2025中考数学专项复习：等可能下的概率（考点清单）原卷版

考点清单4」等可能下的概率

(4个考点梳理+10种题型解读+3种方法解读)

可能发生

随机事件

可能不发生

事件

必然事件必然会发生

上确定性事件

不可能事件必然不会发生

发生可能性大小的数值随机事件A

表ZF记为P(A)

概率

求出频率P

可能性不相同

估计用频率重复试验即P(A)=p

无限果

等可能下的概率

m:事件A出现的次数

公式法

P(A)=：-n:所有事件的总数

涉及两个因素

直接列举法条件可能性相等

结果数目较少

概率的

计算方法两次操作

列君去条件可能性相等

结果数目较多

涉及因素与个

树状图法条件

可能性相等

频率估计瞬通过大量重复试验用随机事件发生的频率来估计事件概率

考点侪单

【清单01】概率的计算方法

概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A

包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率尸(A)=△,即尸(随机事件A)=随机事件A可能出现的结果数.

'7m所有可能出现的结果数

用P(A)=△求概率时，试验需满足的条件：1)在一次试验中，可能出现的结果只有有限个；

m

2)在一次试验中，各种结果出现的可能性相等.

【清单02】列举法

定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可

通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.

用列举法求概率的前提：1)所有可能出现的结果是有限个；2)每个结果出现的可能性相等.

【清单03】列表法

定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，

这种方法叫列表法.

列表法求概率的步骤：

1）把所有可能发生的试验结果列表表示出来；

2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来；

3）利用概率公式p（随机事件A）=随机事件A可能出现的结果数,计算出事件的概率.

k所有可能出现的结果数

【清单04】画树状图法

定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树

状图法.

画树状图法求概率的步骤：

1）把所有可能发生的试验结果用树状图表示出来；

2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来；

3）利用概率公式尸（随机事件A）=随机事件人可能出现的结果数,计算出事件的概率.

所有可能出现的结果数

型侪单

【考点题型一】列举随机实验的所有可能结果

1.（20-21九年级下.浙江杭州•期中）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读

后认真解答.笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都

打开，松鼠要先经过第一道门（A,B,或C）,再经过第二道门（。或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路

线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（）

A.12B.6C.5D.2

2.（20-21九年级上•全国•课后作业）小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子

和一条围巾搭配，可能出现的组合有（）

A.7种B.6种C.5种D.4种

3.（2022・贵州六盘水•中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5

张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有种不同的情况.

【考点题型二】判断几个事件发生可能性的大小

解题方法：要判断事件发生的可能性大小，需看是什么事件，必然事件的可能性最，不可能事件的可能性最小，

随机事件的可能性有大有小.在随机事件中，各个结果出现的可能性相同时，要看各事件包含的结果数的多少，包

含的结果数多的事件发生的可能性大.

4.（22-23九年级上•江苏扬州・期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色

外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（）

A.摸到黄球B.摸到红球C.摸到白球D.摸到黑球

5.（21-22九年级上•浙江温州•期末）如图是一个游戏转盘.自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在

数字1,2,3,4所示区域内可能性最大的是（）

A.1号B.2号C.3号D.4号

6.（22-23八年级下•江苏宿迁•期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、

绿、黄三种，指针的位置固定.转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置

（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）.下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向

黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色.

思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：

（1）可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示）

（2）将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列.

【考点题型三】根据概率公式计算概率

7.（24-25九年级上•江苏南通・期中）不透明袋子中有红球1个，黄球2个，这些球除颜色外无其他差

别.从袋中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是（）

1113

A.-B.-C.-D.-

4324

8.（24-25九年级上•浙江温州•期中）一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相

同.从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（）

A.红球可能性最大B.白球可能性最大

C.黄球可能性最大D.三种小球的可能性相同

9.（24-25九年级上•河南郑州•阶段练习）如图，一个小球从4点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向

左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达H点的概率是（）

10.（22-23九年级上•浙江温州•期中）数学实践课上，王老师在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相

同的红、白、黑三种颜色的球.其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率

是也

（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；

（2）小明从盒子里取出机个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概

率为%请求出加的值•

【考点题型四】已知概率求数量

11.（2024•江苏苏州•二模）文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅

笔.店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：

混入“HB”铅笔数012

盒数6mn

⑴用等式写出加，〃所满足的数量关系;

（2）从20盒铅笔中任意选取了1盒，若“盒中混入1支“HB”铅笔的概率为:，求这20盒中混入“HB”铅笔的数

4

量的平均值.

