2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 证明不等式问题（十三大题型）（学生版+解析）

重难点突破06证明不等式问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................2

题型一：直接法..................................................................2

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）........................3

题型三：分析法..................................................................4

题型四：凹凸反转、拆分函数......................................................5

题型五：对数单身狗，指数找朋友..................................................7

题型六：放缩法..................................................................8

题型七：虚设零点...............................................................10

题型八：同构法.................................................................H

题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理.............................................12

题型十：分段分析法、主元法、估算法.............................................14

题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值...................15

题型十二：函数与数列不等式问题.................................................16

题型十三：三角函数.............................................................18

03过关测试....................................................................19

方法技巧马总结

利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明/(X)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数〃(x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

㈤2

薪刑归纳与.柒年

题型一：直接法

【典例1-1](2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=a(2x+a)-Inx.

⑴讨论"X)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(x)>91na.(参考数据：In2®0.693)

【典例1-2](2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=a(e'+叫-x.

(1)讨论了⑸的单调性；

(2)证明:当。>0时，/(x)>41na+2.

【变式1-1](2024•四川•模拟预测)已知函数/(尤)=e­£x3-i.

(1)若/(x)有3个极值点，求a的取值范围；

(2)若xNO,a-~^证明：+x.

【变式1-2］已知函数/(%)=£—Inx,a>0.

⑴求/(x)的最小值g⑷;

(2)证明：g(a\<a+--\.

a

3

【变式1-3](2024•宁夏吴忠・模拟预测)已知函数/(x)=ae'-x-受aeR).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时，/(无)>21na-/.

题型二：构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)

【典例2-1](2024•河北沧州・模拟预测)对于函数/(x)和g(x),设ae{x"(x)=0}，匹{尤|g(x)=0},若

存在a,尸使得卜一夕141,则称/(x)和g(x)互为“零点相邻函数，.设/(x)=ln(a+x)(aeR),

g(x)=x(x+l),且/(x)和g(x)互为“零点相邻函数”.

(1)求。的取值范围；

(2)令〃(x)=g[x)-〃x)(g'(x)为g(x)的导函数)，分析力⑴与g(x)是否互为“零点相邻函数”；

(3)若a=l,x>0,证明：f

【典例2-2】(2024•湖北荆州•三模)已知函数〃x)=41nx

⑴求曲线>=/")在点处的切线方程；

(2)求证：函数歹=/(x)的图象位于直线>=x的下方；

【变式2-1】已知函数/(x)=ln(x+a)-x有且只有一个零点，其中a>0.

⑴求。的值；

(2)若对任意的xe(O,+®),有/(同2注2成立，求实数上的最大值；

(3)设妆x)=/(x)+x,对任意4/(-1,+℃乂国片々)，证明:不等式启尢>4X\X2+X\+X2+X恒成立.

【变式2-2】设〃x)=(+x)e必,当xe[0,l]时,求证：l-x</(x)<-^.

【变式2-3](2024•山东荷泽•模拟预测)已知函数/(x)=tdnx-才+1(0<^<2).

⑴求函数八》)的单调区间；

612b2

(2)若a>b>0,证明:In<a4-b4

题型三：分析法

【典例3-1】已知函数/(%)=(办2一21+3卜、一X—3(QER),当时，证明：/(x)+l>x.

【典例3-2】已知函数/(x)=z«e*+7-2(=eR),g(x)=xlnx.

(1)若直线y=x-l是函数/(x)的图象的切线，求实数机的值；

(2)当加<-1时，证明：对于任意的xe(0,+oo),不等式/(x)<g(x)+x-2恒成立.

【变式3-1](2024•山东•模拟预测)已知函数/(x)=eMf_也士x+'"7十丁广。,其中〃-0.

mmj

⑴求曲线y=/(x)在点(2J(2))处切线的倾斜角；

(2)若函数/(力的极小值小于0,求实数加的取值范围；

(3)证明：2e*-2(x+l)lnx-x>0.

