2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 原函数与导函数混合还原问题（十三大题型）（学生版+解析）

重难点突破02原函数与导函数混合还原问题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳总结.................................................................3

题型一：利用//(%)构造型..................3

f(x\

题型二：利用构造型....................3

%

题型三：利用6网/(%)构造型..................4

f(x)

题型四：用构造型......................4

e

题型五：利用sin%、tan%与/(%)构造型....5

题型六：利用cosx与f(x)构造型............6

题型七：复杂型：e"与4'(％)+bg(x)等构造型..6

题型八：复杂型：(丘+匕)与f(x)型...........7

题型九：复杂型：与In(依+b)结合型...........8

题型十：复杂型：基础型添加因式型..............8

题型十一：复杂型：二次构造....................8

题型十二：综合构造.............................9

题型十三：找出原函数........................10

03过关测试............................33

亡法牯自与.柒年

//\\

1、对于矿(%)+/(%)>0(<0),构造g(x)=%•/(无)，

2、对于苗(x)+始(x)>0(<0),构造g(x)=/•/(%)

3、对于x"'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=&D,

4、对于x•尸(x)-"(x)>0(<0),构造g(x)=¥

5、对于/'(x)+/(%)>0(<0),构造g(x)=e'"(x),

6、对于广(%)+外>(兀)>0(<0),构造g(x)=*•/(%)

7、对于广(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=卒,

e

8、对于/■'(x)-/x)>0(<0),构造8⑴=字

e

9、对于sinx•f(九)+cosx・/(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)・sinx,

10>对于sin兄"'OO-cosx"。)〉。(<0),构造g(x)=/(”)

sinx

11>对于cosx"'Cx)-sin兄"(x)>0(<0),构造g(x)=/(%)•cosx,

12、对于cos兄•/'Cx)+sinx・/(X)>0(<0),构造g(x)=

cosx

13、对于/'(「)一。(x)>左(<0),构造g(x)=e'"(x)-口

14、对于/'(%)In%+>0(<0),构造g(%)=lnx"(x)

x

15、f(x)+c=[f(x)+cx]r；/'(%)+gr(x)=[/(%)+g(x)]f;ff(x)-gr(x)=[f(x)-g(x)y；

16、((x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)]';二(x)g(：2；《5)/")=[篇丫-

㈤2

题型归纳与总结

题型一：利用//(%)构造型

【典例1-1】函数〃尤)是定义在区间(。,+◎上的可导函数，其导函数为八X),且满足了'(x)+[〃x)>o,

则不等式(X+2°23)/(X+2023)<且也的解集为()

2x+2023

A.{x|x>-20211B.{x|x<-20211

C.{x|-2023<x<0}D.{x|-2023<x<-2021}

【典例1-2](2024•全国•模拟预测)定义在R上的函数/(九)的导函数是((%),3/(%)+才(x)<0,函数

>=/(%+1)+2022为奇函数，则不等式/〃%)+2022>0的解集为()

A.(-oo,l)B.(-oo,-l)C.(1,-Hx))D.(-l,+oo)

【变式1-1】设函数/(X)是定义在(-8,0)上的可导函数，其导函数为r(x),且有2/(x)+矿(x)>0,贝I

不等式(％+2023)2/。+2023)-4/(-2)<0的解集为()

A.(-2023,-2021)B.(-2025,0)

C.(-2025,-2021)D.(-2025,-2023)

【变式1-2](2024•江西南昌•三模)已知函数Ax)的定义域为R,且〃2)=-1,对任意无eR,

f(x)+xf\x)<0,则不等式a+l)”x+l)>-2的解集是()

A.(-oo,l)B.(-oo,2)C.(1,+<»)D.(2,+oo)

题型二：利用华构造型

【典例2-1】已知函数的定义域为(-匕0),=其导函数/'(X)满足数1X)-2〃力>0,则

不等式f(x+2025)+(x+2025)2<0的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.3,-2026)D.(fo,—2025)

【典例2-2】已知函数〃尤)是定义在(f，O)U(O,+◎的奇函数，当xe(O,+8)时，矿则不等

式5/(2-力+(》-2)/(5)<0的解集为()