12.（23-24九年级上.江苏泰州.期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白两种颜色的

球，其中红球2个，白球若干，若从中任意摸出1个球是红球的概率为|.

⑴不透明的盒子中有个白球；

（2）若从中一次性摸出2个球，请用画树状图或列表的方法求摸出的两个球颜色不同的概率.

13.（21-22九年级上•广东汕头•期末）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有

4个红球，6个黄球.

（1）若从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为;

（2）若从中随意摸出一个球是红球的概率为|,求袋子中需再加入几个红球？

14.（22-23八年级下•江苏苏州•期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4

个，黑球8个.

⑴先从袋子中取出a（m>1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件4请完成

下列表格：

事件A必然事件随机事件

m的值——

（2）从袋子中取出几个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是也求几的值.

【考点题型五】列举法求概率

15.（23-24九年级下•重庆•阶段练习）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从

中随机抽取一张，抽到方块的概率是（）

16.（22-23七年级下•四川达州•期末）有五条线段，长度分别是2,4,6,8,10,从中任取三条能构成三

角形的概率是（）

1313

A.-B.—C.--D.-

51025

17.（2023九年级上•江苏・专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都

得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲

第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有—

种不同的取法.事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物。最精美，那么取得礼物。可能性最大的是—同

学.

77/7

11

IZ

©

18.（2023•江苏南京•三模）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定

第一场比赛的入选.

（1）若已确定甲参加第一场比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；

（2）求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率.

【考点题型六】列表法或树状图法求概率

19.（24-25九年级上•陕西西安•阶段练习）某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：4项目必考，再

从B,C,D,E四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是C,E两项的概率是.

20.（2024•内蒙古・中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟

净.现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡

片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为.

唐僧孙悟空猪八戒沙悟净

21.（2024•河北石家庄•二模）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件乙和R2组成的电路系统，其

中每个元件正常工作的概率均为%且每个元件能否正常工作互相不影响.当a到B的电路为通路状态时，

系统正常工作，当a到B的电路为断路状态，系统不能正常工作.

方案1

—I"—

A-----------------B

-I修］―

方案2

（1）方案1中电路为通路的概率为；

（2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是（选填“方案1”或“方案2”）.

22.（24-25九年级上•江苏南通・期中）我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为

主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，8韩国钧故居，C烈士陵

园，每名学生只能任意选择一条线路.

（1）小强选择线路A的概率为;

（2）请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率.

23.（24-25九年级上•广东佛山•阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1,2,3,4四个小

球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀.

（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为；

（2）若设计一种游戏方案：从袋中同时任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜,

请问这种游戏甲获胜的概率是多少?说明理由.

【考点题型七】几何概率

解题方法：随机事件A的概率尸（幻=事件A的几何度量值（常用的几何度量值有长度、面积）

,7样本空间的几何度量值

24.（21-22七年级下•山东烟台・期末）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，

停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）

25.（24-25九年级上•江苏宿迁•期中）如图，将一个飞镖随机投掷到3x3的方格纸中，则飞镖落在阴影部

26.（23-24九年级下•四川成都・开学考试）如图，等腰AABC内接于。0,AB=AC=V10,BC=2,则

小针针尖落在△ABC内的概率为.

27.（23-24九年级上•全国•课后作业）如图，在正方形4BCD中，分别以8,。为圆心，以正方形的边长2

为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案.(计算时兀取3)

(1)求阴影部分的面积；

(2)若在正方形48CD中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率.(豆子落在弧上不计)

28.(22-23七年级下•四川达州•期末)如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑的4个小正方形形成的图

案.

