中考数学总复习提升专项知识全等三角形(练习)含答案及解析

第四章三角形第17讲全等三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01利用全等三角形的性质求解👉题型02添加一个条件使两个三角形全等👉题型03结合尺规作图的全等问题👉题型04以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程👉题型05补全全等三角形的证明过程👉题型06全等三角形证明方法的合理选择👉题型07利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题👉题型08与全等三角形有关的基础模型-平移模型👉题型09与全等三角形有关的基础模型-对称模型👉题型10与全等三角形有关的基础模型-旋转模型👉题型11与全等三角形有关的基础模型-一线三等角👉题型12与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型👉题型13添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法👉题型14添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法👉题型15添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线👉题型16添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线👉题型17利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题👉题型18利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题👉题型19利用全等三角形的性质与判定解决动点问题👉题型01利用全等三角形的性质求解1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，则∠BDE的度数为2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2024·上海·模拟预测）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，点M，N分别在边AB和边DE4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D，E分别是边AB，BC上的动点，且AD=BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的度数为（

）A．90° B．120° C．135° D．150°👉题型02添加一个条件使两个三角形全等5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（

）A．若∠ACD=∠ABE，则CD=BE B．若BD=CE，则BE=CDC．若CD=BE，则∠ACD=∠ABE D．若AD=AE，则∠CBE=∠DCB6．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是．（写出一个即可）7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在△ABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BC=AD，添加一个条件可以证明AC=BD．(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．(2)请你选择一个条件给出证明．8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，(1)证明：△DAE∽△EGF(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF👉题型03结合尺规作图的全等问题9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．10．（2022·湖南长沙·二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，，∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），∴∠COE=∠OAB．(2)若AB=6，求线段OE的长．11．（2022·福建福州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=1(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=5712．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上．(1)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是，小军得出△CBE≌△CAD的依据是；（填序号）①SSS②SAS③ASA④AAS(2)测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF=CA，连接EF．请你完成证明过程．(3)迁移应用：如图4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE=👉题型04以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求证：∠ABE=∠CBD．下面是小亮的解答过程：证明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED∴△ABC≌△EBDSAS，

∴∠ABC=∠EBD，

第三步∴∠ABE=∠CBD．

第四步(1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的．(2)请你写出正确的证明过程．14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是△ABC内一点，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求证：∠APB=∠APC．小虎的证明过程如下：证明：在△ABP和△ACP中，∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，∴△ABP≌△ACP．（第一步）∴∠APB=∠APC．（第二步）(1)小虎同学的证明过程中，第步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线AE上BD=CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB=AC．小明的证明过程如下：证明：∵AE平分∠BAC．∴∠BAD=∠CAD．∵AD=AD，BD=CD．∴△ABD≌△ACD∴AB=AC．小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．👉题型05补全全等三角形的证明过程16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：如图，正方形ABCD中，点F、E、G分别在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．(1)尺规作图：过点G作AB垂线交AB于点H．（只保留作图痕迹）(2)证明AE=FG，将下面的过程补充完整．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴②=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四边形BCGH为矩形，∴BC=GH，∴③=GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形ABCD中，点E是边BC上一点，且AE=AD．(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)求证：DC=DF，请将下面证明过程补充完整：证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=①；∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=②；又∵∴△EBA≌△AFD（③）．∴AB=④∵AB=DC，∴DC=DF．18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践

(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整．证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE；②若∠ACB=50°，则∠AEB的度数为________．(2)类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM三条线段的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：在（2）的条件下，若BE=2，CM=1，请直接写出四边形ABEC的面积．19．（2022·河南新乡·二模）（1）在△ABC中，AB=nAC，∠BAC=α，∠DAE=12α，且点D，E别不与点B，C重合，且点D在点E左侧）．①初步探究如图1，若n=1，α=120°，BD=CE，试探究BD，DE，CE之间的数量关系．下面是小东的探究过程（不完整），请补充完整．解：∵n=1，α=120°，∴AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°．∴∠ABD=∠ACE=30°．如图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°，得到△ACG，连接GE．由旋转的性质，可知△AGC≌∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．∴CE=CG，∠GCE=60°．∴△CGE为等边三角形．（依据：_________________）∴CG=______=______．∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，∴∠DAE=∠EAG=60°，又∵AE=AE，∴△ADE≌∴DE=GE．∴BD=CE=DE．②类比探究如图2，若n=1，α=90°，BD≠CE，请写出BD，DE，CE之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．（2）问题解决如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AM⊥BC于点M，BM=3，CM=2，点N为线段BC上一动点，当点N为BC的三等分点时，直接写出AN的长．👉题型06全等三角形证明方法的合理选择20．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：

