中考数学总复习提升专项知识三角形的概念和性质(讲义3考点+2命题点22种题型(含8种解题技巧))含答案及解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第四章三角形第16讲三角形的概念和性质（思维导图+3考点+2命题点22种题型（含8种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一三角形的基础考点二三角形中有关线段考点三与三角形有关的角04题型精研·考向洞悉命题点一与三角形有关的线段►题型01三角形的稳定性►题型02画三角形的五线►题型03与三角形高有关的计算►题型04等面积法求高►题型05求网格中的三角形面积►题型06与三角形中线有关的计算►题型07与三角形重心有关的计算►题型08与三角形中位线有关的计算►题型09利用角平分线的性质求解►题型10角平分线的判定►题型11利用垂直平分线的性质求解►题型12垂直平分线线的判定►题型13根据作图痕迹求解►题型14利用三角形三边关系求解命题点二与三角形有关的角►题型01利用三角形内角和定理求解►题型02三角形内角和与平行线的综合应用►题型03三角形内角和与角平分线的综合应用►题型04与角度有关的折叠问题►题型05利用三角形内角和定理解决三角板问题►题型06利用三角形外角和定理求解►题型07三角形外角性质与平行线的综合应用►题型08三角形内角和定理与外角和定理的综合试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求三角形中的重要线段★★理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性；探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边；了解三角形重心的概念；探索并证明角平分线的性质定理；理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.三角形的三边关系★三角形的内角和外角★★三角形的垂直平分线★★【命题预测】在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一三角形的基础一、三角形的相关概念三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.二、三角形的分类1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形三、三角形的稳定性三角形的稳定性:三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．三角形三边关系的应用：1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．1．（2024·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形3．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．4．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12考点二三角形中有关线段类型三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言性质∵AD是∆ABC中BC边的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是∆ABC中BC边的中线∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=12用途举例1）线段垂直．2）角度相等．1）线段相等．2）面积相等．角度相等．类型三角形的中位线三角形的垂直平分线文字语言连接三角形两边中点的线段经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线图形语言性质∵DE是∆ABC的中位线∴DE=12∵直线l是AB的垂直平分线∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°用途举例1）线段平行．2）线段关系．1）线段相等．2）角度相等．1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（

）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线3．（2024·青海·中考真题）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（

）A．4 B．3 C．2 D．14．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC,BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（

A．18m B．24m C．36m5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=8，CD=5，则BD=．QUOTEQUOTE考点三与三角形有关的角三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．则∠1的度数为（A．50° B．60° C．70° D．80°2．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°3．（2023·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=（

）A．45° B．50° C．60° D．75°4．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（

）A．∠A=∠E B．∠C=∠EC．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠B5．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试1:2:3，这个三角形是三角形04题型精研·考向洞悉命题点一与三角形有关的线段►题型01三角形的稳定性1)三角形具有稳定性.2)四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．2．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（

）A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于360°3．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（

）A．1 B．2 C．3 D．4QUOTEQUOTEQUOTE►题型02画三角形的五线1．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（

）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，请用尺规作图法在AC边上确定一点D，连接BD，使得BD平分△ABC的面积．（不写作法、保留作图痕迹）4．（2023·广东江门·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．(1)根据要求用尺规作图：作AB边上的高CD交AB于点D；（不写作法，只保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求CD的长．5．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：△ABC．求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．

►题型03与三角形高有关的计算①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.②高相等，面积之比等于底边之比.1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为（A．1.5 B．3 C．4 D．62．（2024亲水县三模）如图，已知△ABC的面积为48，AB=AC=8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF=2DE，则DE长为（

）A．2 B．3 C．4 D．63．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12BC+AB2−AC

4．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B则S△ABC∵AD=∴S△ABC【性质应用】(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04等面积法求高等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三角形面积,另一种是利用割补法表示三角形的面积.1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（

）A．54 B．2105 C．102．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠点A、B之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．则修建公路CD3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为．4．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E

