北师大版八年级数学常见题型专练：实数（4种题型）（原卷版）

第07讲实数(4种题型)

O【知识梳理】

一.实数

(1)实数的定义：有理数和无理数统称实数.

(2)实数的分类：

按定义分：

、诩「有理数：有限小数或无限循环小数

实数［4无理数：无限不循环小数

按与0的大小关系分：

'正有理数

正数＜

、正无理数

实数0

，负有理数

负数＜

、负无理数

二.实数的性质

(1)在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样.实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与

原点的距离.

(2)实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，。的绝对值是0.

(3)实数。的绝对值可表示为同={a"NO)-a(a＜0),就是说实数。的绝对值一定是一个非负数，即

|a|N0.并且有若|x|=a(。20),则尤=±a.

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若。与b互为倒数，则必=1；反之，若必=1,则。与b互为倒数，这

里应特别注意的是0没有倒数.

三.实数与数轴上的点的关系

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示

的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数。的绝对值就是在

数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点

左侧，绝对值大的反而小.

我们尝试用数轴上的一个点来表示正.

由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形465,它的边长为行.观

察正方形/及力,可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1.

这样，就在数轴上确定一个点来表示后.

要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个

实数.数轴上的点与实数一一对应。

四.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又

可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加

减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角

函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，

无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

二」【考点剖析】

实数（共7小题）

1.（2022秋•大田县期中）把下列各数填入相应的括号内：-1,牛石，O.p-3.14,J丽，（-\历）2,

3

1.010010001

(1)无理数：｛••

(2)负实数：｛

(3)整数：｛______________________•••}

(4)分数：｛______________________…}

2.（2022秋•城阳区期中）把下列各数填入相应的集合内:

刻两，4而，3.1011,0.3737737773-（相邻两个3之间7的个数逐次

加1).

（1）整数集合｛-｝;

（2）分数集合｛-｝；

（3）无理数集合｛…｝.

3.（2023春•凯里市校级期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：

-2.4,n,2.022,-0.15,0,-10,-1.1010010001-.

3

整数集合：｛｝;负分数集合：｛）;

正实数集合：｛｝;无理数集合：｛｝.

4.（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：

5.（2022秋•浑南区月考）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内:

1—,-0.25,2.3,如^,0,«-2,日，近；

423

负实数集合｛…｝；

有理数集合｛…｝;

无理数集合｛•,•｝.

6.（2022秋•浚县期中）把下列各实数填在相应的大括号内；

4,-|-3|,0,宇，-3.1,泥，1.1010010001-

整数：{};

分数：{};

无理数：{};

负数：{}.

7.（2023春•东莞市月考）把下列各数填到相应的集合内（只填序号）：

①2«；②-/③壮④0.54：⑤0.1：；⑥?；⑦0；⑧-23；⑨（V7）2;⑩0.3020020002…（相

39

邻两个2之间0的个数逐次加一）

有理数集合：{-}.

无理数集合：{-}.

正实数集合：{-}.

负实数集合：{-}.

二.实数的性质（共6小题）

8.（2023春•仙游县校级期中）遥-2的相反数是（）

A.-0.236B.娓+2C.2-75D.-2+^/5

9.（2023•泗县校级模拟:）-心的倒数是（)

B.近

A.MC.-日D.

33

10.（2023春•晋安区期中）在下列各组数中，互为相反数的是（)

A.-3与«B.|-3|与-上C.1-a|与-遥D.3与［(-3)2

3

11.（2023春•景县期中）-y的绝对值是（)

A.-4B.4C.-2D.2

12.（2022春•海淀区校级期中）已知正数。的两个平方根分别是2x-3和1-尤，近瓦■与多丽有互为相

反数，求a+2b的值.

13.（2022秋•苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出-50653的立方根？他进行了如下

步骤:

①首先进行了估算：因为1（）3=1000,10（）3=1000000,所以知50653是两位数;

②其次观察了立方数：/=1,23=8,33=27,43=64,53=125,63=216,73=343,83=512,93=729；

猜想力50653的个位数字是7;

③接着将50653往前移动3位小数点后约为50,因为¥=27,43=64,所以病演的十位数字应为3,

于是猜想力50653=37,验证得：50653的立方根是37；

④最后再依据“负数的立方根是负数”得到t-50653=-37,同时发现结论：若两个数互为相反数，则

这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立.

请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：

⑴力-117649=----------------；

（2）若知i-2x+我=0,贝壮=-------；

已知力x-2+2=x，且刎y-1与m-2x互为相反数，求x，y的值.

三.实数与数轴（共7小题）

14.（2023春•上思县期中）如图，点A表示的实数是（）

A.MB.-V3C.娓D.-V5

15.（2023春•长沙期中）如图，3,丁五在数轴上的对应点分别为C,3,点C是A8的中点，则点A表示

的数是（）

oACB

03旧

A.-VT1B.3-VTlC.Vil-3D.6-VT1

16.（2023春•东莞市校级期中）如图，点E表示的数为（）

17.（2023春•郑城县期中）如图，实数a在数轴上的位置如图所示，化简：|a-料|=（

a

|I.1|I»

-10123

A.-a-^2B.a+^2C.A/2-aD.a-V2

18.（2022秋•济南期末）已知数轴上两点A,B,其中A表示的数为-2,8表示的数为2,AB表示A,8两

点之间的距离.若在数轴上存在一点C,使得AC+8C=w,则称点C为点A,8的““节点”.例如图1

所示，若点C表示的数为0,有AC+BC=2+2=4,则称点C为点A,B的“4节点”

（1）若点C为点A,2的“"节点”，且点C在数轴上表示的数为-3,则“=；

（2）若点D为点A,8的“4、门节点”，请直接写出点。在数轴上表示的数为;

（3）若点E在数轴上（不与A,8重合），满足A,E两点之间的距离是B,E两点之间的距离的6倍，

且点E为点A,8的“〃节点”，求"的值.