题型四：凹凸反转、拆分函数

【典例4-1】已知函数/(%)=炉--，证明：当xzO时，/(x)>l.

【典例4-2】(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数”xh蛔-L

xe

⑴求/(%)的最大值；

(2)证明：当x>0时，/(x)<xex.

【变式4-1](2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=xe*+a,g(x)=xlnx+a.

⑴若函数/(X)的最小值与g(x)的最小值之和为-求。的值.

e

(2)若〃=0,x>0,证明：/(x)>gf(x).

【变式4-2】已知/(x)=lnx+3,a>-,b>\,求证：/(lnZ>)>y.

xeb

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=；e2，+(“-2)e-2ax.

⑴若曲线V=/(x)在/"，处的切线方程为4办+2了+1=0,求。的值及/(x)的单调区间.

(2)若/(x)的极大值为〃ln2),求。的取值范围.

53

(3)当Q=0时，求证：/(x)+5e%--x2+x\wc.

1r»y

【变式4-4】已知函数/(x)=r—，求证：

x+x+1e

【变式4-5](2024•陕西安康•模拟预测)已知函数/(x)=lnx+?+2x.

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)若加求证：[2/(x)-4x-l].eI>2.

题型五：对数单身狗，指数找朋友

【典例5-1](2024•陕西榆林•三模)已知函数/'3=/汕ix+x2-xj(x)的导函数为/'(x).

⑴讨论/(x)的单调性；

2ex1

(2)当掰=1时，证明：+,---+----+x-l.

•\/X+1X+1

【典例5-2】(2024•青海•模拟预测)已知质数/@)=屐'-》2+“-/〃，且曲线y=〃x)在点(2,/(2))处的

切线方程为4e，-y-4e2=0.

(1)求加的值;

(2)证明：对一切xNO,都有〃力泊2/.

【变式5-1](2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=e"，2f+加，且曲线/⑺在点(0J(0))处的切线

方程为2x-y+l=0(其中e为自然对数的底数).

⑴求实数加的值.

2

(2)当〃=3时，证明：对Vxe[0,+oo),都有/(x)Ne21r+1.

【变式5-2](2024・广西・模拟预测)设函数〃x)=lnx+"+6,曲线y=〃x)在点(1,7(1))处的切线方程为

y=6x-3.

(1)求a,b的值；

2

(2)证明：/(Jc)>---1.

【变式5-3](2024•河北保定•三模)已知函数〃x)=x2一办+lnx,x=1为的极值点.

⑴求。；

(2)证明：f(x)<lx1-4x.

题型六：放缩法

【典例6-1】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(尤)=血.

⑴求函数g(x)=//的最值.

2

1p—1

⑵证明：xex--x4-^-x3-ef(x)>0(其中e为自然对数的底数).

【典例6-2】已知函数〃x)=e*-lnx,/'(x)为/(x)的导函数.

⑴求函数/(X)的零点个数；

(2)证明：f(x)>a+l+(l-a)lna.

【变式6-1](2024•江苏徐州•模拟预测)已知函数/(x)=2x2+x-ln(x+M，机eR.

⑴当加=0时，求曲线y=/(力在点(1J(D)处的切线方程；

(2)当加£1时，证明：f(x)>0.

【变式6-2](2024•山东枣庄•模拟预测)已知函数/(x)=e'-a/_x,为/(x)的导数

⑴讨论/(x)的单调性;

(2)若x=0是/□)的极大值点，求。的取值范围；

(3)若0,(,证明：e"11^1+em0-1+ln(sincos^)<1.

【变式6-3](2024•辽宁大连•模拟预测)定义：若曲线/(x/)=0或函数了=/(x)的图象上的两个不同点处

的切线互相重合，则称该切线为曲线/(x/)=0或函数V=〃x)的图象的“自公切线”.

