北师版九年级数学上册期末复习（压轴题60题）

期末复习(压轴题60题)

一、单选题

1.如图，在等边三角形内部取一点尸，连接/尸，BP,CP.若40=b，BP=1,CP=2,则

S^ACP=()

A-TB.8C.子D.2遮

2.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元,

若设平均每月的增长率为无，根据题意可列方程()

A.50(1+x)2=175B.50+50(1+%)2=175

C.50(1+%)+50(1+%)2=175D.50+50(1+%)+50(1+x)2=175

3.如图，把正方形铁片。ABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0),点P(l,2)在正方形铁片上，

将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图

②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点尸的坐标为()

第一次第二次

,Pi

O\A@

A.(6074,1)B.(6075,1)C.(6076,2)D.(6077,2)

4.如图,点P为双曲线y=y(%>0)上一点，点力为x轴正半轴上一点,且。P=OA=5,则4POA的面积

C.7.5或12.5D.7.5或10

1

5.如图，已知/1=乙2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC的是（）

A.Z-B=Z.ADEAC_BC

AE-DE

AB_AC

D.Z-C—乙E

AD-AE

6.关于久的一元二次方程1久2一（2k+1）久+1=0有两个实数根，贝心的取值范围是（）

A.k>--1B1.C.k〉一七1且k大。D.k2—乙1且k片0

4444

7.如图，在矩形纸片/BCD中，AB=6,8C=8,点石是A3上一点，点方是AB上一点，点F是上一

点，将矩形沿E9折叠，使点8的对应点G正好落在Z0的中点处，贝！L4E的长为（）

AGD

8.如图所示，在矩形ABCO中，AB=8,BC=4,将矩形沿4C折叠，点。落在点。处，则重叠部分△

4EC的面积为（）

C.10D.12

9.已知正比例函数yi=mx（mH0）的图象与反比例函数y2=三（荏。0）的图象的一个交点坐标为（1,3）,则

不等式％<、2的解集为（）

A.x<—1或%>1B.%<—1或0<%V1

C.-1<%<1D.-3<%<0或0<%<3

2

10.如图，点E为正方形2BCD内一点，^AEB=90°,将△ABE绕点B按顺时针旋转90。，得到ACBG.延

长4E交CG于点F,连接。E,下列结论：①4F1CG,②四边形BEFG是正方形，③若。力=DE,则

CF=FG；其中正确的结论是（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

11.如图，在钝角三角形力BC中，AB=6cm,AC=12cm,动点D从4点出发到B点止，动点E从C点出发

到4点止.点。运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果两点同时运动，那么当以点4、

D、E为顶点的三角形与AABC相似时，运动的时间是（

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

12.如图，在平面直角坐标系中，正方形a1B1C1D1、DiEiE2B2>24282c202、D2E3E4B3、

A3B3C3D3,按图示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1,Ei,E2,C2,E3,E4,C3,在

x轴上，已知正方形4iBiCiD1的边长为1,4BiC10=60°,\\B2C2\\B3C3,则正方

形A2024B2024C2024D2024的边长是（）

/x.2024

C（Zf）

13.如图，在矩形纸片4BCD中，AB=6,BC=10,点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边4。

上的点P处；点G在2F上，将A/IBG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点X处.下列结论:

①NE8G=45°；®ADEF-AHFG；③4S&HGF=9S“DE；®AG+DF=FG.正确的是（）

A.①②③B.①②③④C.①③④D.②③④

3

14.如图，矩形ZBCO中，AB=2V3,AD=8,点E在边40上，且AE:ED=1:3.动点尸从点A出发,

沿射线运动.过点E作EFLPE交射线BC于点尸，连接PF.设M是线段PF的中点，则在点尸运动

的整个过程中，线段DM的最小值是（）

A.5B.2V7C.3V2D.3V3

15.抛物线y=a/++。的对称轴为直线式=一1,部分图象如图所示，下列判断中：①abc>0；

②/一4。。>0；③9a-3b+c=0；④若点（一1.5,月），（-2,y2）均在抛物线上，则yi>V2；⑤5a-

2b+c<0.其中正确的个数有（）

A.2B.3C.4D.5

16.已知点A（l,yi）,8（2,丫2），。（3,、3），。（4,小+c）都在二次函数y=a/+人工+。（。，6，。为常数，

且QHO）的图象上，若yi<y2〈y3，则。的取值范围是（）

A.a<-8或a>4B.aV—8或a>8

C.a<-4或a>8D.a<-4或a>4

17.如图，在四边形ABC。中，AB=AD=3,BD1CD.记乙CBD=%乙BAD=若4a=£,tana=

I，贝IBC的长为（）

5555

4

18.如图1,在矩形4BCD中，动点E从力出发，沿A-B-C方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E

作EFL2E交CD于点F,设点E运动路程为x,CF=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图

19.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,点尸在直线A。上运动，以BP为直角边向右作Rt△

PBQ,使得N8PQ=90。，BP=|PQ,连接CQ,则C。长的最小值为（）

20.如图，是。。一条弦，将劣弧沿弦4B翻折，连结2。并延长交翻折后的弧于点C,连结BC,若4B=

2,BC=1,贝Me的长为（）

A.IV5B.?近C.|V5D.|V5

21.如图，四边形ABCO的对角线4718。于点0,点区F,G,H分别为边48,BC,和D4的中点，

顺次连接EF,FG,GH和HE,得至U四边形若AC=10,BD=12,则四边形£7环”的面积等于

).

A.30B.35C.40D.60

5

二、填空题

22.如图在平面直角坐标系xOy中，矩形。力BC的点力在函数y=；(x>0)的图象上，点C在函数丫=一如<

0)的图象上，若点B的横坐标为-右则点2的坐标为.

23.如图，Rt△力B。中，NCMB=R叱，点4在x轴的正半轴，点B在第一象限，函数y=：(k>0,x>

，

0)的图象与边4B,OB分别交于点C,。，若SABCD=1SA0CD=2,则k的值为.

24.如图，将等边A4BC折叠，使得点C落在4B边上的点。处，折痕为EF,点E、F分别在AC、BC边

上.若AC=6,AD=2,则ABDF周长为,釜的值为

25.设a,夕是方程/—x-2024=0的两个实数根，则a3-2026a-6+1的值为.

26.如图，在菱形4BCD中，AC=6立,BD=6,E是BC边的中点，P,M分别是AC,4B上的动点，连接

PE,PM,贝IJPE+PM的最小值是

D

6

27.如图，A,8两点分别在反比例函数y=<0）和y=£（x>0）图象上，连接04,OB,若041

28.如图，矩形。ABC与反比例函数y1=，（均是非零常数，x>0）的图象交于点M,N,反比例函数y2=

孑（心是非零常数，x>0）的图象交于点B,连接0M0N.若四边形。MBN的面积为3,则2k2-

2k\=.

29.如图，△ABC与aDEF是位似图形，相似比为1:3,。/=2,贝|00的长为

30.如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆4B和一根高7米的电线杆CD,它们都与

地面垂直.某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙上的影子

EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长为5米，则落在围墙上的影子GH的长为

米.

7

31.如图，在矩形ABC。中，AD=13,CD=12,点、E,尸分别在BC,CD上，BE=5,CF=6,若点G

是4E的中点，H是BF的中点，连接G”，则GH的长为

32.如图、在AABC中，乙4=60°,AB=6,4。=4,点。是4C边上的中点，点E是48边上的动点，把4

4DE沿DE所在直线折叠，点4落在点4处，则点4到点B之间距离的最小值是.

33.如图，抛物线y=/-4刀+3与y轴交于点C,与久轴交于4B两点（4在B的左侧），点C关于抛物线

对称轴的对称点为点D,动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，贝UDE+EF的最小值

是.

34.如图，在等边A4BC中，AB=4,D,E分别是边4B,BC上的动点（不与△ABC的顶点重合），连接

相交于点E连接BF,若NBDF+NBEF=180。，贝加产的最小值为

35.如图，分别以等边△ABC的顶点4B,C为圆心，以4B长为半径画弧，我们把这三条弧组成的封闭图形

叫做莱洛三角形.若莱洛三角形的周长为2兀，则莱洛三角形的面积为.

