2025年中考数学一轮复习：特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（练习）（解析版）

考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精练）

限时检测1:最新各地模拟试题（50分钟）

1.（2024•陕西西安•校考模拟预测）如图，在j1BC中，ZACB=90°,ZA=22.5°,CD,钻于点。，点

E为A8的中点，连接CE,若C£>=n，则AB的长为（）

A.2百B.8C.4^/3D.3娓

【答案】C

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角，根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE=^AB,由等边对等角得出

ZACE=ZA=22.5°,从而得出NCED=NACE+NA=45。，进而一CDE是等腰直角三角形，由勾股定理得

出CE=2币,即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：•在ABC中，ZACB=90。，点E为A3的中点，.,.CE=AE=BE=；AB,

NA=22.5。，ZACE=ZA=22.5°,.•.NCED=NACE+NA=45。，

CDLAB,.工CDE是等腰直角三角形，；.8=£>石=",

:.CE={CD。+DE?=26，:.AB=2CE=46，故选：C.

2.（2023•河北邢台・校考一模）如图，根据尺规作图痕迹，下列说法不正确的是（）

A.由弧②可以判断出上4=尸3B.弧③和弧④所在圆的半径相等

C.由弧①可以判断出=D.一ABP的内心和外心都在射线PQ上

【答案】C

【分析】利用基本作图可对A选项和B选项进行判断；利用基本作图可得到尸。平分/AP3,从而可对C

选项进行判断；根据三角形的内心和外心的定义可对D选项进行判断.

【详解】解：A.由弧②可得F4=PB,故A选项正确，不符合题意；B.由弧③和弧④可得到

AQ=BQ,即弧③和弧④所在圆的半径相等，故B选项正确，不符合题意；C.由弧③④可判断尸。为

NAPB的平分线，而由弧①不可以判断出=故C选项正确，符合题意；

D.EIP。平分/APB,叫45尸的内心在射线P2上，

回尸。垂直平分A3,回一/叱的外心在射线PQ上，故D选项正确，不符合题意.故选：C.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线

的性质、三角形的内心与外心.

3.（2023•山东德州・统考一模）如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，08是旋转臂，已知

OA=OB=a,使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆.若支撑臂与旋转臂的夹角

/AOB=26,则圆规能画出的圆的半径AB长度为（）

A.2asin，B.asin2，C.2otandD.otan26

【答案】A

【分析】先作OC,AB交AB于点C,然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出AB.

【详解】解：作OCLAB交A3于点C,

B

OA=OB,二OC平分/AOB,点C是A3的中点，ZAOB=2®,:.ZAOC^0,

OA-OB=a,AC=as,mO,AB=2AC=2asin0,故选：A.

【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

4.（2023•河北邯郸•统考一模）已知等腰三角形纸片ABC,AB^AC,ABAC^36°.现要将其剪成三张小

纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）.两名同学提供了如下方案：

方案回方案回

如图1,①分别作AB,AC的垂直平分如图2,①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于

线，交于点P;点。，交AB于点E；

②选择9，PB,PC.②连接DE,BD.

AAA

A

BL---

图1图2:

对于方案回、回，说法正确的是（）.

A.回可行、团不可行B.团不可行、回可行C.回、国都可行D.回、团都不可行

【答案】C

【分析】根据线段垂直平分线的性质得出结论，根据等腰三角形的性质得出/ABC,ZACB,进而得出

NDBC,即可判断3皮9和ABDE的特征，然后根据等腰三角形的判定说明即可得到答案.

【详解】解：回点尸在线段A3的垂直平分线上，

^PA=PB（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），

同理，得。A=PC,^\PA=PB=PC,0.PAB,PBC,PAC都是等腰三角形.连接BD,DE,

,EZABC=ZACB=|x(180°-36°)=72°.

I3BD=BC,SZBDC=ZBCD,0ZDBC=18O°-72°x2=36°,

0QC是顶角为36。的等腰三角形.

0ZDBE=ZABC-ZDBC=36°,0BD=BE,回二跳见是顶角为36。的等腰三角形.

13ABED-ZBDE=1x（180°-36°）=72°,0ZAED=180°-ABED=108°,

0ZADE=180°-ZAED-ZA=36°,SZADE=ZA,^AE=DE,

团△AED是顶角为108。的等腰三角形，故选C.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理

等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.

