北师大版八年级数学专项复习：勾股定理的逆定理（解析版）

第02讲勾股定理的逆定理

［学蒋目标］

1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理与逆定理的联系与区别.

2.能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题.

3.初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用勾股定理就解决一些几何问题.

4.通过具体例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立

时其逆命题不一定成立.

i|豳基础知£

---------------------I1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知识点1:勾股定理逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+〃=。2,那么这个三角形是直角三角

形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否

为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c）.

（2）验证C?与/是否具有相等关系.若C?+匕2,则△ABC是/C=90°的

直角三角形；若则4ABC不是直角三角形.

注意：当时，此三角形为钝角三角形；当片+匕2>°2时，此三角形为锐

角三角形，其中C为三角形的最大边.

知识点2：勾股数

像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

Q考点剖析

--------------IIIIII1IIIIII1IIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIII-----------------------

考点一：直角三角形的判断

1.（2023八下•怀集期中）下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是

（）

A.鼻、«、7B.5、4、8C.3、5、4D.虎、3、75

【答案】C

【解答】解：A、（/）2+（6）2彳72,不能构成直角三角形，故不合题意；

B、52+42082,不能构成直角三角形，故不合题意；

c、32+42=52,能构成直角三角形，故符合题意；

D、（应）2+（岔）2彳32,不能构成直角三角形，故不合题意.

故答案为：C.

【变式1-1X2023八下•定州期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.9,12,15B.6,8,10

C.V5>2,3D.1.5,2.5,3.5

【答案】D

【解答】解：A、92+122=152,是直角三角形，故不符合题意；

B.62+82=102,是直角三角形，故不符合题意；

C.（V5）2+22=32,是直角三角形，故不符合题意；

D.1.52+2.5V3.52,故不是直角三角形，故符合题意.

故答案为：D.

【变式1-2】（2023八下.会昌期中）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角

形的为（）

A.1,y/2,V3B.4,7,5C.5,13,12D.2,3,

V5

【答案】B

【解答】A."+（鱼）2=（b）2,是直角三角形，故本选项不符合题意；

B.42+52=41=49=72,不是直角三角形，故本选项符合题意；

C.52+122=132,是直角三角形，故本选项不符合题意;

D.22+（4）2=32,是直角三角形，故本选项不符合题意；

故答案为：B.

【变式1-3】（2023八上.开江期末）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角

三角形的是（）

A.2、3、4B.4、5、6C.5、11、12D.8、15、

17

【答案】D

【解答】解：A、：22+32=13¥52=25,.••以2、3、5为边长的三个木棍不能围成直角三

角形，故此选项不符合题意；

B、•.•42+52=4厚62=36,.•.以4、5、6为边长的三个木棍不能围成直角三角形，故此选

项不符合题意；

C、：52+112=146^122=144,...以5、11、12为边长的三个木棍不能围成直角三角形，

故此选项不符合题意；

D、：82+152=289=172,.•.以8、15、17为边长的三个木棍能围成直角三角形，故此选

项符合题意.

故答案为：D.

例2.（2023八上•达川期末）在ZkABC中，乙1,乙B,4C的对边分别为a、b、c，

下列所给数据中，能判断△4BC是直角三角形的是（)

A.a=32,b=42,c=52B.a2—b2=c2

C.Z-A=2zB=3zCD.〃：Z.B：Z.C=2：5：2

【答案】B

【解答】解：A、♦.％2+扭=(32)2+(42)2=91，c2=(52)2=125，­'-a2+b2c2

不是直角三角形，故此选项不符合题意;

B、'."a2—b2=c2)'•az+c2=b2)=90e>是直角三角形，故此选项

符合题意;

QQ

C、A=2z.B=3Z.C,设z/7=%,则ZJ1=3欠，z>B=欠，**•3x+-^x+x=180°^

解得K=（鬻）。，.,・44=（喈^）。，△8=（*）。，4C=（鬻尸・.・△ABC不是直角

三角形，故此选项不符合题意；

D>LA:乙B:zC=2：5：2,设ZJ1=2%，Z-B=5%，ZC=2x,：・2x+5x+2%=180°，

解得T=20。，，.・・乙4=40。，48=100。，4C=40。，•••△/BC不是直角三角形，故此

选项不符合题意；

故答案为：B.