8

36.如图，在矩形4BCD中，AB=4,AD=5,点,E,G分别在边力B,CD上，且AE=CG,点/在边BC上,

连接EF,BG,若BF=2,则EF+8G的最小值为

37.如图，在正方形4BCD中，E,F分别是边AB,BC的中点，连接EC,FD,G,“分别是EC,FD的中

点，连接GH,若48=4,则GH的长度为

38.如图，正方形4BCD和正方形CEFG中，B、C、E三点共线，点G在CD上，BC=3,CE=1,M是力尸

的中点，那么CM的长是

39.如图，已知正方形4BCD的边长为4,点E、F分别在边4D、BC上，将正方形沿着EF翻折，点8恰好

落在CD边上的点夕处，若四边形4BFE的面积为6,则线段DE的长为.

9

三、解答题

40.如图1,正方形力BCD和正方形4EFG,A,E,B三点共线，AD=4,AG=2V2.将正方形4EFG绕点

4顺时针旋转a(0。WaW45。),连接BE,DG.

(1)如图2,求证：BE=DG；

(2)如图3,在旋转的过程中，当D,G,E三点共线时，试求DG的长;

(3)在旋转的过程中，是否存在某时刻,使得NDG4=120°,若存在,请直接写出DG的长；若不存

在，请说明理由.

41.【阅读理解】

半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长

补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、

面积等问题，

【初步探究】

如图1,在正方形2BCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接2E,4F,EF.若NE4F=45。，将AADF绕

点2顺时针旋转90。，点。与点B重合，得到AABG.易证：AAEF三AAEG.

10

（1）根据以上信息，填空：

®^EAG=°；

②线段BE、EF、DF之间满足的数量关系为；

【迁移探究】

（2）如图2,在正方形4BCD中，若点E在射线CB上，点尸在射线DC上，Z.EAF=45°,猜想线段

BE,EF,D尸之间的数量关系，请证明你的结论；

【拓展探索】

（3）如图3,已知正方形2BCD的边长为3VINE4F=45°,连接BD分别交AE、4F于点M、N,若点

M恰好为线段BD的三等分点，且求线段MN的长

AD，DAD

/E<

GBEC[bBEC

图1图2图3

42.课本再现

证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。.

结论证明

（1）为了证明该命题，小明同学画出了图形（如图1）,并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过

程.

已知：在△ABC中，AACB=90°,BC=^AB.

求证：A.BAC=30°.

证明：如图1,延长BC到点。，使得CD=Ea连接AD.

A

:.

BCD

图1知识应用

11

(2)如图2,四边形2BCD是一张矩形纸片，将纸片折叠得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一

点P,沿2P折叠△ADP,使点D恰好落在折痕EF上的点M处.求证：^DAP=^PAM=AMAB=

30°.

(3)如图3,在矩形4BCD中，AB=8,AD=6,P是边48上的一个动点(不与点A,B重合)，E在

边4D上，且将△APE沿PE折叠，点A落在点A；将ACBP沿CP折叠，点8落在点出处，且

P,A',三点在同一条直线上，A,B',C三点在同一条直线上，AC与PE的交点为F.请直接写出

CF的长.

43.如图，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,垂足为点。，2N是△48C外角/C4M的平分线，CE1AN,

垂足为点E.

⑴求证：四边形力DCE为矩形；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形4DCE为正方形？给出证明.

12

44.如图，EI2BCD对角线AC,BD相交于点。，过点。作DE||AC且。E=0C,连接CE,OE,0E=CD.

⑴求证：回ABCD是菱形；

（2）若4B=4,Z.ABC=60°,求4E的长.

45.在矩形力BCD中，AB=12,尸是边4B上一点，把APBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G,过

点B作BE1CG,垂足为E且在4D上，BE交PC于点F.

（1）如图1,若点£是4。的中点，求证：&AEBm4DEC；

（2）如图2,&AD=25,且4ECDE时,求笠的值;

(3)如图3,当BE-EF=96时,求BP的值.

