北京市海淀区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

北京市海淀区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.一个三角形两边的长分别是3和5,则这个三角形第三边的长可能是（）

A.1B.1.5C.2D.4

2.下列图中，是轴对称图形的是（）

3.运算正确的是（）

A.x3+x3-x6B.x2-X3—x6C.（X。）=x6D.%64-x3=x2

4.如图/I,N2是四边形A8C。的外角，若/1=72。，/2=108。，贝1JN4+/C=（）

A.160°B.170°C.180°D.190°

5.如图，三条公路两两相交，现计划在VN2C中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置

到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是V/5C（）

A.三条中线的交点B.三边垂直平分线的交点

C.三条高的交点D.三条角平分线的交点

6.如图，40是V/3C的中线，点、E,歹分别在/。和40的延长线上，且DE=DF,连接

BF,CE,则下列说法错误的是（）

试卷第1页，共6页

A

A.ABDF"ACDEB.△/B。和A/C。周长相等

C.BF//CED.和A/C£>面积相等

7.已知Xm=6,Xn=3,贝IX2m-n的值为（）

A.9B.39C.12D.108

8.如图，在VABC中，NC=30。，将VABC沿直线/折叠，使点C落在点。的位置，则Zl-Z2

9.如图，尸为V4BC内一点，过点尸的线段"N分别交/2、3c于点M、N,且M、N分

别在尸/、PC的中垂线上.若/48C=80。，则N/PC的度数为（）

B

A.120°B.125°C.130°D.135°

10.如图，在平面直角坐标系中，对V48C进行循环往复地轴对称变换，若原来点C的坐标

是（3,1）,则经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（）

试卷第2页，共6页

C.(-3,T)D.(3,T)

二、填空题

II.如图，当自行车停车时，两个轮子和一个支撑脚着地，自行车就不会倒，其中蕴含的数

学原理是.

12.已知f+i6x+无是完全平方式，则常数左等于.

13.若点尸（比，3）与点。（1，"）关于y轴对称，则机=;n=.

14.若x-加与2x+3的乘积中不含一次项，则加的值为.

15.如图，VN5C中，为/2/C的角平分线，作8。垂直于D,A/CD的面积为8,

则VABC的面积为.

16.如图，已知△/8C三个内角的平分线交于点。，点。在G4的延长线上，且。C=8C,

AD=AO,若N3/C=100。，则N3CN的度数为.

试卷第3页，共6页

D

三、解答题

17.计算:

(l)x3-X5-^2X4j2+x104-X2;

%—〃)+(机-")2-4m(TW—.

18.已知#7-1=0,求代数式(2x+5)(2x-5)+2x(x-l)的值.

19.如图，在10x10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△/2C

(即三角形的顶点都在格点上).

(1)在图中作出V/BC关于直线/对称的瓦G；(要求：/与4,B与Bi，C与G相对应)

(2)V48c的面积是」

(3)若有一格点P到点N、8的距离相等(尸/=可)，则网格中满足条件的点尸共有一个；

⑷在直线/上找一点。，使。3+0C的值最小.

20.如图，在VN2C中，4D是高，BE是角平分线，它们相交于点R/A4c=58。，ZC=72°,

求ZDAC和ZAFB的度数.

试卷第4页，共6页

21.如图，在V/8C中，AB=AC,。为BC边上一点，过。作/££>b=/8,分别与48,

/C相交于点E和点厂.

⑴求证：/BED=NFDC；

Q)若DE=DF,求证：BE=CD.

22.回答下列问题

⑴填空"+>卜5-—十一：+一

(2)若5,贝|)。2+±_=；

a

(3)若/-30+1=0,求/H—的值.

a

23.在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲

种纸片是边长为X的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为宽为X的

长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方

形.

图1图2

(1)观察图2,用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式,请你直接写出这个等式;

(2)利用(1)中的等式解决下列问题.

①已知/+62=10,a+b=6,求。6的值;

②已矢口(2021—c)(c-2019)=l,JR(2021-c)2+(c-2019)2的值.