A.(^o,—3)u(3,+8)B.(—3,0)u(0,3)

C.(-3,O)u(O,7)D.(-oo,-3)u(2,7)

【变式2-1](多选题)己知函数/(x)为定义在(-力,。)11(0,内)上的奇函数，若当尤<0时，

V，(x)-/(x)<0,且/⑴=0,则()

A.2/(e)>»1⑵B.当机<2时，/(加)>时(1)

C.3/(-7i)+7T/-(3)<0D.不等式/(x)>0解集为(-1,0)口(1，心)

【变式2-2】已知定义在R上的函数/(尤)满足：W)-/W>0,且/⑴=2,则/'(/)>26，的解集为

A.(0,+(»)B.(in2,+CO)C.(l,+oo)D.(0,1)

题型三：利用构造型

【典例3-1】设函数的定义域为R,/W是其导函数，若八天)+(。)>。，八1)=1,则不等式

的解集是()

A.(0,+<»)B.

C.(-oo,0)D.(0,1)

【典例3-2]己知定义在R上的函数力(x)满足2/7(%)+"(元)>0且/z(l)=4，则不等式〃(无)>47的解集为

ee

().

A.(-oo,e2)B.(e2,+oo)C.(-oo,l)D.(l,+oo)

【变式3-1](2024•云南楚雄•一模)已知是R上的奇函数，且对任意的xeR均有〃到+3?>0

成立.若/(T)=—l,则不等式/(力<3修的解集为()

A.(-co,-l)B.(-oo,l)C.(-1,+co)D.

【变式3-2】已知定义在R上的可导函数/(x),其导函数为尸(x),若2〃力+/'(力>0,且/⑴=e,则

不等式62"(耳-63>0的解集为()

A.(l+oo)B.(e,+oo)C.(-oo,l)D.

【典例4-1](2024•广东广州•三模)已知可导函数了。)的导函数为1(x),若对任意的xeR,都有

/(x)>/'(x)+l,且〃x)-2024为奇函数，则不等式/(x)—2023e'<l的解集为()

A.(一*0)B.(—8,e)C.(e,+oo)D.(0,+oo)

【典例4-2】(2024•辽宁鞍山•二模)已知定义在(-2,2)上的函数〃X)满足〃x)+e4"(—x)=0,且

/(l)=e2,/(尤)为的导函数，当x«0,2)时，f'(x)>2f(x),则不等式e2"(2r)<e4的解集为

()

A.(l,+oo)B.(1,2)C.(0,1)D.(1,4)

【变式4-1】己知定义在(-2,2)上的函数/(x)满足〃x)+e4"(-x)=0〃l)=e2,/'(x)为/(x)的导函数，

当xe[0,2)时，/'(力>2〃力，则不等式e?了(2—x)<e4的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,2)

C.(14)D.(1,5)

【变式4-2](2024•高三•江苏常州•期末)已知定义在R上的函数的导数为/'(x),/(l)=e,且

对任意的x满足/'⑺-〃x)<e"则不等式/(x)>xe，的解集是()

A.(-<x>,l)B.(-ao,0)C.(0,+功D.(l,+oo)

【变式4-3](2024•高三•山东荷泽•期中)已知函数(⑴是函数〃力的导函数，41)=；，对任意实

数尤都有/⑴-/。)>0,设厂(切=受，则不等式打力<3的解集为()

ee

A.(-oo,l)B.(l,+o?)