46.【基础巩固】（1）如图1,在△48C中，N&CB=90。,2C=BC,D是4B边上一点，F是BC边上一点，

ZCOF=45°.求证：AC-BF=AD-BD-,

【尝试应用】（2）如图2,在四边形4BFC中，点。是4B边的中点，/力=NB=NCDF=45。，若AC=

9,BF=8,求线段CF的长.

【拓展提高】（3）在A48C中，71F=4V2,ZB=45°,以4为直角顶点作等腰直角三角形4DE（其中

13

AD-.DE=1：V2),点D在BC上，点E在AC上.若CE=2萌，求CD的长.

47.(1)在菱形4BCD中，AB=60。，点P在边CD边上，连接2P,点。在BC的延长线上，连接。Q,

CP=CQ,求证：AAPC=^DQC；

(2)菱形ABCD中，点尸、Q分别是CD,BC上的动点，且满足4P=DQ=8,当乙4PD=60。时，求4

4DP与ADQC的面积之和.

(3)平行四边形4BCD中，AD=2CD,尸是CD上一动点，。是BC上一动点，且满足4P=2DQ,

AP=10,DP=2,当乙4PD=60。时，求CQ的长度.

48.已知抛物线y=a/+6%+3与x轴交于点4(—1,0)和点8,与y轴交于点C,直线y=—(尤+3经过点

8和点C.

14

(1)求抛物线的表达式;

(2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点E,交直线BC于点。，连接PC.

①如图1,若动点P在直线BC上方运动时，过点P作PF1BC于点E试求三角形APF。的周长的最

大值.

②如图2,当点尸在抛物线上运动时，将ACPD沿直线CP翻折，点。的对应点为点Q,若以C、。、

P、。为顶点的四边形能成为菱形，求点尸的坐标.

49.如图1,抛物线y=a/+b%+c与x轴分别交于点2(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3),点尸是坐标

平面内一点，点P坐标(1,-2).

(1)求抛物线的解析式；

⑵连接0P，若点。在抛物线上且NDB。+"。8=90。，求点。的坐标；

(3汝口图2,将抛物线丫=a/++c当一1WxW4时的函数图象记为"，将图象匕在久轴上方的部分

沿久轴翻折，图象。的其余部分保持不变，得到一个新图象区若经过点P的一次函数y=m%+n的图

象与图象％在第四象限内恰有两个公共点，求〃的取值范围.

15

50.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学探究活动.

⑴操作判断

操作一：对折矩形纸片A8CD,使4。与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：在4D上选取一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部的点M处，把纸片展平，连接

根据以上操作，如图1,当点M刚好落在折痕EF上时，NMBE的度数为。；

(2)迁移探究

将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

①将正方形纸片48CD按照(1)中的方式操作后，如图2,并延长PM交CD于点Q,连接BQ.当点M

在EF上时，NCBQ的度数为。；

②改变点P在上的位置(点P不与点4。重合)，如图3,请判断CQ与MQ的数量关系，并说明理

由.

(3)拓展应用

在(2)的探究中，已知正方形纸片力BCD的边长为20cm,当FQ=2cm时，求4P的长.

51.(1)【问题探究】如图1,正方形48C。中，点F、G分别在边BC、CD上,且4F_LBG于点P,求证：

AF=BG；

(2)【知识迁移】如图2,矩形A8CD中，AB=4,BC=8,点E、F、G、H分别在边BC、BC、CD、

力D上，且EG1FH于点P.若EG-”F=48,求HF的长；

(3)【拓展应用】如图3,在菱形48CD中，ZXBC=60°,AB=9,点E在直线4B上，BE=6,AF1

DE交直线BC于点尸.请直接写出线段FC的长.

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（图1）（图2）（图3）

52.如图1,0。的直径48=8,4M和BN是它的两条切线，点E是圆上一点，过点E的直线与AM,BN

分别相交于点C两点，连接4E并延长，交BN点、P,BC=CP.

⑴求证：DC是。。的切线;

⑵若黑=，求4D长.

53.问题背景：如图，在正方形力BCD中，边长为4,点N是边上两点，且BM=CN=1,连接

。用,。乂。用与)7相交于点0.