(1)AF=CG；(2)CF=2DE．21．（2024·青海玉树·三模）[证明体验](1)[思考探究]如图1，在△ABC中，点D在边BC上，点F在边AC上，AB=AD，FB=FC，AD与BF相交于点E．求证：∠ABF=∠CAD．(2)[拓展延伸]如图2，在（1）的条件下，过点D作AB的平行线交AC于点G，若DE=2AE，AB=6，求DG的长．22．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长AF交边BC于点G．

(1)求证：CG=FG；(2)若正方形的边长为2，求BG的长．23．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，P是菱形对角线AC上的一点，连接DP并延长交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F．(1)如图1，求证：△APB≌△APD；(2)如图2，连接EF、BD，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括以菱形的边AD和👉题型07利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题24．（2024·内蒙古包头·三模）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=6；④S正方形ABCD25．（2024·四川广元·二模）如图，点P是正方形ABCD内部的一个动点，且ABP是以AB为底边的等腰三角形，连接AC，PD，PC，有下列结论：①PD=PC;②PA+PC>AC;③当PB=BC时，∠BPC=60°;④当AB=AP时，S其中结论正确的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③26．（2024·河北唐山·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，点M，N分别在AB，CD边上，且AM=CN，将△ADM，△BCN分别沿DM，BN折叠，点A的对应点为A'，点C的对应点为C'，点A，A'在BD甲：当A'C'乙：当A'C'则下列正确的是（

）A．甲错，乙对 B．甲对，乙错 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误27．（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形ABC中，有一点P，连接PA、PB、PC，将BP绕点B逆时针旋转60°得到BD，连接PD、AD，有如下结论：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等边三角形；③如果∠BPC=150°，那么PA²=PB²+PC²．以上结论正确的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③👉题型08与全等三角形有关的基础模型-平移模型28．（2024·云南昆明·一模）如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，且点B，E、C、F在同一条直线上．求证：

29．（2024信阳市模拟预测）如图，已知A，D，C，E在同一直线上，BC和DF相交于点O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)连接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度数．👉题型09与全等三角形有关的基础模型-对称模型30．（2024·广东·模拟预测）（1）解不等式组：3x+1<4（2）如图，已知A，F，C，D四点共线，AF=CD，AB=DE，∠A=∠D，连接BC，EF，求证：BC=EF．31．（2024中山市模拟预测）已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM=PN．32．（2024·青海·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．(1)求证：AC=AE；(2)若BC=4，AB=5，求BE的长．👉题型10与全等三角形有关的基础模型-旋转模型33．（2024九年级下·浙江·专题练习）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图2），此时GF即是DE+BF．参考小明得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：(1)在图2中，∠GAF的度数是______．(2)如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一点，若∠BAE=45°,DE=4，求BE的长度．(3)如图4，△ABC中，AC=4,BC=6，以AB为边作正方形ADEB，连接CD．当∠ACB的度数为多少时，线段CD有最大值，并求出CD的最大值．34．（2024·贵州遵义·三模）如图①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD=∠EAF=90°，连接DF，BE．(1)【问题发现】如图①，线段BE与DF的数量关系为______，位置关系为______；(2)【问题探究】如图②，将△AEF绕点A旋转，再将DF绕点F顺时针方向旋转90°至FM，连接BM，探究线段EF与线段BM的数量及位置关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】将△AEF绕点A旋转至AF∥BE，延长DF交直线AB于H、交BE于G，若FH=4，DF=9，求出35．（2024·山东济南·模拟预测）（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，点D是△ABC内部任意一点．连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接BD,CE，则线段BD与CE（2）如图2，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转DE<AB，且∠EDF=90∘，DE=DF，连接AE,CF，直线AE与直线CF相交于点①求证：AE⊥CF；②如图3，当点G在FC的延长线上时，连接BG，已知AB=5,DE=4，在△DEF旋转的过程中，求线段BG的最小值．36．（2024·贵州贵阳·二模）小瑞同学在进行数学探究活动中发现：将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转α0<α<180°得到矩形EFGC[探究1]（1）如图①，当α=30°时，点E在AD上，连接BE，求∠AEB的度数；[探究2]（2）如图②，连结BD，FC，过点E作EM∥FC交BD于点M．证明：BM=EM；[探究3]（3）在探究2的条件下，射线BD分别交EC，FC于点P，N，如图③，探究线段BN，MN，PN之间的数量关系．👉题型11与全等三角形有关的基础模型-一线三等角37．（2024太原市模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，(1)△CDA≌(2)BE=AD−DE38．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE，AB，(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB，BD，DE，AE之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；(3)如图3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，则线段AE长度的最大值是．39．（2024·青海西宁·三模）类比探究题：【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证：△ACD≌【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为0,1，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为直角边作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．【拓展拔高】（3）如图3，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则y与x的函数关系是_______，BE最大值为______．👉题型12与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型40．（2024·青海西宁·一模）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD=CE；【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AD=a，AB=b，∠ABC=∠ADE=90∘．连接BD，CE．请写出41．（2024·湖北·模拟预测）问题背景如图（1），在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．求证：BD=CE．类比探究如图（2），D，P是等边△ABC外两点，连接BD并取BD的中点M，且∠APD=120°，∠MPC=60°，试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的猜想．拓展应用如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=90°，AD=CD，AB=23，BD=42，直接写出👉题型13添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法42．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：如图①，在△ABC中，AB=6，AC=8，第三边上的中线AD=x，则x的取值范围是____．【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：（1）如图②，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连结A'C，根据“SAS”可以判定△ABD≌__________，得出A'C=AB=6．在△AA'C【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．【问题解决】（2）如图③，已知AB=AC，AD=AE，∠BAE+∠CAD=180°，连接BE和CD，点F是CD的中点，连接AF．求证：BE=2AF．小明发现，如图④，延长AF至点A'，使FA'=AF，连接A'下面是小明的部分证明过程：证明：延长AF至点A'，使FA'∵点F是CD的中点，∴CF=DF．∵AF=A'F∴△ACF≌△A∴A'D=AC，∴A'D∥请你补全余下的证明过程．【问题拓展】（3）如图⑤，在△ABC和△AEF中，AB=AE，AC=AF，∠BAC+∠EAF=180°，点M，N分别是BC和EF的中点．若BC=4，EF=6，则MN的取值范围是．43．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．“倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线．如图1．在△ABC中，AD平分∠BAC，且D恰好是边BC的中点．求证：AB=AC．

