2025年中考数学专项复习：特殊四边形及圆的相关证明与计算（17类重点考向）（解析版）

专题18特殊四边形及圆的相关证明与计算

目录一览

知识目标（新课程标准提炼）

中考命题趋势（分析考察方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一直角三角形斜边上的中线

A考向二平行四边形的判定与性质

A考向三矩形的判定与性质

A考向四菱形的判定与性质

A考向五正方形的判定与性质

A考向六垂径定理的应用

A考向七圆周角定理

A考向八圆内接四边形的性质

A考向九三角形的外接圆与外心

A考向十直线与圆的位置关系

A考向十一切线的判定与性质

A考向十二三角形的内切圆与内心

A考向十三正多边形和圆

A考向十四弧长的计算

A考向十五扇形面积的计算

A考向十六圆锥的计算

A考向十七圆的综合题

最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）

知识目标

1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理和

判定定理.

2.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；理解圆、弧、弦、圆心角、

圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；知道三角形的外心；

3.圆内接四边形的对角互补.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径关系，

会用三角尺过圆上一点画圆的切线；知道三角形的内心.

4.会计算圆的弧长、扇形的面积；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

H中考解密

特殊四边形考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为15分左右，预计2024年各地中考还将出现，并

且在选择、填空题中考查利用特殊四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。解答题中考查特

殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较

大。对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。

圆的性质及其证明与计算板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会

考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为5分左右。预计2024年各地中考肯定还是考查的重点在选

择、填空题中考查，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关键是掌握基础知识、基本

方法，力争拿到全分。

与切线有关的证明与计算板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会

考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为8分左右。预计2024年各地中考肯定还是考查的重点在选

择、填空题中考查，在解答题中想必还会考查切线的性质和判定，和直角三角形结合的求线段长的问题和

三角函数结合的求角度的问题等知识点综合，考查形式多样，多以动点、动图的形式给出，难度较大。关

键是掌握基础知识、基本方法，力争拿到全分。

弧长、扇形面积相关计算板块内容以考查综合题为主，也是考查重点，除了填空题和选择题外，年年都会

考查综合题，对多数考生来说也是难点，分值为5分左右。预计2024年各地中考肯定还是考查的重点在选

择、填空题中考查弧长、扇形面积，考查形式多样，难度较大。关键是掌握基础知识、基本方法，力争拿

到全分。

匕重点考向

A考向一直角三角形斜边上的中线

1.（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：an）测量某三角形部件的尺寸.如图所示，已知///=90°,

点2为边46的中点，点46对应的刻度为1、7,则（）

c

A.3.5cmB.3cmC.4.5cmD.6cm

【思路点拨】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出⑦的长.

【完整解答】解：由图可得，

NACB=90°,A5=7-l=6（cm）,点2为线段4?的中点，

CD^—AB—3cm,

2

故选：B.

【考点剖析】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解

答.

2.（2023•荆州）如图，"为m△/比斜边四上的中线，少为力C的中点.若力C=8,CD=3,贝1J龙=

3.

【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质得到熊=2==10,根据勾股定理得到宽=

22=6）

7AB-AC根据三角形中位线定理即可得到结论.

【完整解答】解：：=为口△/%斜边A?上的中线，CD=5,

二45=2。=10,

：//%=90°,〃=8,

,，,5C，=VAB2-AC2=6,

:£为然的中点,

：.AE=CE,

二座是△/回的中位线，

:.DE=LBC=3,

2

故答案为：3.

【考点剖析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握直角三角

形的性质是解题的关键.

A考向二平行四边形的判定与性质

3.（2023•贵州）如图，在中，ZC=90°,延长。至〃使得初=",过点4〃分别作/£〃孙,

DE//BA,/£与庞相交于点反下面是两位同学的对话：

小星：由题目的已知条件，若连接施，则可

证明BELCD.

小红：由题目的已知条件，若连接密则可证明但施.

（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；

（2）连接9若位）=5如，”上，求〃1的长.

