2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象（1）教学说课稿 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象（1）教学说课稿新人教A版必修4一、教学内容分析

1.本节课的主要教学内容：本节课主要讲解正切函数的性质与图象（1），包括正切函数的定义、性质、图象以及简单的应用。

2.教学内容与学生已有知识的联系：本节课与第一章三角函数1.3“正弦函数与余弦函数”紧密相关，学生需要具备正弦函数和余弦函数的基本概念和性质，才能更好地理解正切函数的相关知识。二、核心素养目标分析

本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。通过正切函数的性质与图象的学习，学生能够提升对函数概念的理解，培养运用数学语言描述现实问题的能力；通过探索和验证正切函数的性质，增强逻辑推理和数学建模的能力；同时，通过观察和分析图象，提高直观想象和空间观念。三、教学难点与重点

1.教学重点，①

①正切函数的定义：学生需要理解正切函数作为三角函数的一种，其定义与直角三角形的关系，以及与单位圆上点的坐标的关系。

②正切函数的性质：包括周期性、奇偶性、单调性和渐近线等，学生需要能够识别并理解这些性质，并能在具体情境中应用。

2.教学难点，①

①正切函数图象的理解：学生需要将正切函数的几何意义与图象相结合，理解函数在不同区间内的行为特点，如图象的上升下降、振荡和无限趋近于垂直渐近线的过程。

②正切函数性质的应用：将正切函数的性质应用于解决实际问题，如求解特定角度的正切值、分析函数在特定区间内的行为等，这要求学生能够灵活运用所学知识。四、教学资源

-软硬件资源：电脑、投影仪、电子白板

-课程平台：学校内部教学平台，用于发布课件和作业

-信息化资源：正切函数性质与图象的动画演示视频、在线互动练习系统

-教学手段：多媒体课件、实物教具（如直角三角板）、黑板和粉笔五、教学过程设计

**导入环节（用时5分钟）**

1.创设情境：展示一张直角三角形的图片，提问学生：“如果已知直角三角形的两个锐角，我们能否确定其正切值？正切值又有哪些特点？”

2.提出问题：引导学生思考正切函数的定义及其与直角三角形的关系。

3.学生回答：邀请学生回答问题，并简要总结。

**讲授新课（用时15分钟）**

1.正切函数的定义：介绍正切函数的定义，以单位圆上的点为例，讲解正切函数的几何意义。

2.正切函数的性质：

-周期性：解释正切函数的周期性，通过公式说明周期为π。

-奇偶性：说明正切函数是奇函数，通过定义和性质推导证明。

-单调性：分析正切函数在不同区间内的单调性，通过图象和公式进行说明。

-渐近线：讲解正切函数的垂直渐近线，以及其在图象上的表现。

3.正切函数图象：

-通过动画演示正切函数图象的绘制过程，展示函数在各个区间的行为特点。

-分析图象的振荡、上升下降和渐近线。

**师生互动环节（用时10分钟）**

1.课堂提问：提出问题，如“如何根据正切函数的性质判断其在特定区间的值？”等，邀请学生回答。

2.小组讨论：将学生分成小组，讨论如何利用正切函数的性质解决实际问题。

3.小组展示：每组选出代表，展示讨论结果，其他组进行评价。

**巩固练习（用时15分钟）**

1.练习题：分发练习题，要求学生独立完成。

2.课堂讲解：针对学生练习中的问题进行讲解，强调正切函数性质的应用。

3.互动练习：邀请学生上黑板解答练习题，其他学生进行点评。

**课堂小结（用时5分钟）**

1.回顾本节课所学内容，强调正切函数的性质和图象。

2.提出思考题：引导学生思考如何将正切函数应用于实际问题中。

**课后作业（用时5分钟）**

1.布置课后作业，要求学生完成。

2.提醒学生注意正切函数的性质在解题中的应用。

**教学反思（用时5分钟）**

1.教师对教学过程进行反思，总结教学中的亮点和不足。

2.记录学生对新知识的掌握情况，为下一节课做好准备。

**总结**

本节课通过创设情境、讲授新课、师生互动、巩固练习等环节，帮助学生理解和掌握正切函数的性质与图象。教学过程中注重学生的主体地位，通过互动和练习，提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。六、知识点梳理