证明：如图2，延长AD至点E，使DE=AD．∵D是边BC的中点∴BD=CD．∵∠ADB=∠EDC，DE=AD，∴△ABD≌△ECD∴，∠BAD=∠E．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAD=∠E，∴AC=CE，∴AB=AC．任务：(1)材料中的“依据”是________．（填选项）A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS(2)在△ABC中，AB=6 cm，AC=4 cm，则BC边上的中线(3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AM平分∠BAD，且M是BC的中点，AB=2，AD=3，求DC的长．👉题型14添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法44．（22-23九年级·全国·单元测试）已知A、B、C、D顺次在圆O上，AB=BD，BM⊥AC于点M，求证：45．（2024·贵州·模拟预测）综合与探究：已知正方形ABCD中，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分线于点F(1)【动手操作】如图①，在BA上截取BP=BE，连接EP，根据题意在图中画出图形，图中∠APE=_____度；(2)【深入探究】E是线段BC上的一个动点，如图②，过点F作FG∥AE交直线CD于点G，以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上，求证：(3)【拓展应用】在（2）的条件下，若E是射线BC上的一个动点，AB=5，CE=2，求线段DG的长．46．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，(2)【类比探究】小启改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段(3)【拓展延伸】李老师提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段👉题型15添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线47．（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点F是AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF，交BC于点D，若ED=DF，求证：BE=CF．①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM，使DM=BD，连接FM，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；【类比分析】（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，如图4，在△ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE，AD，CE与AD相交于点N，若∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN；【学以致用】（3）如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC，点E在线段BA的延长线上运动，过点E作ED∥AF，交AC于点N，交BC于点D，且BD=CD，请直接写出线段AE，CN和BC48．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且AE=13AC．连结AD，BE交于点G小明发现，过点D作AC的平行线或过E作BC的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程【尝试应用】（2）如图②，在△ABC中，D为AC上一点，AB=AD，连结BD，若AE⊥BD，交BD、BC于点E、F．若AD=9，CD=3，AF=8，则AE的长为【拓展提高】（3）如图③，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M，若CFCD=25，若△BEG的面积为2，则👉题型16添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线49．（2024·黑龙江佳木斯·一模）△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，M是BC的中点，D为射线BC上一点（不与点B，C重合）、连接AD并延长到点E，使得DE=AD，连接BE．过点B作BE的垂线交直线AC于点F．(1)如图①，点D在线段BM上，线段CD，DB，CF之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明：(2)当点D在线段MC上时，如图②；当点D在MC的延长线上时，如图③，直接写出线段CD，DB，CF之间的数量关系，不需证明．50．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC的中点，点E在AB边上，以DE为腰作等腰直角△DEF，连接CF．(1)若DE⊥AB，求证：CF=BE；(2)如图1，当点E在AB边上移动，且点F在△ABC内部时，探究∠DCF的大小是否变化？若不变，求∠DCF的度数；若变化，请说明理由；(3)如图2，当点F在△ABC外部时，EF与AC交于点G，若BC=8，AE=13BE👉题型17利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题51．（2024贵州市模拟）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．项目课题探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题问题提出墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？项目图纸解决过程①标记测试直杆的底端点D，测量OD的长度．②找一根长度大于OA的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点A重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到∠DCO=∠ABO；④记下直杆与地面的夹角∠ABO；项目数据…任务：(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是；A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．②→④→③→①(2)若∠ODC=20°，则∠ABO=；(3)请你说明他们作法的正确性．52．（2024·广东汕头·一模）如图，为了测量凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（AB=CB，∠ABC=90°）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若∠AMN=∠CNM=90°，测得AM=18cm，CN=30cm，则该凹槽的宽度MN的长为53．（2022·浙江金华·模拟预测）图1是一款平衡荡板器材，其示意图如图2，A、D为支架顶点，支撑点B，C，E，F在水平地面同一直线上，G、H为荡板上固定的点，GH∥BF，测量得AG=GH=DH，Q为DF上一点且离地面1m，旋转过程中，AG始终与DH保持平行．如图3，当旋转至A，Q，H在同一直线上时，连接G'Q，测得G'Q=1.6m，（1）DQ的长为m．（2）点D离地面的距离为m．👉题型18利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题54．（2023·河北秦皇岛·三模）要得知某一池塘两端A，B的距离，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案．方案Ⅰ：如图1，先过点B作BF⊥AB，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；方案Ⅱ：如图2，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，则测量BC的长即可．对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（

