2025中考数学专项复习：二次函数与几何的动点及最值、存在性问题（含答案）

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题2025中考

数学专项复习含答案

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题

目录

重难点题型突破

题型川平行”轴动线段最大值与最小值问题

题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题

题型03已知点关于直线对称点问题

题型04特殊角度存在性问题

题型05将军饮马模型解决存在性问题

题型06二次函数中面积存在性问题

题型07二次函数中等腰三角形存在性问题

题型08二次函数中直角三角形存在性问题

题型09二次函数中全等三角形存在性问题

题型10二次函数中相似三角形存在性问题

题型11二次函数中平行四边形存在性问题

题型12二次函数中矩形存在性问题

题型13二次函数中菱形存在性问题

题型14二次函数中正方形存在性问题

重难点题型突破

二次函数常见存在性问题：

（1）等线段问题:将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列

出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.

【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为小,则可用含加字母的函数解析式来表

示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.

（2）平行"轴动线段最大值与最小值问题:将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来,再用纵坐标的

较大值减去较小值,再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.

（3）求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质（两直线垂直，斜率之积等于

—1）求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.

（4）“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题:常常利用直线方程与二次函数解析式联立

方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解._一

（5）二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与c轴的角度特殊化,利用与角度有

关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围,求已知点与动点是否构成新的特殊图形.

2.二次函数与三角形综合

⑴将军饮马问题:本考点主要分为两类：

①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小；

②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.

（2）不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在

利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积,

各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质

求出面积的最值及动点坐标.

（3）与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进

行计算.

问题分情况找点画图嗨

分别以点为圆分别表示出点P的坐

心，以AB长为半径标,再表示出线段

以M

/画圆,与已知直线的4P的长度，由①4E=HP；

为腰

等力.

---------------1交点即②⑧BP=心列

腰

已知点和直线为所求方程解出坐标

1,在1上求点P,使分别表示出点A,E,P的坐

角

△PAB为等腰三角作线段心的垂直平标，再表示出线段，B,HP,

形以他

形分线,与已知直线的AP的长度，由①AB=AP；

为底zSl,

交点尸3即为所求②③BP=AP列

解出坐标

问题分情况找点画图蜂

分别过点作

以心

直AB的垂线，与已知分别表示出点4,E,P的

为直角

角直线的交点即坐标,再表示出线段的，

边p,/>------

已知点A,B和直线1,为所求的长度，由①心？

角在I上求点P,使以的中点Q为圆=BP+^P2j®BP2=i4B2

，上

形△P4B为直角三角形以AB心，Q4为半径作四，+AP21⑧AP=AB+BP2

为斜边与已知直线的交点列方程解出坐标

—^PTP7

尸2,H即为所求

注:其他常见解题思路有：

①作垂直,构造“三垂直”模型,利用相似列比例关系得方程求解；

②平移垂线法:若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求（通常为过原点。与AB垂直的直线），可将

这条直线分别平移至过点A或点B得到相应解析式，再联立方程求解.

MS

（4）与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际

情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系,积极分类讨论来进行计算.

情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：

解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般

涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：

①假设结论成立,分情况讨论.探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点（尤其是以文字形式

出现求证两个三角形相似的题目）,或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定,此时应考虑不同的对

应关系，分情况讨论；

②确定分类标准.在分类时,先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相

等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件;若没有，则分别按三种角对应来分类讨

论；

③建立关系式，并计算.由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来（其长度

多借助勾股定理运算）,整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值,再通过计算得出相应

的点的坐标.

情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还

至少要找一组对应边相等.

3.二次函数与四边形的综合问题

特殊四边形的探究问题解题步骤如下：

①先假设结论成立；

②设出点坐标，求边长；

③建立关系式，并计算.若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算;若四边形的四

个顶点位置不确定，需分情况讨论：

a.探究平行四边形:①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边

相等进行计算;②以己知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后,利用平行四边形对角线互相

平分的性质进行计算;③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论,常以已知的一边作为一边或对角线

分情况讨论.

b.探究菱形:①已知三个定点去求未知点坐标;②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相

垂直平分、四边相等的性质列关系式.

c.探究正方形:利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度,

令其相等，得到方程再求解.

d.探究矩形:利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解;或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.