正切函数的性质与图象是高中数学第一章三角函数中的重要内容，以下是本节课的知识点梳理：

1.正切函数的定义

-正切函数是三角函数的一种，表示为tanθ。

-对于任意锐角θ，正切值定义为直角三角形中，对边与邻边的比值。

-在单位圆上，正切值定义为圆上一点的纵坐标与横坐标的比值。

2.正切函数的性质

-周期性：正切函数具有周期性，周期为π。即tan(θ+π)=tanθ。

-奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-θ)=-tanθ。

-单调性：正切函数在(-π/2,π/2)区间内单调递增，在(π/2,3π/2)区间内单调递减。

-渐近线：正切函数在(kπ+π/2)处（k为整数）有垂直渐近线。

3.正切函数的图象

-正切函数的图象是一条连续的曲线，具有周期性。

-图象在x轴的垂直渐近线处断开，形成垂直渐近线。

-图象在(-π/2,π/2)区间内上升，在(π/2,3π/2)区间内下降。

-图象在y轴上没有渐近线，但接近y轴。

4.正切函数的应用

-利用正切函数的性质求解特定角度的正切值。

-分析正切函数在特定区间内的行为特点，如单调性、周期性等。

-将正切函数应用于实际问题，如求解直角三角形、物理问题等。

5.正切函数与正弦、余弦函数的关系

-正切函数与正弦、余弦函数之间存在密切的关系。

-利用三角恒等变换，可以将正切函数转换为正弦、余弦函数的形式。

-反之，也可以利用正弦、余弦函数求解正切函数的值。

6.正切函数的极限

-正切函数在x趋近于(kπ+π/2)时，极限不存在。

-正切函数在x趋近于(kπ)时，极限为0。

7.正切函数的导数

-正切函数的导数为sec²θ，即1/cos²θ。

-利用导数可以研究正切函数的变化率，以及其在特定区间内的增减性。

8.正切函数的反函数

-正切函数的反函数为反正切函数，表示为arctanx。

-反正切函数的图象与正切函数的图象关于y=x对称。七、板书设计

1.正切函数的定义

①正切函数：tanθ

②定义：直角三角形中，对边与邻边的比值

③单位圆上：纵坐标与横坐标的比值

2.正切函数的性质

①周期性：周期为π，tan(θ+π)=tanθ

②奇偶性：奇函数，tan(-θ)=-tanθ

③单调性：(-π/2,π/2)单调递增，(π/2,3π/2)单调递减

④渐近线：垂直渐近线，x=kπ+π/2（k为整数）

3.正切函数的图象

①周期性：图象连续，具有周期性

②渐近线：垂直渐近线，x轴上的断点

③单调区间：(-π/2,π/2)上升，(π/2,3π/2)下降

4.正切函数的应用

①求解特定角度的正切值

②分析函数在特定区间内的行为特点

③应用实例：直角三角形、物理问题等

5.正切函数与正弦、余弦函数的关系

①三角恒等变换：tanθ=sinθ/cosθ

②求解正切函数的值

6.正切函数的极限

①极限不存在：x趋近于(kπ+π/2)

②极限为0：x趋近于(kπ)

7.正切函数的导数

①导数：sec²θ，1/cos²θ

②研究函数的变化率

8.正切函数的反函数

①反函数：arctanx

②图象对称：y=x对称八、反思改进措施

反思改进措施

教学特色创新

1.创设情境，激发兴趣：在导入环节，我尝试通过展示直角三角形的图片和提出问题，激发了学生的学习兴趣，让他们在问题中寻找答案，这种情境教学法能够更好地调动学生的积极性。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件和动画演示，使抽象的数学概念更加直观，帮助学生更好地理解正切函数的性质和图象。

存在主要问题

1.学生对函数性质的理解不够深入：在教学过程中，我发现部分学生对正切函数的性质理解不够深入，尤其是在周期性和单调性方面，需要进一步加强讲解和练习。

2.课堂互动不足：虽然我尝试通过提问和小组讨论来增加课堂互动，但实际效果并不理想，部分学生参与度不高，需要找到更有效的互动方式。

3.作业反馈不及时：课后作业的反馈对于巩固知识非常重要，但我在实际教学中发现，由于时间和精力有限，作业的反馈不够及时，影响了学生的学习效果。

改进措施

1.深入讲解函数性质：针对学生对函数性质理解不够深入的问题，我将增加课堂讲解的时间，通过举例、对比等方式，帮助学生更好地理解函数的性质。

2.丰富课堂互动形式：为了提高学生的参与度，我将尝试更多样化的课堂互动形式，如小组竞赛、角色扮演等，激发学生的学习兴趣，让每个学生都有机会参与到课堂活动中来。

3.优化作业反馈机制：为了确保作业反馈的及时性，我将调