）

A．只有方案Ⅰ可行 B．只有方案Ⅱ可行C．方案Ⅰ和Ⅱ都可行 D．方案Ⅰ和Ⅱ都不可行55．（2024汕头市模拟预测）【综合实践活动】【问题背景】小亮想测量他家门口水塘两个端点A，B长度（如图1），但是小亮找不足够长度的绳子，小亮寻求哥哥的帮助．【理论准备】哥哥帮他出了这样一个方法：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度（如图2），请你帮小亮说明DE的长度等于水塘两个端点AB长度的原因；【实际操作】小亮实际测量时发现但是由于房屋的阻挡，无法采用上述的方法进行测量，哥哥提出仍然可以计算出AB长度（如图3），方法如下：（1）在房屋M墙CD边找一点C，使得∠ACB=45°；（2）在院子里找一点E，使得：CE⊥CD此时发现CD=CE；（3）测量出B到房屋M墙CD的距离BD，即：BD⊥CD，BD=13.8m（4）测量出A到CE的距离AE，即：AE⊥CE，AE=14.4m，同时发现CE=CD经过以上的方法可以计算出AB的长度．请根据哥哥的思路提示，帮助小亮完成计算出AB的长度：解：如图4，延长AE至F，使得EF=BD，连接CF．……【成果迁移】如图5，海警船甲在指挥中心（A处）北偏西20°的B处，一艘可疑船只乙在指挥中心正东方向的C处，并且两艘船到指挥中心A的距离相等（AB=AC），可疑船只沿北偏东20°的方向以20海里/小时的速度行驶，指挥中心命令海警船甲从B点向正东方向以30海里/小时的速度追击，两船前进3小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达D，E处，且两船和指挥中心形成的夹角为55°，（∠DAE=55°），请直接写出此时甲、乙两船之间的距离DE．👉题型19利用全等三角形的性质与判定解决动点问题56．（2024·广东·模拟预测）如图．正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BD、CD上的动点．且BE=CF．则AE+AF的最小值为．57．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边向下作正方形DEFG．则DE+CG+CF的最小值为（

）A．2 B．2 C．4 D．258．（2023·海南海口·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是1，点E是边CD上一动点（不与D、C两点重合），将△ADE沿AE折叠得△AGE，延长EG交BC于点F，连接AF．(1)求证：AF平分∠BAG；(2)点E在运动过程中，△CEF的周长是否发生变化？如果发生变化，请说明变化情况；如果不发生变化，请求出△CEF的周长．(3)当点E运动到什么位置时，AE=AF？1．（2024·山西·中考真题）阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．(2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；(3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．2．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（

