2024-2025学年高中数学第二章平面解析几何初步2.2.4点到直线的距离学案新人教B版必修2

PAGEPAGE12．2．4点到直线的距离1．了解点到直线的距离公式的推导方法．2．驾驭点到直线的距离公式，两条平行线间的距离公式．3．会求点到直线的距离，两平行线间的距离．1．点到直线的距离公式点P(x1，y1)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax1＋By1＋C|,\r(A2＋B2))．(1)点P(x1，y1)到x轴的距离为d＝|y1|；(2)点P(x1，y1)到y轴的距离为d＝|x1|；(3)点P(x1，y1)到与x轴平行的直线y＝a(a≠0)的距离为d＝|y1－a|；(4)点P(x1，y1)到与y轴平行的直线x＝b(b≠0)的距离为d＝|x1－b|．2．两平行线间的距离设直线l1为Ax＋By＋C1＝0，直线l2为Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0)，则两线间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))．1．点(2，1)到直线l：x－2y＋2＝0的距离为()A．eq\f(2,5) B．eq\f(2,5)eq\r(5)C．eq\f(6,5)eq\r(5) D．0答案：B2．直线l1：2x＋3y－8＝0与l2：2x＋3y－10＝0之间的距离d＝__________．答案：eq\f(2\r(13),13)3．直线l1：x＋y－1＝0与l2：2x＋2y＋5＝0之间的距离d＝__________．答案：eq\f(7\r(2),4)4．当点P(x1，y1)在直线Ax＋By＋C＝0上时，还适合点到直线的距离公式吗？解：适合．点P在直线Ax＋By＋C＝0上，则距离d＝0，且有Ax1＋By1＋C＝0，所以d＝eq\f(|Ax1＋By1＋C|,\r(A2＋B2))＝0．求点到直线的距离求点P(1，2)到下列直线的距离：(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．【解】(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，由点到直线的距离公式，得d1＝eq\f(|1－2－3|,\r(12＋(－1)2))＝2eq\r(2)．(2)法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，由点到直线的距离公式，得d2＝eq\f(|2＋1|,\r(02＋12))＝3．法二：因为y＝－1平行于x轴(如图所示)，所以d2＝|－1－2|＝3．(3)y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式，得d3＝eq\f(|1|,\r(12＋02))＝1．eq\a\vs4\al()应用点到直线的距离公式应留意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍旧适用．(3)直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特别直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合法求解．求过点P(3，4)，且到原点距离为3的直线方程．解：由题意可知当所求直线的斜率不存在时，x＝3，满意题意．当所求直线的斜率存在时，设为y＝k(x－3)＋4，化为一般式为kx－y＋4－3k＝0，所以eq\f(|4－3k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(7,24)．所以直线方程为7x－24y＋75＝0．综上，所求直线方程为x＝3或7x－24y＋75＝0．求平行线间的距离(1)求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15间的距离．(2)已知直线l1：3x－4y＋a＝0与直线l2：6x－8y＝0间的距离d>3，求实数a的取值范围．【解】(1)法一：若在直线l1上任取一点A(2，1)，则点A到直线l2的距离，即是所求的平行线间的距离．所以d＝eq\f(|3×2＋4×1－15|,\r(32＋42))＝1．法二：设原点到直线l1，l2的距离分别为|OF|、|OE|，结合图形(图略)可知，|OE|－|OF|即为所求．所以|OE|－|OF|＝eq\f(|－15|,\r(32＋42))－eq\f(|－10|,\r(32＋42))＝1．法三：利用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，得d＝eq\f(|(－10)－(－15)|,\r(32＋42))＝1．(2)法一：直线l2的方程可以化为3x－4y＝0，则由平行线之间的距离公式可得d＝eq\f(|a|,\r(32＋(－4)2))＝eq\f(|a|,5)，因为d>3，所以eq\f(|a|,5)>3，所以|a|>15．所以a>15或a<－15．法二：在l2上取点(0，0)，则d＝eq\f(|a|,\r(32＋(－4)2))＝eq\f(|a|,5)＞3．所以a＞15或a＜－15．eq\a\vs4\al()两平行线间距离的求法(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以应用公式．(2)应用两平行线间的距离公式d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))时，两直线方程必需是一般形式，而且x，y的系数对应相等．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程．解：法一：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0，因为两直线间的距离为2，所以eq\f(|6－m|,\r(52＋(－12)2))＝2，所以m＝32或m＝－20．所以所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0．在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－12×\f(1,2)＋C)),\r(52＋(－12)2))＝eq\f(|C－6|,13)，由题意得eq\f(|C－6|,13)＝2，则C＝32或C＝－20．所以所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．距离公式的综合运用已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离等于2．【解】法一：设点P的坐标为P(a，b)，由|PA|＝|PB|得，(4－a)2＋(－3－b)2＝(2－a)2＋(－1－b)2，化简得a－b＝5， ①由点P到直线l的距离等于2，得eq\f(|4a＋3b－2|,\r(42＋32))＝2， ②由①②方程联立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－4))，或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7),b＝－\f(8,7)))．