2025年新高考数学一轮复习：函数的综合应用（九大题型）（学生版+解析）

拔高点突破01函数的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：函数与数列的综合......................................................................3

题型二：函数与不等式的综合....................................................................3

题型三：函数中的创新题........................................................................4

题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）.........................................5

题型五：倍值函数...............................................................................6

题型六：函数不动点问题........................................................................7

题型七：函数的旋转问题........................................................................7

题型八：函数的伸缩变换问题....................................................................8

题型九：V型函数和平底函数.....................................................................9

03过关测试....................................................................10

亡法牯自与.柒年

//\\

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的

综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数

的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值

和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式(如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换

等)；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式

的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、

复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

2、函数的图象与性质

Z=1

分奇、偶两种情况考虑：

比如图(1)函数/(尤)=国+卜-1|+,-3|,图(2)函数g(x)=|x|+|尤-1|+|元一2|+|尤+1]

(1)当"为奇数时，函数=的图象是一个“v”型，且在“最中间的点”取最小值；

1=1

(2)当〃为偶数时，函数=的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；

1=1

若qpeN*)为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=a中对称，偶数的图象关于直线

彳=%左中+%中对称.

2

3、若为[〃],〃]上的连续单峰函数，且/(租)=/(〃),与为极值点，则当左力变化时，

g(x)=-依-目的最大值的最小值为匹三小江，当且仅当I=0,6="")；"不)时取得•

题型归赢总结

题型一：函数与数列的综合

【典例1-1]（2024•四川资阳•模拟预测）将函数〃x）=cosx-在（0,+“）上的所有极值点按照由小到

大的顺序排列，得到数列｛%｝（其中weN*）,贝I（）

A.卜+兀B,x+1-x<JI

C.xn+xn+l>（2W-1）7TD.低-（〃-1）无|｝为递减数列

【典例1-2】（2024•新疆•三模）已知数列｛%｝中，％=1,若（〃eN*）,则下列结论中错误

的是（）

21—

A.《=_B.-----------<1

5an+lan

,1.111

C.lnw<——1（〃22,〃eN*）D.--------------<-

aa

n的“+l„+l2

【变式1-1]（2024•高三•海南省直辖县级单位•开学考试）已知数列｛%｝中，4=1,若

5+D（%-4+1则下列结论中正确的是（）

111112

.〃〃+142.an+2an+2）5+1）

111।

C.----------D.%]n（〃+l）<l

a2n册2

【变式1-2]（2024•四川资阳•模拟预测）将函数〃x）=cosx-裳在（0,+功上的所有极值点按照由小

到大的顺序排列，得到数列卜“｝（其中〃eN*）,贝。（）

A.<%„<（«+|）7tB.xn+1-xn<

C.xn+xn+x>（2M-1）TID.｛|怎一（〃-1）兀|｝为递减数列

题型二：函数与不等式的综合

【典例2-1】（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）是定义域为R的函数，/（2+x）+/（-x）=0,对任

意（X,＜X2）,均有/（々）-〃为）＞0,已知a,6）为关于尤的方程f一2彳+1.3=o的

两个解，则关于，的不等式/（4）+/。）+/（。＞0的解集为（）

A.（-2,2）B.（-2,0）C.（0,1）D.（1,2）

e'Fsin二，尤20

2

【典例2-2】（2024•全国•模拟预测）已知函数/（x）=＜，则不等式〃3x-2)>e4"的解

eT2x-3sin—,x<0

2

集为_.

【变式2-1]关于X的不等式（X-1）皿3一22023.必必4X+1的解集为—.

【变式2-2]（2024•高三•黑龙江齐齐哈尔•期末）意大利数学家斐波那契（“75年~1250年）以兔子繁殖

数量为例，引人数列：1,1,2,3,5,8,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即

%+2=%+i+%（〃eN*）,故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为

1(1+5/5、1一出、

设"是不等式+回"-（1-向"]＞〃+5的正整数解，则"的最小值

22

飞77

为.

