2025中考数学专项复习：一元一次方程（考点清单）原卷版

【考点题型十一二】分数类形讨结论合思想

t考点题型十】整体思想

【考点题型九】方案决策问题

【考点题型八】分段计费问题

专题05一元一次方程（考点清单，5个考点清单+12种题型解读）

【【考清点单题01型】六一】元销一售次问方题程的概念

［【清单02】等式的基本性质

ah考点清单’【清单03】一元一次方程的解法

《【清单04】一元一次方程的应用

\【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型

【考点题型五】工程问题

【考点题型一】一元一次方程及其解

1考点题型二】等式的性质

一元一次方程【考点题型三】解一元一次方程

【考点题型四】配套问题

点侪单

1等式的两边I加（或减）同f数（或式子），结果仍相等

等式的性质2.等式的两边乘乐三或除以同Y不为0的数结果仍相

等

只含有一个枷数（无），且含有未知^的式子都是整式，未

知数的谶都是1的方程

1.去分母:方程两边都乘各分母的最小公倍数

一元一次方程2去.括号:根据分配律

元解法3移项移鳗变导

次4合.并同类项:依据合并同类项法^

方

5.系数化为1:方程两边都除以未知数的系数

程

1.审题2.找相等关系

直接设未知数

3.设我0数

间接设未知数

一元一次方程的应用4列方程5.解方程

（1）是否符合一元一次方程

6.检验

（2）是否符合实际

7写答

【清单01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知数的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方

程。

细节剖析：

判断是否为一元一次方程，应看是否满足：

①只含有一个未知数,未知数的次数为丘_

②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清单02】等式的基本性质

等式的性质1等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果那么a±c=6±c.

等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为零)，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(cwO).

CC

细节剖析：

等式的传递性如果a=6、b-c,那么a=c。

【清单03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.

(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号,再去中括号,最后去大括号.

(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.

(4)合并：逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为ax=b(a=0)的形式.

(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=±b(aWO).

a

(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等,则是方程的解;若方程左右两边的值不相等，

则不是方程的解.

【清单04】一元一次方程的应用

首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为X,然后用含

尤的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹！J、解、答.

一元一次方程应用题解题一般步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为X）

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=今照X100%）；

进价

（4）工程问题（①工作量=人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作

量的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度X时间）；速度义时间=路程；相遇问题：S甲+SjS总；追及问题：S快-S慢

二s相晅；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

题型需单

【考点题型一】一元一次方程及其解

【例1】（2023秋•咸安区期末）【阅读材料】规定：若关于x的一元一次方程依=6的解为x=b+a,则称

该方程为“和谐方程”.

例如：方程2x=T的解为彳=-2,

而一2=T+2,

所以方程2x=T为“和谐方程”.

请根据上述规定解答下列问题：

（1）下列关于x的一元一次方程是“和谐方程”的有—；（填写序号）

①4x=-2；

②-3x」；

4

®-%=--

22

（2）已知关于x的一元一次方程6x=:%是“和谐方程”，求加的值;

（3）已知关于x的一元一次方程4大=m+〃是"和谐方程”，并且它的解是x=”，求机，n的值.

【变式1-1］（2023秋•涪城区期末）下列各式中，属于方程的是（）

2

A.6+（-2）=4B.-x-2C.7x>5D.2%-1=5

【变式1-2］（2023秋•固始县期末）若方程2x-辰+l=5x-2的解为-1,则%的值为（）

A.10B.-4C.-6D.-8

【变式1-3］（2023秋•昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）

,1

A.x2-4x=3B.2x=0C.x+2y=lD.x-l=—

x

【变式1-4］（2023秋•成安县期末）已知（加-3）”12=18是关于元的一元一次方程，贝|（）

A.m—2B.m=—3C.m=±3D.m=l

【变式1-5］（2023秋•西安期末）小芳同学在解关于尤的一元一次方程=-1=±口时，误将x-a抄成

23

x+a,求得方程的解为x=2,请帮小芳求出原方程正确的解.