）A．π2−34 B．π−3．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；(2)如图2，若EF∥(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．4．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践(1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E、F是AD、BC边上的点．经过剪拼，四边形GHJK为矩形．则△EDK≌______．(2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点．OJKL是拼接之后形成的四边形．①通过操作得出：AE与EB的比值为______．②证明：四边形OJKL为平行四边形．(3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABCD剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由．1．（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（

A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:12．（2024·湖北·中考真题）如图，点A的坐标是−4,6，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是（

）A．4,6 B．6,4 C．−6,−4 D．−4,−63．（2024·山东东营·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，直线EF分别交AD，BC，BD于点E，F，O，下列条件中，不能证明△BOF≌△DOE的是（

）

A．O为矩形ABCD两条对角线的交点 B．EO=FOC．AE=CF D．EF⊥BD4．（2024·广东广州·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上，AE=CF，则四边形AEDF的面积为（

）A．18 B．92 C．9 D．5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3，C是AB上一点，连接OC，D是OC上一点，且OD=DC，连接BD．若BD⊥OC，则AC的长为（

）A．π6 B．π3 C．π26．（2024·浙江·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2,BD=23．过点A作AE⊥BC的垂线交BC于点E，记BE长为x，BC长为y．当x，yA．x+y B．x−y C．xy D．x7．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（

）A．1 B．2 C．5 D．108．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为对角线的交点.将菱形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到菱形A'B'C'D'，两个菱形的公共点为E，F，①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O到该八边形各顶点的距离都相等；④点O到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④9．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，△ABC中，AB=AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠3．∵∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2，∠1=∠2，∴①______．又∵∠4=∠5，MA=MC，∴△MAD≌△MCB（②______）．∴MD=MB．∴四边形ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（

）A．∠1=∠3，AAS B．∠1=∠3，ASAC．∠2=∠3，AAS D．∠2=∠3，ASA10．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+1

A．4 B．5 C．8 D．1012．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为13．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：（1）∠FDB的度数是；（2）DG的长是．14．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，ACBD=53．线段AB与A'B'关于过点O的直线l对称，点B的对应点B'在线段OC上，A'B15．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E．若BM=3，BC'16．（2024·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且BE=2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为．

17．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、(1)求证：△EAB≌△ECB；(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．18．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB>2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线求证：(1)△AEH≌△CFG；(2)四边形EGFH为平行四边形．19．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求证：△GEC是等腰三角形；(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．20．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，连接BD，过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交BD于点F，∠1=∠ABC．(1)求证：∠2=∠3；(2)若∠4=45°．①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；②若BC=13，AD=5，求EF的长．

第四章三角形第17讲全等三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01利用全等三角形的性质求解👉题型02添加一个条件使两个三角形全等👉题型03结合尺规作图的全等问题👉题型04以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程👉题型05补全全等三角形的证明过程👉题型06全等三角形证明方法的合理选择👉题型07利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题👉题型08与全等三角形有关的基础模型-平移模型👉题型09与全等三角形有关的基础模型-对称模型👉题型10与全等三角形有关的基础模型-旋转模型👉题型11与全等三角形有关的基础模型-一线三等角👉题型12与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型👉题型13添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法👉题型14添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法👉题型15添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线👉题型16添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线👉题型17利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题👉题型18利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题👉题型19利用全等三角形的性质与判定解决动点问题👉题型01利用全等三角形的性质求解1．（2024·四川成都·模拟预测）如图，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，则∠BDE的度数为【答案】35°【分析】本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵CA⊥AB，∴∠A=90°，又∵∠ACE=55°，∴∠AEC=90°−∠ACE=90°−55°=35°，又∵△CAE≌∴∠BDE=∠AEC=35°，故答案为：35°．2．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，△ABC≌△AEF，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查的是全等三角形的性质；掌握三角形全等的性质是解题的关键．根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．【详解】解：∵△ABC≌△AEF，∴BC=EF，∠BAC=∠EAF，故③正确；∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故④正确；AC与AE不是对应边，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，故①、②错误；∴正确的有③④共2个．故选：B．3．（2024·上海·模拟预测）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，点M，N分别在边AB和边DE【答案】5【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得△FEN∽△BCM成为解题的关键．由勾股定理可得AB=5，设AM=x，则BM=5−x，由全等三角形的性质可得AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，再证△FEN∽△BCM，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可．【详解】解：如图：∵∠C=90°，∴AB=A设AM=x，则BM=5−x，∵△ACM≌∴AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，∵∠FNE=180°−∠DNF,∠CMB=180°−∠CMA，∴∠FNE=∠CMB，∵∠B=90°−∠CAM,∠EFN=90°−∠DFN，∴∠B=∠EFN，∴△FEN∽△BCM，∴FNBM=FEBC,即经检验，x=53是方程∴AM=5故答案为534．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D，E分别是边AB，BC上的动点，且AD=BE，连接AE，CD，当AE+CD的值最小时，∠AEB的度数为（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC于点G，推出AE+CD=AE+EF≥AF，当点E与点G重合时，AE+CD的值最小，据此求解即可．【详解】解：如图，将△ADC拼接到△BEF，连接AF交BC于点G，则△ADC≌△BEF，∴CD=EF，AC=BF，∠EBF=∠DAC=120°，∴AE+CD=AE+EF≥AF，∴当A，E，F三点共线，即点E与点G重合时，AE+CD的值最小，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠ABF=150°，AB=AC=BF，∴∠BAF=∠BFA=15°，∴∠AGB=135°即AE+CD最小时，∠AEB的度数为135°．故选：C．👉题型02添加一个条件使两个三角形全等5．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，锐角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD．下列命题中，假命题是（