24.如图，在长方形纸片/BCD中，点P在边8C上，将长方形纸片沿/尸折叠后，点8的对

应点为点2',PB，交AD于点、Q.

试卷第5页，共6页

⑴判断/D/P和乙4尸。的大小关系，并说明理由；

(2)连结尸D,若尸。平分尸C,ZPDA=55°,求N/P8的度数.

25.在VN8C中，/O,BO分别平分

图I图2图3

(1)如图1,若NC=32。,则N/O8=_；

(2)如图2,连接OC,求证：0c平分N/C5；

(3)如图3,若NABC=24CB,N3=4,/C=7,求08的长.

26.(1)【问题提出】如图1,在Rt^ABC和Rt/\CDE,己知ZACD=ZB=ZE=90°,AC=CD,

B、C、E三点在一条直线上，AB=5,DE=65,则BE的长度为一.

(2)【问题提出】如图2,在中，ZABC=90°,BC=4,过点C作。C,且

CD=AC,求△BCD的面积.

(3)【问题解决】某市打造国家级宜居城市，优化美化人居生态环境.如图3所示，在河流

8。的周边规划一个四边形N3C。巨无霸森林公园，按设计要求，在四边形/3CD中，

ZABC=ZCAB=ZADC=45°,AC=BC,A/CD面积为12km?，且CD的长为6km,贝！J河

流另一边森林公园△8C。的面积为_km2.

ffil图2图3

试卷第6页，共6页

参考答案:

题号12345678910

答案DCCCDBCDCA

1.D

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小

于第三边.先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可.

【详解】解：设三角形第三边的长为X,则

5-3<x<5+3,即2<x<8,

只有选项D符合题意.

故选D.

2.C

【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠

后可重合.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图

形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁

的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，

所以是轴对称图形，

故选：C.

3.C

【分析】根据合并同类项，同底数幕的乘除法以及幕的乘方计算法则进行求解判断即可.

【详解】解：A、计算错误，不符合题意；

B、V汝3=/,计算错误，不符合题意；

C、计算正确，符合题意；

D、x6^x3=x\计算错误，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幕的乘除法以及幕的乘方计算，熟知相关计算

法则是解题的关键.

答案第1页，共16页

4.C

【分析】本题考查了邻补角，四边形内角和.明确角度之间的数量关系是解题的关键.

根据NABC=180。一/I,ZADC=180°-Z2,+/C=360°-ZABC-NADC,计算求解

即可.

【详解】解：由题意知，N4BC=180。一Nl=108。，N/OC=180。-/2=72。，

NN+NC=36(r-N48C-N/OC=180°,

故选：C.

5.D

【分析】根据三角形内心的性质解答即可.

【详解】△N8C三个内角的平分线交于一点，且到三边的距离相等，所以探照灯的位置是

三条角平分线的交点.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，即三角形的三个内角的平分线交于一点，且到

三边的距离相等.

6.B

【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的判定与性质，本题先证明

△AD尸2ACDE可判断A,由全等三角形的性质可得尸=/DC£,可判断C,由4D为三

角形的中线可判断B,D,从而可得答案.

【详解】解：•.•/£＞是V4BC的中线，

BD=CD,

又NCDE=NBDF,DE=DF,

：.ABDF"XCDE,故A不符合题意.

NDBF=NDCE,

/.BF//CE,故C不符合题意；

VAB^tAC,BD=CD,

.•.△/8。和人/。。周长不相等，和A/CD面积相等，故B符合题意，D不符合题意

故选：B.

7.C

【分析】将所求的式子拆分成已知条件的式子解出即可.

【详解1x2m-n=x2m^-xn=(xm)2-xn=62-3=12.

答案第2页，共16页

故选c.

【点睛】本题考查同底数幕的除法，关键在于掌握基础运算方法.

8.D

【分析】本题主要三角形外角的性质及轴对称的性质，由轴对称的性质得出=再

由/l=/C+/3,/3=/2+/D,即可得至UZl=/2+/C+ZD=/2+2/C,从而求出答案.