【变式1-6］（2023秋•东台市期末）定义：关于x的方程⑪=0与方程"-a=0（a、Z?均为不等于。的

常数）称互为“伴生方程”，例如：方程2%-1=0与方程％-2=0互为“伴生方程”.

（1）若关于％的方程2%-3=0与方程3%-c=0互为“伴生方程”，则。=—；

（2）若关于x的方程4工+3m+1=0与方程5尤-〃+2=0互为“伴生方程”，求机、〃的值;

（3）若关于x的方程5x-b=0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数6的值.

【考点题型二】等式的性质

7?33

【例2】（2023秋•寻乌县期末）观察下列两个等式：1一女=2xlx±-l,2-3=2x2x±-l给出定义如下:

3355

我们称使等式a-6=2必-1成立的一对有理数a,6为“同心有理数对"，记为（a,6）,如：数对（1,|）,（2,|）,

都是“同心有理数对”.

（1）数对（-2,1）,（3,；）是“同心有理数对”的是.

（2）若（a,3）是“同心有理数对"，求。的值；

（3）若⑴,〃）是“同心有理数对"，贝!］（-〃,-附—“同心有理数对"（填“是”或“不是”），说明理由.

【变式2-1］（2023秋•怀仁市期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（）

A.若3a=2b,贝i」3a+2=2Z?+2B.若3a=2b,贝19a=46

,...Z7b

C.右3a=2/，贝！|3a-5=2/一5D.右3a=2b,则一=—

23

【变式2-2］（2023秋•乳山市期末）等式5-3x=3中，若x是正整数，则整数。的取值是—.

【变式2-3］（2023秋•曲阳县期末）已知8〃2+3〃+2=4帆+7〃，利用等式的性质比较机与〃的大小关系:

mn（填“>”）.

【变式2-4］（2023秋•皇姑区期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为15克，则当3

的质量为克时，天平处于平衡状态.

【变式2-5](2023秋•渝中区期末)如果。=8,那么-L=—也成立时c应满足的条件是_.

c-1c-1

【考点题型三】解一元一次方程

[例3](2023秋•雨湖区期末)七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程四-1=。+三

24

时，把“2-x”抄成了解得x=8,而且处的数字也模糊不清了.

(1)请你帮小红求出处的数字.

(2)请你正确地解出原方程.

【变式3-1](2023秋•关岭县期末)解方程：

(1)3x+7=-l-2x；(2)2+^-=-.

35

【变式3-2](2023秋•成安县期末)解下列方程：

3-5龙3x-5

(1)4(2%-1)-3(5x+2)=3(2-x)；(2)1—=-二卫_上

32

【变式3-3](2023秋•泗洪县期末)--—=3.

0.20.5

【变式3-4](2023秋•通州区期末)已知代数式8》-7的值与代数式6-2x的值互为相反数，求x的值.

若式子主二Z的值比包里的值小2,求尤的值.

【变式3-5](2023秋•沂南县期末)

23

【变式3-6］（2023秋•明水县期末）关于x的方程x-2根=-3x+4与2=x的解互为相反数.

（1）求机的值；

（2）求这两个方程的解.

【变式3-7］（2023秋•潮南区期末）阅读理解题：

你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法.

阅读下列材料：

问题：利用一元一次方程将0.7化成分数.

设0.7=元，

由0.1=0.777...,可知10x0）=7.777...=7+0.7,

即7+x=10x.（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）

可解得/，即0"=?.

99

（1）填空：将0.4直接写成分数形式为—.

（2）请仿照上述方法把小数0.力化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.

【变式3-8］（2023秋•桂平市期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程:

解方程：£±1_^±Z=3

24

解：方程两边同时乘以4,得：±±1x4-至二x4=3x4…①

24

去分母，得：2（x+l）-3x+2=12...@

去括号，得：2x+2-3x+2=12…③

移项，得：2x-3x=12-2-2...@

合并同类项，得：-x=10…⑤

系数化1,得：x=10...@

（1）以上求解步骤中，第一步的依据是.