题型三：函数中的创新题

【典例3-1】（2024•江苏无锡•模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学.世界上现存规模最大、

保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子

午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境.再往远眺，一线贯穿的对称风格,

撑起了整座北京城.某建筑物的外形轮廓部分可用函数/（尤）=后司+桐的图像来刻画，满足关于了的

方程/'（x）=b恰有三个不同的实数根占,马，无3，且占＜々＜£=6（其中a,6e（0,+8））,则b的值为（）

【典例3-2】（2024•山东•一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美

誉.函数〃力=国称为高斯函数，其中xeR,[可表示不超过龙的最大整数，例如：[-1.1]=-2,

[2.5]=2,则方程[2尤+l]+[x]=4x的所有解之和为（）

A.1B.1C.3D,1

2424

【变式3-1]（2024•全国•模拟预测）“角股猜想”是“四大数论世界难题”之一，至今无人给出严谨证

明.“角股运算”指的是任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2,如果它是奇数，我们就把它

乘3再加上1.在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数.如果反复使用这个变换，我们就会得

到一串自然数，该猜想就是：反复进行角股运算后，最后结果为L我们记一个正整数经过J（"）

次角股运算后首次得到1（若〃经过有限次角股运算均无法得到1,则记〃"）=+8）,以下说法有误的是

（）

A.可看作一个定义域和值域均为N*的函数

B.J（九）在其定义域上不单调，有最小值，无最大值

C.对任意正整数都有J（〃”（2）=J（2〃）—1

D.J（2"）=〃是真命题，J（2"-1）4J（2"+1）是假命题

【变式3-2】19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更

高.约半个世纪后，物理学家本・福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数

出现的频数约为总数的三成，并提出本•福特定律，即在大量b进制随机数据中，以“开头的数出现的概率

为々（〃）=logb如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学爱好者用此定律来

n

检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性.若16。伽）=噜9一噜3（左©N*,^<20）,贝味的

念l+log25

值为（）

A.3B.5C.7D.9

题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）

4

【典例4-1】设函数〃尤）=尤+嚏-若对任意的实数a,b,总存在1目1,3]使得机成立，则

实数加的最大值为（）

A.-1B.0C."4后D.1

3

Y—2

【典例4-2]已知函数/⑶=六-6-。，若对任意的实数a,b,总存在毛印-1,2],使得八%）..利成

立，则实数机的取值范围是（）

A.B.C.ID.(-co,l]

【变式4-1](2024•江西宜春•模拟预测)已知函数〃x)=lnx+：-ax-6(a,6wR),且/右口/],满

足lnxo+」=e-l,当xe-,x0时，设函数/(x)的最大值为M(a,6),则M(a,6)的最小值为()

xoLe

“3—e—1-c—\—e—2

A.----B.-C.-----D.------

2222

【变式4-2】设函数/(x)=|尤3-6尤2+6+同，若对任意的实数。和分,总存在％e［0,3］,使得

则实数加的最大值为.

【变式4-3］设函数〃X)=|6-G-0,a,beR,若对任意的实数。，6,总存在实数修式0,4］,使得不

等式/(%)2根成立，则加的最大值是—.

题型五：倍值函数

【典例5-1】(2024•辽宁沈阳•三模)函数〃x)的定义域为O,若存在闭区间可使得函数/⑺

满足：①“X)在可内是单调函数；②/(X)在可上的值域为3,2可,则称区间［a,0为y=/(x)的

“倍值区间下列函数中存在“倍值区间''的有.

①“x)=x2(xZ0)；②〃x)=3"(xeR)；

③/(”=/1(箕°)；@/(x)=|x|(xeR).

【典例5-2】函数〃尤)的定义域为£>,若存在闭区间［。㈤使得函数〃x)同时满足：(1)〃x)在

司内是单调函数；《2)/⑴在［a,句上的值域为［如物化>0),则称区间目为“村的“倍值区间”.

1V*

下列函数：①/(x)=lnx；②“尤)=—(尤>0)；③“x)=/(x20)；④/(无)=「^(04x41)淇中存在“3

XI+X

倍值区间''的序号为.

Z7h

【变式5-1】函数AM的定义域为。，满足：①小)在。内是单调函数；②存在耳，5仁，使得Ax)在

Z7h

［亍寸上的值域为［。，句，那么就称函数>=/(x)为“优美函数”，若函数/(无)=log*。*-f)(c>0,cw1)是“优

美函数”，贝〃的取值范围是.

【变式5-2］(2024•山东济宁•三模)函数/(x)的定义域为。，若满足：①/(x)在。内是单调函数；②存

在使得广⑺在［a向上的值域为［2a,26］,则称函数/⑺为“成功函数”，若函数

/(x)=log0(c4，+3f)(c>0,"l)是“成功函数”，则？的取值范围为.