C.(l,e)D.(e,+oo)

题型五：利用sinx.tan%与/(%)构造型

【典例5-1】(2024•贵州遵义•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,其导函数为/'(无)，若

/(~^)~/H=sin|)且当时，2r(x)+cos^>0,则/(2X+7T)+1>/(%)+sin|(2sin|+ll的解集

D.(一8,一兀)U--,+°o

【典例5・2】(2024•高三・黑龙江齐齐哈尔・期末)已知函数/卜)的定义域为(0,兀)，其导函数是

若对任意的x£(0,兀)有/r(x)sinx-/(x)cosx<0,则关于工的不等式/(x)>'sinx的解集为()

7T

A.(04)B.(0,-)c.q,兀)D.(”

OO

【变式5-1]已知定义在R上的函数/。)，满足/(%)=/(-%)-2sin%,且任意。<玉时，有

/(药)+sin%i—/(%2)一$出兄2>0成立，则不等式小+|^>/(x)+sin尤-cosx的解集为()

玉-x2

7t71717t

A.-8,—B.~2，+°°C.-8,—D.一“+e

24

【变式5-2]已知函数/(%)=/(-x)+2sin2x,又当犬NO时，/(x)>2,则关于工的不等式

710sin12x-智的解集为(

f^f--X+).

71[A)

—,+oo

A.[8>B.

7171

C.+8D.+00

_4~4

题型六：利用COSX与/(%)构造型

【典例6-1](2024•安徽淮南•二模)定义在R上的函数/⑴满足〃-%)+/(尤)+2cosx=0,当SO时,

/,(x)>sinx,则不等式〃尤)+2cosx>〃兀—x)的解集为()

71兀兀71

A.—,+ooB.-00,—C.D.(-00,71)

22212

，其导函数为/(无)，若对Vxe0,^,有

【典例6-2】偶函数〃尤)定义域为

2〃x)〈也的解集为

/'(x)cosx</(x)sinx成立，则关于尤的不等式

COSX

兀兀

【变式6-1](2024•四川成都•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为,其导函数是尸(x).有

2'2

/(x)cosx+/(x)sinx<0,则关于X的不等式/(x)>cos尤的解集为

题型七：复杂型：e"与4(x)+bg(x)等构造型

【典例7-1】已知可导函数Ax)的导函数为了'(X),若对任意的xeR,都有/(x)-/'(x)>l.且/(幻-2022

为奇函数，则不等式〃x)-2021e*>l的解集为()

A.(-co,0)B.(0,+oo)C.(-00,e)D.(e,+co)

【典例7-2]已知函数的导函数为了'(",若对任意的％WR,都有/@)>/'(%)+2,且/⑴=2022,

则不等式2020eM<2的解集为()

A.(0,+8)B.1C.(l,+oo)D.(-GO,1)

【变式7-1】已知函数/⑺与g(x)定义域都为R‘满足"x)=(x+?g(x),且有

g[x)+xg〈x)—xg(x)<0,g(l)=2e,则不等式〃x)<4的解集为()

A.(1,4)B.(0,2)C.(e,2)D.(1,收)

【变式7-2]已知定义在(-3,3)上的函数满足“X)+e4V(-x)=0,/(1)=e2,/U)为/*)的导函数，当

xe[0,3)时，f\x)>2f{x),则不等式e?"(2-x)<e"的解集为()

A.(-2,1)B.(1,5)C.(1,内)D.(0,1)

题型八：复杂型：（丘+力与/（X）型

【典例8-1】已知函数〃尤）的定义域是（-5,5）,其导函数为了'（X）,且〃x）+矿（x）〉2,则不等式

（2x—3）/（2x—3）—（x—l）/（x—1）＞2%—4的解集是.

【典例8-2】已知函数/*）的定义域为R,若对于任意xeR都有/'（x）+4x＞0,则当

aw（0,22时，则关于a的不等式/（sina）-cos2a＜0的解集为（）

A.3伺B.陷呜旬

C.序|兀）D.,,如臣,2T

【变式8-1］（2024•辽宁•模拟预测）已知函数/（x）为定义在R上的偶函数，当x«0,y）时，

/'（x）＞2x,42）=4,则不等式犷（x—l）+2f＞x3+x的解集为（）

A.（-l,0）＜J（3,+co）B.（―1,1）^1（3,+°°）

C.（e,T）U（O,3）D.（-1,3）

【变式8-2】已知定义在（0,+"）上的函数"X）的导函数为/'⑴，若/'（力＜2,且/（4）=5,则不等式

/（2工）＞2"「3的解集是（）

A.（0,2）B.（0,4）C.（—0,2）D.（f4）

题型九：复杂型：与In(丘+力结合型

【典例9-1】(2024•高三•江苏扬州•开学考试)若可导函数/⑺是定义在R上的奇函数，当天>0时，

有lnx/(x)+L/(x)<0,则不等式。-2)"3>0的解集为()