5.（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，一钻C是等边三角形，尸是—ABC的平分线3。上一点，

PE_LAfi于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点/，垂足为点。.若班'=2,则PE的长为（）

A.2B.2A/3C.73D.3

【答案】C

【分析】先求出NEBP=N2/=30°,再求出BQ=BQcos30o=百，根据30。所对的直角边等于斜边的

一半，求出尸E的长.

【详解】解：回..ABC是等边三角形，尸是/ABC的平分线3。上一点，SZEBP=ZQBF=30°,

0BF=2,QF为线段3P的垂直平分线，回/尸。8=90。，

SBQ=BF-cos30°=2x^-=y/3,团BP=2BQ=2xg=2石，

在Rt3EP中，/EBP=30°,SlPE=-BP=y/3.故选：C.

2

【点睛】本题考查等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角函数，30。所对的直角边等于斜边的

一半的知识，解题的关键是熟练利用相应的定理进行推理.

6.（2023•广东揭阳•统考一模）如图，在ABC中，ZACB=90°,ZABC=60°,3。平分/ABC,尸点是

的中点，若CP=4,则AD的长为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】由题意推出=在RtcBCD中，PC=^BD,即可求出3。的长，进而可求出AD的长.

2

【详解】解：0ZACB=90°,ZABC=6O°,0ZA=3O°,

回3。平分/ABC,EZCBD=ZDBA=30°,SZDBA^ZA,^\AD=BD,

团尸点是8。的中点，0PC=|sD,EBD=2CP=8,EAD=8.故选：B.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识，

熟练掌握相关知识是解题关键.

7.（2023•广东深圳•校考模拟预测）如图，等腰直角ABC与等腰直角CDE,ZACB=ZDCE=90°,

AC=BC=10,DC=CE=42,连接AD、BE.若NACD=60。，M为AD中点，CM交BE于点、N,则AW

的长为（）

A.56B.49-15^C.60-5gD.35+5^

【答案】B

【分析】延长CM至G,使GM=Q0,连接AG,过E作交BC的延长线于点H,证

△AMG之△OMC(SAS),得AG=DC,NG=NDCM,再证ABCE之4G(SAS),得NCBE=ZACG,

BE=CG=2CM,然后由含30。角的直角三角形的性质得C〃=；CE=21,则EH=216，

BH=BC+CH=91,进而求出CM=；CG=49,再利用KBCE=即可解决问题.

【详解】解：延长CM至G,使GM=CM,连接AG,过E作EHJ.BC,交BC的延长线于点77,如图

所示：M为AD的中点，:.AM=DM,

AM=DM

在；AMG和DMC中，,ZAMG=ZDMC,.-.AAMG^ADMC(SAS),

GM=CM

:.AG=DC,NG=NDCM,:.AG//DC,..NC4G+NACO=180。，

ZACD=60°,ZCAG=120°,DC=CE=42,AG=CE=42,

QZACB=ZDCE=90°,:./BCD=ZACE=90°-ZACD=30°,

NBCE=ZACB+ZACE=90°+30°=120。，:.ZCAG=NBCE,

BC=CA

在,BCE和.CAG中，<NBCE=ZCAG，:△BCE04CAG(SAS),

CE=AG

:.ZCBE=ZACG,BE=CG=2CM,

ZACB=90°,ZACH=90°,ZECH=90°-ZACE=60°,

QEH'BC,:.NEHC=90。,在RtZXCHE中，ZHEC=90°-ZECH=30°,CE=42,

2222

:.CH=；CE=21,...EH=yjCE-CH=742-21=21>/3>BH=BC+CH=10+21=91,

BE=yjBH2+EH2=7912+(21A/3)2=98>:.CG=98,:.CM=^CG=49,

./CM+NACG=/ACB=90。，ZBCM+ZCBE=90°,:"BNC=900,

CN±BE,：.S&BCE=gBE.CN=gBC•EH,

：.CN=BC，EHJQx216=L,MN=CM-CN=49-15^,故选：B.

BE98

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质、

勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明三角

形全等是解题的关键.

8.（2023•河北沧州•模拟预测）如图，ZA=30°,AB=6,点E,尸在线段A3上，且满足

AE=EF=FB=2,点尸在射线AC上，且尸E+PF=5,则满足上述条件的点尸有（）

【答案】B

【分析】分为两种情况：①当尸在线段AC上时，②当P在BC上时，分别求出尸E或尸尸的值，再根据

AE=EF=3b=2判断即可.