(1)求证：四边形ECFD是矩形；(2)若CF=2，CE=4，求点C到QUOTE►题型05求网格中的三角形面积1）利用割补法求三角形的面积.2）皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-11．（2024恩施市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−3,−1，B1,3，C2,−3，则三角形ABC

2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A3,−1、B1,−4、C3,−3，将△ABC向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到△A'B'C'，其中点A，B(1)请画出△A(2)点C'的坐标为_________；△3．（2024浙江模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，作△ABC，使AB=5，AC=10，BC=17，并求4．（2024洛阳市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求四边形ABCD的面积；(2)求∠BCD的度数．►题型06与三角形中线有关的计算1．（2024珠海区模拟）在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（

）A．47 B．43 C．38 D．252．（2024·山西太原·三模）如图示，BE是△ABC的中线，点D是AB边靠近顶点B的一个三等分点，连接CD，交BE于点F，则DFCF等于（

A．12 B．13 C．143．（2024·云南昆明·二模）如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED．若S△ABC=16，则阴影部分的面积是（

A．2 B．4 C．6 D．84．（2024南宁市模拟）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC=12，则阴影部分的面积为（A．10 B．8 C．6 D．4►题型07与三角形重心有关的计算1．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（）

A．15 B．18 C．24 D．362．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC．(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是______3．（2024·山东青岛·一模）三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13下面是小亮证明性质的过程：已知：如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，求证：OE证明：连接ED，∵D，E分别是边BC，AB的中点∴∴△ACO

性质应用：(1)如图1，在△ABC中，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点E，若AG=4，则AE=______；

(2)如图2，在△ABC中，中线AE，CF相交于点G，若△ABC的面积为48，则

(3)如图3，在△ABC中，若BF=1nAB，BE=1nBC，

►题型08与三角形中位线有关的计算1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF=3，则BD的长为．2．（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．3．（2024·江苏无锡·中考真题）在△ABC中，AB=4，BC=6，AC=8，D，E，F分别是AB，4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H，若对角线AC=24,BD=18，则四边形EFGH的周长是．►题型09利用角平分线的性质求解1．（2024·云南·中考真题）已知AF是等腰△ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（

）A．32 B．2 C．3 D．2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．23 C．4 D．4+233．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（）A．I到AB，AC边的距离相等B．CI平分∠ACBC．I是△ABC的内心D．I到A，B，C三点的距离相等4．（2023·广东广州·中考真题）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，则点E到直线AD的距离为．

►题型10角平分线的判定1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点I到Rt△ABC三边的距离相等，则∠AIB的度数为2．（2024·上海·模拟预测）已知在锐角△ABC中，∠BAC的平分线AD交边BC于D，∠ACB的平分线CF交边AB于F，AD与CF交于O，连接BO并延长交AC于E(1)尺规规范作图，写出已知(2)求证：BE平分∠ABC(3)求证：BD3．（2024·江西赣州·二模）【课本再现】思考我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗？可以发现并证明角的平分线的性质定理的逆定理；角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【定理证明】（1）为证明此逆定理，某同学画出了图形，并写好“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：如图1，在∠ABC的内部，过射线BP上的点P作PD⊥BA，PE⊥BC，垂足分别为D，E，且PD=PE．求证：BP平分∠ABC．【知识应用】（2）如图2，在△ABC中，过内部一点P，作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F，且PD=PE=PF，∠A=120°，连接PB，PC．①求∠BPC的度数；②若PB=6，PC=23，求BC►题型11利用垂直平分线的性质求解已知垂直平分线，立马得到以下三个结论:1）垂直；2）平分；3）连垂直平分线上某点和线段两端，那么这两个距离相等.1．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50A．25 cm B．45 cm C．50 cm54．（2023·江苏镇江·中考真题）如图，扇形AOB的半径为2，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点P，∠BOP=35°，则AB的长l=．（结果保留

2．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC=．

3．（2023·青海·中考真题）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是.