题型六：函数不动点问题

【典例6-1】(2024•高三•上海•开学考试)设函数/(x)=Jlnx+x-a(aeR,e为自然对数的底数)，

若曲线y=cosx上存在点(%,%)使/(/(%))=%成立，则a的取值范围是

【典例6-2】设函数/("=2°3/+尤2。22一。(aeR,e为自然对数的底数).若曲线、=51!«上存在(七,%)

使得了(/(%))=%，则”的取值范围是

【变式6-1】设函数/(x)=Jglnx+'|x+|'a若曲线＞=;一一$缶尤+亏上存在点(%,%),使得

/(,/■(%))=%成立，则实数0的取值范围是.

【变式6-2]设函数/(x)=Jlnx+x+a,若曲线y=卷4山彳+干■上存在点(%,%)使得/'(/(%))=%成立,

求实数。的取值范围为.

【变式6-3]已知a＞0,将函数＞=5由.》目0,句的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角凡得到曲线C.若

对于每一个夕e[0,a].曲线C都是一个函数的图像，则。的最大值为.

题型七：函数的旋转问题

【典例7-1】设a是正实数，将函数＞=冈的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角0(0＜9＜a),得到曲线

C.若对于每一个旋转角0,曲线C都可以看成是某一个函数的图像，则a的最大值为一.

【典例7-2](2024•高三•山东青岛•开学考试)将函数》=而2(xe[-3,3])的图象绕点(-3,0)逆时

针旋转a(04a＜。)，得到曲线C,对于每一个旋转角a,曲线C都是一个函数的图象，则。最大时的正切

值为()

32「

A.—B.—C.1D.6

【变式7-1]设。是含数3的有限实数集，/(x)是定义在。上的函数，若/(x)的图象绕原点逆时针旋转

45。后与原图象重合，则在以下各项中，/(3)的可能取值只能是()

A.73B.3C.-3D.0

【变式7-2](2024•浙江绍兴•三模)将函数y=2sin][xe的图像绕着原点逆时针旋转角。得到

曲线T,当口«0,到时都能使T成为某个函数的图像，则。的最大值是()

题型八：函数的伸缩变换问题

x2-x,xe[0,1)

【典例8-1]定义域为R的函数/(尤)满足/(x+2)=2〃x),当xe[0,2)时,/(x)=-1UI「、，若

-G)12Ue[l,2)

t2i

当xe[-4,-2)时，函数+恒成立，则实数I的取值范围为

A.[2,3]B.[1,4]C.D.[1,3]

X2-X,XG(O,1)

【典例8-2]定义域为R的函数/(x)满足〃x+2)=2/(x)-2,当x«0,2]时,“A⑵

1%

7/

若xe(O,4]时，恒成立，则实数/的取值范围是()

A.[1,2]B.[2,|]C.[2,+s)

D.

【变式8-1】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的

“高斯函数”为：设xeR,用国表示不超过x的最大整数，则丁=♦国称为高斯函数，例如：卜2』=-3,

[3.1]=3,定义域为R的函数“X)满足/(x+2)=2〃x),当xe[0,2)时，〃力=二；'']：?若

xe[4,6)时，+l恒成立，则实数f的取值范围是()

A.[-l,0)u[4,+oo)B.(-l,0)u(4,+oo)

C.(-co,-1](。，4]D.(-oo,-l)u(0,4]

【变式8-2](2024・山西•二模)定义域为R的函数满足/(x+2)=2/(x),当xe[0,2)时，

2

/\X-2x+13,XG[0,11「\C

〃X)=.「"\，若当-2)时，函数2r+〃恒成立，则实数I的取值范围为

xinx,x£11,11

A.-3<r<0B.-3<r<lC.-2<t<0D.0<r<l

【变式8・3】(2024•江西•一模)设函数的定义域为R,满足/(%+2)=2/(%),且当无£(0,2]时,

40

/(x)=-%(x-2).若对任意%£(-00,汨，都有则加的取值范围是().