⑴设曲线C：x2+/-x-|x|-l=0,在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断。是否存在“自公切线”？

(给出结论即可，不必说明理由)

(2)证明：当工»0时，函数/(x)=sinx+cosx-e”不存在“自公切线”;

⑶证明：当北0,“eN*时，sinx+cosx>ln(2x+l)+2--~

(x+3eI

【变式6-4］已知函数/(x)=—ln(G)+依一2(a。0),证明：当a〉0时，/(x)>lnx-xex+1+sinx+l.

题型七：虚设零点

【典例7-1】(2024・山东济南•二模)已知函数/(%)=62-lnx-l,g(x)=xe*-办2(°eR)•

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明：/(x)+g(x)>x.

【典例7-2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=e2-aln(x+l).

(1)若。=2,讨论〃x)的单调性.

(2)若x>0,a>l,求证：f(x)>^-alna.

【变式7-1]已知函数/(x)=e="-1.

(1)若/(x)在定义域内不单调，求。的取值范围；

(2)证明：若a=tan/,且迎《0,1^,则产与侬/>e-

【变式7-2](2024・高三・辽宁丹东•开学考试)已知函数/(x)=xeiTnx-x.

⑴求函数/(x)的最小值；

(2)求证：e[/(x)+x]>6^-(e-l)lnx-^-.

【变式7-3](2024•河北张家口•三模)已知函数/(x)=lnx+5x-4.

(1)求曲线了=f(x)在点(1，/⑴)处的切线方程；

3

(2)证明：/(%)>---2.

【变式7-4](2024•山东威海•二模)已知函数/(%)=山%-狈+1.

(1)求/(x)的极值；

(2)证明：Inx+x+1<xex.

题型八：同构法

【典例8-1】已知函数/(%)="/几x-1+1,a6R.

(1)讨论/(x)的单调区间；

(2)当p>q>l时，证明qlnp+Inq<plnq+Inp.

【典例8-2】已知函数/(x)=/〃x+-----2(aGR).

x+1

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当a=2时，求证：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

Y2

(3)求证：当x>0时，ln(x+1)>----.

ex-1

【变式8-1](2024•甘肃定西•一模)设函数/(、)=x［：：+2，g(x)=x_ln(x+l)

⑴证明：g(x)»0.

⑵当x>e-l时，证明：/(x)<ln(x+2).

【变式8-2](2024•甘肃白银•三模)设函数g(x)=x-ln(x+l).

⑴讨论/(x)的单调性.

(2)证明：g(x)>0.

⑶当x>e-l时，证明：/(x)<ln(^+2).

【变式8-3](2024・广东广州•模拟预测)已知函数/(x)=xe"(a>0).

(1)求/(力在区间[-U]上的最大值与最小值；

(2)当.21时，求证：/(x)>lnx+x+l.

【变式8-4](2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=x(ae，-l),flGR.

⑴若曲线了=〃力在x=-l处的切线/与直线》-即+2=0垂直，求/的方程;

3

(2)^g(x)=/(x)+(2-lnx-x)e+xf求证：当。>1时,g(x)>0.

题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

【典例%1】证明不等式：1+'-工<Vi7^(x>o).

28

【典例9-2】已知函数/(》)=工2+/〃x-ax.

(1)求函数“X)的单调区间；

(2)若/(x),2/,对xe[O,+8)恒成立，求实数。的取值范围；

(3)当a=1时，设g(x)=xe*-x-1.若正实数4,%满足4+4=1,%,x2e(0,+co)(x产乙)，证

明：g(Axi+4%)<4g(网)+4g(%)•

【变式9-1](2024•河南周口•模拟预测)已知函数/(x)=(x-l)ln(l-x)-x-cosx.

⑴求函数/(x)在区间(0,1)上的极值点的个数.

(2)“£”是一个求和符号，例如\>=l+2+L+n,E(2X')=2X+2X2+L+2X",等等.英国数学家布鲁

Z=1Z=1

〃f—1Y-1.丫2,-2

克・泰勒发现，当+8时，cosx，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用.

£台(”2Z-2：)!