X

A.(-2,0)B.(0,2)C.(-2,2)D.(2,+oo)

【典例9-2】(2024•陕西榆林•模拟预测)已知定义在(0,+e)上的函数/(x)满足((同_*且

41)=1,则不等式/(巧-(x+l)e，>0的解集为()

A.(0,+ao)B.(l,+oo)C.(-oo,0)D.(-co,l)

【变式9-1】已知函数的定义域为(0,+动，其导函数为了'(X),若矿(x)-1<0,/(e)=2,则关于x

的不等式/9')<尤+1的解集为()

A.(0,1)B.(l,e)C.(l,+oo)D.(e,+oo)

题型十：复杂型：基础型添加因式型

【典例ioJ】已知r(x)为定义域R上函数/⑺的导函数，且ra)+r(2-x)=o,x>i,

4

(x-1)/'(x)+2/(x)>0且/⑶=1,则不等式〃司》——2的解集为—.

(尤-I)

【典例10-2](2024•高三•湖南株洲•开学考试)已知定义在R上的可导函数/(X)满足

xf'(x)+f(x)<xf(x),若y=是奇函数，则不等式犷(x)+3e*>。的解集是()

A.(―co,—2)B.(^o,—3)C.(—2,+co)D.(—3,+co)

【变式10-1](2024•山东聊城•三模)设函数“X)的定义域为R,导数为/'(X),若当X2。时，

/'(x)>2无一1,且对于任意的实数x,〃—x)=〃x)+2x,贝杯等式〃2x—1)—〃x)<3d—5x+2的解集为

A.(田,1)C.D.

题型十一：复杂型：二次构造

【典例11-1】己知定义为。,+8)的函数〃尤)的导函数/'(x),且〃e)=2,/F=r(x)lnx,则不等式

4'(x)<2e的解集是.

【典例11-2】函数/(x)满足：2e"(x)+e"'(x)=6,f(1)=^4=.则x>0时，/(x)

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值

TT

【变式11-1]设函数"X)的导数为了'(X),且f(x)+xe'=/(x),/⑴=-万，7(2)=--,贝悄x>0时，

f(x)()

A.有极大值，无极小值B.无极大值，有极小值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值

【变式11-2]定义在(0,+“)上的函数“X)满足犷'(x)+〃x)=x2]nx,且则“X)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

题型十二：综合构造

【典例12-1】已知定义在R上的偶函数满足/(X-；)+/(T-1)=0,e4/(2022)=l,若"尤)＞尸(-幻,

则关于x的不等式/(》+2)＞々的解集为()

e

A.(4,+oo)B.(-co,4)C.(-co,3)D.(3,+co)

【典例12-2】已知定义在R上的奇函数/(尤)，其导函数为/'(尤)，当xVO时，满足

/c\/、/、/(x)f(2x+l)

卜2+3)尸(耳+2#(一月>0,则不等式三言)4，1+.+；)的解集为()

A.[1,+co)B.(-oo,0)C.D.(0,+<x>)

【变式12-1】已知函数/(无)的定义域为(0,+"),导函数为/'⑴，不等式(尤+l)[2/(x)+矿(切>4(同

恒成立，且"6)=g,则不等式〃》+4)<芝#的解集为()

A.(e,4)B.(0,2)C.(<2)D.(-4,4)

【变式12-2](2024•高三•山东烟台•期中)定义在R上的函数Kx)的导函数为了'(X),满足

/(x)+l-e^(l+/(-x))=0,f(l)=e2-l,且当尤e(0,.)时，f\x)-f(x)>l,则不等式/(x—1)>e-1

的解集为()

A.(0,2)B.(-1,1)C.(-oo,0)U(2,+oo)D.(^o,-l)u(l,+oo)