题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题

「题目0（2023•广东东莞•一模）如图,抛物线y=x2+bx+c与2轴交于4B两点，与沙轴交于点C,OA=OC

=3,顶点为。.

MS

（1）求此函数的关系式；

（2）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线〃/g轴，交AC与点朋■，当点N坐标为多少时，线段

的长度最大？最大是多少？

（3）在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,乙点的坐

标.

（4）在y轴上是否存在一点E,使AADE为直角三角形，若存在,直接写出点E的坐标;若不存在，说明理由.

、题目区（2023河南南阳・统考一模）如图，抛物线与0轴相交于点4B（点A在点B的左侧），与9轴的交于点

0（0,-4）,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,设点P的横坐标为小，过点P作直线PD_L2轴于点。,

作直线AC交PD于点E.已知抛物线的顶点P坐标为（—3,—学）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点A、B的坐标和直线AC的解析式；

⑶求当线段CP=CE时m的值；

（4）连接60,过点P作直线〃/交夕轴于点F,试探究:在点P运动过程中是否存在m,使得CE=DF,若

存在直接写出机的值;若不存在,请说明理由.

MS

1题目叵〕（2023•山东聊城・统考三模）抛物线y=-x2+bx+c与2轴交于点人（3,0）,与沙轴交于点。（0,3）,点P

为抛物线上的动点.

⑴求b,c的值；

（2）若P为直线力。上方抛物线上的动点，作轴交直线力。于点〃，求的最大值；

（3）点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使直线4。垂直平分线段PN?若存在，请直接写出点N

的纵坐标;若不存在,请说明理由.

题型02抛物线上的点到某一宜线的距离问题

［题目工（2023.广东梅州・统考二模）探究求新：已知抛物线G「y=上书2—2,将抛物线G平移可得到抛物

2

线G2:y=-^x.

（1）求抛物线G平移得到抛物线G2的平移路径；

（2）设T（0J）,直线Z：沙=-力,是否存在这样的力，使得抛物线G2上任意一点到T的距离等于到直线I的距离？

若存在，求出t的值;若不存在,试说明理由；

（3）设H（0,l）,Q（l,8）,“为抛物线G2上一动点，试求QM+的最小值.

参考公式:若点,N（，2,纳）为平面上两点,则有MN=/（7一电厂+出一统厂.

MS

1题目②（2023・湖北宜昌・统考一模）如图，已知:点P是直线八夕=，一2上的一动点，其横坐标为m（m是常

数），点加■是抛物线C：沙="+2771,—2m+2的顶点.

⑴求点河的坐标；（用含m的式子表示）

（2）当点P在直线I运动时，抛物线。始终经过一个定点N,求点N的坐标,并判断点N是否是点河的最高位

置？

（3）当点P在直线I运动时,点河也随之运动,此时直线I与抛物线。有两个交点A,B（A,B可以重合），A,

B两点到"轴的距离之和为d.

①求小的取值范围；

②求d的最小值.

题目回（2023•云南楚雄・统考一模）抛物线y=1—2c—3交必轴于A,B两点（4在B的左边），。是第一象限

抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.

（1）直接写出两点的坐标；

⑵如图①，当OP=时,在抛物线上存在点。（异于点B）,使两点到AC的距离相等,求出所有满足

条件的点。的横坐标；

（3）如图②，直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交v轴于点F,点。的横坐标为小,求岩的值（用含小

的式子表示）.

MS

题型03已知点关于宜线对称点问题

题目工（2023•辽宁阜新•统考中考真题）如图,在平面直角坐标系中，二次函数y^-x2+bx—c的图象与立轴交

于点A（-3,0）和点B（l,0）,与9轴交于点C.

图1图2

⑴求这个二次函数的表达式.

（2）如图1,二次函数图象的对称轴与直线人。夕=2+3交于点D,若点是直线AC上方抛物线上的一个动

点,求4MCD面积的最大值.