►题型12垂直平分线线的判定1）根据线段垂直平分线的定义，也就是经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，使用这种方法必须满足两个条件：一是垂直，二是平分；2）可以证明直线上有两个点在线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可以判定这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线.1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，直径AD交BC于点E，若DE:AD=1:4，则BE:AB=（

）．A．1:2 B．1:3 C．2:3 D．1:42．（2024·河北·模拟预测）如图，已知平行四边形ABCD，AB≤BC．用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列做法正确的是（）A． B．C． D．3．（2024·黑龙江佳木斯·三模）如图，在四边形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ABC=∠ADC=90°，若BD=BC，则BC的长为（

）A．45 B．35 C．53►题型13根据作图痕迹求解1．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，∠AOB=60°，点C在OB上，OC=23，P为∠AOB内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离为

2．（2023·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC

A．∠CAD=∠BAD B．CD=DE C．AD=53 D．3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（

A．直线PQ是AC的垂直平分线 B．CD=C．DE=12BC4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于12HG的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP①∠C=30°；②AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S△BEF其中，正确结论的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个►题型14利用三角形三边关系求解若满足：最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长，即可构成三角形.1．（2023·山东·中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（）A．1<AB<7 B．SC．△ABC内切圆的半径r<1 D．当AB=7时，△ABC2．（2023·福建·中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1 B．5 C．7 D．93．（2022·西藏·中考真题）如图，数轴上A，B两点到原点的距离是三角形两边的长，则该三角形第三边长可能是（）A．﹣5 B．4 C．7 D．84．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4命题点二与三角形有关的角1）三角形的内角和为180°；2）直角三角形中两锐角和为90°；3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.►题型01利用三角形内角和定理求解1．（2024·四川成都·中考真题）如图，△ABC≌△CDE，若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数为．2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF3．（2023·新疆·中考真题）如图，在△ABC中，若AB=AC，AD=BD，∠CAD=24°，则∠C=°

4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（

）A．30° B．40° C．50° D．60°►题型02三角形内角和与平行线的综合应用1．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC,∠ABC=70°，则∠EDC等于（

）A．10° B．20° C．30° D．40°2．（2024·山西·中考真题）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD,BC交于它们的中点E，液压杆FG∥BC．若∠BAE=53°，则∠GFD的度数为（

）A．127° B．106° C．76° D．74°3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，AB∥CD，∠C=33°，OC=OE．则∠A=4．（2024·山东·中考真题）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB=25°，则∠CAB=QUOTE►题型03三角形内角和与角平分线的综合应用1．（2024·浙江·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110°．现分别作出BC边上的高AD和∠A的平分线AE．则∠DAE的度数为（

A．25° B．30° C．35° D．40°2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF交于点F．若将△ABC沿DE翻折，使得点A与点F重合，则（

）A．∠A=∠1+∠2 B．∠3=90°+C．∠A=180°−∠1+∠2 D．3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则4．（2023·陕西西安·二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（

）A．5° B．8° C．10° D．12°►题型04与角度有关的折叠问题1．（2020·湖南邵阳·中考真题）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB若P1M⊥AB，则∠DPA．135° B．120° C．112.5° D．115°2．（2023·辽宁·中考真题）如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,∠B=20°，点D是边BC上的动点，将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点B'处，当B'D⊥BC时，∠BAD

3．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B'，折痕为AF，则∠AFB'

4．（2021·吉林·中考真题）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB=a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如图②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．►题型05利用三角形内角和定理解决三角板问题1．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（

A．45° B．60° C．75° D．105°2．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含30°角的三角板的斜边与含45°角的三角板的一条直角边平行，则∠α的度数为（

）A．100° B．105° C．110° D．120°3．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为．4．（2022·江苏扬州·中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°，EF∥BC，则∠BND=►题型06利用三角形外角和定理求解1．（2024·四川达州·中考真题）如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD=13∠CAB，∠E1BD=13∠CBD，在△ABE12．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（

）A．100° B．115° C．130° D．145°3．（2023·山东·中考真题）如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点

