安徽省亳州市2023-2024学年高二年级下册7月期末考试数学试卷（含解析）

高二数学（人教版）

本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,若X是离散型随机变量，则石［x—"（x）］=（）

A.E（X）B.2石（X）C.OD.［E（X）］2

2.函数/（x）的定义域为开区间（。力），导函数/'（x）在（。3）内的图象如图所示，则函数“X）在开区间

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（x千万元），得到各旅游景区

收益的增加值（＞万元），对应数据如下表所示：

投人的治理经费X（单位：千万元）1234567

收益的增加值y（单位：万元）2325779

若X与y的回归直线方程为y=i.2i4x+a，则相应于点（7,9）的残差是（）

A.-0.358B.0.358C.-8.642D.8.642

4.函数/(%)=sin2x+4co&x-3%在R上()

A.单调递增B.单调递减C.有增有减D.无法判定

5.某班新年联欢会原定5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原

节目单中，那么不同插法的种数为

A.42B.30C.20D.12

6.已知函数/（x）=alnx+Zzr2eiT,a,Z?GR,e是自然对数的底数.若曲线y=/（九）在点（2,/（2））处的切

线方程是丫=尤+1112,则万的值是（）

2-ln22+ln2C(2-ln2)e(2+ln2)e

---------B.---------

4"4

7.甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷

出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷.第一次掷由甲开始，设第〃次由甲掷的概率为巴，则匕与

匕_1之间的关系是（）

B.—Ei)(〃N2)

C.^=-1^+|（^>2）D.2=_：2_1+?7>2)

8.设耳，工分别是离心率为也的椭圆C:£+与=1（。〉6〉0）的左、右焦点，过点耳的直线交椭圆C于

2a~b-

两点，且1M|=3闺同,则cos/A%8=（）

1JI23

A.-B.—C.-D.-

5555

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.把一个正态曲线。沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线力，下列说法中正确的是（）

A.曲线b仍然是正态曲线

B.曲线”和曲线b的最高点的纵坐标相等

C,以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线。为概率密度曲线的总体的期望小2

D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线〃为概率密度曲线的总体的方差大2

10.己知数列｛4｝的前〃项和为3,6=2,且S“=2S,i+〃—1（〃之2）,则下列结论中正确的是（）

A.an>Sn_x（n>i）B.｛4+1｝是等比数列

c.s„<2a,是递增数列

11.“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点

P(%,%)、%)的曼哈顿距离为：LpQ=|x1-x2|+|y1-y2|.若点P(l,2)，点。为圆C:f+产=4

上一动点，则()

A.点P(l,2)和点4(—1,3)的曼哈顿距离为3

1-2esin|—\cos3>—

B.设2(2cos0,2sin。)，则£尸°=<

3-20sin0H—,cos0<一

4J2

LPQ的最大值为1+2

的最大值为3+2行

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量J~8(2024,0.5),则。(2J+1)的值是

13.在二项式7«+「=的展开式中，所有项的系数和为4096,则此二项式展开式中二项式系数之和是

14.若不等式lnx+至三—左20(左eZ)对任意%>2恒成立，则整数上的最大值是.

X

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=。曰'+X+1,其中aeR,e为自然对数底数.

(1)求八％)的极值；

(2)若/(%)有两个零点，求。的取值范围.

16.如图，在四棱锥P-A5CD中，底面矩形A3CD垂直于侧面且上4，AD,E、尸分别是棱

AD、PC的中点，AD=y/2AP=y/2AB.

(1)证明：尸平面5环;

(2)若AD=①，求二面角尸—BE—C正弦值.

17.己知。为坐标原点，A是抛物线。：f=2力(，＞0)上与点。不重合任意一点.

(1)设抛物线。的焦点为尸，若以尸为圆心，E4为半径的圆尸交C的准线/于V、N两点，且

NMFN=9O°,AA70N的面积为40，求圆产的方程;

(2)若8是抛物线C上的另外一点，非零向量旅砺满足|况+砺|=|函-词，证明：直线A3必经

过一个定点.

18.某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持.银行制

定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合

格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额.为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部

分企业，得到以下两个图表数据.