图3

(1)探索发现：探索线段DN与CM的关系，并说明理由;

(2)探索发现：若点E,P分别是DN与CM的中点，计算EF的长;

(3)拓展提高：延长CM至P,连接BP,若4BPC=45。,请直接写出线段PM的长.

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54.【观察猜想】(1)我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角.如图1,在正方形4BCD中，

点E,F分别在边BC,CD上，连接4E,AF,EF,并延长CB到点G,使BG=DF,连接4G.若

LEAF=45°,则BE,EF,DF之间的数量关系为二

【类比探究】(2)如图2,当点E在线段BC的延长线上，且NE4F=45。时，试探究BE,EF,DF之间

的数量关系，并说明理由；

【拓展应用】(3)如图3,在RtzkABC中，AB=AC,D,E在BC上，^DAE=45°,若△4BC的面积

为12,BD-CE=4,请直接写出△力DE的面积.

F

55.如图①，在RtAABC中，AC=BC,乙4cB=90。，点。为BC边上的一点，连接力D,过点C作CE14D

于点F,交4B于点E,连接DE.

B

图①图②

⑴求证：AAFCsRCFD；

(2)若4E=2BE,求证：AF=2CF；

(3)如图②，若力B=V2,DELBC,求器的值.

18

56.已知：如图，在RtAABC中，ABAC=90。，AD1BC^D,E为直角边AC的中点，过D,E作直线交

2B的延长线于F.

(1)若力B=6,AC=8,求BD长;

⑵求证：AB*AF=AC»DF.

57.综合与实践课上，诸葛小组三位同学对含60。角的菱形进行了探究.

【背景】在菱形力BCD中，Z.B=60°,作NP力Q=NB,AP,4Q分别交边BC、CD于点P、Q.

(1)【感知】如图1,若点P是边8C的中点，小南经过探索发现了线段4P与4Q之间的数量关系..

(2)【探究】如图2,小阳说“点P为BC上任意一点时，(1)中的结论仍然成立“，你同意吗？请说明理

由；

(3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片4BCD,测得N4BC=60°,AB=6,在BC边上取一点P,

连接AP,在菱形内部作ZJMQ=60。，力Q交CD于点Q,当4P=2b时，请直接写出线段DQ的长.

58.如图①，在正方形48CD和正方形8EFG中，点A,B,E在同一条直线上，尸是线段。F的中点，连接

PG,PC.

(1)探究PG与PC的位置关系

19

(2)如图②，将原问题中的正方形2BCD和正方形BEFG换成菱形2BCD和菱形BEFG,且N4BC=

/.BEF=60°.探究PG与PC的位置关系，写出你的猜想并加以证明：

⑶如图③，将图②中的菱形BEFG绕点8顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形2BCD的边4B

在同一条直线上，问题(2)中的其他条件不变.你在(2)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜

想并加以证明.

59.如图，抛物线y=a/+bx+c的对称轴为直线久=—1,与x轴交于4(—3,0),B(l,0)两点，与y轴交于

点C(0,3),设抛物线的顶点为D

(1)求抛物线的表达式；

(2)连接试判断AACD的形状，并说明理由；

(3)若点。在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P,使以A,B,Q,尸四点为顶点的四边形为平

行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

60.如图，已知。。是AABC的外接圆，4B是。。的直径，P是4B的延长线上的点，弦CE交4B于点

(1)求证：CE1AB；

(2)求证：PC是。。的切线;

20

⑶若BD=OD,PB=9,求。0的半径.

21

期末复习(压轴题60题)

一、单选题

1.如图，在等边三角形4BC内部取一点尸，连接/尸，BP,CP.若40=b，BP=1,CP=2,则

S"CP=(

A.—B.V3C.—D.2V3

24

【答案】B

【分析】将AAPC绕点4顺时针旋转60。得△力连接PP1由旋转的性质可知，AP'=AP=

y/3,BP'=CP=2,^PAP'=60°,由勾股定理逆定理得AP'PB是直角三角形且NBPP，=90。，取BP，的

中点X,连接PH,则PH=P，H=BH=：BP，=1,证明△BPH是等边三角形得=90。，然后根

据三角形面积公式即可求解.

【详解】解：：ABC是等边三角形，

：.AC=AB,^BAC=60°.