A．180°−α B．180°−2α C．90°+α D．90°+2α►题型07三角形外角性质与平行线的综合应用1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线m∥n，一块含有30°的直角三角板按如图所示放置．若∠1=40°，则∠2的大小为（A．70° B．60° C．50° D．40°2．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（

）

A．10° B．15° C．30° D．45°3．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角βA．155° B．125° C．115° D．65°4．（2023·山西·中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（

）

A．45° B．50° C．55° D．60°►题型08三角形内角和定理与外角和定理的综合1．（2024·天津·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC

A．60∘ B．65∘ C．70∘2．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为（）

A．14° B．16° C．24° D．26°3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D．交AB于点E．连接CE．若CE=CA，∠ACE=40°，则∠B的度数为．

4．（2023·黑龙江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠B=28°，则∠P=°．5．（2024·重庆·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．若BC=2，则AD的长度为．

第四章三角形第16讲三角形的概念和性质（思维导图+3考点+2命题点22种题型（含8种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一三角形的基础考点二三角形中有关线段考点三与三角形有关的角04题型精研·考向洞悉命题点一与三角形有关的线段►题型01三角形的稳定性►题型02画三角形的五线►题型03与三角形高有关的计算►题型04等面积法求高►题型05求网格中的三角形面积►题型06与三角形中线有关的计算►题型07与三角形重心有关的计算►题型08与三角形中位线有关的计算►题型09利用角平分线的性质求解►题型10角平分线的判定►题型11利用垂直平分线的性质求解►题型12垂直平分线线的判定►题型13根据作图痕迹求解►题型14利用三角形三边关系求解命题点二与三角形有关的角►题型01利用三角形内角和定理求解►题型02三角形内角和与平行线的综合应用►题型03三角形内角和与角平分线的综合应用►题型04与角度有关的折叠问题►题型05利用三角形内角和定理解决三角板问题►题型06利用三角形外角和定理求解►题型07三角形外角性质与平行线的综合应用►题型08三角形内角和定理与外角和定理的综合

01考情透视·目标导航标中考考点考查频率新课标要求三角形中的重要线段★★理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性；探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论；证明三角形的任意两边之和大于第三边；了解三角形重心的概念；探索并证明角平分线的性质定理；理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理.三角形的三边关系★三角形的内角和外角★★三角形的垂直平分线★★【命题预测】在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一三角形的基础一、三角形的相关概念三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.二、三角形的分类1）三角形按边分类：三角形三边都不相等的三角形2）三角形按角分类：三角形直角三角形三、三角形的稳定性三角形的稳定性:三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．三角形三边关系的应用：1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．1．（2024·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE，则图中的直角三角形有（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．【详解】解：由图得△ABD，△ABC，△ADC，△ADE为直角三角形，共有4个直角三角形．故选：C．2．（2022·河北石家庄·模拟预测）如图，一只手盖住了一个三角形的部分图形，则这个三角形不可能是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的分类判断即可.【详解】解：A、当另外两角为50°和100°时，该三角形为钝角三角形，故此选项不符合题意；B、当另外两角为90°和60°时，该三角形为直角三角形，故此选项不符合题意；C、当另外两角为30°和120°时，该三角形为等腰三角形，故此选项不符合题意；D、等边三角形的每一个内角均为60°，由图可知该三角形有一个内角为30°，故不可能为等边三角形，符合题意.故选：D．【点睛】本题考查三角形的内角和定理和三角形的分类，会应用三角形的内角和定理和三角形的分类求解是解答的关键.3．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是．【答案】三角形具有稳定性【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响．4．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．【详解】A、5+7=12，不能构成三角形，故此选项不合题意；B、7+7=14<15，不能构成三角形，故此选项不合题意；C、6+9=15<16，不能构成三角形，故此选项不合题意；D、6+8=14>12，能构成三角形，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．考点二三角形中有关线段类型三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言性质∵AD是∆ABC中BC边的高∴∠ADB=∠ADC=90°∵AD是∆ABC中BC边的中线∴BD=CDS△ABD=S△ADC=S△ABC∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠DAC=12用途举例1）线段垂直．2）角度相等．1）线段相等．2）面积相等．角度相等．类型三角形的中位线三角形的垂直平分线文字语言连接三角形两边中点的线段经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线图形语言性质∵DE是∆ABC的中位线∴DE=12∵直线l是AB的垂直平分线∴PA=PB,AC=BC,∠PCA=∠PCB=90°用途举例1）线段平行．2）线段关系．1）线段相等．2）角度相等．1．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是．【答案】2【分析】根据ΔACE的面积=ΔDCE的面积，Δ【详解】解：∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点，根据等底同高可知，ΔACE的面积=ΔDCEΔABD的面积=ΔACD的面积=2故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（