AC3

【思路点拨】（1）小星：连接应'，根据平行四边的判定定理得到四边形山咙是平行四边形，根据平行

四边形的性质得到/£=劭，推出四边形/诚是平行四边形，根据矩形性质得到见LW；小红：连接应,

龙，根据平行四边形的判定和性质以及矩形的判定和性质定理即可得到论；

（2）连接设CB=2k,/C=3L根据勾股定理即可得到结论.

【完整解答】（1）证明：小星：连接BE,

•:AE〃BD,DE//BA,

・・・四边形/反应是平行四边形,

：.AE=BD9

,:BD=BC,

：.AE=BC,

AE//BC,

：.四边形/旗。是平行四边形,

VZC=90°,

・・・四边形/旗。是矩形，

・・・N诚=90°,

：.BE.LCD；

小红：连接第BE,

9：AE//BD,DE//BA,

・・・四边形/皿是平行四边形,

：.AE=BD,AB=DE,

,:BD=BC,

：.AE=BC,

U：AE//BC,

・・・四边形/旗C是平行四边形,

•・・NC=90°,

・・・四边形4旗。是矩形，

：.AB=CE,

:・DE=CE；

(2)・.,生•上，

AC3

:.设CB=2k,AC^3k,

:.CA4k,

:初+初=加

(3k)2+(W2=(572)2,

k=近,,

：.AC=3班.

【考点剖析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性

质是解题的关键.

4.(2023•扬州)如图，点反F、6、〃分别是平行四边形力8必各边的中点，连接/尸、B相交于点四连

接4G、络相交于点儿

(1)求证：四边形/欣W是平行四边形；

(2)若口/蛇V的面积为4,求口圈的面积.

【思路点拨】(1)依据四边形力尺汨是平行四边形，可得⑷/〃g依据四边形/区％是平行四边形，可

紧AN"CM,进而得出四边形/第V是平行四边形；

(2)连接/G依据三角形重心的性质，即可得到邑仰=2J皿再根据S是的中线，即可得出S

3

AJGV=—进而得到S平行四边形械y=Ls平行四边形密。,依据。/掰GV的面积为4,即可得出结论.

33

【完整解答】解:(1):•点艮F、G、〃分别是平行四边形/成/各边的中点，

：.AH//CF,AH=CF,

四边形ZR力是平行四边形，

：.AM//CN,

同理可得，四边形/£(力是平行四边形，

：.AN//CM,

.♦•四边形前例是平行四边形；

(2)如图所示，连接4G

,:H,G分别是4?,切的中点，

...点儿是的重心，

:.CN=2HN,

又•.•"是的中线,

3

又是平行四边形划⑪和平行四边形ABCD的对角线,

••S平行四边形平行㈣边形，死》，

又•••0/第V的面积为4,

【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及三角形重心性质的运用，解决问题的关键是

掌握平行四边形的判定方法以及三角形重心性质.

A考向三矩形的判定与性质

5.（2023•雅安）如图，在△/氏7中，ZC=90°,AC=BC=6,产为边48上一动点，作出，6c于点〃PE

_L/C于点E,则施的最小值为_3y[2_-

A

zf

BDC

【思路点拨】连接CP,由勾股定理求出应?的长,.再证四边形成是矩形，得DE=CP,然后由等腰直角

三角形的性质求出炉的长，即可得出结论.

【完整解答】解：如图，连接血

A

BDC

9：ZACB=90°,AC=BC=6,AB=VAC2+BC2=V62+62=6^2-

.：PDLBC,PE工AC,

：.ZPDC=ZPEC=90°,

・・・四边形。合是矩形，

：.DE=CP,

由垂线段最短可得，当C7LZ8时,线段庞的值最小，

止匕时，AP=BP,

:.CP=,AB=3M，

，施的最小值为3&,

故答案为：3版.

【考点剖析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识,

熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

6.(2023•大庆)如图，在平行四边形"中，£为线段缪的中点，连接/C,AE,延长/£,交于点尸,

连接力N46F=90°.

(1)求证：四边形/皿是矩形；

(2)若缪=13,CF=5,求四边形/8CF的面积.