【详解】解：分为两种情况：①当P在线段AC上时，作E关于AC的对称点E,连接交AC于点

O,则AC_L£E',

连接E'尸交AC于P,过E'作于

EIE,E'关于AC对称，@PE=PE',B\PE+PF=PE'+PF,

团两点之间，线段最短，国尸E+P尸的最小值为线段E&的长度，

0AB=2,ZA=30°,DEYAC,SDE=1,ZAED=60°,0EE=DE+DE1=2DE=2,

^E'H±AB,回HE=1,HE'=6,回环=2,HF=HE+EF=1+2=3,

^E'F=yjE'H-+HF1=«同+3?=273<5,

当P在点4处时，PE+PF=AE+AF=AE+AE+EF=2+2+2=6>5,

当尸在点C处时，连接AE,CF,过C作坊，居于

I3NC=9O°,ZA=30°,AB=AE+EF+FB=6,EIBC=3,AC=3A/3,

39

^\CM±AB,0ZAMC=9O°,SCM=-y/3,AM=-,

22

io5

^\FM=AM-AF=AM-（AE+EF）=-,EM=AM-AE=--2=-,

3]_________

在RtA€7WF中，CM=a®MF=-,ZCMF=90°,团CF=[CM?+MF2=々，

oc_________

在RtACEM中，CM=-EM=-,ACME=90°,0CE=yJCM2+EM2=>/13>

当尸在C处时，PE+PF=CE+CF=4l3+/l>5,团当尸在AC边上时，存在两个点尸使PE+PE=5,

②当尸在BC边上时，作F关于BC的对称点尸，连接尸尸，交3c于点G,则3CLET,过尸作

F'N±AB,交A3的延长线于点N,连接b'E,交BC于P,连接尸尸，如图：

画7与F关于BC对称，0PF=PF，^PE+PF=PE+PF',回PE+P尸的最小值为线段E'R的长度.

B1ZC=90°,ZA=30°,0^5=60°,又回FF'上BC,0ZGFB=30°,

回3户=2,0FG=V3,SlFF'=FG+GF'=2FG=2y/3,

y,^FN±AB,RFN=6,FN=3,又回EF=2,SEN=EF+FN=2+3=5,

0EF'=yjEN2+F'N2=2A/7>5>团当尸在BC边上时，不存在PE+PVuS，

综上所述，点尸在直角边上，且满足PE+P/=5,则这样的尸点个数有两个.故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理、含30。的直角三角形的性质及轴对称等知识点，数形结合、分类讨论及熟

练掌握相关性质及定理是解题的关键.

9.（2023•浙江温州•统考二模）在A5C中，比较A3与AC的大小关系时，小明同学用圆规设计了如图的

方案，以点A为圆心，AB为半径作圆弧，分别交BC,AC于点D,E,若NA=90。，ZC=30°,

BD=6,则CB的长为.

A

【答案】6若-6/-6+

【分析】连接A。，根据题意可得：AB=AD=AE,先利用直角三角形的两个锐角互余求出/3=60。，从

而可得△A3。是等边三角形，进而可得AB=3£>=6,然后在Rt/VlBC中，利用含30度角的直角三角形

的性质求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：连接AD,

由题意得：AB=AD=AE,ZBAC=90°,ZC=30°,ZB=90°-ZC=60°,

ABD是等边三角形，AB=BD-6,AC—y/3AB-6A/3>

:.CE=AC-AE=6K-6,故答案为：643-6.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定，根据题目的已知条件并结

合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

10.（2023•四川成都•统考模拟预测）如图，在，ABC中，ZA=32°,分别以点A、C为圆心，大于!AC长

为半径画弧，两弧分别相交于点M、N,直线MN与AC相交于点E,过点C作垂足为点，

CD与8E相交于点F,若BD=CE,则/3FC的度数为.

【分析】由作图可知，MN是AC的垂直平分线，则E为AC的中点，如图，连接。E,则

DE=AE=CE,DE=BD,ZEDA=ZA=32°,ZDBE=ZDEB,由NEDA=NDBE+NDEB=2NDBE,

可得/DBE=16。,根据N3FC=ND3E+NCD3,计算求解即可.