（3）如图2,点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线，与BC平行，则在直线I上是否存在点Q,使点B与

点P关于直线CQ对称？若存在,请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

题目②（2023•四川甘孜・统考中考真题）已知抛物线y=2?+bx+c与c轴相交于人（一1,0）,B两点，与沙轴相

交于点C（O,-3）.

⑴求b,c的值；

（2）P为第一象限抛物线上一点，4PBC的面积与△ABC的面积相等,求直线AP的解析式；

（3）在（2）的条件下，设E是直线6。上一点，点P关于AE的对称点为点P,试探究,是否存在满足条件的点

E,使得点P恰好落在直线BC±,如果存在,求出点P'的坐标;如果不存在，请说明理由.

MS

1题目①（2023•江苏连云港•连云港市新海实验中学校考二模）如图，“爱心”图案是由抛物线y=-/+神的一部

分及其关于直线y=-x的对称图形组成,点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该

图案与坐标轴的交点，且点。的坐标为（V6.0）.

⑴求力的值及的长；

⑵求EF的长；

（3）若点P是该图案上的一动点，点P、点Q关于直线y=-x对称，连接PQ,求PQ的最大值及此时Q点的

坐标.

题型04特殊角度存在性问题

题目工（2023•山西忻州・统考模拟预测）如图，抛物线y=奸+%—2与c轴交于48两点，与y轴交于点

C.P是直线AC下方抛物线上一个动点，过点P作直线Z〃BC,交于点。，过点P作PE，/轴，垂足

为E,PE交AC于点,F.

（1）直接写出A,。三点的坐标，并求出直线AC的函数表达式；

（2）当线段PF取最大值时,求4DPF的面积；

（3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得ACAQ=45°?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存

在,请说明理由.

MS

1题目②(2023・山西运城•校联考模拟预测)综合与探究

如图,抛物线V=a/+ba；+3与多轴交于48两点，与v轴交于点。，直线，与抛物线交于A(-6,0),

。(—1,5)两点，点P是直线AD上方抛物线上一点，设点P的横坐标为m,过点P作PE，人。于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当PE的长最大时,求线段PE的最大值及此时点P的坐标；

(3)连接BC,OP,试探究:在点P运动的过程中，是否存在点P,使得AOPE=/B8,若存在,请直接写出

力的值;若不存在,请说明理由.

题目①(2023•湖南郴州•统考中考真题)已知抛物线y=ax2+bx+4与2轴相交于点A(l,0),8(4,0)，与?/轴

相交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

⑵如图1,点P是抛物线的对称轴I上的一个动点，当AFAC的周长最小时，求修的值；

(3)如图2,取线段OC的中点。，在抛物线上是否存在点Q,使tan/QDB=]?若存在，求出点Q的坐标;

若不存在,请说明理由.

MS

题型05将军饮马模型解决存在性问题

题目工（2023•广东湛江・校考一模）抛物线y=ax2+bx+2与。轴交于点A（—3,0）,B（l,0）,与9轴交于点C.

（2）求抛物线的解析式

（3）在抛物线对称轴上找一点河，使△7WBC的周长最小，并求出点河的坐标和△7WBC的周长

（4）若点P是加轴上的一个动点,过点P作PQ//BC交抛物线于点Q,在抛物线上是否存在点Q,使3、C、

P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.

题目②（2023•河南周口•校联考三模）如图，抛物线y=-^+bx+c交2轴于点A,B&y轴于点。，连接

AC,点A的坐标为（—2,0），抛物线的对称轴为直线田=1.

图1备用图

（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；

（2）在直线，=1上找一点P,使PA+PC的和最小，并求出点P的坐标；

（3）将线段AC沿x轴向右平移a个单位长度，若线段AC与抛物线有唯一交点,请直接写出a的取值范围.

MS

趣目瓦（2023•黑龙江齐齐哈尔•校联考一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与力轴交于点4（1,0）和

点B（3,0）,与V轴交于点C,D是抛物线的顶点，对称轴与c轴交于E.