【思路点拨】(1)证明△/旌△户二(44S),得AE=FE,所以四边形力是平行四边形，再根据有

一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；

(2)根据矩形的性质和勾股定理求出火的值，由△/族△人为，可得四边形28"的面积=平行四边形

ABCD-的面积，进而可以解决问题.

【完整解答】(1)证明：・・•四边形"圈是平行四边形，

：.AD//BC,

:・/ADE=/FCE,/DAE=/CFE,

,・"为线段"的中点，

：.DE=CE,

：./\ADE^/\FCE(AAS),

：.AE=FE,

・・・四边形/皿是平行四边形，

VZ^6F=90°,

・・・四边形ZC7。是矩形；

(2)解：,・•四边形2皿是矩形，

：.ZCFD=90°,AC=DF,

・.・C9=13,CF=5,

22

:.DF=VCD-CF=V132-52=12，

△ADE^XFCE,

：△口如的面积=工入4*的面积=LX』"X5X12=15,

222

平行四边形的面积=6C"C=5X12=60,

.•.四边形/松的面积=平行四边形力式》的面积-Z\Cm的面积=60-15=45.

【考点剖析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解

决本题的关键是掌握矩形的性质.

A考向四菱形的判定与性质

7.（2023•德阳）如图，口四切的面积为12,AC=BD=6,AC与即交于点、0,分别过点GD作BD,4C的

平行线相交于点尸，点G是"的中点，点户是四边形边上的动点，则展的最小值是（）

c4D.3

【思路点拨】先判定四边形。。力为菱形，找出当夕垂直于菱形畋。的一边时，户。有最小值.过。点

作，小/C于〃，过G点作少，力C与R则神〃勿，利用平行四边形的面积求解飒的长，再利用三角形

的中位线定理可求解%的长，进而可求解.

【完整解答】解：：四边形4?切为平行四边形，AC=BD,

：.OD=OC,

'：DF//AC,OD//CF,

二四边形。。刃为菱形，

:点G是缪的中点，点一是四边形。色?边上的动点，

.•.当G尸垂直于菱形况物的一边时，PG有最小值.

过，点作血L/C于M,过G点作G2L/C与P,则GP//MD,

:矩形/配9的面积为12,/C=6,

2

即2X-lx6・a/=12,

2

解得，/=2,

,:G为。的中点，

二。为△联的中位线,

：.GP=^DM=\,

2

故用的最小值为1.

【考点剖析】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用,

找准用有最小值时的一点位置是解题的关键.

8.（2022•辽宁）如图，W是△力8c的角平分线，过点。分别作/C,8c的平行线，交BC于点、E,交〃1于

点尸.若N/%=60°,切=4«,则四边形侬尸的周长是16.

【思路点拨】连接所交切于。，证明四边形㈤圻是菱形，可得3，跖NECD=L/ACB=30：OC

2

=工0）=26，在RtzXa定中，可得四=―四=4,故四边形3郎的周长是40=16.

2cos30爽

~2~

【完整解答】解：连接跖交切于。，如图：

...四边形CW是平行四边形,

:"是△/8C的角平分线，

ZFCD=AECD,

'：DE//AC,

：.AFCD^ACDE,

C.AECD^ZCDE,

:.CE=DE,

四边形6W是菱形，

：.CDLEF,/ECD=±NACB=3Q。,OC=^-CD=243>

在RtZ\C施'中，

moc2V3.

cos30

~2~

二四边形6W的周长是4B=4X4=16,

故答案为：16.

【考点剖析】本题考查是三角形角平分线及菱形性质和判定，解题的关键是掌握平行线性质，证明四边

形CEDF是菱形.

A考向五正方形的判定与性质

9.（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一

个矩形.下列推理过程正确的是（）

A.由②推出③，由③推出①B.由①推出②，由②推出③

C.由③推出①，由①推出②D.由①推出③，由③推出②

【思路点拨】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断.

【完整解答】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，

故①一②，①一③错误，

故选项8,C,。错误，

故选：A.