【详解】解：由作图可知，MN是AC的垂直平分线，回E为AC的中点，如图，连接£>£,

团DE=BD,ZEDA=ZA=32°,ZDBE=ZDEB,

0ZEDA=ZDBE+ADEB=2NDBE,0NDBE=16°,

0ZBFC=ZDBE+ZCDB=106°,故答案为：106。.

【点睛】本题考查了作垂线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形外角的性质等

知识.熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键.

11.（2023•湖南•统考二模）如图，已知NS4C=60。，AD是角平分线且AD=20,作AD的垂直平分线交

AC于点孔作DE/AC,则山即的周长为.

【答案】10+104

【分析】根据含30。角的直角三角形的性质求出OE、根据勾股定理求出AE,根据线段垂直平分线的性

质、三角形的周长公式计算，得到答案.

【详解】解：0Za4C=6O°,AD是角平分线，BZDAE=30°,

在Rt_DAE中，AD=20,ZDAE=30°,SDE=^AD=10,

由勾股定理得：AE=y/AD2-DE2=10^-回位）的垂直平分线交AC于点凡0K4=FD,

回勿跖的垂直=DE+跖+尸。=。石+石/+^4=。石+4石=1。+106，故答案为：10+10^.

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上

的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

12.（2023•河北沧州•统考模拟预测）如图，点。为ABC的外心，过点。分别作42、AC的垂线乙、4,

交2C于。、E两点.（1）若/ZME=50°,则—54C的度数为；

（2）过点。作OPJL3C于点EBF=5cm,则VADE的周长为

【答案】115010cm

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得=ZCAE=ZACB,从而有NADE=2NABC,

ZAED=2ZACB,由三角形内角和定理NADE+NAED=130°,从而由/9。=/瓦比＞+/。场+/八4后可

求得结果；

（2）连接。kOB、OC,由已知可得点。在线段3C的垂直平分线上，则可得BC=10cm；再利用线段垂

直平分线的性质得=EA=EC,最后可求得周长的值.

【详解】（1）团点。为ABC中的外心，4-LAC,回乙、右是AB、AC的垂直平分线,

SAD=BD,EA=EC,SZBAD=ZABC,ZCAE=ZACB,

QZADE=ZBAD+ZABC=2ZABC,ZAED=ZCAE+ZACB=2ZACB,

0ZDAE+ZADE+ZAED=180°,回ZADE+ZAED=180°-50°=130°,

0/BAD+ZCAE=1(ZADE+ZAED)=65°,

0ABAC=ABAD+ZCAE+ZDAE=65°+50°=115°;故答案为：115。；

(2)连接。4、OB、OC,则是AB边的垂直平分线，4是AC边的垂直平分线，

回。4=03,OA^OC,SOB^OC,回点O在线段3C的垂直平分线上，

0OF1BC,0BC=2BF=lOcm,SAD=BD,EA=EC,

I3VADE的周长MAD+AE+DEuBD+DE+ECuBCulOcm.故答案为：10cm.

A

【点睛】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段

垂直平分线的性质与判定是关键.

13.（2023•山东•校考模拟预测）如图，点。是RtaABC的斜边3c的中点，点E、F分别在边A3、AC

上，且BE=BD=CF,连接DE、DF,若DE=I叵，DF=10,则线段BE的长为

【答案】13

【分析】延长阳至点尸，使得DP=DF,连接5尸，EP,过点E作于点Q,可证

一BDW_CDF〈SAS）,从而可得3尸=5,/PBD=/C,可证△EBP为等腰直角三角形，可得

EP=y/2BE,可证/PDE=135。，可求EQ=OQ=7,由="E。?+尸。？即可求解.

【详解】解：如图，延长F£＞至点P,使得DP=DF,连接吩，EP,过点E作于点Q,

BDP^.CDF(SAS),:.BP=CF,NPBD=NC,

ZA=90°,:.ZABC+ZC=90°,ZPBD+ZABC=90°,即ZABP=90°,

BE=CF,:.BE=BP,:..EBP为等腰直角三角形，；.EP=^BE，

BE=BD=CF,。是BC的中点，BE=BD=CF=CD,

.­.ZCDF=1(180°-ZC)=90。-：",ZBDE=90°-^ZABC,

11

:.ZCDF+ZBDE=180°--(ZABC+ZC)=180°--x90°=135°,

ZBDE+ZBDP=135°,:.NPDE=135°,..NE。。=45°,ED=y/2DQ,

ED=142>..EQ=DQ=7,PQ=DP+DQ=11,

EP=jEQ?+尸炉=q+172=130,;.尬BE=13®，：•BE=13.故答案为町3.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方

法及性质，并能根据题意t添加恰当的辅助线是解题的关键.

