吨，则应缴水费39元；

④若小红家3月份缴水费52.5元，则该用户当月用水14.5吨.

其中正确的结论个数为（）

/阮）

o|io/小吨）

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.（2023春•庐江县月考）某通讯公司推出一种每月话费的套餐，其用户应缴费用s（元）与通话时间八分）

之间的关系如图所示，若某用户缴费40元，则其通话时间为（

C.180分钟D.200分钟

6.（2023•高新区校级模拟）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地.行

驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间f（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时

间不计.当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒.设货车平均耗油量为01升/千米，请

根据图象解答下列问题：

（1）求s关于/的函数表达式；

（2）当货车显示加油提醒后，问行驶时间f在怎样的范围内货车应进站加油？

7.（2023春•六枝特区校级月考）安仁县思源实验学校商店购进果汁饮料和碳酸饮料共50件，两种饮料的

进价和售价如下所示.设购进果汁饮料x箱（x为正整数），且所购的两种饮料能全部卖出，获得的总利

润为W元，

饮料果汁饮料碳酸饮料

进价（元/箱）5536

售价（元/箱）6342

（1）设购进碳酸饮料为y箱，直接写出y与尤的函数关系式;

（2）求出总利润W关于x的函数表达式；

(3)如果购进两种饮料的总费用不超过2100元，那么该商场如何进货才能获利最大，求出最大利润.

8.(2022秋•陈仓区期末)如图，欣欣妈妈在超市购买某种水果所付金额y(元)与购买无(千克)之