都有£(―1尸产3

证明：(i)当“f+8时，对Vx>0,>0；

Z=1(2z+3)!

(ii)EN*,〃22).

【变式9-2】英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当/(x)在x=0处的〃(几£N*)阶导数都存

在时，〃x)=/(o)+/(o)x+q^f上野；e戈+….注：/"(X)表示〃x)的2阶导数,

即为了'(X)的导数，/(")(0(心3)表示了(同的〃阶导数，该公式也称麦克劳林公式.

(1)根据该公式估算sin；的值，精确到小数点后两位；

(2)由该公式可得：cosx=l-—+—当x20时，试比较cosx与1_土的大小，并给出证明(不

2!4!6!2

使用泰勒公式);

§1____]_

(3)设〃EN*,证明：之(,\1>〃4/7+2.

J〃+1tan----

')n+k

【变式9-3】阅读材料一■“装错信封问题”是由数学家约翰•伯努利(JohannBernoulli,1667-1748)的儿

子丹尼尔•伯努利提出来的，大意如下：一个人写了〃封不同的信及相应的〃个不同的信封，他把这〃封信

都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler,1707~1783)

给出了解答：记都装错〃封信的情况为。〃种，可以用全排列〃!减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可

得公式：---+(-iy—\其中〃wN*.

V1!2!n17

阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当/(X)在x=o处〃阶可导，则有：

/■3=/(0)+/0)尤+厂必/+--+』刎炉+--，注〃)(x)(〃23)表示〃x)的〃阶导数，该公式也称

麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题：

⑴求出4,4,2的值；

(2)估算正的大小(保留小数点后2位)，并给出用e和〃表示。.的估计公式；

(3)求证：2tanL+4tan[+…+2〃tan」-<2〃+l,其中〃eN*.

242n

题型十：分段分析法、主元法、估算法

【典例10-1】已知函数/(x)=e*+ax2-1.

(1)讨论函数/(X)的导函数的单调性；

7夕21

(2)求证：对Vx20,/(x)25%3+%恒成立.

【典例10-2]已知函数/(%)=(加+l)x—加nx—加.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)证明：当以£1,且x>l时，/(x)<e^1.

【变式10-1]若定义在R上的函数/(%)满足/(x)=-e2A--2+x2-2/(0)x,

g(x)=f弓)一+(1-q)尤+a,aeR.

(I)求函数〃x)解析式；

(II)求函数g(x)单调区间；

(III)若x、>、满足\y~m\,则称x比y更接近机.当a.2且x..』时，试比较二和e*"+a哪个

x

更接近历x,并说明理由.

【变式10-2】已知函数/(x)=/(sinx-"2+2”e),其中aeR,e=2.71828…为自然对数的底数.

(1)当a=0时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)当;”a,1时，求证：对任意的xe[0,+oo),/(x)<0.

题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值

【典例11-1](2024•河南•模拟预测)已知b>0,函数/(无)=(x+a)ln(x+b)的图象在点处的切线

方程为xln2-y-ln2=0.

⑴求a,b的值；

(2)若方程「(x”！(e为自然对数的底数)有两个实数根王,马，且再<迎，证明：x2-x1<\+-+^-

eeeln2

【典例11-2】已知函数/(同=H!《.

⑴求函数/(x)的单调性；

⑵若y=有两个不相等的零点X1，Z,且再<》2.

①证明：二随t的增大而增大;

x\

②证明：x2-xx<(e+l)z+l.

【变式11-1】(2024•重庆•模拟预测)已知函数/■(x)=a(lnx+l)+-'?(a>0).

(1)求证：1+xlnx>0；

,•证：I%-玉|<]-J-

(2)若4X2是/(“)的两个相异零点

题型十二：函数与数列不等式问题

【典例12-1］(2024•安徽马鞍山•模拟预测)已知函数/(x)=(x+2)ln(x+l).