-

(91(191/》(23

A.-oo,-B.-co,—C.(-oo,7]D.-00,—

题型九：V型函数和平底函数

【典例9・1】(2024・上海青浦•二模)等差数列4，%，4(〃£N*),满足

同+|%|++同=|%+[+|4+1|+…+|%+[=k+2]+|%+2|+・+|^n+2|

=|6+3]+|%+3〔++何+3]=2010,则()

A.〃的最大值是50B.〃的最小值是50

C.〃的最大值是51D.〃的最小值是51

【典例9・2】已知等差数列｛4｝满足：同+|%|+，+|〃〃|=-^+〃2++an~~

333

=4+5+%+]++。〃+]=72,则〃的最大值为()

A.18B.16C.12D.8

【变式9・1】等差数列%,4,…(〃>3,〃£N*),满足I41+1%1++I=16+1|+|%+1|+…+&+1I

二|%—21+1%—21d--\-\an-2\=2019,贝lj()

A.〃的最大值为50B.〃的最小值为50

C.〃的最大值为51D.〃的最小值为51

【变式9-21已知等差数列｛。八｝满足，同+同+…+同=|q+[+]%+1]+…+|q+1|=|q—1|+同一1|+…

十|为一1|=98,贝IJ〃的最大值为()

A.14B.13C.12D.11

【变式9-3】设等差数列,〃2，…，an(H>3,〃£N*)的公差为d，满足同+|。21H---

+|%-1卜--卜|。〃T=1%+2|+|%+ZT---1■何+2]=加，则下列说法正确的是

A.|rf|>3B.〃的值可能为奇数

C.存在於N*,满足D.用的可能取值为11

1a

1.已知数列｛4｝满足%+i=a(%-6>+6(〃=1,2,3,),则()

A.当q=3时，｛4｝为递减数列，且存在常数MWO,使得4>M恒成立

B.当4=5时，｛%｝为递增数列，且存在常数M<6,使得见<M恒成立

C.当q=7时，｛%｝为递减数列，且存在常数/>6,使得%>河恒成立

D.当％=9时，｛%｝为递增数列，且存在常数M>0,使得%恒成立

2.已知函数/(x)=e，-了-1,数列｛凡｝的前〃项和为工，且满足色=摄。川=/(。,)，则下列有关数列仅“｝的

叙述正确的是()

A.。5<14。2—34IB.。7W。8

C.110>1D.$00>26

3.已知数列｛%｝,满足％=1,2%=/〃(l+%)(〃eN*),设数列｛%｝的前"项和为S“，则以下结论正确的是

()

A.xn+i>xnB.当一2x“+i<x“x,+i

+1

c.^4^2>X"+1D.5„+s>2

4.(2024•全国•模拟预测)德国数学家狄利克雷(Dirichlet)是解析数论的创始人之一，下列关于狄利

fl%为有理数

克雷函数。(》)=；%工钿册的结论正确的是()

|0,尤为无理数

A.。⑷(x))有零点B.D(x)是单调函数

C.D(x)是奇函数D.D(x)是周期函数

5.(2024•安徽•三模)丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸

性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，%为(。力)上任意〃个实数，满足

f+尤［<"网)+〃％)++〃%),贝u称函数/⑴在SM上为“凹函数，，,也可设可导函数

/(X)在(a/)上的导函数为了'(x)"'(x)在(。1)上的导函数为4(X),当/(x)>0时,函数/(X)在(a,0

X,X、x„

上为“凹函数已知玉,％2,>0,n>2,且芯+々++Z=1,令WTT7=^------+-------++-------的最小值为

a

n，则“2024为()

A2023「2024—2024-2025

A.------B.------C.------D.------

2024202320252024

6.（2024•江苏•模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的

矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由A,B,C,。四点确定的贝塞尔曲线,

其中A,。在“X）的图象上，“X）在点A,。处的切线分别过点B,C.若A（0,0）,B（-l-l）,C（2,2）,

0（1,0）,则〃x）=（）

A.5x3-4%2-xB.3尤3-3X

C.3%3-4%2+xD.3%3-2x2-x

7.（2024•黑龙江齐齐哈尔•二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以

及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中

项的定义与今天大致相同.若2。+2〃=1，贝1」（4"+1）（型+1）的最小值为（）

25-9-9-25

A.—B.—C.-D.—

416416

8.函数/（X）的定义域为。，若满足：①/⑺在。内是单调函数；②存在U力仁力团“工使得了⑴在

年,可上的值域也是［。,以，则称y=/（x）为高斯函数.若〃力=左+«^是高斯函数，则实数上的取值范围

是（）

A.匕臼JB.匕<11aJC.fuAD.（匕\，力in

9.设函数的定义域为O,若存在闭区间L可1。，使得函数“X）满足：①“X）在目上是单调函

数；②“X）在目上的值域是［2“,2可，则称区间［a,6］是函数/⑴的“和谐区间”.下列结论销集的是

()

A.函数/（0=必@20）存在“和谐区间”

B.函数〃x）=x+3（xeR）不存在“和谐区间”