（2）上述小蒙的解题过程从第一步开始出现错误，错误的原因是

（3）请帮小蒙改正错误，写出完整的解题过程.

【考点题型四】配套问题

【例4】（2023秋•东港区期末）2023年8月8日，是全国第15个全民健身日，近年来，日照始终秉持“以

人民为中心”的展思想，不断扩大城市体育服务供给量，打造“体育生活圈”，某工厂现需生产一批太空漫

步器（如图），每套设备各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支

架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫

步器？

【变式4-11（2023秋•黔南州期末）如图是学校手工艺社团编织的手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣

构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣.安排多少人编织

花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？

学生手工艺花朵

【变式4-2］（2023秋•九龙坡区期末）某车间有80名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务.每

个工人每天能加工20个甲种零件或加工15个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件.该

车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求.

（1）每天应安排多少工人加工甲种零件？

（2）每天生产该轿车总加工费为15200元.已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2

元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？

【变式4-3］（2023秋•榆阳区期末）在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制

作圆柱体（图1）.七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20

个圆柱侧面（图2）或剪10个圆柱底面（图3）.

（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时

剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与

底面配套.

【变式4-4］（2023秋•信州区期末）某工厂现有15/木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分

木料制作桌面，其余木料制作桌腿.

（1）已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果1加木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿.要使

制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少相I

（2）已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件，解答下列问题：

①如果1加3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？

②如果3行木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？

【考点题型五】工程问题

【例5】(2023秋•清原县期末)某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程.这个工程

若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成.若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙

队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？

【变式5-1](2023秋•高阳县期末)某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工

程.已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要

多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元1天和1200元1天.

(1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？

(2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的

修整速度提高25%.且工资随之上涨了200元1天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队

工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？

【变式5-2](2023秋•桂林期末)某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工

需要60天可以完成.

(1)现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水

利工程一共用了多少天？

(2)完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲

工程队可以得到多少万元？

【变式5-3](2023秋•长清区期末)列方程解应用题:

某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治.现有一段长为260米的河道整治任务，由甲、

乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天.

（1）求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？

（2）雇佣甲工程队需要800元/天，雇佣乙工程队需要1000元/天，则共需支付两个工程队多少钱？

【变式5-4］（2023秋•铁东区期末）某学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成

需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两人合作完成这块广告牌的制作.

（1）为完成这块广告牌的制作，师徒二人共合作了多少天？

（2）若完成后共得到报酬900元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配这900元的报酬？

【考点题型六】销售问题

【例6】（2023秋•哈尔滨期末）杭州亚运会的吉祥物“琼琮”、“莲莲”、“痕底”分别代表了良渚古城遗址、

西湖、世界遗产京杭大运河，以它们的形象制作的纪念品种类很多.丽才纪念品店恰好用3850元购进甲、

乙两种带有这三个吉祥物图案的挂件，其中甲种挂件30个，乙种挂件20个，甲种挂件每个进价比乙种挂

件每个进价少5元，且两种挂件每个售价均为120元.

（1）求购进甲、乙两种挂件每个进价分别是多少元？

（2）由于这两种挂件十分畅销，丽才纪念品店按原进价再次购进甲、乙两种挂件，其中甲种挂件的个数是

乙种挂件个数的2倍.若两次购进的挂件全部售出共获利4750元，求丽才纪念品店第二次购进甲种挂件多

少个？

【变式6-1］（2023秋•南沼区期末）南得区某学校举行迎新活动，需要购买灯笼进行装饰.某商家有A、B、

C三种型号的灯笼，已知A种灯笼的单价比3种灯笼的单价多9元，C种灯笼单价20元/盏.