(1)证明：x>0时，f(X)>2x；

n2

(2)证明：1帅+1)>^亍7

k=l'左+1

【典例12-2】(2024・陕西西安・模拟预测)已知函数/(x)=2sinx-6

(1)若函数在［0,兀］内点A处的切线斜率为求点A的坐标;

JT

(2)①当a=1时，求g(x)=-ln(x+1)在0,—上的最小值;

6

②证明：sing+sin；H---l-sin—>eN,n>2).

【变式12-1】(2024•江苏南通•模拟预测)已知函数/(x)=eX-ox-co&¥,且/(x)在［0,+句上的最小值为0.

(1)求实数。的取值范围；

(2)设函数y=0(x)在区间0上的导函数为y=d(x),若林］,>1对任意实数尤e。恒成立,则称函数

y=9(x)在区间£>上具有性质S.

(i)求证：函数/(x)在(0,+8)上具有性质S；

(ii)记「［p(i)=Ml)p(2)...p⑺，其中〃eN*,求证：IIz-sin->-7~n-

i=it1n\ji+1j

【变式12-2](2024,天津•模拟预测)已知函数/(x)=sinx+ln(l+x)-办,aeR.

(1)求〃x)在点(0,1(0))处的切线方程；

⑵若/(x)V0恒成立，求。的值；

2n/1A?〃一]

(3)求证：Vsin—<21n------ln2,«>2,MeN*.

/=„+1V-V«-l

【变式12-3］(2024•湖南衡阳•三模)已知正项数列｛风｝的前〃项和为邑，首项q=1.

(1)若a；=4S“-2a”-l,求数列｛凡｝的通项公式；

⑵若函数〃x)=2e'+x,正项数列｛4｝满足：。用=/a)(〃eN*).

n

(i)证明：Sn>3-M-l；

(ii)证明：(1+Jy)(l+Jy)(l+Jy)…(1+

ja25a35a45an

题型十三：三角函数

【典例13-1】(2024•全国•三模)已知函数/(X)=N■-x+asinx(aeR)在x=0处的切线方程为>=0.

⑴求。的值；

(2)证明:#(x)N0.

【典例13-2】(2024•辽宁・模拟预测)已知函数/(x)=sinr-ln(sinr),xe(l,2)

⑴求/(x)的最小值；

(2)证明：sinx-ei-smv-In(sinx)>1.

【变式13-1](2024・四川广安•二模)已知函数/'(x)=ex-办-1.

⑴若〃力存在极值，求。的取值范围；

(2)若aVI,X6(0,+oo),证明：〃x)>x-sinx.

【变式13-2】已知函数/(x)=e*-e*sinx,(e为自然对数的底数).

⑴求曲线y=/(x)在x=0处的切线方程

(2)若不等式aV/(x)V6对任意xe0,方恒成立，求实数。-6的最大值;

⑶证明：/(x-l)>l-ex-1sin(x-l)x~^\'

【变式13-3](2024•广东湛江•二模)已知函数/(x)=e*+xlnx.

⑴求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)若a>0,b>0,J!La2+Z>2=1,证明：/(a)+/(Z>)<e+1.

0

过去酬孰

1.(2024•安徽蚌埠•模拟预测)已知函数/(x)=ln(x+l),g(x)=。，其中aZl.

(1)若。=1,证明：x>o时，/(x)<

2g(x+1)；

(2)若函数尸(力=/(x)-g(x)在其定义域内单调递增，求实数a的值;

(3)已知数列｛4｝的通项公式为％,=芈尸，求证：a>a>/.

2.(2024・湖南长沙三模)已知函数工(x)=x"+x"T+…+x-l(〃eN+).

⑴判断并证明，(x)的零点个数

⑵记工(x)在(0,舟)上的零点为当,求证；

(i)｛斗｝是一个递减数列

3.(2024•山东•模拟预测)已知函数/■(x)=g+a，nx+，2,其中“eR.

(1)当a21时，判断/(x)的单调性；

⑵若/(X)存在两个极值点再,工2(x2>0).