【变式2-1］（2023八上•内江期末）已知的三条边分别为a,b,c,下列条件不能

判断是直角三角形的是（）

A.a2=b2—c2B.a=6,b=8,c=10

C・/_A=+Z,CD.4/：zB：ZC=5：12：13

【答案】D

【解答】解：・.・/=/—c2，

/•a2+c2=b2^

是直角三角形，故A不符合题意；

'•"a2+b2=62+82=100，c2=102=100，

•,«a2+扶=

是直角三角形，故B不符合题意；

•Z.i4=乙B+z.C>Z.i4+Z.B+Z.C=180°,

：.2lA=180%

・••乙4=90。，

•••△43C是直角三角形，故C不符合题意；

丁4/：ZF：Z.C=5：12：13，+乙C=180。，

13

・・4=180°X°=78°，

.二△ABC不是直角三角形，故D符合题意;

故答案为：D.

3.(2023八下.咸宁期中)如图，每个小正方形的边长为1

(1)求四边形的周长；

(2)ZBCD是直角吗？说明理由.

【答案】(1)解：•••每个小正方形的边长为1

-AB=V12+72=5及，BC=y/22+42=2底CD=y/l2+22=病

AD=J32+42=5

，四边形ABC。的周长为5鱼+2遥+遥+5=5a+3遥+5

(2)解：如图所示，连接BD，

BD=>/32+42=5，BC=2CD=近，

•'-BD2=25,BC2+CD2=25,

-'-BD2=BC2+CD2>

:BCD是直角三角形，4BCD是直角.

【变式3-1】2023八上麻州期末）如图：△ABC的三个顶点坐标分别是做一2,0），

（1）在平面直角坐标系中画出△4BC;

（2）判断△4BC的形状，并说明理由.

【答案】（1）解：如图，△4BC为所作；

（2）解：△4BC为等腰直角三角形.

理由如下：•；4（一2,0），B（l,4>C（5,1>

-"-AB='(1+2)2+42=5,BC=7(5-I)2+(1-4)2=5,

AC=J（5+2y+12=5*,

AB2+BC2=AC2,

•••△ABC为直角三角形，乙4BC=9（r，

vAB=CB，

•••△/BC为等腰直角三角形.

【变式3-2】（2022八上.历城期中）如图，正方形网格的每个小正方形边长都是1,△4BC

的顶点在格点上.

（1）判断△4BC的形状，并说明理由.

（2）△4BC面积是，4c边上的高是.

【答案】（1）解：△4BC为直角三角形，

理由：由题意得：AB2=22+32=13,CB2=424-62=52,AC2=I2+82=65,

：-AB2+BC2=AC2,

为直角三角形，

二乙4BC=90。；

（2）13；卷V65

□

【解答】（2）设AC边上的高为h,

由（1）得：AB=V13-BC=V52=2V13,AC=痴，

4BC的面积=；XABXBC=^XV13X2VH=13，

VAABC的面积=3x4CX1

1__

•'2xV65xh=13,

•'•h=^-V65-

的面积为13,4c边上的高为|归.

考点二：勾股数的应用

4.（2021八上•灵石期中）设三角形的三边分别是下列各组数,则不是直角三角

形勾股数的一组是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.5,12,13D.6,8,

10

【答案】B

【解答】本题设三角形三边分别为Q,力，c,（三边不确定）

而分别试求：是否符合直角三角形三边关系:a2+b2=c2

A、32+42=52,故A选项符合；

B、22+32。42,故B选项不符合;

C、52+122=132,故C选项符合;

D、62+82=10"故D选项符合.