（1）求抛物线的解析式；

⑵如图1,在抛物线的对称轴DE上求作一点使/\AMC的周长最小,并求出点M的坐标和周长的最小

值；

（3）如图2,点P是c轴上的动点,过P点作，轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G.设点P的横坐标

为m.是否存在点P,使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值;若不存在,请说明理由.

题型06二次函数中面积存在性问题

「题目工（2023•黑龙江鸡西•校考模拟预测）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+8交c轴于4B

两点，交沙轴于点。，连接AC、BC,4B=AC,tan/4BC=2.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点G,使直线BG将AABC的面积分成1:2的两部分,若存在，求点G的横坐标；

若不存在,请说明理由.

1题目②（2023•广东汕头・统考二模）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB,。为坐标原点，。人=1,

tanZBAO=3，将此三角形绕原点。逆时针旋转90°,得至U△。。。,抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为方，

①是否存在一点P,使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由.

②设抛物线对称轴I与2轴交于一点及连接PE,交CD于F,直接写出当4CEF与4COD相似时，点P的

坐标；

题目包（2023•辽宁盘锦•校联考二模）如图,抛物线y=ax2+bx+3经过4（—1,0）、B（3,0）两点，交《轴于C,

备用图

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点Q,使△QPB与4EPB的面积相等,若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，说明

理由.

（3）抛物线上存在一点G,使AGBA+=45°,请求出点G的坐标.

［题目④（2023•湖北荆州•统考中考真题）已知：y关于#的函数y=（a-2）/+（a+1）®+b.

（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a=46,则a的值是；

（2）如图，若函数的图象为抛物线，与,轴有两个公共点4（一2,0）,2（4,0）,并与动直线Z:c=nz（0<?nV4）交

于点P,连接PA,PB,PC,其中PA交?/轴于点。，交BC于点E.设&PBE的面积为&,/\CDE的面

积为$2.

①当点P为抛物线顶点时，求的面积；

②探究直线Z在运动过程中，S—S2是否存在最大值？若存在，求出这个最大值;若不存在，说明理由.

题型07二次函数中等腰三角形存在性问题

题目工（2023•广东湛江•统考三模）如图，直线沙=2+3与2轴交于点4与沙轴交于点。，抛物线y=-x2-2x

+3与，轴交于A,B两点，与y轴交于点。.

（1）如图①，连接BC,在夕轴上存在一点D,使得ABCB是以BC为底的等腰三角形，求点。的坐标；

（2）如图②，在抛物线上是否存在点E,使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标;若

不存在，请说明理由；

（3）如图③，连接BC,在直线AC上是否存在点F,使ABCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F

的坐标;若不存在,请说明理由；

（4）如图④，若抛物线的顶点为H,连接,在立轴上是否存在一点K,使△4所是等腰三角形？若存在，求

出点K的坐标;若不存在,请说明理由；

（5）如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点G,使AACG是等腰三角形?若存在，求出点G的坐标；若不存

在,请说明理由.••

1题目②（2023•辽宁阜新•阜新实验中学校考二模）如图,抛物线y=/+陵+c（b、c是常数）的顶点为。，与，轴

交于A、B两点，其中4（1,0）,8（—3,0）,点P从入点出发,在线段AB上以1单位长度/秒的速度向B点运

动，运动时间为t秒0VtV4,过P作PQ〃BC交AC于点Q.

（2）当t为何值时，△CPQ的面积最大？并求出△CPQ面积的最大值；

（3）点P出发的同一时亥1|,点”从B点出发，在线段BC上以空单位长度/秒的速度向。点运动，其中一个

点到达终点时,另一个点也停止运动,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△BMP为等腰三角形,若存在,

直接写出P点坐标;若不存在,请说明理由.

［题目①（2023•海南海口海师附中校考三模）如图,抛物线y=ax2+3x+c（aW0）与①轴交于点4（—2,0）和点

B，与"轴交于点。（0,8）,顶点为。，连接AC,CD,是第一象限内抛物线上的动点，连接PB,PC,设

点P的横坐标为九

⑴求抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，/业少。的面积最大？并求出最大面积；

（3）M为直线BC上一点,^MO+MA的最小值；

（4）过P点作PELc轴，交于E点.是否存在点P,使得△PEC为等腰三角形？若存在，请直接写出点

P的坐标;若不存在,请说明理由.