【详解】解：由题意得：NC=ND,

Z1=ZC+Z3,N3=N2+ND,

Nl=/2+/C+/D=N2+2/C,

Zl-Z2=2ZC=60°.

故选：D.

9.C

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到上〃=〃尸,酒=和，根据等腰三角形的性质、

三角形内角和定理计算，得到答案.

【详解】解：：/48C=80。，

NBMN+NBNM=100°,

：河、"分别在尸4、PC的中垂线上，

：.MA=MP,NP=NC,

AMPA=ZMAP=-NBMN,ZNPC=ZNCP=-ZBNM,

22

NMPA+ZNPC=-xl00°=50°,

2

2L4PC=180°-50°=130°,

故选C.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两

个端点的距离相等是解题的关键.

10.A

答案第3页，共16页

【分析】本题考查了坐标与图形规律，读懂图形，找出规律是解答关键.

由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，且经过第2024次变换与经过第4次变

换后点C的对应点相同，进而可得答案.

【详解】解：由题意知，每经过4次变换后点C回到原来的位置，坐标是（3,1）.

,,,2024=4x506,

经过第2024次变换与经过第4次变换后点C的对应点相同，

经过第2024次变换后点C的对应点的坐标为（3,1）.

故选：A.

11.三角形具有稳定性

【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据题意，三角形具有稳定性即可求解.

【详解】解：蕴含的数学原理是三角形具有稳定性，

故答案为：三角形具有稳定性.

12.64

【分析】本题考查了完全平方公式.利用完全平方公式的结构特征判断即可得到人的值.

【详解】解：：/+16》+后是完全平方式，

故答案为：64.

13.m=-1n=3

【详解】分析：根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数求解即可.

详解：：点P（加，3）与点0（1,n）关于y轴对称，

，n=3.

故答案为-1；3.

点睛：本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互

为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，

横坐标和纵坐标都互为相反数.

14.3

2

【分析】先计算（x-加）（2x+3）=2/+（3-2%）x-3机，再由乘积中不含x的一次项，可得

3-2m=0从而可得答案.

答案第4页，共16页

【详解】解：*.*（x-m）（2x+3）=2x2-2mx+3x-3m=2x2+（3-2m）x-3m且2x+加与x+2

的乘积中不含工的一次项，

3—2m=0

,3

..m=—

2

故答案为：＜3

2

【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算，多项式中不含某项，掌握以上知识是解题的关键.

15.16

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线性质，熟练掌

握三角形的中线平分三角形的面积是解答的关键.如图，延长3。交/C于E,利用ASA证

明AADB'ADE,得到BD=DE,进而推出S.的=S-，%*=%℃，即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长交/C于E,

：40为NA4c的角平分线，ADLBD,

：.ABAD=NEAD,ZADB=ZADE=90°,

又,:AD=AD,

：./^ADB^AADE(ASA),

BD=DE,

•V_Vc_c

,•3ADB~3ADE，3EDC_3BDC，

,^/\ABC=S“DB+/SADE+SMDC+S国DC，

••^^ADE+，AEDC=5S“BC，

即SyNg。=^SNACD=16,

故答案为：16.

答案第5页，共16页

16.30°

【分析】由角平分线的定义得/A4O=/C4。，NABO=/CBO,ZBCO=DCO,边角边证

明△BC。咨△OC。，其性质求得/C30=/。；根据等腰三角形的判定与性质，三角形的内

角和定理求得/3C4的度数为30°.

【详解】解：如图所示：

：/。、BO、CO是三个内角的平分线，

：.ZBAO=ZCAO,NABO=/CBO,ZBCO=ZDCO,

在ABCO和△DC。中，

oc=oc

<ZBCO=ZDCO,

BC=DC

:.△BCOeXDCO(&4S),

：.ZCBO=AD,

又•:NA4C=100。，

.\ZG4(9=-Z^C=-xl00°=50°,

22

又；4D=40,

：./D=/AOD,

又,：NCAO=/D+/AOD,

：.ZD=-ZCAO=-x50°=25°,

22

：.ZCBO=25°,

：.ZCBA=50°,

又,:ZBAC+ZABC+ZBCA^ISO°,

：.ZBCA=1SQ°-100°-50°=30°,

故答案为：30。.