）A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线【答案】B【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BD⊥AC，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：BD⊥AC，∴线段BD一定是△ABC的高线；故选B3．（2024·青海·中考真题）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质可得PE=PD，即可求解．【详解】解：过点P作PE⊥OA于点E，∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD=2，故选：C．4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC,BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18m，由此估测A，B之间的距离约为（

A．18m B．24m C．36m【答案】C【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得DE为△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果．【详解】解：∵点D，E，分别为AC,BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE=36m故选：C．5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC=8，CD=5，则BD=．【答案】3【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD=AD．求出AD=8−5=3，由线段垂直平分线的性质推出BD=AD=3．【详解】解：∵AC=8，CD=5，∴AD=8−5=3，∵D在AB的垂直平分线上，∴BD=AD=3．故答案为：3．QUOTEQUOTE考点三与三角形有关的角三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理的应用：1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC．则∠1的度数为（A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．由三角形内角和定理可得∠C=70°，再根据平行线的性质即可解答．【详解】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，∴∠C=180°−∠BAC−∠B=70°,∵AD∥∴∠1=∠C=70°．故选：C．2．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°【答案】A【分析】根据平行得到∠ABD=∠EDC=50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：DE∥AB，∴∠ABD=∠EDC=50°，∵∠DEF=∠EDC+∠DCE=120°，∴∠DCE=70°，∴∠ACB=∠DCE=70°；故选A．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．3．（2023·河北张家口·一模）将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1=（

）A．45° B．50° C．60° D．75°【答案】D【分析】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．先根据三角板可得∠2=45°,∠4=30°，再根据角的和差可得∠3=45°，然后根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：如图，由题意可知，∠2=45°,∠4=30°，∵两个三角板中有刻度的边互相垂直，∴∠3=90°−∠2=45°，∴∠1=∠3+∠4=45°+30°=75°，故选：D．4．（2024·河北·模拟预测）如图，三角形纸片沿过一个顶点的直线剪开后得到①②两个三角形纸片，则一定正确的是（

）A．∠A=∠E B．∠C=∠EC．∠B=∠E+∠F D．∠D=∠A+∠B【答案】D【分析】本题主要考查了三角形三角形外角的性质，根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和进行判断即可．【详解】解：根据图形可知：∠A≠∠E，∠C≠∠E，∠B≠∠E+∠F，∵∠D相当于△ABC的外角，∴∠D=∠A+∠B，故ABC不符合题意，D符合题意．故选：D．5．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试1:2:3，这个三角形是三角形【答案】直角【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．【详解】解：180°×3∴这个三角形是直角三角形，故答案为：直角．04题型精研·考向洞悉命题点一与三角形有关的线段►题型01三角形的稳定性1)三角形具有稳定性.2)四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了.1．（2022·湖南永州·中考真题）下列多边形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案．【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，故选D．【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键．2．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（

）A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于360°【答案】C【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可．【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性，故选：C．3．（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案．【详解】∵三角形具有稳定性，∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，故选：B．【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02画三角形的五线1．（2023·河北石家庄·模拟预测）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（