（2023•广东东莞・东莞市东莞中学松山湖学校校考二模）如图，二次函数"=^-x2+bx--的图象与必

轴交于点4（—3,0）和点B,以AB为边在工轴上方作正方形ABCD,点、P是工轴上一动点,连接DP,过点P

作DP的垂线与y轴交于点E.

备用图

（1）6=______；点。的坐标:______；

（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、。重合）,使得OE的长为弓？若存在，请求出点P,若不存在,请

说明理由.

（3）在c轴负半轴上是否存在这样的点P,使"ED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时

△FED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.

题型08二次函数中宜角三角形存在性问题

〔题目〔1〕（2023•辽宁营口•校联考一模）已知直线，与工轴、沙轴分别相交于41,0）、6（0,3）两点,抛物线y=ax2

-2ax+a+4：（a<0）经过点B,交力轴正半轴于点C.

（1）求直线I的函数解析式和抛物线的函数解析式；

（2）在第一象限内抛物线上取点河,连接⑷求△⑷WB面积的最大值及点河的坐标.

（3）抛物线上是否存在点P使△CBP为直角三角形,如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明

理由.••

1题目②（2023•江苏连云港•校联考三模）如图，二次函数y=ax2+4x+c的图象与多轴交于4B两点与y轴交

于点C,B点坐标（-1,0）,。点坐标（0,5）.

备用图

（1）求抛物线的函数关系式和点A坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P,使得△ACT是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的

点P的坐标;若不存在，说明理由；

（3）过抛物线上的点Q作垂直于y轴的直线，交9轴于点E,交直线AC于点。，过点。作①轴的垂线，垂足

为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点Q的坐标.

题目①（2023•广东珠海・统考一模）如图,抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线①=2,并且经过点4（-2,0）,

交，轴于另一点B,交沙轴于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上有一点P,求点P到直线BC距离的最大值及此时点P的坐标；

（3）在直线5。下方的抛物线上是否存在点Q,使得△QBC为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标;

若不存在,请说明理由.

1题目④(2023•湖北鄂州・统考二模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点4―1,0),B(3,0),C(0,—3),点P在第

四象限的抛物线上，AP交直线BC于点O.

备用图

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)当点P的横坐标为1时，求四边形BOCP的面积；

(3)连接PC,AC,记△DPC的面积为&,记△D4C的面积为S2，求兽的最大值及此时点P的坐标；

(4)在(3)的条件下试探究:该抛物线上是否存在点Q,使△APQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的

横坐标;若不存在,请说明理由.

题型09二次函数中全等三角形存在性问题

题目0(2023•甘肃陇南•统考一模)如图,抛物线y=ax2-2x+c与c轴交于A(-l.O),B两点，与y轴交于点

C(0,-3).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)已知点F(m,n)在抛物线上，当一1＜小＜3时,直接写出n的取值范围；

(3)抛物线的对称轴与多轴交于点M,点D坐标为(2,3),试问在该抛物线上是否存在点P,使△ABF与

△ABD全等?若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由.

MS

题目区（2023•陕西咸阳・统考三模）如图,抛物线y=卡―22+3与，轴交于46两点，抛物线的顶点为C,

对称轴为直线Z,，交立轴于点。.

⑴求点4B、C的坐标；

（2）点P是抛物线上的动点，过点。作。加，沙轴于点河，点N在v轴上，且点N在点M上方,是否存在这样

的点P、N,使得以点P、M、N为顶点的三角形与△BCD全等,若存在,请求出点P、N的坐标;若不存在,请

说明理由.

【题目①（2023•陕西西安・西安市第二十六中学校考模拟预测）如图,抛物线与立轴交于点。和点B,顶点为

A（l,1）,直线夕=c—2经过点B,且与抛物线交于点C.

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）若N为立轴上的一个动点，过点N作轴与抛物线交于点/■，是否存在以上LN为顶点的

/XONM，使得△ONM和△ABC全等？若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.