着用图■

(1)一粒米随机落在图中所示的某个方格中(每个方格除颜色外完全一样)，求米粒落在阴影部分的概率；

(2)将方格内空白的小正方形(4,B,C,D,E)中取且只取1个涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，那

么在备用图形中把该小正方形涂黑，如把B涂黑.请把满足条件的所有可能都在备用图中涂出来，并求出新

图案是轴对称图形的概率.

【考点题型八】判断概率的公平性

解题方法：

1)判断游戏是否公平的原则：游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平.

2)游戏规则的修改:对于任何一个游戏，规则的修改方法，一是在各方获胜所得分值相同的情况下，使参与

游戏的各力获胜的概率相同；二是参与游戏的各方获胜的概率不同，但可以通过修改获胜所得分值，使获胜

概率与分值的积相同.

29.(24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习)如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的

面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、8一次，当转盘停止转动时，将

指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜.

(1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率；

(2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数,

则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由.

30.（2024•山东青岛.中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一

班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为

1,2,3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出

一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4,则小明胜；若

和小于4,则小红胜；若和等于4,则重复上述过程.

（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是；

（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.

31.（23-24九年级上•贵州黔东南•阶段练习）小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为：两人各执

“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为

平局.例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局.

⑴一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少.

（2）如果用A,B,C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用Bi，Q分别表示小明的象、虎、鼠三张

牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明.

（3）你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么？

32.（23-24九年级上.山西大同・期末）如图所示的甲、乙两张图片形状完全相同，把这两张图片全部从中

间剪断，再把4张形状相同的小图片混合在一起搅匀.小康和小英做游戏，小康先从这4张图片中随机地

摸取一张（不放回），小英接着再随机地摸取一张.

（1）小康抽到甲图片上半部分图片的概率是；

（2）请用列表法或画树状图法列出所有可能出现的情况；

（3）游戏规定：所抽取的两张图片中，能拼成一张完整的图片，那么小康获胜；否则小英获胜，你认为这个

游戏公平吗？并说明理由.

【考点题型九】概率在转盘抽奖中的应用

33.（24-25九年级上•辽宁锦州•期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽

奖.抽奖规则如下：

1.抽奖方案有以下两种：

方案A,从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15

元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案8,从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10

元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.

2.抽奖条件是：

顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案2抽奖一次（例如

某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案

A,8各抽奖一次）.

已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元.若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15

元的概率；

34.（24-25九年级上•河北沧州•期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客

进行抽奖返券活动.活动方案有二：

方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占右乙盘的白色区域占点其余均为黑色

区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券.

两转盘颜色（甲，乙）（\里八、、，里八、、/）（黑，白）（白，黑）（白，白）

中奖券金额0元10元20元50元

方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券.

问题：

（1）方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？

（2）如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由.

35.（23-24九年级上.辽宁丹东•期末）为促进消费，助力经济发展，某商场决定举办抽奖促销活动.活动

规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同

的1个红球和编号为①②的2个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸

得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球

（它们的大小质地与袋中的3个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随

机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.

（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；

（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的

理由.

36.（23-24九年级上•福建泉州•期末）在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物

满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个

球（不放回）.已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同.

（1）当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？

（2）该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券

值的礼金券.（如下表）

在线支付：

球两红一红一白两白

礼金券/元5105

现金支付：

球两红一红一白两白

礼金券/元10510

如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方

式？并说明理由.

37.（23-24九年级上•青海西宁・期末）双十一期间，某商场为了吸引顾客，一次购物满500元可获得一次

转转盘抽奖金的机会，如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成4个扇形），转动转盘停止后，根

据指针指向（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止），参照下表获得对应的奖金.

颜色白色蓝色黄色红色

奖金（元）10205080

（1）甲顾客一次购物300元，他获得奖金的概率是；

（2）乙顾客一次购物1100元，可参加两次转转盘抽奖金的机会，请用列表法或画树状图的方法求乙顾客两

次共获得100元奖金的概率，并列出所有等可能的情况.

【考点题型十】概率的其它应用

38.（23-24九年级上.辽宁营口.阶段练习）某体育馆有A,8两个入口，每个入口有3个通道可同时通行,

C,D,E三个出口，其中C、。出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行

100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开.甲、乙、丙三

名观众分别从两