14.（2023•广东江门•统考三模）如图，在等边三角形ABC中，AB=6,点。为AC的中点，点尸在A3

上，且3尸=百，将3尸绕点8在平面内旋转，点尸的对应点为点Q,连接A。，DQ.当乙位>。=90。且点

。在「.ABC内部时，AQ的长为.

【答案】V21

【分析】连接3D,根据等边三角形的性质，得出AD=CD=3,根据勾股定理求出

BD=3有,由旋转的性质可知==出，推出。点一定在线段3。上，利用勾股定理即可求得A。的

长.

【详解】解：如图，连接班>,在为等边三角形，.5。=比=钻=6,

点。为AB的中点，..Ar>=Cr>=LAC=3,BDLAC,:.ZADB=90°,

2

•••BD=VAB2-A£>2=V62-32=3^-由旋转的性质可知，BQ=BP=6，

NAD3=90。，.,.当44。。=90。时，点。一定在直线8。上；

当点。在11ABe内部时，如图所示，DQ=BD-BQ=36-«=2拒,

在Rt/VLDQ中，AQ=+DQ°=小，+（2后=回；故答案为：后.

【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关

键.

15.（2023•山东淄博・统考一模）如图，在ABC中，ZACB=90°,/A=30。，A3的垂直平分线分别交AB

和AC于点。，E.（1）求证：AE=2CE；（2）连接8,请判断ABCD的形状，并说明理由.

【答案】⑴见解析⑵△3CD是等边三角形，理由见解析

【分析】（1）连接BE,由垂直平分线的性质可求得N£BC=NABE=44=30。，在Rt_BCE中，由直角三

角形的性质可证得AE=2CE即可证明结论；掌握垂直平分线和直角三角形的性质是解答本题的关键；

（2）由直角三角形的性质可得8=应）,且NABC=60。，可证明△BCD为等边三角形.掌握直角三角形

的性质和等边三角形的判定是解答本题的关键.

【详解】（1）证明：连接防，

团£>£是的垂直平分线，S\AE=BE,回NAfiE=NA=30。，

0ZCBE=ZABC-ZABE=30°,在Rt3CE中，BE=2CE,SAE=2CE-,

（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：如图：连接CO.

回£>£是AB的垂直平分线，回。为A8中点，

0ZACB=90°,SCD=BD,EZABC=60°,IBzXBCD是等边三角形.

16.（2023•北京海淀•校考模拟预测）已知ZMON=45。，点A为射线。暇上的定点，点8为射线上的动

点（不与A,。重合），作线段A3的垂直平分线，分别交。拉，ON于C,D,连接AD,BD,过点A作

8。的垂线，垂足为E,AE交直线0。于点

⑴如图1,当点8在。4的延长线上时，依题意补全图形，并证明：AF=BD;

⑵当点8在射线O河上运动时，用等式表示线段OO,和O9的关系，并证明.

图1备用图

【答案】(1)画图见解析，证明见解析(2)OD+OF=yfiOB或0D-OF=®OB

【分析】(1)先逐步根据提示画图，再证明4。=即，设NAT)C=NBr)C=x,证明

ZAFD=ZADF=45°-x,可得AF=AD,从而可得答案；

(2)如图，过/作Fff_LAB于H,证明在"=O〃，OF=^2OH，-均ZMC(AAS),可得

AH=CD,FH=AC,OH=AC=BC,证明CD=CO,OD=V2OC»可得CO=AH,从而可得结论,

同理可得当点8在线段上时的结论.

【详解】(1)解：如图，补全图形如下：

SCD1AB,AC=BC,^DA^DB,ZACD=ZBCD=90,ZADC=ZBDC=x,

BCD1OB,ZMON=45。,0ZCDO=ZMON=45°,0ZADO=45°-x,ZFDE=450+x,

0FE1DE,0ZFED=9O°,Z.EFD=90°-（45°+x）=45°-x,

SZAFD=ZADF=45°-x,^\AF=AD,1^DA=DB,SAF^BD.

