高中数学-圆锥曲线知识点小结

高中数学_圆锥曲线知识点小结《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：2a|F1F2|表示椭圆；2a|F1F2|表示线段F1F2；2a|F1F2|没有轨迹；（2

F1F2|）的点的轨迹。

22xy3．常用结论：（1）椭圆1(ab0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交椭圆于A,B两a2b2

点，则ABF2的周长=（2）设椭圆

x2y2

21(ab0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的直线2ab

交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|

PQ|

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2|迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|

F1F2|PF1||PF2|2a与|PF2||PF1|2a（2a|F1F2|）表示双曲线的一支。

2a|F1F2|表示两条射线；2a|F1F2|没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

标准方程

中心在原点，焦点在x轴上

中心在原点，焦点在

y轴上

x2y2

1(a0,b0)a2b2

y2x2

21(a0,b0)2ab

图形

B1(0,a),B2(0,a)

顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线通径

（3）双曲线的渐近线：

A1(a,0),A2(a,0)

x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a

F1(c,0),F2(c,0)

|F1F2|2c(c0)c

e

2

F1(0,c),F2(0,c)

a2b2

c

(e1)（离心率越大，开口越大）a

y

bxa

2b2a

y

axb

2222

①求双曲线xy1的渐近线，可令其右边的1为0，即得xy0，因式分解得到xy0。

aba2b2a2b2

x2y2x2y2

②与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是2；

2

ab

（4）等轴双曲线为x

2

y2t2，其离心率为

22

yx（4）常用结论：（1）双曲线21(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，过F1的直线交双曲线的2

ab

同一支于

A,B两点，则ABF2的周长x2y2

21(a0,b0)左、右两个焦点为F1,F2，过F1且垂直于对称轴的2ab

（2）设双曲线

直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|

三、抛物线：

PQ|

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：标准方程

焦点在x轴上，

开口向右

焦点在x轴上，

开口向左

焦点在

p0

y轴上，

焦点在

y轴上，

开口向上开口向下

y22pxy22px

x22pyx22py

图形

顶点对称轴焦点离心率准线通径焦半径焦点弦焦准距O(0,0)

x轴

pF(,0)2

p2

y轴

F(

p,0)2

pF(0,)

2

pF(0,)

2

e1

x

x

p2

y

p2

y

p2

2p

|PF||x0|

p2

|PF||y0|

p2

p

四、弦长公式：|

AB|k2|x1x2|k2(x1x2)24x1x2k2

|A|

其中,

A,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去y后所得关于x的一元二次方程

2

的判别式和x的系数

求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,

设

A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1x2

BA

，

x1x2

C

；（3）代入弦长公式计算。A

2

法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程AyByC0,则相应的弦长公

式是：|

111

AB|()2|y1y2|()2(y1y2)24y1y2()2

kkk|A|

x1x2|(x1x2)24x1x2

|A|

和|A|

注意（1）上面用到了关系式|

y1y2(y1y2)24y1y2

注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程

Ax2BxC0,设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由韦达定理求出x1x2

x1x2

2

；再把x

B

；（3）设中A

点M(x0,y0)，由中点坐标公式得x0x0代入直线方程求出yy0。

法（二）：用点差法，设

A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x0,y0)，由点在曲线上，线段的中

点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0,y0。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式

法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e(求e时，要注意椭圆离心率取值范围是0e1，而双曲线离心率取值范围是e1)

例1：设点P是圆x2y24上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足

PM2MD．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解设点M的坐标为x,y，点P的坐标为x0,y0，由PM2MD，

得xx0,yy028x,y，即x03x16，y03y．

因为点Px0,y0在圆x2y24上，所以x02y024．即3x163y4，

2

2

416

即xy2，这就是动点M的轨迹方程．

39

例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点(,)，求椭圆的标准方程

2

5

232

x2y2

解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221(ab0)，

ab

由椭圆的定义可知：2a

x2y2

1ac2,bac6所以所求的标准方程为

106

2

2

2

x2y2

1，将解法2c2,baca4，所以可设所求的方程为22

aa4

2

2

2

2

53x2y21点(,

)代人解得：a所以所求的标准方程为

*****

例3.

例4.