所以，所求的点为P(1，－4)或P(eq\f(27,7)，－eq\f(8,7))．法二：设点P的坐标为P(a，b)，因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而直线AB的斜率kAB＝eq\f(－3－(－1),4－2)＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝x－3，即x－y－5＝0．而点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0． ③由已知点P到l的距离为2，得eq\f(|4a＋3b－2|,\r(42＋32))＝2． ④由③④方程联立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7),b＝－\f(8,7)))．所以，所求的点为P(1，－4)或P(eq\f(27,7)，－eq\f(8,7))．eq\a\vs4\al()解析几何的主要思想就是利用点的坐标反映图形的位置．对于求点的问题，首先需设出点的坐标，依据题目中的条件，用点的坐标表示出来，列出方程组进行求解，即可得出所需结论．1．动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标．解：直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，所以OP所在直线方程为y＝x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))所以P点坐标为(2，2)．2．求过点P(1，2)且与原点距离最大的直线方程．解：由题意知与OP垂直的直线到原点O的距离最大，因为kOP＝2，所以所求直线方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0．1．点到直线距离公式的推导用到了解析几何中的常用方法“设而不求”，希望在今后学习中留意这种方法在解题中的应用．公式只与直线方程中的系数有关，因而它适合随意直线，在详细应用过程中，应将直线方程化为一般式，再套用公式．2．两平行线间的距离求法有两种：一是转化为点到直线的距离；二是干脆运用两平行线间的距离公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))，但应留意两直线方程中x、y系数分别对应相等(即A1＝A2，B1＝B2)；若不相等，应化为相等，再运用．3．某些距离最值问题常运用数形结合法转化为点到直线的距离问题．1．求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，要先化成一般式再用公式．2．点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍旧适用，故应用公式时不必推断点P与直线l的位置关系．3．应用两条平行直线间的距离公式时，应把直线方程化为一般形式，且使两条平行直线方程中x，y的系数分别对应相等．4．求两条平行线间的距离，通常转化为求其中一条直线上随意一点到另一条直线的距离．1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(5)解析：选D．d＝eq\f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22))＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5)．2．与直线2x＋y＋1＝0平行且距离等于eq\f(\r(5),5)的直线方程为()A．2x＋y＝0B．2x＋y－2＝0C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0解析：选D．设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋C＝0，由两平行线间的距离公式得eq\f(|C－1|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，所以|C－1|＝1，所以C＝0或C＝2，故选D．3．直线2x－y－1＝0与直线6x－3y＋10＝0的距离是________．解析：直线2x－y－1＝0可化为6x－3y－3＝0，则d＝eq\f(|－3－10|,\r(62＋(－3)2))＝eq\f(13,3\r(5))＝eq\f(13\r(5),15)．答案：eq\f(13\r(5),15)4．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为____________．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0．则eq\f(|4×(－1)＋3×(－1)＋C|,\r(42＋32))＝2，即|C－7|＝10．解得C＝－3或C＝17．故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0．答案：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0[学生用书P119(单独成册)])[A基础达标]1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()A．3 B．eq\f(5,3)C．1 D．eq\f(\r(2),2)解析：选B．点P(1，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|3×(－1)－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3)，选B．2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝()A．0 B．eq\f(3,4)C．3 D．0或eq\f(3,4)解析：选D．点M到直线l的距离d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4)，选D．3．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C．设AB边上的高为h，则S△ABC＝eq\f(1,2)|AB|·h．|AB|＝eq\r((3－1)2＋(1－3)2)＝2eq\r(2)，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为eq\f(y－3,1－3)＝eq\f(x－1,3－1)，即x＋y－4＝0．点C到直线x＋y－4＝0的距离为eq\f(|－1＋0－4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))，因此S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(5,\r(2))＝5．4．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为eq\f(\r(5),5)，则点P的坐标为()A．