故答案为：B.

【变式4-1］（2021八上•城阳月考）下列各组数中不是勾股数的是（）

A.9,15,12B.11,60,61

C.6,8,10D.0.3,0.4,0.5

【答案】D

【解答】根据勾股数的含义知，A、B、C三个选项的三组数均是勾股数，选项D中的

三个数都不是整数，故不是勾股数.

故答案为：D.

【变式4-2］（2021八上.惠来期中）下列各组数中，不是勾股数的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,13,

18

【答案】D

【解答】A、32+42=52,能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

B、52+122=132,能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

C、62+82=102,能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；

D、72+132r182,不能构成直角三角形，故不是勾股数，

故答案为：D.

【变式4-3］（2020八上.昌平期末）下列是勾股数的有（）

①3、4、5；②5、12、13；③9、40、41；（4）13、14、15；⑤夕、再、旧；

⑥11、60、61

A.6组B.5组C.4组D.3组

【答案】B

【解答】解：①32+42=52,故3、4、5是勾股数；

②52+122=132,故5、12、13是勾股数；

③92+402=412,故9、40、41是勾股数；

@132+142+152-故13、14、15不是勾股数；

⑤（77）2+（V10）2=（V17）2，故V7,V10,V17是勾股数；

⑥1"+6。2=6#,故11、60、61是勾股数

是勾股数的共5组

故答案为：B

考点三：勾股定理的逆定理应用

例5.（2022八上.北仑期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地,

已知4。=4米，CD=3米，ZJ1DC=90°>4B=13米，BC=12米，小区为

美化环境，欲在空地上铺草坪.

（1）△ZBC是直角三角形吗？为什么？

(2)小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这

块空地共需花费多少元？

【答案】(1)解：△4BC是直角三角形,

理由：连接4C，

22

在Rt△4CD中，乙1DC=90°,AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=734-4=5（

米），

AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,

AC2+BC2=AB2>

乙4cB=90%

・•・△48C是直角三角形;

(2)解：该空地面积S=S44CB-S/UDC=*x5x12-4x3X4=24(平方米)，

即铺满这块空地共需花费=24X100=2400元.

【变式5-11(2022八上•大丰期中)如图所示四边形ABCD，已知4B=3，BC=4,CD=12,

AD=13,ZB=90%求:

(1)AC的长；

(2)该四边形4BC。的面积.

【答案】（1）解：:△ABC中，AB=3,BC=4,ZB=90%

-AC=y/AB2+BC2=5；

(2)解：S4ABC=\ABBC=1X3X4=6)

•在△/CO中，CD=12，AD=13-AC=5-

.".CD2+AC2=122+52=132=AD2,

•••△4CD是直角三角形，Z.ACD=90°>

,,SAACD=,CD=2,x5x12-30-

'S四边形ABCD=+S^ACD=6+30=36.

【变式5-2](2021八上•嵩县期末)2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日.为

进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动.如

图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片.现

测得==26m，BC=16m，CO=12m，且BD=20m.

(1)试说明/.BCD=90c;

(2)求四边形展区(阴影部分)的面积.

【答案】(1)解：VABCD中，BC=16m,CD=12m,BD=20m,

ABC2+CD2=162+122=400,BD2=202=400,

'-BC2+CD2=BD2)

/.△BCD是直角三角形，/.BCD=90;

(2)解：过点A作AE1BD于点E,

A

^LAEB=90c，

=AD,

i

/­BE=DE=专BD=10(m)，

在RtAABE中，AB=26m,

-AE=ylAB2-BE2=V262-102=24(m)，

;&ABD=-jBD-AE=^x20x24=240(/),

11

,:SABCD=5BC,CD=5X16X12=96(病),

:，S阴影面积=S最BD-S"CD=240-96=144(m2).