【考点剖析】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型.

10.（2017•玉林）如图，在等腰直角三角形/8C中，ZACB=90°,/C=6C=4,。是的中点，E,尸分

别是相勿上的点（点£不与端点4C重合），且然=国连接跖并取厮的中点。，连接2。并延长

至点G,使GO=O0,连接DE,DF,GE,GF.

（1）求证：四边形成户G是正方形；

（2）当点£在什么位置时，四边形&>6的面积最小？并求四边形友户G面积的最小值.

【思路点拨】（1）连接/根据等腰直角三角形的性质可得出4=N26F=45°、AD=CD,结合力£=CF

可证出△力。陛（S4S）,根据全等三角形的性质可得出庞=卯、ADE=

/CDF,通过角的计算可得出/砂尸=90°,再根据。为厮的中点、GAOD,即可得出修，跖，且。=

20D=EF,由此即可证出四边形四心是正方形；

（2）过点〃作施'L/C于夕，根据等腰直角三角形的性质可得出座'的长度，从而得出2W〃£<2&,

再根据正方形的面积公式即可得出四边形幽切的面积的最小值.

【完整解答】（1）证明：连接蜀，如图1所示.

•.•△力阿为等腰直角三角形，ZACB=90°,。是的中点，

：.ZA=ZDCF=45°,AD=CD.

'AE=CF

在△力龙和△肉中，，ZA=ZDCF>

AD=CD

:.△ADE^XCDF（SAS）,

：.DE=DF,/ADE=NCDF.

*：/ADE+/EDC=9Q°,

:/EDC+/CDF=/EDF=9Q°,

为等腰直角三角形.

:。为"的中点，GO=OD,

：.GDVEF,MGD=20D=EF,

...四边形及是正方形；

（2）解:过点〃作庞',47于,如图2所示.

•.•△力宛为等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC=4,

:.DE=^BC=2,/8=4&,点内为4C的中点，

\2WDEV2近（点£与点中重合时取等号）.

4<SEDFG=DS<8.

...当点£为线段/C的中点时，四边形旗防的面积最小，该最小值为4.

G

【考点剖析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形以及全等三角形的判定与性质，解题的

关键是：（1）找出口江斯且加空（2）根据正方形的面积公式找出4WS四娜飒＜8.

A考向六垂径定理的应用

11.（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱

呈圆弧形，跨度约为37m,拱高约为1m,则赵州桥主桥拱半径R约为（）

A.20nlB.28mC.35〃zD.40m

【思路点拨】设主桥拱半径此根据垂径定理得到力。=巫，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案.

2

【完整解答】解：由题意可知，AB=31m,CD=lm,

设主桥拱半径为Rm,

C.OD^OC-CM(R-7)m,

是半径，OCLAB,

:.AD=BD=LB=红(加，

22

在七49。中，AF+OF=O#,

：.(巫)2+(R-7)2=R,

2

解得不=油叵~28.

56

【考点剖析】本题主要考查垂径定理的应用，涉及勾股定理，解题的关键是用勾股定理列出关于A的方

程解决问题.

12.(2023•东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中,

不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，

切为。。的直径，弦/心LC»,垂足为£,四=1寸，肥=10寸，则直径切的长度为26寸.

【思路点拨】连接力，设。。的半径是r寸，由垂径定理得到/£=上/3=5寸，由勾股定理得到/=(r

2

-1)2+5,求出r,即可得到圆的直径长.

【完整解答】解：连接OA,

设。。的半径是r寸，

;直径CDA.AB,

.•.4£=工43=工义10=5寸，

22

'：CE=\寸，

OE=(r-1)寸，

'：0及=OhAk

.\r=(r-1)2+52,

r=13,

・・・直径切的长度为2r=26寸.

故答案为:26.

【考点剖析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接力构造直角三角形，应用垂径定

理，勾股定理列出关于圆半径的方程.

A考向七圆周角定理

13.（2023•云南）如图，助是。。的直径，。是。。上一点.若NBOC=66°,贝1]//=（）

【思路点拨】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角

的一半.