一2

(i)证明：x—x+2>一；

2xa

[45

(ii)证明：xe(l,+s)时，/(x)>——一r+一—2.

4.已知/(x)=asinx(aeR),g(x)=e*.

⑴若0<心1,判断函数G(x)=/(1-x)+lnx在(0,1)的单调性；

(2)设b(x)=g(x)-wx2-2(x+l)+M%eR),对Vx>0,m<0,有厂(x)>0恒成立，求上的最小值;

.1.1.1占<ln2.(〃eN)

(3)证明:sin^+sm^+sin—+-+sin

5.(2024•陕西西安・模拟预测)已知函数/(x)=(x-a)lnx+("l)x(aeR).

⑴若函数/(x)在(0,+。)上单调递增，求实数。的值；

(2)求证：ln2>sin-^—+sin^—+---+sin^—.

“7100101198

6.(2024・河北•三模)已知函数/(x)=xlnx-"2+(2a—l)x—Q+l(aeR).

⑴若/(x)W0在[1,W)恒成立，求实数a的取值范围；

、TH口111111c

(2)证明：---+----+----+…+----+—>ln2.

n+1〃+2〃+3n+nAn

7.(2024•河北沧州•模拟预测)已知函数〃x)=lnK-ln(x-l)-L.

⑴求/(x)的值域；

n1

(2)求证：当〃£N*时，£sin-----；<In2.

n+1

已知函数f[x)=ax-\wc--^-

8.

⑴当。=-1时，求/(X)的极值；

(2)当尤21时，不等式/卜)》0恒成立，求。的取值范围;

ln(l)<''

(3)证明:w++

V1+12,2+2、\ln+n2

9.已知冽〉0,函数/(%)=匕2-％,g(x)=/(x)-----------+%.

m

(1)若函数/(x)的最小值是0,求实数冽的值；

(2)已知曲线歹=/(%)在点(1，/⑴)处切线的纵截距为正数.

(i)证明：函数g(x)恰有两个零点；

、11

(ii)证明：>mm—mm,

10.(2024•河北邢台•二模)已知函数/(力=/？+。7-a,

⑴当。=0时，求函数了=/(力在x=(处的切线方程；

1

(2)若/(尤)ve'二恒成立，求实数。的取值范围；

(3)证明：ln(»+l)!>»+^p-^-|(»>2).

15.(2024•福建莆田•三模)已知函数/(x)=x—'+alnx,其中QER.

x

⑴当X«l,+8)时，/(%)>0,求。的取值范围.

(2)若。<-2,证明：/(%)有三个零点芯，X?,七(再<%2<%3)，且X"巧，七成等比数列.

⑶证明：S#Fo>ln(w+1)(""*)•

16.(2024•广东揭阳二模)已知函数"x)=lnx-g.

(1)当。=1时，证明：/(力是增函数.

(2)若/(x)Vx恒成立，求。的取值范围.

(3)证明：叱+也+…+则0一，…)(„>2；〃eN).

23ne-1

17.已知函数=-e"L

⑴证明：Vx>0,总有/(x)<0成立;

1+1+••-+-1>ln(»+l)

(2)设〃£N*证明:

Vl2+16+2yjn2+n

18.求证：£-^->^1(2«+1)(«6^).

i=i4z—1

19.(2024•河南•二模)已知函数/(x)=alnx—2x+a(a。0).

⑴讨论“X)的单调性；

19

⑵若ae1--/()--x>0对任意x>0恒成立，求a的取值范围；

axa

1〃！___

(3)证明：—>In德+1+1.

〃占

20.已知函数/(x)=e'+G(awR),g(x)=ln(x+1).

(1)求函数的极值；

⑵若/(%)>1-g(x)对任意的x£[0,”)恒成立，求实数〃的取值范围;

(3)求证：x>0时，(ex-l)g(x)>x2.

21.(2024•全国•模拟预测)已知函数"Tnx,a£R.