［域真题演练

\________________________

----------------------llllllllllltlllllllllllllllllllllllllllll------------------------

1.（南通）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.5,11,12B.2,3,4C.4,6,7D.3,4,5

【解答】解：A、52+112#122,不能组成直角三角形，故此选项错误；

B、22+32^42,不能组成直角三角形，故此选项错误；

C、42+6V72,不能组成直角三角形，故此选项错误；

。、32+42=52,能组成直角三角形，故此选项正确.

故选：D.

2.（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现

有五种正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块（可重复选取）按如图的

方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积

分别是（）

A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1,4,5时，围成的直角三角形的面积是

xV4_V4

2T;

当选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时，围成的直角三角形的面积是亚2H苣;

22

当选取的三块纸片的面积分别是3,4,5时，围成的三角形不是直角三角形；

当选取的三块纸片的面积分别是2,2,4时，围成的直角三角形的面积是亚2Hz=返,

...所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2,3,5,

故选：B.

3.（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”.观

察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数,

弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6,8,10；

8,15,17；…，若此类勾股数的勾为（加23,%为正整数），则其弦是（结

果用含根的式子表示）.

【解答】解：・・•根为正整数，

・・・2根为偶数，设其股是小则弦为〃+2,

根据勾股定理得，（2m）（。+2）2,

解得a=m2-1,

・••弦是〃+2=根2-1+2=W+1,

故答案为：m2+1.

4.（北京）如图所示的网格是正方形网格，则NB43+NP84=°（点A,B,尸是网

格线交点）.

AB

【解答】解：延长AP交格点于。，连接

贝I」「。2=8。2=1+22=5,PB2=12+32=1O,

：.PDL+DB1=PB1,

：.ZPDB=90a,

AZDPB=ZR\B+ZPBA=45°,

故答案为：45.

D

AB

5.(贵阳)在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设。为最长边，当/+廿二/时，AABC

是直角三角形；当/+庐*02时，利用代数式/+/和02的大小关系，探究△ABC的形

状(按角分类).

(1)当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为三角形；当△ABC三边分别为

6、8、11时，△ABC为三角形.

(2)猜想，当/+必°2时，△ABC为锐角三角形；当次+贬02时，△人方。为

钝角三角形.

(3)判断当a=2,b=4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围.

【解答】解：(1)两直角边分别为6、8时，斜边=后手=10,

.♦.△ABC三边分别为6、8、9时，ZXABC为锐角三角形；

当AABC三边分别为6、8、11时，AABC为钝角三角形；

故答案为：锐角；钝角；

(2)当/+/>02时，ZXABC为锐角三角形；

当/+必<02时，ZVIBC为钝角三角形；

故答案为：>；<；

(3)为最长边,2+4=6,

；.4Wc<6,

a2+b2=22+42=20,

①/+62>C2,即C2<20,0<c<2泥，

...当4Wc<2泥时，这个三角形是锐角三角形；

@a2+b2=c2,即c2—20,c=2V5»

.•.当c=2、用时，这个三角形是直角三角形；

2

③/+必<02,即C>20,C>2A/5)

...当2病<。<6时，这个三角形是钝角三角形.

6.（河北）已知：整式A=（«2-1）2+⑵）2,整式B>0.

尝试化简整式A.

发现&=4，求整式8.

联想由上可知，B2=（n2-1）2+（2w）2,当〃>1时，〃2-1,2”，8为直角三角形的

三边长，如图.填写下表中8的值：

直角三角形三边n2-12nB

勾股数组I/817

勾股数组II35/37

rf-1

【解答】解：尝试：A=(“2-1)2+(2〃)2=n4-2n*1+l+4n2=n4+2n2+l,

222

发现•.•〃4+2必+1=(n+l),A=B,B>0,

当2〃=8时，力=4,.*.n2+l=42+l=17；

当〃2-1=35时,"2+1=37.