【完整解答】解：：/4=工/3%,/BOC=66°,

2

：.ZA=32）°.

故选：B.

【考点剖析】本题考查了圆周角定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

都等于这条弧所对的圆心角的一半.定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要

忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

14.（2023•深圳）如图，在。。中，46为直径，C为圆上一点，/的C的角平分线与。。交于点。，若/ADC

【思路点拨】先根据直径所对的圆周角是直角可得//络=90°,再利用圆周角定理可得

=20°,然后利用直角三角形的两个锐角互余可得/历10=70°,从而利用角平分线的定义进行计算，即

可解答.

【完整解答】解：•••/方为。。的直径,

■:NADC=20°,

:.NADC=/ABC=2Q°,

：.ZBAC=9Q°-ZABC=70°,

:力小平分/胡C,

：.ZBAD=1-ZBAC=35O,

2

故答案为：35.

【考点剖析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

A考向八圆内接四边形的性质

15.（2023•西藏）如图，四边形48切内接于。。，£为8c延长线上一点.若/DCE=65°,则N&M的度

数是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【思路点拨】根据邻补角互补求出N2O的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出/"”的度数，最后

根据圆周角定理即可求出勿的度数.

【完整解答】解：•••/2。=65°,

：.4DCB=\8G-NDCE=\8Q°-65°=115°,

•.•四边形4%入内接于。。，

:./BAm/DCB=\80°,

；./BAD=65°,

：.4BOD=24BAD=2X65°=130°,

故选：C.

【考点剖析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键.

16.（2023•淮安）如图，四边形48切是。。的内接四边形，6c是。。的直径，BC=2CD,贝！|

/曲〃的度数是120°.

D

A

【思路点拨】连接勿，根据等边三角形的性质得到NC=60°,再根据圆内接四边形的性质计算，得到

答案.

【完整解答】解：如图，连接办，

是。。的直径，BC=2CD,

0C=0D=CD,

.•.△。切为等边三角形，

.•.ZC=60°,

•.•四边形/腼是。。的内接四边形，

掰0NC=180°,

：.ZBAD^120°,

故答案为：120.

【考点剖析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的对角

互补是解题的关键.

A考向九三角形的外接圆与外心

17.（2023•自贡）如图，△/1加内接于。。，缪是。。的直径，连接初，ZDCA^41°,则N4%的度数是

A

A.41°B.45°C.49°D.59°

【思路点拨】由直径所对的圆周角是直角可得N〃8C=90°,由同弧所对的圆周角相等可得

进而可计算NZ8C

【完整解答】解：,・・缪是。。的直径，

:・/DBC=9G°,

u：ZDBA=ZDCA=41°,

：.ZABC=90°-ZDBA=49°,

故选：c.

【考点剖析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是熟

练掌握相关知识点，难度不大.

18.（2023•湖北）如图，在3X3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称

为格点图形，图中的圆弧为格点△/回外接圆的一部分，小正方形边长为1,图中阴影部分的面积为（）

C

A.—n--LB.—n--C.-n-工D.—n--

24224442

【思路点拨】作然的垂直平分线就作成的垂直平分线尸0,设腑与网相交于点。，连接物，OB,OC,

则点。是△/回外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得N/0C=9O°,

然后根据图中阴影部分的面积=扇形4%的面积-△力%的面积-△力比'的面积，进行计算即可解答.

【完整解答】解：如图：作群的垂直平分线恻作6c的垂直平分线网，设磔与园相交于

点。，连接力，OB,OC,则点。是△/比'外接圆的圆心，

由题意得：042=12+22=5,

^=12+22=5,

^=12+32=10,

：.0^06=AC,

.•.△/0C是直角三角形,

...NZOC=90°,

:AgOX或,

二图中阴影部分的面积=扇形4%的面积-的面积-△力8c的面积

—90兀乂巫）2

LA・OC-1.AB-1

36022

=旦1-AxVsxV5--X2X1

422

5兀51

42

_5兀-7--,

42

故选：D.