频率

评估得分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

评定类型不合格合格良好优秀

贷款金额(万

0200400800

元)

(1)任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率(将频率近似看做概率)；

(2)对照上表给出的标准，这些企业进行了整改.整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企

业、良好企业的数量成等差数列.要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企

业占企业总数百分比的最大值.

19.特征根方程法是求一类特殊递推关系数列通项公式的重要方法.一般地，若数列｛4｝满足

q+2=4与+1+c%("cN*,0c#0/2+4c>0),Q=s,a2=t,则数列｛4｝的通项公式可以按以下步爰求

解：①a〃+2=m“+i+ca〃对应的方程为炉=陵+。，该方程有两个不等的实数根名万；②令

nn

an^A-a+B-/3,其中A,3为常数，利用q=s,%=。求出A3,可得｛4｝的通项公式.满足

F｝=F2=l,Fn+2=Fn+i+%(〃eN*)的数列｛与｝称为斐波那契数列.

(1)求数列｛尺｝的通项公式；

(2)若存在非零实数使得｛%+1+4｝(〃eN*)为等比数列，求/的值；

]2024

(3)判定万一•ZF：是数列｛£｝的第几项，写出推理过程.

“2025/=1

高二数学(人教版)

本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试时间120分钟.

考生注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸

和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若X是离散型随机变量，则石[x—"(x)]=()

A.E(X)B.2石(X)C.OD.[E(X)]2

【答案】c

【解析】

【分析】根据随机变量的数学期望的性质计算即可.

【详解】E[X-E(X)~]=E(X)-EX=Q.

故选：C.

2.函数〃尤)的定义域为开区间(。,。)，导函数/'(%)在(。力)内的图象如图所示，则函数/(可在开区间

(口力)内有极小值点()

C.3个D.4个

【答案】A

【解析】

【分析】由导函数的图象可知尸（X）在开区间（。口）内有4个零点玉,%，％，x4，（石<%<七=。<X4），

分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.

【详解】从图形中可以看出，/'（尤）在开区间（。力）内有4个零点石,9,七,4,<x2<x；=0<x4）,

在为处的两边/'（%）左正、右负，取得极大值；

在々处的两边/'（%）左负、右正，取值极小值；

在尤3处的两边/'（%）都为正，没有极值；

在4处的两边/'（%）左正、右负，取值极大值.

因此函数〃%）在开区间（。力）内的极小值点只有一个.

故选：A.

3.某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（x千万元），得到各旅游景区

收益的增加值（y万元），对应数据如下表所示：

投人的治理经费X（单位：千万元）1234567

收益的增加值y（单位：万元）2325779

若X与y的回归直线方程为y=L214x+a，则相应于点（7,9）的残差是（）

A.-0.358B.0.358C.-8.642D.8.642

【答案】B

【解析】

【分析】先算出U代入回归直线方程为y=1.214%+a，可得a，进而得到回归直线方程，当％=7时,

求出y,算出残差即可.

.、“立力▼—1+2+3+4+5+6+7.—2+3+2+5+7+7+9_

【详解］X=-----------------------=4,y=-----------------------------=5,

所以。=亍—菽=5—L214x4=0.144,y=1.214x+0.144，

当x=7时，y=1.214x7+0.144=8.642，因此残差为9—8.642=0.358.

故选：B.

4.函数/'（%）=5]1124+4（\）8^—34在区上（

A.单调递增B.单调递减C.有增有减D.无法判定

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的导数即可分析函数单调性.

【详解】因为/'(x)=2cos2x-4sinx-3=2(1-2sin2x)-4sinx-3

=-4sin2x-4siax-1=-(2sinx+1)2<0>函数/(%)在R上单调递减.

故选：B.

5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原

节目单中，那么不同插法的种数为

A.42B.30C.20D.12

【答案】A

【解析】

【详解】原定的5个节目之间有6个位.

当插入的这两个新节目在一起时，有插法;

当插入的这两个新节目不在一起时，有用插法,

所以总的不同插法的种数为C6+C；6=42种.

故选：A.

【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法.捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列;

插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列.