如图，将AAPC绕点A顺时针旋转60。得△AP'B,连接PP',

由旋转的性质可知，N4PC=AAP'B,AP'=AP=W,BP'=CP=2,^PAP'=60°,

.•.△PAP，是等边三角形，

：.PP'=AP=AP'=V3,^AP'P=60°.

VI2+(V3)2=22,

：.PB2+P'P2=P'B2,

；.△P，PB是直角三角形且NBPP，=90°.

取BP，的中点”，连接PH,则PH=P，H=BH=洌'=1,

：.PH=BH=BP,

...△BPH是等边三角形，

."PBH=60°,

.,.z/5P,P=90o-60o=30°,

：.Z-AP'B=60°+30°=90°,

.•.N4P'B=60°+30°=90°,

22

AAPC=乙APB

：.ShAPC=|力P-CP=|xV3x2=V3.

故选B.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理的逆

定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.

2.某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，

若设平均每月的增长率为x,根据题意可列方程()

A.50(1+久产=175B.50+50(1+%)2=175

C.50(1+x)+50(1+x)2=175D.50+50(1+x)+50(1+%)2=175

【答案】D

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题

的关键.增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量又(1+增长率)，本题可先用尤表示出二月份的

产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程.

【详解】解：二月份的产值为：50(1+%),

三月份的产值为：50(1+久)(1+x)=50(1+支＞，

故第一季度总产值为：50+50(1+%)+50(1+%)2=175.

故选：D.

3.如图，把正方形铁片O4BC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0),点P(l,2)在正方形铁片上，

将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90。，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图

②位置，……，则正方形铁片连续旋转2025次后，点P的坐标为()

23

第一次第二次

A①

A.(6074,1)B.(6075,1)C.(6076,2)D.(6077,2)

【答案】D

【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等

知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型.

首先求出B〜P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题.

【详解】解；•••4(3,0),P(l,2),根据题意点尸也是绕正方形右下角的顶点按顺时针方向依次旋转

第一次第二次

11X，＜22

MAM②

过点尸和点Pi作PM1OARN1OA,

贝|]"仍=90°,AP=APi，

."1+Z.2=90°,zl+Z3=90°,

z.2=z.3,

△APMP1AN(AAS),

：.AM=P]N=2,PM=AN=2,

AON=5,

第一次旋转后Pi(5,2),

同理第二次旋转后P2(8,l),

第三次旋转后P3(10,1),

第四次旋转后R(13,2),

第五次旋转后25(17,2),

发现点P的位置4次一个循环，

•；2025+4=506...1,

24

「2025的纵坐标与Pl相同为2，横坐标为5+12x506=6077,

"025(6077,2),

故选：D.

4.如图，点P为双曲线y=?(x>0)上一点，点力为x轴正半轴上一点，且。P=O4=5,则APOA的面积

为()

【答案】D

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，作PDlx轴于D,如

图，设P(a,孩)，根据勾股定理得a2+(?y=52,求得a=4或a=3,进而求得P点的坐标，再利用三

角形面积公式即可求得，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：作PDlx轴于。，如图，设P(兄牌)，

12

：.0D=a,PD=—,

a

'：0P=OA=S,OD2+PD2=OP2,

+=52,

整理得，a4-25a2+144=0,

解得a=4或a=3,

；.P(4,3)或(3,4),

当P(4,3)时，SAPOA^^OA-PD=ix5X3=7.5；

当P(3,4)时，S“OA=\OA-PD=|x5x4=10；

综上，APOA的面积为7.5或10,

故选：D.

25

5.如图，已知/1=乙2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC〜的是()

A.Z-B=Z-ADE

AEDE

-ABAC

C.—=—D.乙C=乙E

ADAE

【答案】B

【分析】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.根据相似三角

形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的

两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等,

那么这两个三角形相似，逐项判断即可.

【详解】解：；zl=12,

•••zl+Z.CAD=N2+Z.CAD

Z-BAC=/-DAE

A、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC-LADE,故不符合题意;

B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABCs/kADE,故符合题意;

C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABCsAADE,故不符合题意;

D、由两个三角形的两个对应角相等可得AABC故不符合题意;

故选：B.