C.函数〃力=含（☆0）存在“和谐区间”

函数/(x)=log0[c*_g

D.（c>0且CK1）不存在“和谐区间

10.（2024•云南昆明•模拟预测）对于定义域为。的函数y=/（x）,若存在区间［a,同u。，使得〃x）同

时满足：

①/（X）在区间,,国上是单调函数；

②当“X）的定义域为［a,0时，的值域也为目，则称区间可为该函数的一个“和谐区间”

已知定义在（1,%）上的函数/（x）=T-彳有“和谐区间”，则正整数左取最小值时，实数机的取值范围是（）

A.(4,4A/2)B.(40,6)C.(4,6)D.(6,8)

11.(2024•广西柳州•模拟预测)设函数“尤)=(aeR,e为自然对数的底数)，若曲线

y=sinx上存在点(5,%)使/(%)=%成立，则。的取值范围是()

A.[1,2e—2]B.[『-e,l]C.[l,e]D.口-1—e,2e—2]

"InY0夕x+i

12.(2024•安徽阜阳•二模)设函数/(%)=——+%-〃(〃£R),若曲线y=是自然对数的底数)

Xe+1

上存在点(%,为)使得/(/(%))=%,则a的取值范围是

A.(-<»,0]B.(0,e]C.00,—JD.[0,-Ko)

13.(2024•河南郑州•一模)设函数/(x)=e*+2x-a(aeT?),e为自然对数的底数，若曲线y=sinx上

存在点(%,%),使得/(/(%))=%,则。的取值范围是()

A.[-1+e+[1,1+e]C.[e,e+l]D.[1,e]

14.设函数/(x)=Je*+x-a(“©R，e为自然对数的底数)，若曲线y=\^sinx+噜cosx上存在点

(%，%)使得了(%)=%,贝M的取值范围是

A.[匕々,1]B.[―,e+1]C.[Le+1]D.[l,e]

ee

15.(2024•黑龙江哈尔滨•三模)设函数〃x)=Jlnx+x+m,若曲线y=g^cos无+与^上存在(x。,%),

使得/(/(%))=%成立，则实数机的取值范围为()

A.[o.e?-e+1]B.[o,e~+e-1]C.[o,e~+e+l]D.[0,e~-e-1]

16.设/是函数兀的有限实数集，/(x)是定义在/上的函数，若/(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转会后与

原图象重合，则在以下各项中，/(兀)的取值不可能是()

x2-x,xe[0,1)

17.定义域为R的函数满足〃x+2)=4/(x),当xe[0,2)时，〃♦)=:若

log也(x+l),xe[L2)'

9-2,。)时，对任意的日,2)都有〃尤)十*成立，则实数。的取值范围是

A.(-co,2]B.[2,+Q0)C.(-oo,6]D.[6,+oo)

18.(多选题)将函数Mx)=e'(xN0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角。(。＜0,句)，得到曲线C,若

曲线C仍然是一个函数的图像，则。的可能取值为()

19.（多选题）（2024•山东日照•三模）设函数的定义域为R,满足/（x+2）=2/（x）,且当

xe（0,2]时,/（x）=x（2-x）,则（）

A./（9）=2/（7）

B.若对任意问，都有〃x）V6,则优的取值范围是，若

C.若方程=-5）恰有三个实数根，则加的取值范围是

D.函数在区间（2〃-2,2〃）（〃eN+）上的最大值为％,若存在“eN*,使得而“<2w-7成立，则

2。.已知函数“M*+x+2,若不等式“2+5所22对任意的x>。恒成立，则实数加的

最小值为.

21.已知函数/（幻=尸+6+,在区间[0,4]上的最大值为当实数a,b变化时，M最小值为.

22.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）=|2V+依+目的定义域为12,1],记的最大值为则

当加取得最小值时，a+5的值为—.

23.函数〃了卜产+ax+/?|（a,bwR）在区间[0,c]（c>0）上的最大值为则当M取最小值2时，

a+b+c=.

24.（2024•全国•模拟预测）定义域为R的函数"X）满足/（x+2）=2/（x）,当尤e[0,2）时，

X2-X.XE[0,1）t1

fM=\,151,若无g-4,-2）时，“幻之：—：恒成立，则实数/的取值范围是

I-0.5H-5|,XG[1,2）42t

25.（2024•上海长宁•一模）已知见，〃2,〃3与历，bi,九是6个不同的实数，若关于x的方程仅-

-«2|+|x-as\=\x-bi\+\x->2田x-解集A是有限集，则集合A中，最多有_个元素.