⑴若函数厂(x)=/(“-d有两个极值点，求。的取值范围；

⑵若曲线y=/(x)在点[处的切线与y轴垂直，求证：

重难点突破06证明不等式问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................2

题型一：直接法.................................................................2

题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）.......................3

题型三：分析法.................................................................4

题型四：凹凸反转、拆分函数.....................................................5

题型五：对数单身狗，指数找朋友.................................................7

题型六：放缩法.................................................................8

题型七：虚设零点..............................................................10

题型八：同构法................................................................11

题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理............................................12

旦市和|•­•蛇国•*柘171才士。毋4士筲才*****************************************************************************************14

题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值..................15

题型十二：函数与数列不等式问题.................................................16

题型十三：三角函数............................................................18

03过关测试....................................................................19

方法技巧马总结

利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明/(X)-g(x)>0(或

/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数〃(x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

题型归赢总结

题型一：直接法

【典例1-1](2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=a(2x+a)-Inx.

(1)讨论了⑸的单调性；

(2)证明：当。>0时，/(x)>91na.(参考数据：In2-0,693)

【解析】(1)由题意得了'(x)=2a-。，

当aWO时，/'(x)<0在(0,+8)上恒成立，/(X)在(0,+8)上单调递减，

当。>0时，令/'(x)=0,解得x=(.

当xe/A)时，r(x)<0,当#(x)〉0.

所以〃x)在(0,()上单调递减，在上单调递增；

综合得：当时，/(%)在(0,+8)上单调递减，

当。>0时，/(X)在(0,5)上单调递减，在上单调递增；

(2)由(1)可知，当“〉0时，/(%)的最小值为丁]=■—In——=d+l+ln2a.

要证/(x)〉91n〃成立，需〃2+i+1112a>91n〃成立,

即证-81nQ+l+ln2〉0.

Q_o

令〃(a)=/-81ntz+l+ln2(tz>0)，则h\a)=2a——=------.

aa

令/⑷=0,得a=2(负值舍去).

当〃£(0,2)时，h\a)<0；当〃£(2,+oo)时，h\a)>0.

因此〃(〃)在(0,2)上单调递减，在(2,+8),上单调递增.

所以当Q=2时，力(。)取得最小值，A(2)=4-81n2+l+ln2=5-71n2>5-7x0.7=0.1>0,

故当〃〉0时，/(%)〉91nq.

【典例1-2】(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=a(e'+/)7.

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当。>0时，/(x)>41n«+2.

【解析】(1)〃x)的定义域为(f,+己),/'(X—.

若Q0O,则/'(X)<O,/(%)在(-*+8)上单调递减：

若〃〉0,则由/'(x)=0得x=-lna,当-Ino时，/r(x)<0；当x>-Ino时，/r(x)>0；

故/(%)在(-叫-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增；

故当a40时，/(%)在(-°°,+8)上单调递减：

当〃>0时，/(%)在(-°°,-Ina)上单调递减，在(-ln〃,+8)上单调递增；

(2)方法1,当a〉0时，由(1)知，当x=—lna时，/(%)取得最小值.

所以/(%)>/(-Ina)=a，+1+in〃,从而f(%)-(41na+2)>tz3-31M-1.

3

3Qr—Q

设g(x)=x3-31nx-l,(x>0),贝Ug^x)=3X2--=.

XX

当0<x<1时，g'(x)<0；当%>1时，g'(x)>0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故当X>0时，g(x)>g(l)=0,

故当Q>0时，/_31na—120,即/(x)之41na+2；

方法2：当〃>0时，由(1)知，当x=—Ina时，/(%)取得最小值，

所以lna)="+l+lna,从而〃x)-(41na+2)2/_31na-l,

1—Y

令力(x)=hix—x+l,x>0,hr(x)=---,

x

当0<x<1时，hr(x)>0；当x〉1时，hr(x)<0；

所以从“在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

^/z(x)</z(l)=0).-.lnx<x-l,当x=l等号成立；

所以，当。>0时，o'-31na-l>a3-3(a-1)-1=fit3-3a+2=(a-Y)2(a+2)>0,

BP/(x)>41nfl+2.