（1）学校决定购买A种灯笼30盏，3种灯笼40盏，且购买A、8两种灯笼的费用相同，请问A、5两种

灯笼的单价分别是多少？

（2）商家节日期间为了促销，A种灯笼每盏降价6元，3种灯笼每盏降价2元.购买三种灯笼的顾客，所

有商品价格一律九折.根据灯笼价格变化，学校发现在A、3灯笼数量和总经费不变的情况下，可以增加购

买C种灯笼.问C种灯笼可以购买多少盏？

【变式6-2］（2023秋•汉川市期末）新时代超市经销甲、乙两种商品，两种商品相关信息如表:

商品进价（元/件）售价（元/件）利润率

甲种4060n

乙种50m50%

（1）以上表格中加，”的值分别为

（2）若该超市同时购进甲种商品数量是乙种商品数量的2倍少10件，且在正常销售情况下售完这两种商

品共获利3050元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

（3）春节临近，该超市决定对甲、乙两种商品进行如下的优惠活动：

顾客一次性购商品数量优惠措施

甲种不超过15件不优惠

超过15件全部按售价8.5折

乙种不超过15不优惠

超过15件但不超过25件全部按售价8.8折

超过25件全部按售价8折

小华的爸爸一次性购买包含甲、乙两种商品共4()件，按上述条件优惠后实付款恰好为2280元；求出小华

的爸爸购买方案.

【变式6-3](2023秋•潜山市期末)潜山市某商场经销的A、3两种商品，A种商品每件售价为60元，利

润率为50%；B种商品每件进价为50元，售价为80元.

(1)A种商品每件进价为一元，每件3种商品利润率为—.

(2)若该商场同时购进A、3两种商品共70件，售完之后恰好总利润为1580元，求购进A种商品多少件？

(3)在“春节”期间，该商场只对A、3两种商品进行如下的优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额优惠措施

少于等于400元不优惠

超过400元，但不超过600元按总售价打九折

超过600元其中600元部分打八折优惠，超过

600元的部分打七五折优惠

按上述优惠条件，若小明一次性购买商品A、台优惠后付款总额为531元，若没有优惠促销，小明在该商

场购买同样商品要付多少元？

【变式6-4］（2023秋•和平区校级期末）某直播间购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的

1少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如表;

3

甲乙

进价（元/件）2030

售价（元/件）2540

（1）该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利多少元？（注:

每件商品获利=售价-进价）.若要解决上述问题，我们可以设甲商品的进货量为x件，请完成下面的表格

并作答:

单件售价（元）进货量（件）交易额

甲①_____X②—

乙40③—④—

（2）经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若要获得9000

元的利润，需购进乙商品多少件？

【考点题型七】积分问题

【例7】（2023秋•平江县期末）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，

每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问

九年级一班胜、负场数分别是多少？

【变式7-1］（2023秋•云梦县期末）12月4日是全国法制宣传日，为增强学生的法律意识与法制观念，崇

德中学组织了法律知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答.如表记录了5位参赛学生的

得分情况，根据表中信息回答下列问题：

参赛者答对题数答错题数得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

（1）这次竞赛中答对一题得一分，答错一题得—分;

（2）参赛学生/得分为70分，求他答错了几道题？

（3）参赛学生G说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由.

【变式7-212023秋•东西湖区期末）用一元一次方程解决实际问题，第2小问和第3小问用算式解决不得

分.习近平总书记说“绿水青山就是金山银山”，为了增强中学生环保意识，某学校组织全体中学生进行

环保知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况.

参赛者答对题数答错题数得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

（1）填空：每答对一道题得一分，每答错一道题扣一分.

（2）参赛者尸得76分，他答对了几道题？

（3）参赛者G说他得83分，你认为可能吗？请通过计算说明.

【变式7-3].（2023秋•闽侯县期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道题选择题，各题分值相同，每题必

答，如表记录了5个参赛者的得分情况.

参赛者答对题数答错题数得分

A200100

B19194

C18288

D14664

E101040

根据以上信息，请你算出：

（1）填空：答对一题得—分，答错一题扣一分；

（2）参赛者F得76分，他答对了几题？

（3）参赛者G说他得了36分，你认为可能吗？试说明理由.

