2024-2025学年高中数学第三章推理与证明课时作业93.2数学证明含解析北师大版选修1-2

PAGEPAGE1课时作业9数学证明时间：45分钟满分：100分一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)1．有如下一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，这个推理的结论明显是错误的，是因为()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误【答案】C【解析】推理形式不完全符合三段论推理的要求，故推出的结论是错误的．2．下面几种推理过程不是演绎推理的是()A．全部的金属都能导电，铀是金属，所以铀能导电B．一切偶数都能被2整除，22008是偶数，所以22008能被2整除C．由椭圆的基本性质类比得出双曲线的基本性质D．在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下，把水加热到100℃【答案】C【解析】A，B，D的推理都是以某些一般的推断为前提，得出一些个别的、详细的推断，因而都是演绎推理．选项C是由一类事物的性质类比出另一类事物的性质，是类比推理，属于合情推理的范畴，故选C.3．“三角函数是周期函数，y＝tanx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是三角函数，所以y＝tanx在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是周期函数．”在以上演绎推理中，下列正确的是()A．推理完全正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．推理形式不正确【答案】C【解析】y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))只是三角函数中的一个特例，不是代表一般的三角函数，故小前提错误．4．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的“小前提”是()A．①B．②C．①②D．③【答案】B5．已知△ABC中，A＝30°，B＝60°，求证：a<b.证明：eq\x(\a\al(∵A＝30°，B＝60°，,∴A<B.))∴a<b.画线部分是用演绎推理证明a<b中的()A．大前提 B．小前提C．结论 D．三段论【答案】B【解析】用演绎推理证明a<b中，省略了大前提，画线部分是小前提．6．下面推理中正确的是()A．假如不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你肯定中奖B．因为正方形的对角线相互平分且相等，所以对角线相互平分且相等的四边形是正方形C．因为a>b，a<c，所以a－b<a－cD．因为a>b，c>d，所以a－d>b－c【答案】D7．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相像之处，某医药先在猴子身上试验，试验胜利后再用于人体试验B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，……得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体的四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如an＝cqn(c，q≠0)的数列{an}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列【答案】D【解析】选项A，C属于类比推理，选项B属于归纳推理，选项D属于演绎推理．二、填空题(本大题共3个小题，每小题7分，共21分)8．已知a＝eq\f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满意f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为______．【答案】m<n【解析】当0<a<1时函数f(x)＝ax为减函数，(大前提)a＝eq\f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，(小前提)所以，函数f(x)＝(eq\f(\r(5)－1,2))x为减函数．(结论)故由f(m)>f(n)得m<n.9．全部眼睛近视的人都是聪慧人，我近视得很厉害，所以我很聪慧．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．①我是个笨人，因为全部的聪慧人都是近视眼，而我的视力那么好．②全部的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．③小陈非常兴奋，所以小陈肯定长得很胖，因为兴奋的人都长得很胖．④全部尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．【答案】④【解析】依据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这明显是错误的．①②③符合三段论的形式．10．如图，在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC＞BC，①所以AD＞BD，②于是∠ACD＞∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是____________．(只填序号)【答案】③【解析】由AD＞BD得到∠ACD＞∠BCD推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD＞BD”，而AD、BD不在同一三角形中，故③错．三、解答题(本大题共3个小题，11,12题每小题14分，13题16分，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.如右图，在空间四边形ABCD中，M、N分别为AB，AD的中点．求证：MN∥平面BCD(写出大前提，小前提，结论)【证明】①三角形中位线平行于底边(大前提)∵M、N分别为AB与AD的中点(小前提)∴MN∥BD(结论)②平面外一条直线与平面内一条直线平行，则这条直线与这个面平行(大前提)∵MN⃘面BCD，BD面BCD.MN∥BD(小前提)∴MN∥平面BCD(结论)12．下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？(1)因为对数函数y＝logax是增函数，(大前提)而y＝logeq\f(1,3)x是对数函数，(小前提)所以y＝logeq\f(1,3)x是增函数．(结论)(2)因为过不共线的三点有且仅有一个平面，(大前提)而A、B、C为空间三点，(小前提)所在过A、B、C三点只能确定一个平面．(结论)(3)因为金属铜、铁、铝能够导电，(大前提)而金是金属，(小前提)所以金能够导电．(结论)[分析]本题考查三段论推理的应用，在应用三段论推理证明问题时，首先应当明确什么是问题中的大前提和小前提，并且应留意大前提、小前提或推理形式其中之一错误，都可能导致结论错误．【解析】(1)推理形式是正确的，但大前提是错误的．因为对数函数y＝logax的单调性与底数a的取值有关，若0<a<1，则y＝logax为减函数；若a>1，则y＝logax为增函数，所以推理的结论是错误的．(2)推理形式是正确的，但小前提是错误的．因为若三点共线，则可确定多数个平面，只有不共线的三点才满意题意，所以推理的结论是错误的．(3)推理形式是错误的，因为演绎推理是从一般到特别的推理，而铜、铁、铝仅是金属的代表，是特别事例，是特别到特别的推理，所以推理的结论是错误的．13．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．【分析】证明本例所依据的大前提是增函数的定义，即函数y＝f(x)满意：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1<x2，则有f(x1)<f(x2)．小前提是f(x)＝x3＋x，x∈(－∞，＋∞)上满意增函数的定义，这是证明本例的关键．【证明】设x1<x2，则x2－x1>0，f(x2)－f(x1)＝(xeq\o\al(3,2)＋x2)－(xeq\o\al(3,1)＋x1)＝(xeq\o\al(3,2)－xeq\o\al(3,1))＋(x2－x1)＝(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1))＋(x2－x1)＝(x2－x1)(xeq\o\al(2,2)＋x2x1＋xeq\o\al(2,1)＋1)＝(x2－x1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(x1,2)))2＋\f(3,4)x\o\al(2,1)＋1)).因为eq\b\lc\(\rc\)