（2）如图，当点B在。4的延长线上时，过歹作FHLAB于H,

0CD1A5,ZADC=x,ZAHF=900=ZACD,ZCAD=90°-x,

0Z.FOH=ZMON=45°,0Z.OFH=45°=ZFOH,

EIZAFH=ZAFD+NOFH=90°-x,FH=OH,OF=y/2OH，BZDAC=ZAFH,

0AF-AB-0.AFH^tZMC(AAS),SAH=CD,FH=AC,^\OH=AC=BC,

0ZCDO=AMON=45°,0CD=C(9,0D=-Ji0C，回CO=AH,

QOD+OF=V2OC+V2OH=®(OC+BC)=叵OB.

当点B在线段Q4上时，如图，过F作FHLAB于H,

同理可得：OD-OF=>j2OC-y/2OH=A/2(OC-BC)=y/2OB.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，全

等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的根据题意画出图形，作出辅助线是解本题的关键.

17.(2022•福建泉州,校考模拟预测)如图，在.ABC与54。中，ZC=Z£>=90°,AC与3。相交于点

E,BC=4).(1)求证：CE=DE；(2)连接CO,设线段AB的中点分别为M,线段CO的中点分别为N,

直线AC与8。相交于点E求证：F,N,E,M四点共线.

【答案】⑴见解析(2)见解析

【分析】⑴证明RC之RtABC4(HL),由全等三角形的性质得出ZABC=ZDAB,得出AE=BE,

则可证出结论；(2)连接吹，EM,FN,由全等三角形的性质得出=AC=BD,证出

AF=BF,可得CF=DP,由等腰三角形的性质可得口饮为A8的垂直平分线，MF平分ZAFB,NF平分

NCFD,由EM为AB的垂直平分线，进而可得出结论.

【详解】(1)证明：0ZC=Z£>=9O°,

BC^AD

在RtADB和Rt3C4中,,0RtAADB^RtABC4(HL),

AB^BA

SZABC=ZDAB,SAE=BE,0AD=BC,^CE=DE；

(2)证明：连接MF,EM,FN,

SZ\ADB^Z\BCA,SZABD=ZBAC,AC=BD,SAF^BF,

又IBM为AB的中点，则AA/=3M■回E7W为A3的垂直平分线，M尸平分NA7方，

BAE=BE,EI£M为AB的垂直平分线，0£,M,歹三点共线，

SAF=BF,AC=BD,^\CF=DF,

团N为CO的中点，回NF平分NCFD,

回河召平分/4FB,配在MF上，回尸，N,E,M四点共线.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中垂线的性质，等腰三角形的性质，证明

RtAADB^RtABGl是解题的关键.

18.（2023•北京顺义•统考二模）已知：线段A3及射线A".

求作：等腰ABC,使得点C在射线AAf上.

作法一：如图1,以点8为圆心，54长为半径作弧，交射线A"于点C（不与点A重合），连接8C.

作法二：如图2.

①在AB上取一点以点A为圆心，AD长为半径作弧，交射线AM于点E,连接OE；

②以点8为圆心，AD长为半径作弧，交线段54于点八

③以点尸为圆心，DE长为半径作弧，交前弧于点G；

④作射线BG交射线AM于点C.

作法三：如图3,①分别以点A,B为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点P,Q

②作直线PQ,交射线AM于点C,连接BC.根据以上三种作法，填空：

由作法一可知：=AB，0ABC是等腰三角形.

由作法二可知：N=ZBAM,

^CA=CB（）（填推理依据）.团是等腰三角形.

由作法三可知；尸。是线段AB的.

【答案】CB-ABG；等角对等边；垂直平分线；线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等

【分析】由作法一可知CB=AB,由作法二可知：ZABG=ZBAM，由作法三可知；PQ是线段AB的垂

直平分线.根据作图结合垂直平分线的性质，即可求解.

【详解】由作法一可知：CB=AB,回ABC是等腰三角形.由作法二可知：ZABG=ZBAM,

BCA=CB（等边对等角）回,ABC是等腰三角形.由作法三可知；尸2是线段AB的垂直平分线.

5\CA=CB（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）

【点睛】本题考查了作线段，作一个角等于已知角，作垂直平分线，熟练掌握基本作图是解题的关键.