ACB

―i----------1------------i-----------1-----------

-2-1012

图1

AB

—i--------1----------1---------1---------

-2-1012

备用图

19.（2021秋•绥宁县期末）如图1,这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

（1）求出这个魔方的棱长.

（2）图中阴影部分是一个正方形ABC。，求出阴影部分的面积及其边长.

（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2,使得A与-1重合，那么D在数轴上表示的数

20.（2023春•雷州市校级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点8,点A表示

设点8所表示的数为小.

（1）实数m的值是；

（2）求|加+1|+|1|的值；

（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d,且有|2c+@与底工互为相反数，求2c-3d的平

方根.

AB

1.11.1।A

-2-1012

四.实数的运算（共7小题）

21.（2023•大安市四模）计算：e）7+（兀韭）。=—•

22.（2022秋•沧州期末）对于任意的实数m,n,定义一种词m*n=mn+n+m,则（4+2^^）*（4-2^5）

=()

A.-4B.4C.-4遥D.4代

23.（2023春•长垣市期末）计算:&旧

24.（2023•鼓楼区校级一模）计算：|一3|+（1）0-爪・

25.（2023春•东莞市期中）计算：打一2）+（7）2023.

26.（2023•金安区校级三模）计算：^+|73-1|+1^27-

22

27.(2023春•利川市期中)计算：(_2)+^64+7(-2)+|1-V3I-

【过关检测】

一、单选题

2TC

1.（2023・江苏•八年级假期作业）在实数0,6,-3.14,丁-0.1010010001...（每两个1之

间依次多1个0）,（乃-3.14）°这8个实数中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2022秋・八年级单元测试）-27的立方根与81的平方根的和是（）

A.6B.0C.6或—12D.0或6

3.（2023・江苏•八年级假期作业）已矢口〃="b=2,c=石，贝IJ。、b、c的大小关系是（）

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

4.（2022秋•甘肃兰州•八年级统考期末）在实数兀，君,14141中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2023春・广东汕头•八年级统考期末）如图，矩形A3CE）的边AD在数轴上，若点A与数轴上表示数-I

的点重合，点。与数轴上表示数-3的点重合，AB=l,以点A为圆心以对角线AC的长为半径作弧与数轴

负半轴交于一点E,则点E表示的数为（）

A.-75B.1-^/5C.-1-75D.-1-73

6.（2022春•八年级单元测试）在数轴上，下列各数所表示的点在表示2的点右侧的数是（）

A.5/2B.5/3C.D.y/s

7.（2023秋•江苏淮安•八年级统考期末）关于旧的叙述错误的是（）

A.是无理数B.在数轴上存在表示风的点

C.岳=贬+邪D.V13>3

8.（2023秋・河北石家庄•八年级校考期末）如图，在数轴上标有。，A,B,C,。五个点，根据图中各点

所表示的数，判断也应该在下列线段的（）

OABCD

-023~3^6~~5^8~

A.上B.AB±.C.8C上D.CDh

9.（2023春•江西南昌•八年级统考期末）在下列四个数中，最大的数是（）

A.73B.-A/6C.75D.-72

10.（2022秋・辽宁沈阳•八年级统考阶段练习）如图，输入帆=2及，则输出的数为（）

/输入加/~»平方------—是---------------J输出/

开方<一乘2<—否

A.8B.16C.32D.64

二、填空题

11.（2023・江苏•八年级假期作业）在下列数中：-石，1.732,卜四，1-42,0.643,-（-1）2"（〃为正

整数），4+0.有理数是;无理数是.

12.（2023・江苏•八年级假期作业）把下列各数的标号填在相应的大括号内：①2,②T，③2力，④

25%,©0.25555...,⑥-0.040040004…（每两个4多一个0）.

（1）有理数集合：｛）;

（2）无理数集合：｛｝.

13.（2023•全国•八年级假期作业）小华编写了一个程序：输入尤一立方根-算术平方根-2,则x为一.

14.（2023春.辽宁.八年级期末）计算：（-1）°+|1-^|=.

15.（2023春・广西南宁•八年级统考期中）若。，b为实数，且卜+2|+^/^=0,则（a+by02'的值是

16.（2022秋•八年级单元测试）存的相反数是.应-2的绝对值是.

17.（2022秋广东清远•八年级校联考期中）若5/T万+（4-y『=0,则而=.

18.（2022秋.吉林长春•八年级校考阶段练习）观察下列依次排列的一列数，母,2,娓,2母,

回，…,按这个规律写出第w个数：（第w个数）.

19.（2023春・安徽•八年级统考期末）如图，A、B、C分别为数轴上的三点，且AB=3C,若点8对应的实

数为1,点C对应的实数为近，则点A对应的实数为.

ABC

।illa

O173

三、解答题

20.（2023春・福建泉州•八年级统考期末）计算：（乃-2023）°-庄+1工

-1

21.（2023春•云南昭通•八年级校考期末）计算：-（-2022）+（兀-3.14）°+啦7+（-1

22.（2022秋•山东青岛•八年级校考阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里:

22_______.Jr

—s/12»0,—,yJ—125,0.1010010001--•,\]102>0.3,-不

有理数集合：｛｝；

无理数集合：｛｝；

负实数集合：｛｝.

23.（2023•全国•八年级假期作业）如图，AABC是张大爷的一块小菜地，已知8是AASC中AB边上的

高，AC^5,CD=4,BC=3AD,求2。的长.（结果保留根号）

24.（2022春•八年级单元测试）观察下列各式:

i+4+4=i+---=i-；i+^+4=i+---=i-?

I2221222232