【考点题型八】分段计费问题

【例8】（2023秋•余姚市期末）某市电力部门对居民生活用电实行“峰谷电价”和“非峰谷电价”，可由每

户居民预先自主选择.具体电价如下：

电价分类时段电价（元/千瓦时）

非峰谷电价全天24小时0.538

峰谷电价高峰时段上午8:00~晚上22:000.568

低谷时段晚上22:00~次日晨8:000.288

现某居民户10月份用电100千瓦时.

（1）若该居民户选择“峰谷电价”，其中低谷时段用电X千瓦时，请用含X的代数式表示该居民户这个月应

缴纳的电费.

（2）若该居民户选择“峰谷电价”比“非峰谷电价”少缴电费13.8元，问该居民户高峰时段用电多少千瓦

时？

【变式8-1]（2023秋•云梦县期末）有下列两种移动电话计费方法:

月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/血加）被叫

A套餐381000.2免费

3套餐683000.25免费

（月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费）

（1）若张老师选用A套餐，9月份主叫时间150分钟，则他9月份的通话费用为48元.

（2）若王老师选择A套餐，李老师选择B套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两

位老师10月份的主叫时间.

（3）设主叫时间为f分钟，直接写出f满足什么条件时，选择3套餐省钱.

【变式8-2].（2023秋•海门区期末）某公园门票价格规定如下表:

购票张数1~5。张51~100张100张以上

每张票的价格13元11元9元

某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人.经估算，如果两个班都

以班级为单位购票，则一共应付1240元.

（1）求两个班各有多少学生；

（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可节省多少钱？

（3）若七年级（1）班单独组织去游园，请问600元能否满足全班同学的购票需求？请说明理由.

【变式8-3］（2023秋•临江市期末）甲、乙两所幼儿园计划在“元旦”一起举办文艺汇演活动.已知甲、乙

两所幼儿园一共96人（其中甲幼儿园人数多于乙幼儿园人数，且甲幼儿园人数不足90人）.现准备给每位

小朋友都购买一套演出服装，服装厂给出如下价目表：

购买服装的套数48套以下48套至90套91套及以上

每套服装的价格65元55元45元

如果两所幼儿园分别单独购买服装，一共应付5680元.

（1）如果甲、乙两所幼儿园联合起来购买服装，那么比各自购买服装共可以节省多少钱？

（2）甲、乙两所幼儿园各有多少名小朋友准备参加演出？

（3）如果甲幼儿园有10名小朋友因为校外活动不能参加演出，那么你有几种购买方案？通过比较，你认为

如何购买服装才能最省钱？

【变式8-4］（2023秋•惠城区期末）2023年12月28日晚，惠州一中南湖校区“悠悠南湖情，拳拳家国心”

元旦文艺晚会在南湖畔上演.一中师生用歌声舞姿表达热爱寄托情怀，回首2023,逐梦2024.若1班和2

班共有94名学生（其中1班人数多于2班人数，且1班人数不够90名），统一购买服装参加演出，下面是

某服装厂给出的服装价格表：

购买服装的套数1套一46套47套一90套91套及以上

每套服装的价格60元50元40元

如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元.

（1）若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元?

（2）两个班各有多少名学生准备参加元旦演出？

（3）如果1班有10名学生被调去参加合唱团的节目，不能参加班级演出，请你为这两个班设计一种最省

钱的购买服装的方案.

【考点题型九】方案决策问题

【例9】（2023秋•陕州区期末）某种海产品，若直接销售，每吨可获利润1200元；若粗加工后销售，每吨

可获利润5000元；若精加工后销售，每吨可获利润7500元.某公司现有这种海产品140吨，该公司的生产

能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同

时进行，受各种条件限制，公司必须在15天内将这批海产品全部销售或加工完毕，为此该公司设计了三种

方案：

方案一：全部进行粗加工；

方案二：尽可能多地进行精加工，没有来得及进行精加工的直接销售；

方案三：将一部分进行精加工，其余的进行粗加工，并恰好15天完成.

你认为选择哪种方案可获利润最多，为什么？最多可获利润多少元？

【变式9-1］（2023秋•环江县期末）环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家4A级旅

游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案.