）A．若∠ACD=∠ABE，则CD=BE B．若BD=CE，则BE=CDC．若CD=BE，则∠ACD=∠ABE D．若AD=AE，则∠CBE=∠DCB【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由∠ABC=∠ACB，可得AB=AC，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论．【详解】解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，若∠ACD=∠ABE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAEASA∴CD=BE，则原命题是真命题，故选项A不符合题意；若BD=CE，∴AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴CD=BE，则原命题是真命题，故选项B不符合题意；若CD=BE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，不能证明△CAD与△BAE全等，则∠ACD与∠ABE不一定相等，则原命题是假命题，故选项C符合题意；若AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABC=∠ACB，∴∠CBE=∠DCB，则原命题是真命题，故选项D不符合题意；故选：C．6．（2024·北京·模拟预测）如图，AD，BE是△ABC的两条高线，只需添加一个条件即可证明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及辅助线），（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是．（写出一个即可）【答案】BD=AE（答案不唯一）【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，添加BD=AE，通过“HL”即可证明△AEB≌△BDA．熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键．【详解】解：添加BD=AE，∵AD，BE是∴∠BEA=∠ADB=90°，在Rt△AEB和RtBD=AEAB=BA∴Rt故答案为：BD=AE（答案不唯一）．7．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在△ABC和△ABD中，AD与BC相交于点O，BC=AD，添加一个条件可以证明AC=BD．(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四个条件可以添加的是______（填序号）．(2)请你选择一个条件给出证明．【答案】(1)①③(2)详见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定：（1）添加①或③，即可；（2）添加①，根据等腰三角形的判定可得OA=OB，从而得到OC=OD，可证明△AOC≌△BOD，即可；添加③，可得OA=OB，可证明△AOC≌△BOD，即可．【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①；故答案为：①③（2）若添加①∠1=∠2；∵∠1=∠2，∴OA=OB，∵BC=AD，∴OC=OD，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；若添加③OC=OD；∵BC=AD，OC=OD，∴OA=OB，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD．8．（2024·北京·模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，DE⊥EF，(1)证明：△DAE∽△EGF(2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明△DAE≌△EGF【答案】(1)见解析(2)添加∠FBG=45°，证明见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定；（1）证明有两对角相等即可判断；（2）假设△DAE≌△EGF，可以推出∠FBG=45°即可．【详解】（1）证明：∵FG⊥AB，∴∠FGE=∠EAD=90°，又∵DE⊥EF，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEG=90°，∵∠FEG+∠EFG=90°，∴∠AED=∠EFG，∴△DAE∽△EGF；（2）解：添加∠FBG=45°，如果△DAE≌△EGF，∴AE=GF,DA=EG=AB，∴AE+EB=EB+BG，∴AE=BG，∴GF=BG，∵FG⊥AB，∴Rt∴∠FBG=45°，故添加：∠FBG=45°，能证明△DAE≌△EGF．👉题型03结合尺规作图的全等问题9．（2022·北京海淀·一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等．【答案】见解析【分析】根据全等三角形的判定方法画出图形即可．【详解】解：满足条件的三角形有4个，如图所示：（只要画出一种即可）【点睛】本题考查作图——应用与设计图纸，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2022·湖南长沙·二模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：由作图可知，在△MAN和△M'ON'中，，∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此处填理论依据），∴∠COE=∠OAB．(2)若AB=6，求线段OE的长．【答案】(1)MN=(2)OE=3【分析】（1）由作图可知△MAN≌△M'（2）由∠COE=∠OAB得OE//AB，由四边形ABCD为平行四边形得OC=OA，再由中位线定得OC的长．