【考点剖析】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添

加适当的辅助线是解题的关键.

A考向十直线与圆的位置关系

19.（2023•宿迁）在同一平面内，己知。。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,点户为圆上的一个动

点，则点尸到直线1的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【思路点拨】根据圆心到直线/的距离为3,而圆的半径为2,此时直线与圆相离，当点尸在上运动

时，当点尸在夕。的延长线与。。的交点时，点夕到直线）的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可.

【完整解答】解：如图，由题意得，OA=2,OB=3,

当点尸在8。的延长线与。。的交点时，点尸到直线1的距离最大，

此时，点P到直线1的最大距离是3+2=5,

故选：B.

【考点剖析】本题考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置与圆心到直线的距离之间的关系是解

决问题的关键.

20.（2023•镇江）已知一次函数y=Ax+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点。为圆心，r为半径

作。“若对于符合条件的任意实数A,一次函数y=4x+2的图象与。。总有两个公共点，则r的最小值

为2.

【思路点拨】在y="x+2中，令x=0,贝！Jy=2,于是得到一次函数y=Kx+2的图象与y轴交于（0,2）,

求得一次函数过定点（0,2）,当。。过（0,2）时，两者至少有一个交点，根据一次函数经过一、二、

四象限，得到直线与圆必有两个交点，而当。。半径小于2时，圆与直线存在相离可能，于是得到结论.

【完整解答】解：在尸Ax+2中，令x=0,贝！］尸2,

，一次函数尸比叶2的图象与y轴交于（0,2）,

...一次函数过定点（0,2）,

当。。过（0,2）时，两者至少有一个交点，

•.•一次函数经过一、二、四象限，

二直线与圆必有两个交点，

而当。。半径小于2时，圆与直线存在相离可能，

半径至少为2,

故r的最小值为2,

故答案为：2.

【考点剖析】本题考查了直线与圆的位置关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握直线与圆的位

置关系是解题的关键.

A考向十一切线的判定与性质

21.（2023•郴州）如图，在。。中，48是直径，点C是圆上一点.在48的延长线上取一点〃连接力，

使/比

（1）求证：直线是。。的切线；

（2）若//0=120。，CD=2M，求图中阴影部分的面积（结果用含口的式子表示）.

【思路点拨】（1）连接0G由A?是直径，可得/力⑶=/OQ+NO⑵=90°,再证/。。1=//=/颇,

廊有NBC决NOCB=NOCD=90°,即可证明.

（2）由圆周角定理求得N4%=2//=60°,在Rt/XOCT?中，解直角三角形得0C=2,然后利用三角形

的面积公式和扇形的面积公式即可解答.

【完整解答】（1）证明：连接0C,

是直径，

ZACB^ZOCA+ZOCB^90°,

0A=OC,ZBCD=ZA,

：.ZOCA=ZA=ZBCD,

：.ABCIhZOCB=ZOCD=90°,

0C±CD,

:%是。。的半径，

直线。是。。的切线.

(2)解：\'ZACD^12.0°,ZACB^9Q°,

：.ZA=ZBCD^Z12Q°-90°=30°,

：.ZBOC=2.ZA=GOa,

在Rt△况》中，tan/=@=tan60°,切=2«,

oc

，汉2=，§，解得宓=2,

OCv

2

・•・阴影部分的面积=-S扇形欧=~X2V3X2-1%2_=2畲-^―

23603

【考点剖析】本题主要考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式及解直角三角形，熟练掌握性质

是解题关键.

22.(2023•巴中)如图，已知等腰相=M,以四为直径作。。交回于点2,过。作"UaC于点反

交的延长线于点足

(1)求证："'是。。的切线.

(2)若CE=a，CD=2,求图中阴影部分的面积(结果用m表示).

【思路点拨】(1)连接勿，根据等腰三角形的性质证明/勿勿，进而可以得到结论；

(2)连接根据勾股定理求出所1,根据锐角三角函数可得//勿=60°,然后证明如是的

中位线，求出根据阴影部分的面积=四边形/眦的面积-扇形/切的面积，代入值即可.