）

A．高，中线，角平分线 B．高，角平分线，中线C．中线，高，角平分线 D．高，角平分线，垂直平分线【答案】B【分析】根据三角形的高线、角平分线及中线的定义依次判断即可．【详解】解：由图可得，图①中，线段AD是△ABC的高线，图②中，线段AD是△ABC的角平分线，图③中，线段AD是△ABC的中线，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形的高线、角平分线及中线的定义，理解题意是解题关键．2．（2024·广东深圳·中考真题）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．只有①【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分线的定义．利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．在图①中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图③中，利用作法得AE=AF，AM=AN，

可证明△AFM≌△AEN，有∠AMD=∠AND，可得ME=NF，进一步证明△MDE≌△NDF，得DM=DN，继而可证明△ADM≌△ADN，得∠MAD=∠NAD，得到AD是∠BAC的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为【详解】在图①中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；在图③中，利用作法得AE=AF，

在△AFM和△AEN中，AE=AF∠BAC=∠BAC∴△AFM≌△AENSAS∴∠AMD=∠AND，∵AM−AE=AN−AF∴ME=NF在△MDE和△NDF中∠AMD=∠AND∠MDE=∠NDF∴△MDE≌△NDFAAS∴DM=DN，∵AD=AD,AM=AN，∴△ADM≌△ADNSSS∴∠MAD=∠NAD，∴AD是∠BAC的平分线；在图②中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线．则①③可得出射线AD平分∠BAC．故选：B．3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，请用尺规作图法在AC边上确定一点D，连接BD，使得BD平分△ABC的面积．（不写作法、保留作图痕迹）【答案】见解析【分析】本题主要考查了尺规作线段的垂直平分线，三角形中线的性质，作线段AC的垂直平分线，交AC于点D，连接BD即可．【详解】解：如图，点D即为所求作的点．根据作图可知：BD为△ABC的中线，∴S△ABD4．（2023·广东江门·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．(1)根据要求用尺规作图：作AB边上的高CD交AB于点D；（不写作法，只保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)4.8【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图；（2）利用面积相等求解．【详解】（1）解：如图：CD即为所求；（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵CD⋅AB=AC⋅BC，∴CD=8×6÷10=4.8．【点睛】本题考查了基本作图，利用面积法计算是解题的关键．5．（2023·山东青岛·中考真题）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：△ABC．求作：点P，使PA=PC，且点P在△ABC边AB的高上．

【答案】见解析【分析】作AC的垂直平分线和AB边上的高，它们的交点为P点．【详解】解：如图，点P为所作．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．►题型03与三角形高有关的计算①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线.②高相等，面积之比等于底边之比.1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S△ABC=12，则BE的长为（A．1.5 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S△ABC=12和AD=4求出BC=6，根据【详解】解：∵S△ABC=1∴BC=6∵AE是中线，∴BE=故选：B2．（2024亲水县三模）如图，已知△ABC的面积为48，AB=AC=8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF=2DE，则DE长为（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】如图所示，连接AD，根据三角形面积公式得到12AB⋅DE+1【详解】解：如图所示，连接AD，∵S△ABC∴12∵AB=AC=8，DF=2DE，∴4DE+8DE=48，∴DE=4，故选C．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，将△ABC的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键．3．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12BC+AB2−AC

【答案】1【分析】根据公式求得BD，根据CD=BC−BD，即可求解．【详解】解：∵AB=7,BC=6，AC=5，∴BD=12∴CD=BC−BD=6−5=1,故答案为：1．【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．4．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B则S△ABC∵AD=∴S△ABC【性质应用】(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则【答案】(1)3:4(2)12；(3)a【分析】（1）由图可知△ABD和△ADC是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；（2）根据BE:AB=1:2，S△ABC=1和等高三角形的性质可求得S△BEC，然后根据CD:BC=1:3（3）根据BE:AB=1:m，S△ABC=a和等高三角形的性质可求得S△BEC，然后根据CD:BC=1:n，和等高三角形的性质可求得【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，则S△ABD=∵AE=AE，∴S△ABD（2）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE（3）解：∵△BEC和△ABC是等高三角形，∴S△BEC∴S△BEC∵△CDE和△BEC是等高三角形，∴S△CDE∴S△CDE【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04等面积法求高等面积法是一种方程思想，即用两种不同的方法表示同一个三角形的面积，那么这两个表示的面积是相等的，就可以列方程求高或者求底了.一般情况下:一种是利用面积公式表示三角形面积,另一种是利用割补法表示三角形的面积.1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为（