故答案为：17；37.

||国过关检测］|

----------------------llllllllllllllllillllllllllllllllllllllll------------------------

1.（2023八下•咸宁期中）以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（）

A.6,12,13B.6,8,9C.3,4,5D.5,12,

15

【答案】C

【解析】【解答】解：A、62+122=180中132,不能构成直角三角形，故本选项不符

合题意；

B、62+82=100+92-不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

C、32+42=25=52,能构成直角三角形，故本选项符合题意；

D、52+122=169=152,不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；

故答案为：C.

2.（2023八下.洪山期中）下列条件中，能够判断△ABC为直角三角形的是（）

A.AB=6，BC=8.AC=10B.ABtBC：AC=1:2:3

C.Z.A=Z.B=ZCD.z_A,乙B：ZC=3：4：5

【答案】A

【解析】【解答】解：A.V4B2+BC2=IO2=AC2,

是直角三角形，故此选项符合题意；

B.VXfi：BC：AC=1：2：3，

设4B=a，则BC=2a,4c=3a，

贝以B+BC=a+2a=3a=AC>

不能构成三角形，故此选项不符合题意；

C.''LA=乙B=ZC>

**•Z.A=LB=zC=60°，

是等边三角形，故此选项不符合题意；

D.：“：zB：zC=3:4：5，Z71+ZB+ZC=180S

-''Z.A=45°,ZB=60°,"=75。，

.二△4BC不是直角三角形，故此选项符合题意；

故答案为：A.

3.下面各组数中，是勾股数的是（）

A.9,16,25B.0.3,0.4,0.5

C.1,3,2D.7,24,25

【答案】D

【解答】解：A.：92+162^252,.•.不是勾股数，不符合题意；

B.V0.3,0.4,0.5不是整数，.•.不是勾股数，不符合题意；

C.•••12+22^32,.•.不是勾股数，不符合题意；

£>.：72+242=252,.•.是勾股数，符合题意.

故选：D.

4.我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数.现请你用计算器验证下列各组

的数是否勾股数.你能发现其中规律吗？请完成下列空格.

3,4,5；

5,12,13；

7,24,25；

9,40,41；

11,,;...

【答案】60；61

【解析】【解答】勾股数的第一个数是奇数，第三个数比第二个数大1,且第二个数是

偶数，注意到

4=2xlx2；

12=2x2x3,

24=2x3x4；

40=2x4x5；

60=2x5x6,60+1=61.

故答案为(1).60；(2).61

5.(2020八上.柯桥期末)《九章算术》提供了许多整勾股数，如(3,4,5)，(5,12,13)，

(7,24,25)，(8,15,17)等等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”.后人在此基础

上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整

数，那么m与这两个整数构成一组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再

平方，然后把这个平方数分别减1,力口1得到两个整数，那么m与这两个整数构成一

组勾股数.由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”.若“由9生成的勾股数”

的“弦数”记为A，”由20生成的勾股数”的“弦数“记为B，则4+8=.

【答案】142

【解析】【解答】解：•.•92=81,81=40+41

•••“由9生成的勾股数”的“弦数”记为41,即A=41,

：(岑)2+1=101,

，由20生成的勾股数”的“弦数“记为101,即B=101,

••・4+8=41+101=142.

故答案为：142.

6.（2023八上•榆林期末）如图，在中，。是上一点，若48=10,3。=6,40=8,

AC=17.

A

（2）求△40C的面积.

【答案】（1）证明：:AB=10，BO=6，AD=8

.'-BD2+AD2=62+82=100，AB2=102=100，

.".BD2+AD2=AB2,

.,•△ABD是直角三角形，

•"/WB=90°.

（2）解：'：/.ADB=90。，

:.乙ADC=180°-Z.ADB=90。，

'-'AC=17，AD=8<

-'-CD=VAC2-AD2=V172-82=15

二△ADC的面积为=^ADCD=1x8xl5=6C.

：.^ADC的面积为60.

7.（2023八下•洪山期中）如图，在四边形ABCQ中,

AB=AD=3,BC=V7,CD=