【详解】（1）由作图可知，在△MAN和△M'AM=OM∴△MAN≌△M'∴∠COE=∠OAB，故答案为：MN=（2）由（1）得∠COE=∠OAB，∴OE//AB∵四边形ABCD为平行四边形，∴OC=OA，∴CE=BE，∴OE为△ABC的中位线，∴OE=【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，平行四边形的性质及三角形中位线性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2022·福建福州·二模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE=1(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA=57【答案】(1)见解析(2)EF【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求；（2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知CD=12BC，进一步证明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57【详解】（1）解：如图1所示，点E即为所求．理由是：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且BE=1（2）解：如图2，连接DF．在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴CD=1由（1）可知BE=12BC∴BE=BD，又∵AB=AB，∴△ABE≌△ABD（SSS），∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又∵AF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，∵CF⊥AB，∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=设CF=5a，BC=7a，∵CD=1∴DF=1∴EF=7∴EFCF【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键12．（2022·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究问题的片段，请仔细阅读，并完成任务．题目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在AB上．(1)作图探讨：在Rt△ABC外侧，以BC为边作△CBE≌△CAD；小明：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE．则△CBE即为所求作的三角形．小军：如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，两条垂线相交于点E，则△CBE即为所求作的三角形．选择填空：小明得出△CBE≌△CAD的依据是，小军得出△CBE≌△CAD的依据是；（填序号）①SSS②SAS③ASA④AAS(2)测量发现：如图3，在（1）中△CBE≌△CAD的条件下，连接AE．兴趣小组用几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相等．为了证明这个发现，尝试延长线段AC至F点，使CF=CA，连接EF．请你完成证明过程．(3)迁移应用：如图4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射线BM上存在点E，使S△ACE=【答案】(1)①；③(2)证明见解析(3)3+【分析】（1）根据全等三角形的判定即可得出结论；（2）由条件AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，可知△ABC≌△FBC，又△CBE≌△CAD，得到S△ABC=S△FBC，S△CBE=S△CAD，所以（3）过点C作CE⊥CD交BM于点E，连接AE，过点C作CG⊥AB交AB于点G，由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE=S△BCD且AD=BE；根据AC=BC，∠ACB=90°，有∠ABC=45°，由等腰三角形的三线合一的性质可知AG=BG，结合∠BCD=15°，可得∠ADC=60°，根据BC=32，由cos∠ABC=BCAB得到AB=6，所以AG=BG=3，然后在Rt△CBG和【详解】（1）解：如图1，分别以B，C为圆心，以AD，CD为半径画弧交于点E，连接BE，CE，∴AD=BE，CD=CE又∵AC=BC，在△CBE和△CAD中BC=ACBE=AD∴△CBE≌△CAD（SSS）如图2，分别过B，C作AB，CD的垂线，∴∠DCE=90°，∠DBE=90°，即∠DCB+∠BCE=90°，∠CBA+∠CBE=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD，在△CBE和△CAD中∠CBE=∠CADBC=AC∴△CBE≌△CAD（ASA）故选：①；③（2）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，∴∠ACB=∠FCB=90°，在△ABC和△FBC中CA=CF∠ACB=∠FCB∴△ABC≌△FBC（SAS）∴S△ABC即S△CAD又∵△CBE≌△CAD，∴S△CBE∴S△CDB又∵在△AEF中，CF=CA，∴S△CAE∴S△CAE（3）解：如图，过点C作CE⊥CD交BM于点E，连接AE，过点C作CG⊥AB交AB于点G，又∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ABC，△CBG，△CDG都是Rt△，∴∠ABC=45°，AG=BG，∵∠BCD=15°，∴∠ADC=60°，在Rt△ABC中，BC=32∴cos∠ABC=∴AB=BC∴AG=BG=1在Rt△CBG中，tan∠ABC=∴CG=BG·tan在Rt△CDG中，tan∠CDG=∴DG=CG又由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE∴AD=BE，∴BE=AD=AG+DG=3+3∴BE的长为3+3【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数解直角三角形等知识以及知识迁移应用的能力．通过作适当的辅助线从而达到能够应用前面两问的结论和全等三角形的性质的应用是解答本题的关键．👉题型04以注重过程性学习的形式考查全等三角形的证明过程13．（2023·贵州六盘水·一模）如图，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求证：∠ABE=∠CBD．下面是小亮的解答过程：证明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED∴△ABC≌△EBDSAS，

