2025高三元调预测卷-答案

2024~2025学年度高三元月调考预测试卷（答案）一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（

）

A． B． C． D．1.A【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：且，即.故选：A.2.复数的共轭复数是（

）A． B．C． D．2.B【分析】先将复数的分母化成实数，再求其共轭复数即可.【详解】而的共轭复数是故选：B.3.在三角形中，，，，则（

）A．10 B．12 C． D．3.A【分析】根据向量的数量积公式求得结果.【详解】记，则，，，．故选：A.4.已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4.B【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.【详解】当时，，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意；综上：，故选：B.5.已知数列满足：，且数列为等差数列，则（

）A．10 B．40 C．100 D．1035.D【分析】设数列的公差为，借助等差数列的性质可计算出，即可得，即可得解.【详解】设数列的公差为，则，故，所以．故选：D.6.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（

）A． B． C． D．66.A【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长．【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，设正四面体的棱长为，则，，在中，则，即，解得，即．故选：A7.已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．7.D【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解.【详解】由可知，设，则，,,则由余弦定理可得化简可得，故，（舍去），又,所以，化简可得，故，故选：D8.已知的内角A，，对边分别为，，，满足，若，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．8.C【分析】根据正弦定理得，然后根据余弦定理求出，再利用重要不等式求出即可【详解】由，由正弦定理得，又，且，所以，故，又，所以，由，即，得，面积的最大值为，故选：C．二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。9.如图，已知正方体的棱长为，点分别为棱的中点，，则（

）A．无论取何值，三棱锥的体积始终为B．若，则C．点到平面的距离为D．若异面直线与所成的角的余弦值为．则9.AB【分析】对于A，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；对于C，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可求解；对于D，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线与的方向向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；【详解】对于A，因为正方体的棱长为，点分别为棱的中点,所以,在正方体中，平面，由等体积法知，三棱锥=三棱锥=，所以无论取何值，三棱锥的体积始终为，故A正确；对于B,由题意可知，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示因为正方体的棱长为，所以，，，，,由，得，设，则所以，所以，所以，解得，所以，所以，所以，故B正确；对于C，由B选项建立的空间直角坐标系知，，，，设，则，，所以，所以，解得，所以，所以，设平面的法向量为，则,即，令则，所以，所以点到平面的距离为，由于无法确定，所以点到平面的距离无法确定，故C错误；对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知，，，,，，,设，则，，所以，所以，解得，所以，所以，因为异面直线与所成的角的余弦值为，则，即，解得或（舍），故D错误.故选：AB.10.已知圆是直线上一动点，过点作直线分别与圆相切于点，则（

）A．圆上恰有一个点到的距离为 B．直线恒过点C．的最小值是 D．四边形面积的最小值为10.BCD【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断A错误；求出直线的方程可得其恒过点，利用弦长公式可求得的最小值是，可得BC正确；进而求得四边形面积的最小值为，即D正确.【详解】易知圆心，半径，如下图所示：对于A，圆心到直线的距离为，可得圆上的点到直线距离的最小值为,圆上的点到直线距离的最大值为，所以圆上恰有两个点到的距离为，即A错误；对于B，设，可得；易知，由，整理可得，同理可得，即可知两点在直线上，所以直线的方程为，即，令，解得，所以直线恒过定点，即B正确；对于C，由直线恒过定点，当点与圆心的连线垂直于时，的值最小，点与圆心之间的距离为，所以，故C正确；对于D，四边形的面积为，根据切线长公式可知，当最小值，最小，，所以，故四边形的面积为，即D正确；故选：BCD11.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A． B．C．时，取得最大值 D．时，取得最小值11.AB【分析】由图象可确定的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果.【详解】由图象可知：当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；对于A，，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；对于D，由单调性知，D错误.故选：AB.三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某小组5位同学各拋掷一枚正方体骰子，将正面向上的点数按从小到大的顺序记录下来，得到一组统计数据．已知这组数据的平均数为整数，最大值为6，中位数为3，方差为1.6，则这组数据的众数为．3【分析】根据题意将这组数据由小到大设出来，再根据方差为1.6可判断出平均数的取值有两种情况，对这两种情况分别讨论即可得出结果.【详解】设这组数据为，则平均数大于等于，假设平均数为3．因为，所以平均数或，若，则，所以，解得；若，则，所以，此时无解．所以这组数据的众数为3．故答案为：3.13.已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则．13./【分析】首先由条件确定是函数的最大值，再结合函数的周期的范围，联立后即可求解.【详解】由题意可知，是函数的最大值，则，，得，且在区间上无最小值，所以，所以，所以.故答案为：14.已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点．若，且的面积为2，则的焦距为．14.【分析】由题意可知双曲线为等轴双曲线，四边形为矩形，设双曲线的半焦距为，利用双曲线的定义和勾股定理，及的面积为2，求出与的值即可得双曲线的焦距.【详解】双曲线为等轴双曲线，设双曲线的半焦距为，则由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，，不妨设点在的右支上，，则，所以，得，所以，得，又，所以的焦距为．故答案为：．四．解答题：本题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中.(1)求A；(2)已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长.15.(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解；（2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解.【详解】（1）根据题意可得，由正弦定理得，又，故，又，所以，则，因为，所以.（2）因为，所以，又平分，所以，所以，则，即由余弦定理得，即，所以，解得（负值舍去），故的周长为.16.一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为.(1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率；(2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望.16.(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则由题意可知事件包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果；（2）由题意知可能的取值为，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望.【详解】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则故所求的概率为.（2）由题意知可能的取值为，则，则的分布列为02417.已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足：，求数列的前项和.17.(1)(2)【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）令，得，两式相减得，又，即得【详解】（1）设公差为d，又成等比数列，所以，又，即，解得或，而时，不满足成等比数列，所以，所以.（2）令，所以，两式相减有：，所以数列的前项和为，即，又，所以，所以.18.已知函数.(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，.18.(1)函数在上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出答案；（2）当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，即可得证.【详解】（1）函数的定义域为，，记，则，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，所以，所以函数在上单调递增；（2）原不等式为，即，即证在上恒成立，设，则，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，令，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以，且在上有，所以可得到，即，所以在时，有成立.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化思想及逻辑推理能力，有一定的难度.19.若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.(1)证明：椭圆为“质朴椭圆”.(2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.(3)设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.19.(1)证明见解析(2)不存在实数，理由见解析(3)为“质朴椭圆”，理由见解析【分析】（1）（2）根据椭圆的方程可得焦距与离心率，再根据“质朴椭圆”的定义判断即可；（3）联立直线与椭圆，根据韦达