6.已知函数/(“=疝比+人/小：区/^区犬是自然对数的底数.若曲线y=在点(2,/(2))处的切

线方程是丫=龙+1112,则力的值是()

2+ln2C（2-ln2）e（2+ln2）e

B.---------

44'4“4

【答案】C

【解析】

【分析】求导，根据函数在某点的切线方程得到y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程可表示为:

y-/(2)=|(x-2)^y=|x-a+/(2),再由切线方程是y=^+ln2,建立方程组求解.

【详解】因为/'(x)=，+Zzx(2-x)e』，所以/(2)=彳.

y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程可表示为：

V-/(2)="|(x-2)=丁=0-a+/⑵,

又因为曲线y=/(x)在点(2,/(2))处的切线方程是y=x+ln2,

0=1

2切,0（2-ln2）e

所以《.j，斛得a-2,b--------------

4b4

〃ln2+——2=ln24

e

故选：C.

7.甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷

出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷.第一次掷由甲开始，设第〃次由甲掷的概率为匕，则匕与

匕t之间的关系是()

1?

A.^=-^(n>2)B.5=§(1—Ei)(〃N2)

12?1

C.^,=--^+-(^>2)D,P=P^(n>2)

3JnD1+D

【答案】C

【解析】

【分析】据题意列出第〃次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案.

【详解】第九次由甲掷应该有两种情况：

121

①第n—1次由甲掷，第九次继续由甲掷，此时概率为

363

(12、2

②第n—1次由乙掷，第九次由甲掷，此时概率为1—痛(1—《I).

由于这两种情况是互斥的,

i9i9

因此月=.月_|+.(1—只_J,2与之间的关系式是E,=—QET+Q,其中(〃22).

故选：C.

8.设片，工分别是离心率为Y2的椭圆C:三■+与=1(。〉6〉0)的左、右焦点，过点Fl的直线交椭圆c于

2a厅

A3两点,且|叫|=3闺用,则cos/A&8=()

1J223

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由椭圆的定义结合余弦定理代入计算，即可得到NA=90。，从而得到结果.

【详解】因为工=变,所以°=岳.设|毕|=9〉0),则|叫=3/,河|=由.

a2

(3t)2+(2a—3/)2—(2C)29/+(2a-3424

在耳工中,cosA=

2x3/x(2a-3t)2x3/x(2«-3/)

(4/)2+(2a_3/)2_(2a_1)216产+(24_3力2_(2“_力2

在中,cosA=

2x4/x(2a-3t)2x4/x(2a—3t)

9/+(2a-3/)2-2/_16.+(2a-37)2_(2a—)2

期以2x3tx(2a-3t)—2x4?x(2«-3?)整理得，3at=a1,a=3t*

3

于是IA闾=3r=|A用,\BF2\=5?,|AB|=4?,ZA=90°,cosZAF2B=-.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.把一个正态曲线。沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线力，下列说法中正确的是()

A.曲线b仍然是正态曲线

B.曲线。和曲线b的最高点的纵坐标相等

C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线。为概率密度曲线的总体的期望小2

D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线。为概率密度曲线的总体的方差大2

【答案】AB

【解析】

【分析】利用正态分布的图象与性质判定即可.

[(x-〃)21-2/

【详解】密度函数/(x)=-^e2拼，向右移动2个单位后，密度函数g(x)=-^e2b。，

y/2Tiayj211(7

曲线b仍然是正态曲线，最高点的纵坐标不变，故AB正确；

以曲线6为概率密度曲线的总体的期望值为〃+2,故C错误；

以曲线b为概率密度曲线的总体的方差不变.故D错误；

故选:AB.

10.已知数列｛。“｝的前〃项和为S”,6=2,且S“=2S,i+〃—1(〃之2),则下列结论中正确的是()

A.«„>S,;_1(H>2)B.也+1｝是等比数列

c.Sn<2anDJ畀是递增数列

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题中条件可得a“=S,i+〃-1,判断A；通过两式相减的。“+i=2a〃+1,变形可得出

(3,n=l

an+\=\c，判断B；

12",n>2

根据求和公式结合作差法比较大小判断C,D；

【详解】对于A,由邑=2"_1+〃—15»2)得，

。”=5“_1+〃一1,所以an>S“_].A正确；

对于B,将=S“T+〃-1与4+1=S“+〃整体相减得，a,.=2%+1,

所以。“+1+1=2(%+1),〃22,

又4+%=2q+1，即％=3,

3,n=l

所以4+1=1"

n>2

因此｛4+1｝不是等比数列，B错误;

2,n=l

对于C因为

所以当“之2时，S,=2+22—l+23—l+?+"—=n+l-n-.