）A．54 B．2105 C．10【答案】B【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出BC的长，再由三角形面积求出△ABC中边BC上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键．【详解】解：设△ABC中边BC上的高为ℎ，由勾股定理得：BC=1∵S△ABC∴12∴ℎ=2即△ABC中边BC上的高为210故选：B．2．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠点A、B之间的距离为25km，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且CD⊥AB．则修建公路CD【答案】12【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理得到【详解】解：∵AC=15km，BC=20km，AB=25km∴AC∴∠ACB=90°，∵CD⊥AB，∴S△ABC∴CD=AC⋅BC∴修建的公路CD的长是12km故答案为：12．3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为．【答案】125或【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．可分两种情况：若3，4是直角三角形的两条直角边；若3为直角三角形的直角边，4为斜边，利用勾股定理分别求解直角三角形的第三边，利用三角形的面积可求解斜边上的高．【详解】解：若3，4是直角三角形的两条直角边，则斜边长为：32∴斜边上的高为：3×45若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：42∴斜边上的高为：3×7综上所述，这个直角三角形斜边上的高为125或3故答案为：125或4．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为AB边上任意一点（不与点A、B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC、BC于点E

(1)求证：四边形ECFD是矩形；(2)若CF=2，CE=4，求点C到【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）利用平行线的性质证明∠CED=∠CFD=90°，再利用四边形内角和为360°，证明∠EDF=90°，即可由矩形判定定理得出结论；（2）先由勾股定理求出EF=C【详解】（1）证明：∵DE∥BC，∴四边形ECFD为平行四边形，∵∠C=90°，∴四边形ECFD是矩形．（2）解：∵∠C=90°，CF=2，∴EF=设点C到EF的距离为h，∵S∴2×4=2∴ℎ=答：点C到EF的距离为45【点睛】本题考查矩形的判定，平行线的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的判定定理和利用面积法求线段长是解题的关键．QUOTE►题型05求网格中的三角形面积1）利用割补法求三角形的面积.2）皮克定理：三角形的面积=内点数+边点数÷2-11．（2024恩施市一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A−3,−1，B1,3，C2,−3，则三角形ABC

【答案】14【分析】利用割补法求解即可，【解答】解：S△ABC＝5×6﹣×3×7﹣×2×7＝30﹣6﹣3﹣5＝16．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A3,−1、B1,−4、C3,−3，将△ABC向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到△A'B'C'，其中点A，B(1)请画出△A(2)点C'的坐标为_________；△【答案】(1)见解析(2)C'2,0，【分析】本题主要考查了作图-平移作图，点的坐标平移规律，以及割补法求三角形面积．（1）先将A、B、C向左平移1个单位，再向上平移3个单位后的对应点描出来，再顺次连接为A'，B'，（2）按照平移规律求解即可得点C'的坐标为．再根据网格利用割补法求△【详解】（1）解：如图，△A'B'C'为所求，（2）解：点C'的坐标为C△B'BC故答案为：C'2,0，3．（2024浙江模拟预测）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，作△ABC，使AB=5，AC=10，BC=17，并求【答案】作图见解析；S【分析】本题考查的是勾股定理，格点三角形，三角形的面积，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．根据勾股定理画出图形即可．利用割补法求出三角形的面积即可．【详解】解：如图，△ABC为所求作的三角形．根据勾股定理得：AB=3AC=1BC=4S△ABC4．（2024洛阳市模拟）如图，每个小正方形的边长为1．(1)求四边形ABCD的面积；(2)求∠BCD的度数．【答案】(1)17.5(2)∠BCD=90°【分析】本题考查勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．（1）利用网格割补法求面积进行求解即可；（2）先用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行求解即可．【详解】（1）四边形ABCD的面积=5×7−1（2）解：连接BD，根据勾股定理得AB=12+CD=12+∵BC=25，CD=5，∴BC∴∠BCD=90°．►题型06与三角形中线有关的计算1．（2024珠海区模拟）在△ABC，AB=20，BC=18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【答案】B【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据△ABD的周长为45，可得BD+CD=25，再结合三角形中线的定义，即可求解．【详解】解：∵△ABD的周长为45，∴AB+BD+AD=45，∵BD是AC边上的中线，∴CD=AD，∵AB=20，∴BD+CD=45−AB=25，∵BC=18，∴△BCD的周长是BC+BD+CD=43．故选：B．2．（2024·山西太原·三模）如图示，BE是△ABC的中线，点D是AB边靠近顶点B的一个三等分点，连接CD，交BE于点F，则DFCF等于（