3

【完整解答】(1)证明：如图，连接如，

;AB=AC,

：.2B=ZC,

"：OB=OD,

:./B=/ODB,

：.AODB=AC,

J.AC//OD,

*：DFLAC,

：.ODVDF,

:①是。。的半径，

.•.加'是。。的切线；

(2)解:如图，连接必

设。。的半径为r,

在Rt△物中，CE=M，CD=2,

二励=切-第=4-3=1,

../「CE5/3

.cosZC=-^-=-^-

CD2

：.ZC=30°,

-30°,

:.NA0D=6Q°,

'：AC//0D,。为48的中点,

二勿是的中位线，

是8c中点，

：.CD=BD=2,

是。。的直径，

：.ZADB=90°,

.\AD=—AB=r,

2

/.BD=JjAD=如==2,

.-2V3

••1r--------,

3

:.AB=2r=£2,

3

：.AE=AC-CE=AB-料=生巨-料=近,

33

阴影部分的面积=四边形/①£的面积-扇形/切的面积

=工XI-」。.nX2

2333603

_V32兀

--------.

【考点剖析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，圆周角定理，扇

形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.

A考向十二三角形的内切圆与内心

23.（2023•广州）如图，的内切圆。/与比；CA,48分别相切于点〃E,F,若。/的半径为r,Z

A=a,则（BRCE-BC）的值和/刘放的大小分别为（）

A.2r,90°-aB.0,90°-aC.2r,gQ°——D.0,gQ0——

【思路点拨】如图，连接小IE.利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可.

【完整解答】解：如图，连接明IE.

的内切圆。/与8C,CA,46分别相切于点。，E,F,

：.BF=BD,CD=CE,IFLAB,IEVAC,

C.BFvCE-BC=B1ACD-BC=BC-BC=0,ZAFI=ZAFI=9Qa,

：.ZEIF=180°-a,

：.ZEDF=—ZEIF=90°-Aa.

22

故选：D.

【考点剖析】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切

线的性质，属于中考常考题型.

24.（2023•攀枝花）已知△力8c的周长为其内切圆的面积为口步,则△力8c的面积为（）

A.—rlB.—urlC.rlD.nrl

22

【思路点拨】由题意可得见.=工/8XS^Boc=—BCKr,SAAOC=—ACXr,由面积关系可求

2222

解.

【完整解答】解：如图，设内切圆。与△/比■相切于点〃点£，点凡连接的，OB,OC,OE,OF,OD,

：力6切。。于£,

OELAB,OE=r,

/.SZOB=~ABX0E=Lexr,

22

同理：$4眦=—BCXr,

2

S^AOC=-CXr，

2

S—^03+5^gcc.+5^J0r=—AB'Xr^—BCX.r^—ACXr——(AB+BC+AC)Xr,

2222

•.*1=AB+BC+AC,

2

故选：A.

【考点剖析】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键.

A考向十三正多边形和圆

25.（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内

接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆

周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率”的近似值为3.1416.如

图，的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。。的面积，可得”的估计值为

司巨，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得"的估计值为（）

【思路点拨】过力作/以貂于四求得/亚历=360°+12=30°,根据直角三角形的性质得

到闻仁工3=工，根据三角形的面积公式得到见鹿=!，于是得到正十二边形的面积为12义工=3,根

2244

据圆的面积公式即可得到结论.

【完整解答】解：如图，是正十二边形的一条边，点。是正十二边形的中心，

过/作4加_仍于〃，

在正十二边形中，//勿=360°4-12=30°,

22

S^OB=y-OB-AM=^~x1x4-=—>

2224

正十二边形的面积为12X1-=3,

4

.\3=12Xn,

Ji=3,

n的近似值为3,

【考点剖析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键.

26.（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置.要

完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是10.

【思路点拨】先求出多边形的每一个内角为108。，可得到/。=36°,即可求解.