当”=1时，51=2<2«].

+in+i

当〃22时，Sn-2an=r-n-l-2.+2=l-n<Q,因此S“<2a“，c正确；

,+1

对于D,因Sn=2'-n-l,

所以*=2一守，

所以祟—|f=—宾+二=券>°，

因此是递增数列，D正确；

故选:ACD.

11.“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点

P（%，x）、的曼哈顿距离为：=忖—%|+|x-丁2卜若点尸（1,2）,点。为圆。：炉+丁2=4

上一动点，则（）

A.点P。,2）和点4（—1,3）的曼哈顿距离为3

1-2在sin,cos^>—

2

B.设0（2cos。,2sin。）,则L=­

PQ]

3-2缶in,cos6<一

14,2

C.乙尸2的最大值为1+2&

D.乙2的最大值为3+20

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据“曼哈顿距离”即可去判断选项A,根据。（2cosO,2sin。），分类讨论去绝对值结合辅助角公

式可求判断选项B,C,D.

【详解】对A,£PA=|1+1|+|2-3|=3,A对;

因为Q(2cosO,2sin。),

1—2加sin［"：J,cos0八>—1

2

所以LPQ=|2cos夕一11+|2sin0-2|=|2cos0-l|+2-2sin0=<B对;

3—2缶+cosd<一

2

当。一二=2E+2/eZ,即6=2E+叁时，1—2&sin（e—四］的最大值为1+2&.满足cose»g

424I

当8+q=2版+型/eZ,即e=2E+2时，3—2任皿（6+二］的最大值为3+20.满足cos(9＜；,

424I4J

则C错，D对，

故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量J~5(2024,0.5),则。(2J+1)的值是

【答案】2024

【解析】

【分析】根据二项分布的方差公式求得。(3=2024x0.5x(1-0.5)=506,再结合方差的性质公式得出结

果.

【详解】因为。（劣=2024x0.5x（1-0.5）=506,

所以D（2J+1）==2024.

故答案为：2024.

n

13.在二项式+\展开式中，所有项的系数和为4096,则此二项式展开式中二项式系数之和是

【答案】16

【解析】

【分析】令x=l，利用各项系数和求出“，再利用二项式系数的性质即可求解.

【详解】在二项式［7«+十］的展开式中，令x=l,

得，（7+1）"=4096,

即，23"=2%

解得，n=4,

所以二项式系数和为24=16.

故答案为：16.

2"+2

14.若不等式lnx+------左NO(左eZ)对任意%>2恒成立，则整数上的最大值是.

x

【答案】3

【解析】

【分析】将不等式化为xlnx»Ax—2(左+l),x>2,令g(x)=Tiu"(x)=Ax—2(k+l),将问题转化为直

线与曲线相切，进而求不等式的最值即可.

令g(x)=xlnx，Mx)=Ax—2(A+l),显然直线人⑺过定点(2,-2),

因为g(尤)=xlnx的定义域为(0,+8),贝ijg'(x)=lnY+l,

所以当I。,］时，g(x)单调递减，当，,+同时,

g(x)单调递增,

可以画出曲线y=g(x)的草图(如图)，

由图象可知，直线h(x)=kx-2(k+\)的极限位置是与曲线y=g(x)相切，

设切点是4(％,%),则切线方程是y-X011«0=(l+liu0)(x-x0),

将点(2,—2)代入得，—2—/1叫=。+1叫)(2—/)，即%—21叫)—4=0,则左Wl+lnxo=3^二

令0(x)=x-21nx-4,x>2,贝!J"(%)=1——>0,夕(%)在(2,+8)内单调递增,

又因为。⑻=4-21n8=2(lne2—ln8)(0,o(9)=5-41n3:0,在％0-21叫一4=0中％e(8,9),于是

左故整数上的最大值是3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了函数恒成立问题，直线与曲线相切应用，导数应用以及函数最值问题，体现了转化和数

形结合思想，是一道难题.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数+1,其中aeR,e为自然对数的底数.