A．12 B．13 C．14【答案】B【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，三角形中线的性质，作EH∥AB，交CD于点H，证明△CEH∽△CAD，结合三角形中线的性质，得到EH=12AD，CH=DH=12CD，根据题意得到BD=1【详解】解：作EH∥AB，交CD于点∴△CEH∽△CAD，∵BE是△ABC的中线，∴CHCD=CEAC∵点D是AB边靠近顶点B的一个三等分点，∴BD=1∴BD=EH，∵EH∥∴△EHF∽△BDF，∴DF即DF=HF=12DH=∴DFCF故选：B．3．（2024·云南昆明·二模）如图，AD，CE是△ABC的两条中线，连接ED．若S△ABC=16，则阴影部分的面积是（

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC∴S∵E是AB的中点，∴S故选：B4．（2024南宁市模拟）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC=12，则阴影部分的面积为（A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．利用角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到S△EBD=12S【详解】解：∵点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，∴S△EBD=1∴S△EBD∴阴影部分的面积为6，故选：C．►题型07与三角形重心有关的计算1．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（）

A．15 B．18 C．24 D．36【答案】B【分析】连接BD,根据三角形重心的性质可知：P在BD上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S△ABC=2S△BDC，证明【详解】解：如图，连接BD，

∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，P在BD上，∴S△ABCBP:PD=2:1，∵DF∥∴△DFP∼△BEP∴S∵EF∥∴△BEP∼△BCD，∴S设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m，∵四边形CDFE的面积为6，∴m+9m−4m=6，∴m=1，∴△BCD的面积为9，∴△ABC的面积是18．故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键．2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：△ABC．(1)尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是______【答案】(1)见解析(2)15【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；（1）分别作BC,AC的中线，交点即为所求；（2）根据三角形重心的性质可得S△ABGS【详解】（1）解：如图所示作法：①作BC的垂直平分线交BC于点D②作AC的垂直平分线交AC于点F③连接AD、BF相交于点G④标出点G，点G即为所求（2）解：∵G是△ABC的重心，∴AG=∴S∵△ABG的面积等于5cm∴S又∵D是BC的中点，∴S故答案为：15．3．（2024·山东青岛·一模）三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13下面是小亮证明性质的过程：已知：如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，求证：OE证明：连接ED，∵D，E分别是边BC，∴DE∥AC,DE∴△ACO∴∴

性质应用：(1)如图1，在△ABC中，点G是△ABC的重心，连接AG并延长交BC于点E，若AG=4，则AE=______；

(2)如图2，在△ABC中，中线AE，CF相交于点G，若△ABC的面积为48，则

(3)如图3，在△ABC中，若BF=1nAB，BE=1nBC，

【答案】(1)6(2)8(3)n−1【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．（1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13（2）在△ABC中，点G是△ABC的重心，S△AEC=（3）如图：连结EF，