【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和

答案第6页，共16页

定理，三角形外角的性质，熟知以上知识点的性质定理是解题的关键.

17.(l)-2x8

(2)~m+n

【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

(1)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；

(2)先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外,

即可解答.

【详解】(1)解：X3-X5-(2X4)2+X10^X2

=X8-4X8+X8

(2)解：+—")+(5一“)一一4加(加一〃)卜2加

=(加2—"2+m2—2mn+n2—4»?2+4优〃)+2机

=(-2加2+2加〃

=-m+n.

18.-23

【分析】本题主要考查了整式的混合运算.根据题意可得3%2_、=1,再根据平方差公式计

算并化简，然后把3%2_工=1代入，即可求解.

【详解】解：:3%2一九一1=o,

••3——%=1,

(2x+5)(2x-5)+2x(x-l)

—4——25+2x?-2x

—6%2—2x-25

=2(3X2-X)-25

=2x1-25

=—23

19.(1)见解析

(2)5

(3)4

答案第7页，共16页

⑷见解析

【分析】（1）分别作出三顶点/、B、c关于/的对称点4、4、G，再依次连接即可;

（2）利用割补法结合网格的特点即可求解；

（3）根据网格特点作出线段的垂直平分线后，即可确定点尸的个数；

（4）连接2G交直线/于点。，则点。满足条件要求.

【详解】⑴解：作图如下:

(2)解：S,=4x3-—x4x2-—x1x3-—x1x3=5；

"RC222

故答案为：5；

（3）解：作出线段的垂直平分线，如图,

则满足条件的格点有4个;

故答案为：4；

（4）解：如图，连接BQ交直线/于点0,则点。满足Q8+0C的值最小.

答案第8页，共16页

【点睛】本题考查了作轴对称图形，作线段垂直平分线，两点间线段最短，割补法求图形面

积等知识.

20.ZDAC=1S°,ZAFB=U5°

【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的高线和角平分线的性质，熟练掌握三角形

的内角和定理的运用是解答的关键.

由高线可得N/DC=90。，由三角形的内角和可求得/ABC=50。，ZDAC=18°,从而可求

得NB4D=40。,再利用角平分线的定义可得N/3F=25。，再次利用三角形的内角和即可求

NNFS的度数.

【详解】解：,•,NO是高，

ZADC=ZADB=90°,

V58°,ZC=72°,

ZABC=180°-ABAC-ZC=50°,ADAC=1800-AADC-ZC=18°,

/BAD=ABAC-ACAD=40°,

是N/2C的平分线，

/.ZABF=-ZABC=2.5°,

2

ZAFB=180°-ZABF-ZBAD=115°.

21.⑴见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关

键.

(1)根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论；

(2)根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】(1)证明：:NBED=180。-NB-NBDE,ZFDC=180°-ZEDF-ZBDE,

ZEDF=NB,

ABED=NFDC；

(2)解：；AB=AC,

：.ZB=ZC,

在VADE与△CFD中，

答案第9页，共16页

/B=/C

/BED=/CDF,

DE=DF

:.^DBE%FCDgq,

・・・BE=CD.

22.(1)2；2

(2)23

⑶7

【分析】⑴将+和展开，观察与/+1的差异即可得到结果；

(2)将。+：5等式两边同时平方，得到/+2+[=25,移项计算即可求得/+4的值；

aa

(3)将等式/-3a+l=0两边同除。得：«-3+-=0,移项得。+工=3,再将等式两边平

aa

方整理即可求得结果.

【详解】(1)解：•.・1+,丫=工2+2+4,

Ix)x

故答案为：2；2

⑵解：・・・4=5,

,,|67H—|—/+2H———25，

Va)a

1

a9-\—-=25—2=23；

a

故答案为：23

(3)解：=。=0时方程不成立,

aw0,

答案第10页，共16页

。2-3。+1=0,

两边同除。得：”-3H—=0,

a

移项得：。--=3,

a

a2+--T-={a+—>1—2=7.

aa)

【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，解决本题的关键是能灵活运用完全平方公式.