题型10二次函数中相似三角形存在性问题

题目工（2023•广东汕尾・统考二模）如图，抛物线与7轴交于A、B两点（B在A的左边）,与沙轴交于点

。（0,3）,顶点为。（一1,4）.

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）如图，若点P是第二象限内抛物线上的一动点，过点P作•，力轴于点交BC于点E,连接PC,是

否存在点P,使得4PCE与相似？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

题目句（2023广东潮州•统考三模）如图,抛物线y^-x2+bx+c与c轴分别交于点A（T,0）、B（3,0）,与9

轴交于点。，顶点为。，对称轴交c轴于点Q.

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点,且与直线CD相切,求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点使得■与△BQC相似？如果存在,求出点河的坐标;如果不

存在,请说明理由.

1题目①（2022.广东佛山.统考模拟预测）如图，已知抛物线沙=a/+ba:+6经过两点A（T,0）,5（3,0）,。是抛

物线与沙轴的交点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点F（m,n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表

达式（指出自变量小的取值范围）和S的最大值；

（3）点”在抛物线上运动，点N在沙轴上运动，是否存在点M、点、N使得2CMN=90°，且△CMN与△OBC

相似，如果存在，请求出点河和点N的坐标.

题目回（2023•山西太原•山西实验中学校考模拟预测）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，二次函数g=九±+4（小力0）的图象交必轴于A,B两点，交v轴于点。，点

A的坐标为（―3,0）,点B的坐标为（1,0），以OA,OC为边作矩形OAZX7,且边CD交二次函数的图象于点

⑴求二次函数的表达式.

（2）现有一条垂直于2轴的直线c=a在4。两点间（不包括A,O两点）左右移动，分别交8轴于点E,交

8于点F,交AC于点P,交二次函数的图象于点Q,请用含a的代数式表示QP的长.

（3）在（2）的条件下，连接QC,则在CD上方的二次函数的图象上是否存在这样的点Q,使得以Q,C,F为顶

点的三角形和△AEP相似？若存在，直接写出a的值;若不存在，请说明理由.

题型11二次函数中平行四边形存在性问题

题目不（2023•湖北武汉•校联考模拟预测）如图，抛物线F:y=ax2-2ax—8a（a>0）与。轴交于A,6两点，与

9轴交于点。，直线c=3交①轴于点。.

⑴若08=0。,直接写出抛物线的解析式；

⑵如图1,已知点E在第四象限的抛物线上,在线段OD和直线c=3上是否存在F,G两点，使得C,E,F,

G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标;若不存在，说明理由；

（3）如图2,将抛物线F平移,使其顶点落在轴上的点P（0,十）处,得到抛物线G,直线与抛物线G只有一

个公共点与2轴交于点N,定点。在夕轴正半轴上,且满足ZMQN=90°,求此时点Q的坐标.

题目（2023•广东东莞三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于4B

两点，其中4（—3,—4）,B（0,—l）.

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB，求AF4B面积的最大值；

（3）若点河为抛物线对称轴上的点,抛物线上是否存在点N,使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四

边形？如果存在，请求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

2

题目包（2023•湖南岳阳•校联考一模）如图，抛物线y=j-x-2x—6与c轴相交于点4点B,与y轴相交于点

A\O

备用图

（1）请直接写出点A,B,。的坐标；

（2）若点P是抛物线6。段上的一点,当的面积最大时求出点P的坐标，并求出△尸面积的最大

值；

（3）点F是抛物线上的动点，作EF〃入。交，轴于点E,是否存在点使得以A、C、E、F为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在，请说明理由.

题目④（2023•湖北恩施・统考一模）如图,在平面直角坐标系中，抛物线?/="+法+c与直线交于点

A（0,-2）,5（2,0）.

⑴求直线AB的解析式；

（2）求该抛物线的解析式；

（3）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作2轴的平行线交AB于点。，过点P作夕轴的平行线交

立轴于点D.

①在P点的运动过程中是否存在四边形PCDB为平行四边形，若不存在，请说明理由;若存在，请求点P的

坐标；

②求PC+PD的最大值及此时点P的坐标.