【变式1-1](2024•四川•模拟预测)已知函数〃x)=e，/x3-1.

(1)若/(力有3个极值点，求。的取值范围；

(2)若x20,a<1,证明：f(x)>ax2+x.

【解析】(1)由〃x)=e=1x3一1有3个极值点，

可得到/'("=3-"2具有3个变号零点，

当x=0时不是/'(力=3-狈2的零点，

则可得:°在0)u(O,+“)有3个交点，

构造函数g(x)=\,(-8,0)"0,+8),

则g，(x)=e、(；3-2),令g[x)=o,解得》=2,

所以当xe(-e,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,

当xe(O,2),g,(x)<0,g(x)单调递减，

当xe(2,+e),g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(x).=g(xY.=—，

而当Xf-00时，g(x)-O,当X―0时，g(x)f+8,当x—”时，g(x)f+8,

2

所以〃〉上e，

4

则a的取值范围为

(2)构造函数〃(x)=f(x)-«x2-x=ex-^x3-1-ax2-x,x>0

则h'(x)=eA—ax2—2ax—1,且%(0)=0,h'(0)=0,

构造函数》(1)=〃3=廿_加-2方-1,则〃2G_2a,

再令v(x)=M(x)=e"-2ax-2a,贝Uv'(x)=ex-2a,

因为a«；时，则v'(x)=e"—2a>0,v(x)在[0,+a?)单调递增，

rFffv(x)>v(O)=l-2a,所以M(x)在［0,+<x>)单调递增,

所以〃(x)*(O)=O,所以吊力在［0,+e)单调递增,

故/z(x)2/z(0)=l-l=0,gpf(^x)>ax2+x.

【变式1-2］已知函数/(尤)=x"-lnx,a>0.

⑴求/(x)的最小值g(a)；

(2)证明：g(tz)<a+--1.

【解析】(1)"X)的定义域为(0,+e),r(x)=axi-9竺了，

令0^-1=0解得%=1_11，又因为当。>0时，蚱疗-1为增函数，

故当xc(O,x。)时，r(x)<0,则/(x)在(O,x。)上单调递减；

当xe(xo，+oo)时，f^(x)>0,则/(x)在(x0,+QO)上单调递增；

故/(xL=/(%)=x^-lnx=---ln-=,故g()=,

0aaaaaa

/-、(、1+lnQ八.Jf(\—Ina

(2)g(Q)=-----,Q〉o,则g(")=——,

ad

故当ae(O,l)时，g'(a)>0,则g(a)在(0,1)单调递增;

当ae(l,+oo)时,g'(a)<0,则g(a)在(1,+8)单调递减；

故g(a)a=g(l)=l.

又因为.+122/°义。=2,所以a+’TNl(当且仅当4=1时，取"=

a\aa

所以g(a)(a+：-l.

3

【变式1-3］(2024•宁夏吴忠・模拟预测)已知函数/(x)=ae，-x-］(awR).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>0时,/(%)>2Ina-a2.

【解析】(1)由题意知/'(x)=ae*-l,

当a40时,/'(x)<0,所以/(x)在(-*+8)上单调递减；

当〃〉0时，令/'(x)<0,解得x<—lna,

令/'(%)>0,解得x>—Ina,

所以/(%)在(-叫-Ina)上单调递减，在(-Ina,+8)上单调递增

31

=

(2)由(1)/Wminf(-ina)=ae+\na--=\na--

要证/(x)>2In(7-<72,即证1口。一；>21!1。一。2,即证/一;—in”>0,

令g(Q)—a?———lna(a>0),贝|g\a)—2a—————-，

2aa

令g'(o)<0,解得0<〃<交，令g'(a)〉0,解得〃>X1,

22

所以g(。)在0,三上单调递减，在、,+8上单调递增，

\7\7

所以g(a)mm=g—=|—---\n—^\n^2>Q,

\7\7-

则