习题：1．已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x轴上，则此椭圆的

标准方程是（）

x2x2x2x2y2y2y2y2

（A）＋＝1（B）＋＝1（C）＋＝1（D）＋＝1

***-*****39

2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）

（A）

1233（B）（C）（D）2223

3.已知椭圆x2＋2y2＝m，则下列与m无关的是（）

（A）焦点坐标（B）准线方程（C）焦距（D）离心率

，则它的长半轴的长是（）2

1

（A）1（B）1或2（C）2（D）或1

2

5椭圆的中心为O，左焦点为F1，P是椭圆上一点，已知△PF1O为正三角形，则P点到右准线的距离与长半轴的长之比是（）

4.椭圆mx2＋y2＝1的离心率是

（A）3－1（B）3－3（C）3（D）1

y2x2

6.若椭圆=1的准线平行于y轴，则m的取值范围是。

3m12m

7．椭圆的长半轴是短半轴的3倍，过左焦点倾斜角为30°的弦长为2则此椭圆的标准方程是。

8.椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x－y－4=0被此椭圆所截得的弦长为

45

，求此椭圆的方程。3

9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。

x2y2x2y2x2y2

（A）+=1（B）+=1或+=1

***-*****XX年36x2y2x2y2x2y2

（C）+=1（D）+=1或+=1

*****

10．椭圆25x2＋16y2=1的焦点坐标是（）。

331

（A）(±3,0)（B）(±,0)（C）(±,0)（D）(0,±)

320XX年

x2y2y2x2

11.曲线＋=1与曲线＋=1(k9)，具有的等量关系是（）。

25－k9k259

（A）有相等的长、短轴（B）有相等的焦距（C）有相等的离心率（D）一相同的准线

12.椭圆4x2＋16y2=1的长轴长为，焦点坐标是，

13.已知两点A(－3,0)与B(3,0)，若|PA|＋|PB|=10,那么P点的轨迹方程是

18

14.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，两准线间的距离为5，焦距为2，则椭圆的

5

方程为。

x2y2

1共焦点，并经过点P(3,－2)，则15.椭圆的长、短轴都在坐标轴上，和椭圆94

椭圆的方程为。

x2y2

16.在椭圆＋=1内有一点M(4,－1),使过点M的弦AB的中点正好为点M，求弦AB

1040

所在的直线的方程。

x2y21

17.椭圆＋=1的离心率e=,则k的值是。

k892

18.平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足条件|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是（）。

x2x2y2y2

（A）－＝1(x≤－4)（B）－＝1(x≤－3)

*****x2x2y2y2

（C）－＝1(x≥4)（D）－＝1(x≥3)

*****

2

3

y2x2

19双曲线－＝1的渐近线方程是()

3649yyyyxxxx

（A）±＝0（B）±＝0（C）±＝0（D）±＝0

***-**********.双曲线x2－ay2＝1的焦点坐标是（）

（A）(a,0),(－a,0)（B）(a,0),(－a,0)

（C）（－

a1a1a1a1

,0）,（,0）（D）(－,0),(,0)aaaa

x2y2

21.设双曲线221(ba0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0,b)两点，已知原点到

abc，则双曲线的离心率是（）4

23

（A）2（B）（C）2（D）

3

x2y2

22.双曲线－＝1的离心率是。

79

y2x2

23,已知方程+=1表示双曲线，则k的取值范围是。

3k2k

y22

24.双曲线4x－=1的渐近线方程是（）。

9213

（A）y=±x（B）y=±x（C）y=±x（D）y=±6x

362

直线l的距离是

25.若双曲线与椭圆x2＋4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是x＋y=0，则此双曲线

的标准方程只能是（）。

y2y2y2y2x2x2x2x2

（A）－=1（B）－=1（C）－=±1（D）－=±1

***-********-*****

y2x2

26．和椭圆＋=1有共同焦点，且离心率为2的双曲线方程是（）。

259y2y2y2y2x2x2x2x2

（A）－=1（B）－=1（C）－=1（D）－=1

4*****

1

27.双曲线的两准线间的距离是它的焦距的，则它的离心率为。

3

28.双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e。

29.中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1,3)的等轴双曲线的方程是

30.渐近线是±=0，且经过P(62,8)的双曲线方程是。

y2x231.和椭圆＋=1有公共的焦点，离心率e=的双曲线方程是。

942

32.59.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0的系数a、b、c恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e的范围。

y2x2

33.过双曲线－=1的左焦点F1，作倾斜角为α＝的直线与双曲线交于两点A、B，

9164

求|AB|的长。

34.抛物线y2=8x的准线方程是（）。

（A）x=－2（B）x=2（C）x=－4（D）y=－2

35.AB