19.（2023•北京海淀•校考模拟预测）如图，ABC是等边三角形，D,E两点分别在边AB,AC上，满足

BD=AE,班与。交于点R（1）求/BED的度数；（2）以C为中心，将线段C4顺时针旋转60。，得到线

段CM,连接ME,点N为MR的中点，连接CN.①依题意补全图形；②若BF+CF=k.CN,求人的

值.

【答案】（1）乙•7）=60。（2）①见解析；②Z=2

【分析】（1）证明△佛丝ABCD（SAS）,得出NABE=NBCD,根据

ZBFD=ZCBF+ZBCD=ZABE+ZCBF=NABC=60。求出结果即可；

(2)①根据题意画出图形即可；②延长CN至点Q,使QN=CN,连接。尸，证明

FNQ空MNC(S网,得出尸Q=CM,2QFN=2NMC,证明尸。〃CM,得出NPFQ=NPCM,延长

CF至点P使得FP=PB,连接PQ,PB,证明名△%(7,得出NQW=/BPC=60。，PQ=PC,

说明△PQC为等边三角形，得出QC=PC=P/+C/=BF+CF,根据CQ=2CN,得出W+CF=2CV,

即可求出结果.

【详解】([)解：0ABC是等边三角形，^AB=AC=BC,ZA=ZABC=ZACB=6O°,

回即=4£，0AABE^ABCD(SAS),旦NABE=/BCD,

0ZBFD=ZCBF+ZBCD=ZABE+ZCBF=ZABC=60°.

(2)解：①如图所不：

②延长CN至点0,使QN=CN,连接。尸，如图所示：

回N是MF的中点，@NF=NM,

'NF=NM

在“FNQ和MNC中"NFNQ=ZCNM,0一FNQ^肱VC（SAS）,

NQ=NC

^\FQ=CM,ZQFN=ZNMC,^FQ//CM,aNPFQ=NPCM,

团—ABC为等边三角形，0AB=BC=AC,

13c4绕点C旋转60°得到CM,SCM=AC,ZACM=60°,^AC=CM^FQ,

延长C尸至点P使得FP=PB,连接尸Q,PB,由（1）可知，NBFD=60。，

团尸尸为等边三角形，回NBP尸=60°,ElZPBC+ZPCB=120o,

回ZACM+ZACB=120°=ZPCM+ZPCB,0Z.PBC=Z.FCM,0NPFQ=ZPBC,

PF=PB

在△PPQ和-PBC中<NPFQ=NPBC,ffl△PFQ"APBC,

FQ=BC

0Z2PF=ZBPC=60°,PQ=PC,回△PQC为等边三角形，

0QC=PC=PF+CF=BF+CF,ElCQ=2CN,0BF+CF=2CN,回％=2.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，解

题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构造全等三角形.

20.（2023,河南安阳,统考模拟预测）已知，一ABC是等边三角形，AB=4.

⑴观察猜想：如图L点。是3C边上一点，ZADE=60°,DE交，ABC的外角平分线于点E,求线段

AB,CD,CE之间的数量关系.小明发现，过点。作AC的平行线交A3于点尸，容易发现线段A2,

CD,CE之间的数量关系是；

⑵类比探究：如图2,若点。在BC的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，

请给予证明；若不成立，写出此时AB,CD,CE之间的数量关系，并说明理由；

⑶解决问题：如图3,过点A作AD13C于点。，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等

边-CPQ,连接DQ,直接写出。。的最小值.

【答案】（1）AB=CD+CE（2）不成立，结论AB=CE-CD,理由见详解⑶1

【分析】（1）可证是等边三角形，可得AF=DC,从而可证△AD广丝△DCE,可得

DF=CE,由AB=AF+5F即可得证；（2）过点。作。尸〃AC交CE于点尸，ACD^EFD,

可得EF=AC,由=CE-CF即可得证；

（3）连接8。，可证△ACP名△BCQ,可得NC4P=NC8Q=30。，当。3。时，。。最小，即可求

解.