(0，－2) B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)解析：选C．直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得eq\f(|2(1＋t)－(1＋3t)－1|,\r(22＋(－1)2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1．当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C．5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是()A．eq\f(4\r(2),3) B．eq\f(8\r(2),3)C．4eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：选B．因为l1∥l2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a(a－2)－3＝0，,2a－6(a－2)≠0，))解得a＝－1．所以l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq\f(2,3)＝0，所以l1，l2间的距离是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋(－1)2))＝eq\f(8\r(2),3)．6．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________．解析：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，因为原点到直线的距离d＝eq\f(|－10|,\r((1＋3λ)2＋(3－λ)2))＝1，所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原点相距为1的直线的条数为2．答案：27．已知x＋y－3＝0，则eq\r((x－2)2＋(y＋1)2)的最小值为________．解析：设P(x，y)，A(2，－1)，则点P在直线x＋y－3＝0上，且eq\r((x－2)2＋(y＋1)2)＝|PA|．|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq\f(|2＋(－1)－3|,\r(12＋12))＝eq\r(2)．答案：eq\r(2)8．已知△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，则点C的坐标为________．解析：设C(x，y)，由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4，又线段AB所在直线方程为3x＋4y－17＝0．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|3x＋4y－17|,\r(32＋42))＝4，,3x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝8.))所以点C的坐标为(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8))．答案：(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8))9．如图，在△ABC中，顶点A、B和内心I的坐标分别为A(9，1)、B(3，4)、I(4，1)，求顶点C的坐标．解：AB边所在直线方程为eq\f(y－1,4－1)＝eq\f(x－9,3－9)，即x＋2y－11＝0．由于内心I到直线AB的距离等于内切圆半径r，则r＝eq\f(|4＋2×1－11|,\r(5))＝eq\r(5)．设AC边所在直线的方程为y－1＝k(x－9)，即kx－y＋1－9k＝0．又I到直线AC的距离也是eq\r(5)，所以eq\f(|4k－1＋1－9k|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝±eq\f(1,2)．因为kAB＝－eq\f(1,2)，所以k＝eq\f(1,2)．故AC所在直线的方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－9)，即x－2y－7＝0．同理，可求BC边所在直线方程为2x－y－2＝0．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－2＝0，,x－2y－7＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－4.))故点C坐标为(－1，－4)．10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．解：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以中心坐标为(－1，0)．所以中心到已知边的距离为eq\f(|－1－2|,\r(12＋32))＝eq\f(3,\r(10))．设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0．因为正方形中心到各边距离相等，所以eq\f(|－1＋m|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))和eq\f(|－3＋n|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))．所以m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0．所以其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0，3x－y＝0，3x－y＋6＝0．[B实力提升]11．P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上随意一点，则|PQ|的最小值为()A．eq\f(9,5) B．eq\f(18,5)C．3 D．6解析：选C．法一：|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离，在直线3x＋4y－12＝0上取点(4，0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3．法二：|PQ|的最小值即为两平行直线6x＋8y－24＝0与6x＋8y＋6＝0的距离d＝eq\f(|－24－6|,\r(62＋82))＝3，故选C．12．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：选D．设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称的点(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0．故选D．13．已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，因为点A(5