(1)求了(%)的极值；

(2)若/(%)有两个零点，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)(0,e-2).

【解析】

【分析】(1)先对函数进行求导，对参数分类讨论，求解函数极值；

(2)根据“X)有两个零点转化为a=—(x+l)e"令g(x)=—(x+l)e』,xeR,利用函数求导判断函数

g(%)单调性和在不同范围内函数的值域求得。的取值范围.

【小问1详解】

一n

/r(x)=-aeTx+1=——--,xeR.

T一〃

当a<0时，/'(%)=R上单增，既没有极大值，也没有极小值.

e

ex-n

当a>0时，令/'(%)=——-—=0,则eX-a=0,x=lna

当xe(-oo』na)时，/,(x)<0,/(x)在(-oo,lnn)上单减，

当xe(inn,+8)时，/'(%)>0,/(x)在(lm,+oo)上单增，

所以/(九)的极小值为/(lna)=ae-lna+ln«+l=2+ln«,没有极大值.

【小问2详解】

由/(x)=。得,a=-(x+l)ex.令g(x)=—(x+DetxeR.

则g'(x)=—(x+2)e”,当xe(-oo,-2)时,g<x)>O,g(x)单增；

当xe(-2,+oo)时,g<x)<O,g(x)单减.因此8(力48(-2)=己2.

显然当为<-1时，g(x)>0；当］〉一1时，g(尤)<0.

当0<a<e-2时，直线丁=。与函数g(x)的图象有且仅有两个公共点，

即函数/(%)有两个零点.

故〃的取值范围是(0,-2).

16.如图，在四棱锥P-A5CD中，底面矩形A3CD垂直于侧面R4。，且24,ARE、户分别是棱

AD、PC的中点，AD=42AP=42AB.

(1)证明：PC_L平面班反；

(2)若AD=①,求二面角尸—BE—C的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)6

2

【解析】

【分析】(1)由面面垂直可得B41■平面。A。，则5AJ_R4,由几何知识可得上户_1_尸。,BFLPC,

结合线面垂直的判定定理分析证明；

(2)建系标点，可得平面5环、平面A3CD的法向量，利用空间向量求二面角.

【小问1详解】

因为A3CD为矩形，则B4LAD，

且平面ABCD平面PAD，平面ABC。c平面PAD=AD,BAu平面PAD,

则平面R4D，且B4u平面PAD，所以

连接PE、EC.

在RSPLE和Rt^COE中，PA=AB=CD,AE=DE,

可知RjME全等于RtaCDE.则PE=CE,

且歹是PC中点，则所，PC.

在中，PBMJPA?+AB?=eAB=AD=BC，

而尸是尸C的中点，则"，PC.

且BFcEF=F，BF,EFu平面BEF,所以PCI平面3跖.

小问2详解】

以A为坐标原点，AP,AD,AB所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-邙,

则P（l,0,0）,C（0,V2,l）,可得定=/1,61）,

由（1）知，卮=（—1,血,1）是平面5跖的法向量,

且平面A3C。的法向量是Q=（1,0,0）.

PCAP

可得cosPC,AP=

RPR2,

所以二面角F-BE-C的正弦值为v

17.已知。为坐标原点，A是抛物线。：炉=2加（0〉0）上与点。不重合的任意一点.

（1）设抛物线C的焦点为尸，若以尸为圆心，E4为半径的圆尸交。的准线/于M、N两点，且

NMFN=90。,AAMN的面积为40，求圆产的方程；

（2）若8是抛物线。上的另外一点，非零向量豕砺满足|函+砺|=|砺-可，证明：直线A3必经

过一个定点.