∴∠ABC=∠EBD，

第三步∴∠ABE=∠CBD．

第四步(1)小亮的证明过程是从第________步开始出现错误的．(2)请你写出正确的证明过程．【答案】(1)一(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．（1）根据全等三角形的判定条件即可得出结论；（2）根据平行线的性质推出∠A=∠E，再根据SAS证明△ABC≌△EBD即可得出结论．【详解】（1）解：小亮的证明过程是从第一步开始出现错误的；（2）证明：∵AB∥ED，∴∠E=∠ABE．∵∠A=∠ABE，∴∠A=∠E．

在△ABC和△EBD中，BE=BA∠A=∠E∴△ABC≌△EBDSAS，∴∠ABC=∠EBD，∴∠ABE=∠CBD．14．（2024·江苏南通·一模）如图，P是△ABC内一点，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求证：∠APB=∠APC．小虎的证明过程如下：证明：在△ABP和△ACP中，∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，∴△ABP≌△ACP．（第一步）∴∠APB=∠APC．（第二步）(1)小虎同学的证明过程中，第步出现错误；(2)请写出正确的证明过程．【答案】(1)一(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．（1）由全等三角形的判定方法可得出结论；（2）证明△ABP≌△ACPSSS，得出∠APB=∠APC【详解】（1）解：全等的判定方法用错了，第一步出现错误；故答案为：一；（2）解：∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∵∠ABP=∠ACP，∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC，在△ABP和△ACP中，AB=ACAP=AP∴△ABP≌△ACPSSS∴∠APB=∠APC．15．（2023·浙江嘉兴·一模）如图，已知点D在射线AE上BD=CD，AE平分∠BAC与∠BDC，求证AB=AC．小明的证明过程如下：证明：∵AE平分∠BAC．∴∠BAD=∠CAD．∵AD=AD，BD=CD．∴△ABD≌△ACD∴AB=AC．小明的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”，若错误，请写出你的证明过程．【答案】小明的证明不正确；正确的证明见解析【分析】由平分，证明∠BDE=∠CDE，再由邻补角，推出∠BDA=∠CDA，根据SAS可证明△BDA≌△CDA，即可证明AB=AC．【详解】解：小明利用的是SSA，是不能证明△ABD与△ACD全等，故小明的证明不正确；正确的证明如下，∵AE平分∠BDC，∴∠BDE=∠CDE，∴∠BDA=∠CDA，∵AD=AD，BD=CD，∴△BDA≌△CDASAS∴AB=AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．👉题型05补全全等三角形的证明过程16．（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：如图，正方形ABCD中，点F、E、G分别在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．(1)尺规作图：过点G作AB垂线交AB于点H．（只保留作图痕迹）(2)证明AE=FG，将下面的过程补充完整．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴②=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四边形BCGH为矩形，∴BC=GH，∴③=GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．【答案】(1)见解析(2)①∠GHF；②∠AEB；③AB；④AAS【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握基本作图方法和特殊四边形的判定和性质是解题关键．（1）根据尺规作图作垂线的方法画图即可；（2）由正方形的性质结合题意可证明∠B=∠GHF，又易证∠AEB=∠AFG和四边形BCGH为矩形，即可间接得出AB=GH，即可证△ABE≌△GHFAAS，得出AE=FG【详解】（1）解：如图，GH即为所作；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB．∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=∠GHF．∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四边形BCGH为矩形，∴BC=GH，∴AB=GH，∴△ABE≌△GHFAAS∴AE=FG．17．（2023·重庆巴南·一模）已知：如图，矩形ABCD中，点E是边BC上一点，且AE=AD．(1)用尺规完成以下基本作图：过点D作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)求证：DC=DF，请将下面证明过程补充完整：证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=①；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=②；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD（③∴AB=④．∵AB=DC，∴DC=DF．【答案】(1)见解析(2)∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【分析】（1）利用基本作图.过D点作AE的垂线即可；（2）先根据矩形的性质得到AB=CD，AD∥BC，则∠DAF=∠BEA，则可根据“AAS”判断△ADF≌△DEC,得到AB=DF，从而得到【详解】（1）如图（2）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=∠AFD；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=∠BEA；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD∴AB=DF，∵AB=DC，∴DC=DF．故答案为:∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质和矩形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.18．（2023·广西柳州·二模）综合与实践

(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，点A、D、E在同一条直线上，连接BE．①求证：AD=BE；将下列解答过程补充完整．证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE；②若∠ACB=50°，则∠AEB的度数为________．(2)类比探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断AE、BE与CM三条线段的数量关系，并说明理由．(