23.(l)x2+j^2=(x+y)2~2xy

⑵①仍=13②2

【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟悉掌握完全平方公式是解题的关键.

(1)利用面积法进行计算，即可解答；

(2)①利用(1)的结论可得：1+/=6+“2_2a心然后进行计算即可解答；

②设2021-c=a,c-2019=6,贝3+6=2,ab=\,然后利用(1)的结论进行计算即可

解答.

【详解】(1)解：由题意得：阴影部分的面积=/+/=(工+#2一2中，

BPx2+y2=(x+-2xy；

(2)①由(1)可得:a2+b2=(a+b^-2ab,

Va2+b2=i0,a+b=6,

10=36—2ab,解得：ab=13；

②设2021-c=a,c-2019=6,

**-a+b=2021—c+c—2019=2,

V(2021-c)(c-2019)=l,

・・ab—1,

.,.(2021-c)2+(c-2019)2=a2+ft2

=(a+6)2-lab

=4-2x1

=2.

答案第11页，共16页

24.(1)ZDAP=ZAPQ,理由见解析

(2)ZAPB=35°

【分析】本题考查了长方形与折叠性质，平行线的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题关

键.

(1)由折叠性质可得乙4尸5=乙4尸0,再由两直线平行内错角相等即可得出结论；

(2)根据角平分线定义以及平行线性质可得尸。尸。=55。，结合//尸8=/0尸4即

可求出结果.

【详解】(1)解：NDAP=NAPQ,理由如下：

V长方形纸片ABCD沿AP折叠,

：.ZAPB=NAPQ,

・・•四边形是长方形，

・・・AD//BC,

・・・ZAPB=/DAP,

ZDAP=ZAPQ；

(2)解：,・•四边形/BCD是长方形，

・•・AD//BC,

：./DPC=/PDA=55。,

・.・尸。平分/。℃,

・・.NDPC=NDPQ.

.•・ZDPQ=ZDPC=55°,

：.ZQPC=ZDPC+ZDPQ=110°,

ZBPQ=180。—ZQPC=70°,

又・.・ZAPB=ZQPA,

ZAPB=^ZBPQ=35°.

25.(1)106°

⑵见解析

(3)08=3

【分析】(1)根据三角形的内角和定理得到NC43+434=180。-"=148。，根据角平分线的

定义得到ZBAO+ZABO=^(ZBAC+ZABC)=1xl48°=74°,根据三角形的内角和定理得到

答案第12页，共16页

ZAOB=180°-(Z&4O+ZL4BO)=180°-74°=106°；

(2)如图2,过。作于E,。尸，/C于尸，OGL8c于G,根据角平分线的性

质和角平分线的定义即可得到结论；

(3)在NC上截取,连接(W,根据角平分线的定义得到=根据全

等三角形的性质得到。"=08,44Mo=^30,根据等腰三角形的判定和性质即可得到结

论.

本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形

的内角和定理，正确地作出辅助线是解题的关键.

【详解】(1)解：••・NC=32。,

NCAB+ZCBA=180°-NC=148°,

VAO.8。分别平分/A4C、ZABC,

ZBAO=-ZBAC,ZABO=-ZABC,

22

ZBAO+ZABO=+ZABC)=|xl48°=74°,

.­.ZAOB=1SO°-(ZBAO+ZABO)=180°-74°=106°,

故答案为：106。；

(2)证明：如图2,过。作OE_L48于£,。尸J./C于尸，。6,8。于6,

VAO>80分别平分NA4C、NABC,

图2

OE=OF,OE=OG,

OF=OG,

：OC平分/4C2；

(3)解：在NC上截取4M=/3,连接(W,

平分NB/C

答案第13页，共16页

:.ABAO=AMAO,

AO=AO,

：.△胡。会△M40(SAS),

：.OM=OB,ZAMO=ZABO,

vBO^^ZABC,OC平分//CB,

JZABO=-ZABC,ZACO=-ZACB,