【详解】（1）解：AB=CD+CE；

ABC是等边三角形，；.NBAC=/B=ZACB=60。,AB=BC,

DF//AC,ZAFD=120°,:.ZBDF=ZACB=60°,

ZADF+ZDAF=180°-120°=60°,/.瓦乎是等边三角形,

:.BD=BF=DF,：.AB—BF=BC—BD,..AF=DC,

CE是，ABC外角平分线，/.ZACE=60°,

ZDCE=ZACB+ZACE=120°,二ZAFD=NDCE,

ZAO石=60。，/.ZADF+ZEDC=180°-ZBDE-ZADE=60°,/.ZDAF=ZEDC,

/AFD=/DCE

在尸和△DCE中＜A/=OC,:NADF^/DCE(ASA),

ZDAF=ZEDC

..DF=CE,:.AB=AF+BF=CD+CE.故答案：AB=CD+CE.

(2)解：不成立，结论：AB=CE-CD,

CE是一ABC外角的平分线，ZACE=ZDCE=60°,AZCFD=180°-60°-60°=60°,

•.N石尸0=180。—60。=120。，,\ZACD=ZEFD,.._CD/是等边三角形，:.CD=CF=DF,

ZCDF=ZADE=60°,ZADC+AADF=ZEDF+ZADF,•.ZADC=/EDF,

ZACD=ZEFD

在/ACD和△EFD中，＜CD=FD,「..ACD丝.跖D(ASA)".斯=AC,,\EF=AB

ZADC=ZEDF

EF=CE—CF,AAB=CE-CD.

(3)解：连接B。，LC是等边三角形，AD1BC,:.BD=^AB=2,ZCAD=^ZCAB=30°,

一ABC,。尸。是等边三角形，「.4。3=/尸。。=60。，AC=BC,CP=CQ,

ZACP+ZDCP=ZBQC+ZDCP,ZACP=ZBCQ,

AC=BC

在/XAC尸和△5CQ中/ACP=/3CQ,「.△AC尸丝△3CQ(SAS),..ZCAP=ZCBQ=30°,

CP=CQ

当。时，。。最小，此时

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，垂线

段最短等，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

限时检测2：最新各地中考真题（60分钟）

1.（2023・四川眉山・统考中考真题）如图，ABC中，AB=AC,ZA=40°,则—ACD的度数为（）

A.70°B.100°C.110°D.140°

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答.

1QAO_/X

【详解】解：AB=AC,ZA=40°,:.ZB=ZACD=—..........=70°,

2

:.ZACD=ZA+ZB=110°,故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键.

2.（2023・四川凉山•统考中考真题）如图，在等腰中，ZA=40°,分别以点4点8为圆心，大于

为半径画弧，两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接3。，则

2

的度数是（）

A

BC

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】B

【分析】先根据等边对等角求出/4BC=70。，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则

AD=BD,可得445。=NA=40。，由此即可得到/D3C=NABC—/ABD=30。.

iono_/A

【详解】解：团在等腰一ABC中，ZA=40°,AB=AC,BZABC=ZACB=-------------=70°,

2

由作图方法可知，MN是线段的垂直平分线，S\AD=BD,

ElZABD=ZA=40°,0Z.DBC=ZABC-ZABD=30°,故选B.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等

等，灵活运用所学知识是解题的关键.

3.（2023•内蒙古呼和浩特•统考中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=BC,AC=40，

点尸为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点PN交BC的延长线于点N,^.PMLPN.若

8M=1，贝1LPMN的面积为（）

A.13B.J13C.8D.—

2

【答案】D

【分析】依据题意，连接5P,然后先证明,BMPg-GVP,从而CN=BP=1,又由等腰Rt/XABC可得

BC=4,从而在RtAMBN中可以求得,又MP=NP,从而可得MN的值，进而可以得解.

【详解】解：如图，连接5P.

在RtZiABC中，ZABC=90°,AB=BC,点尸为AC边上的中点,

:.BP±AC,ZCBP=ZABP=-ZABC=45°,ZBC4=45°,BP=CP='AC=2枝.

22

ZMBP=ZNCP=180°—45°=135°.

BPLAC,PM±PN,:.ZBPM+ZMPC=90°,NCPN+ZMPC=90°.:.ZBPM=Z.CPN.

又BP=CP,ZMBP=ZNCP,[BMP空CVP（ASA）.:.BM=CN=1,MP=NP.

在RtZXB尸C中，BC=ylBP2+CP2=4-，在中,MN=\IBM2+BN2=712+52=>/26.

又在RtAVffW中，MP=NP,:.MP2+NP2=MN2.MP=NP=y/13.

113

■■-SPMN=~MP-NP=—.故选：D.

【点睛】本题主要考查了全