【完整解答】解：•••多边形是正五边形，

正五边形的每一个内角为：1x180°X（5-2）=108°,

5

.•.Z（9=180°-（180°-108°）X2=36°,

...正五边形的个数是360。+36°=10.

故答案为：10.

【考点剖析】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键.

A考向十四弧长的计算

27.（2023•青岛）如图，四边形/灰/是0。的内接四边形，/8=58°,ZACD=40°.若0。的半径为5,

则DC的长为（）

A

【思路点拨】根据圆周角的性质，计算出弧加所对的圆心角度数，按照公式求出弧长即可.

【完整解答】解：连接物、OD、0C,

,・・N20C=2N8=n6°，ZAOD=2ZACD=80°,

：.ZD0C=3G°，

・京殁〜

故选：C.

【考点剖析】本题考查了弧长的计算和圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半.

28.（2023•阜新）如图，四边形如因是正方形，曲线CGGaG…叫作“正方形的渐开线”，其中已总，

c2c3'c3c4,C4C5'…的圆心依次按昆a循环’当如=1时，点般的坐标是（）

A.(-1,-2022)B.(-2023,1)

C.(-1,-2023)D.(2022,0)

【思路点拨】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出乙您在第三象限，与%G，凡，…符合同一规

律，探究出第c7,第，...的规律即可.

【完整解答】解：由图得G(0,1),G(1,0),&(-1,-2),a(-4,1),Q(0,5),Q(5,

0),G(-1,-6),•

点C的位置每4个一循环,

2023=505X4+3,

，0必在第三象限，与a，a，a”…

符合规律（-1,-72+1）,

...&23坐标为(-1，-2022).

故选：A.

【考点剖析】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键.

A考向十五扇形面积的计算

29.（2023•连云港）如图，矩形///内接于分别以48、BC、CD、加为直径向外作半圆.若四=4,

BC=5,则阴影部分的面积是（）

B

B.Win-20

A.n-20C.20JiD.20

42

【思路点拨】根据矩形的性质可求出切，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分=S以4〃为直径的

圆+s以瑟为直8的圆+$矩形wo-s以如为直桂的1a进行计算即可.

【完整解答】解：如图，连接被则切过点。,

在此△/劭中，45=4,BC=5,

.•.碗=/〃+/^=41,

S阴影部分=S以9为直径的圆+S以四为直径的圆+S矩形ABCD一S以即为直径的圆

=nX（A）2+JIX&）2+4X5-JIX（股）2

222

=417£+20.41JL

44

=20,

故选：D.

【考点剖析】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇

形面积的计算方法是正确解答的前提.

30.（2023•娄底）如图，正六边形/方CW的外接圆。。的半径为2,过圆心。的两条直线4、力的夹角为

60。，则图中的阴影部分的面积为（）

C.—"-V3

323。•”与

【思路点拨】连接力。OC,由。。是正六边形的外接圆可求得/抽=60°,是等边三角形，根据

扇形面积公式可求S四皿根据三角形面积公式可求必侬，利用三角形全等将两块阴影部分拼接，转化

为弓形,根据S网影=S扇形COD-SACOO即可求解.

【完整解答】解:如图，连接4AOC,

是正六边形的外接圆，

.•.4?必过点0,/侬=婚----=60°,

6

又'：OC=OD,

是等边三角形，OC=OD=CD=2,

:直线4、、的夹角为60°,

：.ACOD-AKOD=AKOH-ZKOD,

於/C0K=/D0H,

又Y/D0H=2A0G,

：./COK=/AOG,

；/OCK=NOAG=6Q°,OC=OA,

QV，

**•△OCK=i\OAG(ASA)fS扇形加=S扇形力

••S扇形a财-S&QCK-S扇形/加一SAOAG，

,•S阴影——S扇形C0D~SACOD，

..._6QXnX22_2

'3607

5kOT=yX2X-73=V3)

；•S网影=曰n-VS-

o

故选：c.

【考点剖析】本题主要考查了正多边形和圆，三角形面积和扇形面积计算，明确s腕=5觥陋-幺,3是解

决问题的关键.

A考向十