6.关于x的一元二次方程1/—(2k+l)x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是()

1

A.k>一—B.kW-］且忆H0C.k>—1且k。0D.kN—工且上丰0

4

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根与系数的关系.首先根据这是一个一元二

26

次方程，可得二次项系数不为0,所以有k270,再根据方程有两个实根可得4k+l20,解不等式组

即可求出k的取值范围.

【详解】解：•••一元二次方程1久2一(2卜+1)久+1=0中，

a=I、b=—(2k+1)、c=1

•••A=b2—4ac

=[-(2/c+l)]2-4xfc2xl

=4k2+4/c+1—4k2

=4fc+l,

・・,方程有两个实数根，

f4fc+1>0

.・I*。，

解得：卜2-；且人力0,

故选：D.

7.如图，在矩形纸片2BCD中，AB=6,BC=8,点E是A8上一点，点尸是4B上一点，点F是BC上一

点，将矩形沿EF折叠，使点B的对应点G正好落在4D的中点处，贝ME的长为()

A.-B.-C.2D.3

63

【答案】B

【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定，先由矩形的性质得到4。=BC=8,乙4=90。，再

由折叠的性质得到4G=4,BE=EG,设ZE=x,则BE=AB-4E=6—x=EG,再根据勾

股定理建立方程求解即可.

【详解】解：：四边形4BCD为矩形，8c=8,

：.AD=BC=8,ZX=90°,

:矩形沿EF折叠，点B的对应点G正好落在an的中点处，

：.AG=-AD=4,BE=EG,

2

设AE=%,

27

9：AB=6,

BE=AB-AE=6—x=EG,

在RtZkAEG中，由勾股定理得/E12+/G2=EG2,

即％2+42=(6—%)2,

解得X=I，

：.AE

3

故选：B.

8.如图所示，在矩形4BCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点。落在点。处，则重叠部分△

4FC的面积为()

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的判定.证得NC4F=NFC4,贝IJ4F=CF,

设。F=久，则在Rt△力F）中，根据勾股定理求x,于是得到4F=4B—BF,即可得到结果.

【详解】解：是矩形，

：.CD=AB,CD||AB,BC=DA,

：./.DCA=4CAF,

由折叠可得CD=CD',AD=AD',ADCA=^ACF,

：./.CAF=^ACF,AB=CD',BC=AD',

：.AF=CF,

：.D'F=BF,

设O'F=x,贝MF=8-x,

在RtAAF。'中，（8—无¥=/+42,

解之得：x=3,

：.AF=2B—FB=8—3=5,

：.S^AFC=|XF-BC=|x5x4=10.

28

故选：c.

9.已知正比例函数y1=mx（m丰0）的图象与反比例函数把=力。）的图象的一个交点坐标为（1,3），则

不等式为的解集为（）

A.久<-1或x>1B.x<—1或0<x<1

C.—1<x<1D.—3<%<0或0<%<3

【答案】B

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求出正比例函数为=3%,反比例函数、2=

画出函数图象，结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键.

X

【详解】解：•・•正比例函数月=mx（jnW0）的图象与反比例函数丫2=?（九。0）的图象的一个交点坐标

为（1,3）,

••TH.—3,71=1x3=3,

正比例函数=3x,反比例函数=|>

画出函数图象如图所示：

由图象可得：不等式为<%的解集为X<—1或0<X<1，

故选:B.

10.如图，点E为正方形ABCD内一点，Z.AEB=90°,将△力8E绕点B按顺时针旋转90。，得到ACBG.延

长力E交CG于点F,连接OE,下列结论：@AF1CG,②四边形BEFG是正方形，③若D4=DE,则

CF=FG；其中正确的结论是（

A.①②③B.①②

29

【答案】A

【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质

等知识.设4F交BC于K,由乙4BK=90。及将AABE绕点B按顺时针方向旋转90。，得到ACBG,可得

乙KAB=KBCG,即可得NKFC=90。，从而判断①正确；由旋转的性质可得乙4EB=NCG8=90。，

BE=BG,AEBG=90°,由正方形的判定可证四边形BEFG