26.｛%｝为等差数列,则使等式同+同++|4|+1|+|。2+1|++|%+1]=|“]+3]+|%+3]++

\an+3|=k+5|+同+5|++|%+5|=2019能成立的数列｛见｝的项数n的最大值是.

27.等差数列｛4｝（HN3,九£N）满足同+同+同H-卜同=|乌+[+包+l[+k+1卜---卜

寓+1|=|%—2|+®—2|+|生一2|+…2|=2024,则〃的最大值为______.

28.若等差数列%吗，?（〃之3,〃EN*）满足同+闻+・+|。/=|4+1|+|%+1|

++1|=|〃i一2|+|生一2|+—2|=2023,则几的最大值为一.

拔高点突破01函数的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：函数与数列的综合......................................................................3

题型二：函数与不等式的综合....................................................................3

题型三：函数中的创新题........................................................................4

题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）.........................................5

题型五：倍值函数...............................................................................6

题型六：函数不动点问题........................................................................7

题型七：函数的旋转问题........................................................................7

题型八：函数的伸缩变换问题....................................................................8

题型九：V型函数和平底函数.....................................................................9

03过关测试....................................................................10

亡法牯自与.柒年

//\\

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数与不等式的

综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌握函数的性质，把函数

的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破口，要求掌握二次函数图像、最值

和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式(如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换

等)；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式

的解法；掌握导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、

复合函数求导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

2、函数的图象与性质

Z=1

分奇、偶两种情况考虑：

比如图(1)函数/(尤)=国+卜-1|+,-3|,图(2)函数g(x)=|x|+|尤-1|+|元一2|+|尤+1]

(1)当"为奇数时，函数=的图象是一个“v”型，且在“最中间的点”取最小值；

1=1

(2)当〃为偶数时，函数=的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；

1=1

若qpeN*)为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=a中对称，偶数的图象关于直线

彳=%左中+%中对称.

2

3、若为[〃],〃]上的连续单峰函数，且/(租)=/(〃),与为极值点，则当左力变化时，

g(x)=-依-目的最大值的最小值为匹三小江，当且仅当I=0,6="")；"不)时取得•

颗理归纳与.柒缁

//\\

题型一：函数与数列的综合

【典例1-1］（2024•四川资阳•模拟预测）将函数/（x）=cosx-4在（0,+s）上的所有极值点按照由小到

大的顺序排列，得到数列｛斗｝（其中〃eN*）,贝。（）

A.兀+兀B.x+1-x＜JI

C.xn+xn+i＞（2/?-l）7tD.低-（九-1）兀|｝为递减数列

【答案】D

【解析】因为/（元）=cosx］（x＞0）所以尸（x）=-sin尤+4,

令g（元）=/'（无）=_sinx+，，

故函数”X）在（0,+8）上的所有极值点为函数g（x）在（0,+。）上的零点，

即方程-sinx+J=0的正根，也即函数/z（x）=sinx与函数m（x）==图象交点的横坐标，

作出函数6（x）=sinx和函数相⑴二二图象如下

对于A,当”=1时，由图可知0＜占＜］,不满足［九一!］兀＜%＜［九+9］兀，故A错误；

对于B,由图可知，当"为奇数时，%+1~xn＜n,当“为偶数时，xn+l-xn＞n,故B错误;

对于C,由图可知，结合％（x）=sinx的对称性知，xA+x2＞n,3+三＜3兀，

不满足x〃+X"+i＞（2〃一1）兀，故C错误；

对于D,|尤“-（〃-1）兀|在x轴上表示乙与（〃-1）兀的距离，

由于函数机（x）=：在（0,+8）上单调递减，函数Mk=sinx是以2兀为周期的函数，

结合图象可知k"-("T)H越来越小，即数列｛氏-(〃-1)无|｝为递减数列，故D正确.

故选：D

【典例1・2】(2024•新疆•三模)已知数列｛4｝中，若氏+1=；^力(〃eN*),则下列结论中错误

的是()

2I'

A.%=_B.-----------41

5%册

।1।111

C.lnw<-----1(«>2,«GN*)D.--------------<-

a

na2n+ian+x2

【答案】D

na111

【解析】对于A项，由为+1=1—(neN*)得-------二一，

几+。〃4+1%〃

I1I,II、/II、II-5

又因为一二1,所以一=(