方案一：全体人员打8折；

方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折.

（1）若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？

（2）若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？

【变式9-2］（2023秋•武功县期末）某服装厂生产夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元.厂

方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：（客户只能选择其中一种方案）

方案一：买一件夹克送一件T恤；

方案二：夹克和T恤都按定价的80%付款.

现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤尤件（x>30）.

（1）分别用含x的代数式表示该客户按方案一、方案二购买所需要的费用；

（2）求该客户购买多少件T恤，按方案一和方案二购买所需要的费用相同？

【变式9-3].（2023秋•曲阳县期末）甲、乙两城相距800千米,一辆客车从甲城开往乙城,车速为G（0<«<100）

千米/小时，同时一辆出租车从乙城开往甲城，车速为90千米/小时，设客车行驶时间为f（小时）

（1）当f=5时，客车与乙城的距离为千米（用含。的代数式表示）

（2）已知a=70,丙城在甲、乙两城之间，且与甲城相距260千米

①求客车与出租车相距100千米时客车的行驶时间；（列方程解答）

②已知客车和出租车在甲、乙之间的服务站〃处相遇时，出租车乘客小王突然接到开会通知，需要立即返

回，此时小王有两种返回乙城的方案：

方案一：继续乘坐出租车到丙城，加油后立刻返回乙城，出租车加油时间忽略不计；

方案二：在加处换乘客车返回乙城.

试通过计算，分析小王选择哪种方案能更快到达乙城？

【变式9-4]（2023秋•兴宾区期末）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为0.1万元;

经粗加工后销售，每吨利润可达0.5万元；经精加工后销售，每吨利润涨至0.8万元.当地一家蔬菜公司收

购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精

加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将

这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案：

方案一；将蔬菜全部进行粗加工.

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售.

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.

你认为哪种方案利润最大，为什么？

【变式9-5]（2023秋•青山区期末）某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000

元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购

这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，

每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销

售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：

方案一：将蔬菜全部进行粗加工.

方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售.

方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成.

你认为哪种方案获利最多？为什么？

【考点题型十】整体思想

【例10】（2024七年级上•全国•专题练习）若x=2是关于x的一元一次方程6+6=4的解，则代数式

（2G+bY+3（2。+6）-1的值是.

【变式10-11（24-25七年级上•全国・单元测试）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知

2a-b=3,求代数式6a-36-1的值.”可以这样解：6。-36-1=3（2。-6）—1=3x3—1=8.根据阅读材

料，解决问题：若x=3是关于x的一元一次方程〃zx+〃=2的解，则代数式9"z+3〃+l的值是

【变式10-2]（2024七年级上•全国・专题练习）用整体思想解方程⑶-2A6T=2-⑴；）十2.

i4

【变式10-3］（23-24七年级上.山东潍坊.期末）数学李老师让同学们解方程”0-2司=6-§（210）.小

亮认为“方程两边有分母，应该先去分母”，小颖认为“方程中有10-2%及2尤-10,且互为相反数，应该用

整体思想求解”.请你分别用小亮、小颖的方法求解该方程.

【考点题型十一】分类讨论思想

【例1。（21-22七年级上•安徽宣城.期末）已知方程（。+2）/一+3=0是关于x的一元一次方程，则6的值

为（）

A.2B.-2C.-2或2D.0

【变式11-1］（23-24七年级上.山东临沂•期末）已知（。-1）铲2+2*+1=0一元一次方程，则”的值为

（）

A.1B.3C.1或3D.0或一3

【变式11-2］（23-24七年级上.全国・单元测试）若关于x的方程〃/1+（〃7-1卜-2=0是一元一次方程，

则m的值为_.

【变式11-3］（2024七年级上•北京・专题练习）已知。是非零整数，关于x的方程加叽bx2+x-2=0是一

元一次方程，求a+b的值.

【考点题型十二】数形结合思想

【例12】（2023秋•沙市区期末）数形结合思想是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的数学

思想方法.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，