题型12二次函数中矩形存在性问题

题目工(2022•黑龙江齐齐哈尔•校考一模)如图，抛物线y=—/+五+c与c轴交于4(—1,0)、3(3,0)两点，D

为抛物线上的一点，连接AD与9轴交于点C,CD=4AC,E为抛物线在,轴上方的一动点，连接AE、CE.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。的坐标为；

(3)求△ACE的面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)点P是抛物线上一点,在平面内是否存在点Q,使以A、D、P、Q为顶点的四边形是以AO为边的矩形？

若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

:题目区(2023•海南・统考中考真题)如图1,抛物线y=^+bx+c交2轴于A,B(3,0)两点，交沙轴于点

C(0,-3).点P是抛物线上一动点.

(1)求该抛物线的函数表达式；

⑵当点P的坐标为(1,—4)时，求四边形BACP的面积；

(3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是矩

形？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由；

(4)如图2,点。是抛物线的顶点,过点D作直线〃沙轴，交立轴于点H,当点P在第二象限时，作直线

PA,PB分别与直线DH交于点G和点/，求证:点。是线段/G的中点.

MS

1题目叵〕（2023•山西晋中•校联考模拟预测）综合与探究

如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为。（1,4）与c轴交于A和B两点，交y轴于点C.

（1）求抛物线的函数表达式及点A、B、。的坐标；

（2）如图1,点P是直线3。上方的抛物线上的动点,当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；

（3）如图2,若点/■是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以3、为顶点的四边

形是以为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在,请说明理由.

题型13二次函数中羲形存在性问题

:癫目Q（2023•西藏・统考中考真题）在平面直角坐标系中,抛物线y=-^+bx+c与2轴交于A（-3,0）,

B（l,0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图甲，在沙轴上找一点。，使4ACD为等腰三角形,请直接写出点。的坐标；

（3）如图乙，点P为抛物线对称轴上一点,是否存在P、Q两点使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?

若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在,请说明理由.

MS

、题目区（2022.陕西.校考模拟预测）如图，一次函数夕=鼻+V3的图象与坐标轴交于点4二次函数y=

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为C、P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q,使得以B、C、

P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标:若不存在,请说明理由.

［题目区（2023•山西忻州•校联考模拟预测）综合与探究

如图，二次函数沙=一/+阮+。的图像与多轴交于43两点,与沙轴交于点。,点人的坐标为（一4,0）,且

OA=OC,E是线段上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线力。和抛物线分别于点D、F.

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点E的横坐标为当m为何值时，线段DF有最大值,并写出最大值为多少；

（3）若点P是直线AC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以点P、Q、8、C为顶点的四边形是菱

形？若存在，请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

MS

题型14二次函数中正方形存在性问题

题目Q（2023•辽宁阜新・阜新实验中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与。轴交

于4T，0），5（3,0）两点，与？/轴交于点。，点P为抛物线上的动点.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线v=①上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）已知点E为2轴上一动点，点Q为平面内任意一点,是否存在以点P,C,E,Q为顶点的四边形是以PC

为对角线的正方形，若存在,请直接写出点Q的坐标，若不存在,请说明理由.

题目②（2023•湖南岳阳•统考中考真题）已知抛物线Qi%=——+历;+c与多轴交于4（—3,0）,B两点，交y轴于

点。（0,3）.

（2）如图1,在沙轴上有一点。（0,-1）,点E在抛物线Q上,点F为坐标平面内一点，是否存在点使得四

边形DAEF为正方形？若存在,请求出点及F的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图2,将抛物线Q向右平移2个单位,得到抛物线Q?，抛物线Q2的顶点为K，与£轴正半轴交于点H,

抛物线Q上是否存在点P,使得/CPK=/CHK?若存在，请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

MS

：题目回(2023•山西晋中•山西省平遥中学校校考模拟预测)如图，二次函数夕=—/+2c+3的图象与多轴交于

两点(点A在点B左侧)，与沙轴交于点C.连接BC.点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的

横坐标为小，过点P作直线轴于点O.交BC于点E.过点P作BC的平行线，交"轴于点

(1)求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)在点P的运动过程中，求使四边形C