【答案】（1）/+⑶―1）2=8

（2）证明见解析

【解析】

【分析】⑴求出阳用，点A到准线/的距离2=|同/，利用%则=40求出。可得答案；

（2）方法一，对|西+无卜|西—砺|两边平方得设A（石，乂），5（%2，%），设直线

A5的方程为y-y=，2%（x-xj,结合抛物线方程得丁一%="上（工一七），再由石/+%%=。

%2%]2p

可得答案；方法二，对|西+3吊=|函—国两边平方得%々+M%=0,设人（%，%），5（々，%），设直

线AB的方程为y=kx+b与抛物线方程联立，利用韦达定理结合%々+%%=°可得答案.

【小问1详解】

准线/为y=-与F（o,S到/的距离是P.由对称性知，

△MF7V是等腰直角三角形，斜边"W|=2p,

点A到准线/的距离4=|£4|=|根|=夜〃，

SAAMN=^x\MN\xd=4^/2,解得p=2,

故圆产的方程为公+（丁-1）?=8；

【小问2详解】

方法一，因为国+网=但一国，

I--»|2I---.|2--»---.--►---.I--J2I---J2

所以OA+\OB\+20A-OB=-20AOB+\OA+\OB\,

所以。4_1_06%%2+%%=0，

设A（%,yJ、B（x2,y2）,A>3在抛物线。：炉=2py（p〉0）上,

则》：=2〃弘、x[=2py2.

显然直线AB的斜率存在，

%—y

则直线AB的方程为y-y=

x2—玉

,2,2

将％=¥、%=M代入得'2p2p

2p2py-y=——-x-xj

x2-x1

x+x

即fl二矢9」

2P

令x=0,得、一%=?•（-七）,y=-芋，（*）

2p2pv7

22

八.XiXn„

由t％M+%%=0Z得|=，X[X+=0,

124p~

因为石々片0（否则，浜砺有一个为零向量），

所以%工2=-4.2,代入（*）式可得y=2。，

故直线A3经过定点（0,2夕）.

方法二，因为|次+3同=|函—词，所以次，砺,%%2+3％=°，

设A（%,yJ、B（x2,y2）,A>3在抛物线C:f=2py（p〉0）上，

贝ijx；=2p%、%；=2py2,

显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为、=履+），

联立c消去y得到，

〔%=2py

2

x-2pkx-2pb=0,xl+X2=2pk,x1x2=-2pb,

由石々+%%=0得，占龙2।小;=0,

4P2

因为石马/。（否则，旅砺有一个为零向量）,

所以七％2=-4.2,gp-2pb=-4p2,b=2p,

因此y=就是y=Ax+2p.故直线AB经过定点(0,2夕).

【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情

况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，

根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方

程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距

式来证明.

18.某市一些企业，由于没有技术更新业务受到形响，资金出现缺额，银行将给予低息贷款的扶持.银行制

定了评分标准，根据标准对这些企业进行评估，然后依据企业评估得分将这些企业分别定为优秀、良好、合

格、不合格四个等级，并根据等级分配相应的低息贷款数额.为了更好地掌握贷款总额，银行随机抽查了部

分企业，得到以下两个图表数据.

频率

评估得分[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]

评定类型不合格合格良好优秀

贷款金额（万

0200400800

元）

（1）任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好的概率（将频率近似看做概率）;

（2）对照上表给出的标准，这些企业进行了整改.整改后，优秀企业数量不变，不合格企业、合格企

业、良好企业的数量成等差数列.要使这些企业获得贷款的数学期望不低于410万元，求整改后不合格企

业占企业总数百分比的最大值.

【答案】（1）0.45

（2）10%

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图可得，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率,则可得抽到的等级是优秀或

良好的概率；

（2）设整改后，抽到不合格、合格、良好的概率分别为"c,则a,仇。也成等差数列，即2b=a+c,又

a+Z?+c+0.25=l,可得人=O.25,a+c=0.5,列出分布列，可求得£（4）=450—400a,又数学期望不

低于410,列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值.

【小问1详解】

设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是品E，A，8，

则根据频率分布直方图可知，

^=0.015x10=0.15,^=0.04xlO=0.4,P3=0.02xl0=0.2,8=0.025xl0=0.25.

故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为鸟+A=0.2+0.25=0.45.

【小问2详解】

设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为4C,

因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以