2024-2025学年新教材高中数学第5章函数应用章末综合提升学案含解析北师大版必修第一册

PAGE1-函数应用[巩固层·学问整合][提升层·题型探究]函数的零点及其应用【例1】(1)已知函数f(x)＝lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x－2)的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A．[－1，0) B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)(1)C(2)C[(1)因为f(x)＝lnx－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(x－2)在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝ln1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(－1)＝ln1－2<0，f(2)＝ln2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(0)<0，f(3)＝ln3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(1)>0，所以x0∈(2，3)，故选C.(2)函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点．作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，视察图象与x轴在给定区间上是否有交点来推断．2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点个数问题，需精确画出两个函数的图象，利用图象写出满意条件的参数范围．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－2，x≤0，,－1＋lnx，x>0))的零点个数为()A．3B．2C．1D．0B[法一：由f(x)＝0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2＋x－2＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－1＋lnx＝0，))解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．]二分法及应用【例2】设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连绵不断的．先求值：f(0)＝_______，f(1)＝_______，f(2)＝_______，f(3)＝_______．所以f(x)在区间________内存在一个零点x0，填下表，区间中点mf(m)符号区间长度结论x0的值为多少？(精确度0.1)[解]f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，所以初始区间为(1，2).区间中点mf(m)符号区间长度(1，2)1.5＋1(1，1.5)1.25＋0.5(1，1.25)1.125－0.25(1.125，1.25)1.1875＋0.125(1.125，1.1875)0.0625因为|1.1875－1.125|＝0.0625<0.1，所以x0≈1.125(不唯一).运用二分法的留意事项(1)二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围，所以要选好计算的初始区间，保证所选区间既符合条件，又使区间长度尽量小．(2)计算时留意依据给定的精度，刚好检验计算所得的区间是否满意精度的要求．(3)二分法在详细运用时有肯定的局限性，首先二分法只能一次求得一个零点，其次f(x)在(a，b)内有不变号零点时，不能用二分法求得．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点旁边的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625；f(1.25)＝－0.984，f(1.375)＝－0.260；f(1.438)＝0.165.那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可以为(精度为0.1)()A．1.2B．1.35C．1.43D．1.5C[∵f(1.438)＝0.165>0，f(1.375)＝－0.260<0，∴函数f(x)在(1.375，1.438)内存在零点，又1.438－1.375<0.1，结合选项知1.43为方程f(x)＝0的一个近似根．]函数的实际应用【例3】《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人所得税起征点为3500元(即3500元以下不必纳税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额)，应缴纳的税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率%不超过1500元的部分3超过1500元至4500元部分10(1)列出公民全月工资总额x(0<x<8000)元与当月应缴纳税款额y元的函数解析式；(2)李明1月份工资总额为6500元，他本月应缴纳的个人所得税款是多少？[解](1)依题意可得：①当0<x≤3500时，y＝0.②当3500<x≤5000时，y＝(x－3500)·3%＝0.03x－105.③当5000<x<8000时，y＝45＋(x－5000)·10%＝0.1x－455.综上可得y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤3500，,0.03x－105，3500<x≤5000，,0.1x－455，5000<x<8000.))(2)由(1)可得，当x＝15000元时，应缴纳的个人所得税为0.1×6500－455＝205元．刘丽十二月份缴纳个人所得税款300元，那么她当月工资总额是多少？[解]因为需交税300元，故有5000<x<8000，所以300＝0.1x－455，所以x＝7550.答：刘丽十二月份工资总额为7550元．建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示．(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要留意函数的定义域．(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．eq\a\vs4\al([跟进训练])3．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－eq\f(1,20)Q2，则总利润L(Q)的最大值是__