2024-2025学年新教材高中数学课时作业3第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用含解析新人教B版必修第四册

PAGEPAGE1课时作业3正弦定理与余弦定理的应用时间：45分钟eq\a\vs4\al(一、选择题每小题5分，共40分)1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(D)A．10eq\r(3)海里B．10eq\r(6)海里C．5eq\r(2)海里D．5eq\r(6)海里解析：如题图，∠A＝60°，∠B＝75°，则∠C＝45°，由正弦定理得：BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6).2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(A)A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m解析：因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，依据正弦定理可知，eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得AB＝50eq\r(2)m，选A.3．如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为(D)A．15eq\r(2)m B．15eq\r(3)mC．15(eq\r(3)＋1)m D．15eq\r(6)m解析：在△BCD中，由正弦定理得BC＝eq\f(sin30°,sin135°)×CD＝15eq\r(2)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝15eq\r(6).故选D.4．在一幢20m高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°(如图所示)，那么这座塔的高是(B)A．20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))mB．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))mD．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m解析：由题意知四边形ABDE为矩形，∴∠BAD＝90°－∠DAE＝45°，∴AB＝BD＝20m，∴AE＝BD＝20m．故在Rt△AEC中，CE＝AE·tan60°＝20eq\r(3)m.∴CD＝DE＋CE＝20＋20eq\r(3)＝20(1＋eq\r(3))(m)．5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋视察站C的距离都等于akm，灯塔A在视察站C的北偏东20°，灯塔B在视察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(B)A．akm B.eq\r(3)akmC.eq\r(2)akm D．2akm解析：易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×(－eq\f(1,2))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)akm.6．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋30eq\r(3))mB．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))mD．(15＋15eq\r(3))m解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，由正弦定理，得PB＝eq\f(ABsin30°,sin15°)＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))m，所以建筑物的高度为PBsin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))(m)，故选A.7．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动起先多少小时后，两车的距离最小(C)A.eq\f(69,43) B．1C.eq\f(70,43) D．2解析：如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．由余弦定理，得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.当t＝eq\f(70,43)时，DE最小．故选C.8．某炮兵阵地位于A点，两个视察所分别位于C，D两点．已知△ACD为等边三角形，且DC＝eq\r(3)km，当目标出现在B点(A，B两点位于CD两侧)时，测得∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离约为(C)A．1.1kmB．2.2kmC．2.9kmD．3.5km解析：如图，∠CBD＝180°－∠CDB－∠BCD＝180°－45°－75°＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝eq\f(BD,sin75°)，故BD＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°，∴AB＝eq\r(5＋2\r(3))≈2.9(km)．故炮兵阵地与目标的距离约为2.9km，故选C.eq\a\vs4\al(二、填空题每小题6分，共18分)9．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AB＝120米，则河的宽度为(60eq\r(3)－60)米．解析：由题意可得∠ACB＝105°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠CAB)，BC＝60eq\r(6)－60eq\r(2)，如图，过C点作CD⊥AB于D，设CD＝x，则x＝BCsin45°＝60(eq\r(3)－1)＝60eq\r(3)－60.10．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样接着爬行可回到动身点处，那么x＝eq\f(20,3)eq\r(6).解析：假设蚂蚁的爬行路途为A→B→C→A.依据题意，作出图形，如图，在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，则∠BAC＝60°，由正弦定理知eq\f(x,sin∠ACB)＝eq\f(20,sin∠BAC)，∴x＝eq\f(20,3)eq\r(6).11．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发觉张角∠ABC＝120°；从B处攀登400m到达D处，回头看索道AC，发觉张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800m到达C处，则索道AC的长为400eq\r(13)m.解析：在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°.∵∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，∴∠DAB＝180°－120°－30°＝30°，∴AB＝BD＝400，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB×BDcos120°)＝400eq\r(3).在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(400eq\r(3))2＋8002－2×400eq\r(3)×800×cos150°＝4002×13，∴AC＝400eq\r(13).三、解答题写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，12、13、15题各12分，14题6分，共42分12．如图所示，海中小岛A四周38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，假如此船不变更航向，接着向南航行，有无触礁的危急？解：在△ABC中，BC＝30海里，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°.由正弦定理得eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即：eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)，∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))(海里)，∴A到BC的距离d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈40.98(海里)>38海里，所以接着向南航行，没有触礁危急．13．现有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点A北偏东45°且与点A相距40eq\r(2)海里的B处，经过40分钟，又测得该船已行驶到点A北偏东(45°＋θ)(其中sinθ＝eq\f(\r(26),26)，0°<θ<90°)且与点A相距10eq\r(13)海里的C处．求该船的行驶速度(单位：海里/时)．解：如图所示，AB＝40eq\r(2)海里，AC＝10eq\r(13)海里，∠BAC＝θ，sinθ＝eq\f(\r(26),26).由于0°<θ<90°，所以cosθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(26),26)))2)＝eq\f(5\r(26),26).由余弦定理得BC＝eq\r(AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ)＝10eq\r(5)海里，所以船的行驶速度为eq\f(10\r(5),\f(2,3))＝15eq\r(5)(海里/时)．——素养提升——14．在一条东西走向的水平马路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条马路在同一水平平面上．为测量该塔的高度，测量人员在马路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北α的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北β的方向上，并测得塔顶D的仰角为γ.已知AB＝a,0<γ<β<α<eq\f(π,2)，则此塔的高CD为(B)A.eq\f(asinα－β,sinα)tanγB.eq\f(asinα,sinα－β)tanγC.eq\f(asinα－βsinβ,sinα)tanγD.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)tanγ解析：依题意，得在△ABC中，AB＝a，∠CAB＝π－α，∠ACB＝α－β，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα－β)＝eq\f(BC,sinπ－α)，所以BC＝eq\f(asinα,sinα－β).在△BCD中，∠CBD＝γ，CD＝BCtanγ＝eq\f(asinα,sinα－β)tanγ，故选B.15．某市电力部门在一次救灾过程中，须要在A，B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能干脆测量A，B两地距离．现测量人员在相距eq\r(3)km的C，D两地(假设A，B，C，D在同一平面上)，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等缘由，实际所需电线长度大约是A，B距离的eq\f(4,3)倍，问施工单位至少应打算多长的电线？解：在△ACD中，由已知可得，∠CAD＝30°，所以AC＝eq\r(3)km，在△BCD中，由已知可得，∠CBD＝60°，sin75°＝sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6