【变式12-3](2024•高三•河南新乡•开学考试)设函数/(尤)在R上的导函数为了(X),

/(x)+/(-x)=O,对任意xe(O,+s),都有f(x)f'(x)>x,且/(1)=2,则不等式"。一1)了<--2x+4的

解集为()

A.(-oo,0)U(2,+oo)B.(0,2)C.(1,3)D.(F,1)U(3,+8)

题型十三：找出原函数

x2

【典例13-1】设函数〃尤)满足矿(x)+2〃x)=^,"2)=(,贝1>0时，/(%)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

【典例13-2】设函数/(x)是定义在(-1,内)上的连续函数，且在x=0处存在导数，若函数/(*)及其导函数

/'(x)满足/Wx)ln(x+1)=尤-则函数/(戈)()

x+1

A.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值

C.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值

Inx

【变式13-1](2024•辽宁大连•一模)函数Ax)的导函数为/'(x),满足矿。)+2/(尤)=——，且

/(e)=上，则/(x)的极值情况为()

2e

A.有极大值无极小值B.有极小值无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

【变式13-2】设函数Ax)是定义在(0,+«))上的连续函数，且在x=l处存在导数，若函数Ax)及其导函数

/(%)满足尸(x)lnx=x-"0,则函数/(x)()

X

A.既有极大值又有极小值B.有极大值，无极小值

C.既无极大值也无极小值D.有极小值，无极大值

【变式13-3](2024•全国•一模)若函数“X)满足犷(力一/(力=/靖,/(1)=0,则当彳>0时，/(%)

()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值又无极小值

【变式13-4](2024•黑龙江大庆•模拟预测)已知函数〃尤)的定义域为(0,+8)，/'(X)为函数八》)的导

函数，若广〃耳+#(耳=1,/(1)=0,则不等式/(2<3)>0的解集为()

A.(0,2)B.(log,3,2)C.(log23,+(»)D.(2,+oo)

8.已知定义在R上的函数”元)，其导函数为第x),若〃x)—〃—耳+2/+2尤=0,且当时，

/'(了)+3/+1<0,贝U不等式/(x+1)—/(x)+3x2+3x+2V0的解集为()

A.(-oo,0]B.[0,+oo)C.18,一；D.-p+coj

9.定义在R上的函数/(x)的导函数为/'(x),若对任意实数x,有〃x)>尸⑺，且/(x)+2023为奇函数,

则不等式/(力+20233<0的解集是()

A.(一8,0)B.卜C.(0,+8)D.[j+s]

10.(多选题)设定义在R上的函数/⑺的导函数为了'(X),若满足矿⑶-/。)=娱',且f(l)=e,则下

列结论正确的是()

A./。)在R上单调递增

B.不等式/(xRe的解集为[1,+s)

C.若恒成立,则。2工+1

e

D./(%1)=x2lnx2=4,则占々=4

11.已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数为八%),且当尤<0时，2〃力+矿。)<0,则不等

式(x-2023)2f(x-2023)-/(-1)>0的解集为.

12.已知定义在R上的函数"%)满足〃2+x)=〃—x),且当x>l时，有矿(无)+〃x)>r(x),若

"2)=1,则不等式的解集是_.

13.若定义在R上的函数〃尤)满足了'(x)+2〃x)>0,且"0)=1,则不等式4%)>*的解集为

14.定义在[-|小[。卷)上的奇函数/3的导函数为八；0,且当xe/,鼻时，r(x)tanx-/(x)>0,

则不等式f(x)<2(5sinx的解集为.

15.已知定义在R上的偶函数“X),其导函数为若矿(力-2〃力>。，/(-1)=|,则不等式

2/(x)<X2的解集是_.

16.已知函数及其导函数/'(X)的定义域均为R,且〃尤)>/(力，若/(0)=0,则不等式

/(2f一5》-7)>0的解集为.

17.已知/'(X)是函数/(力的导函数，且满足/'(力>/(可在R上恒成立，则不等式

/(2x—l)—e3Z/0一同>0的解集是.(用区间表示)

18./⑴是定义域为(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，/(2)=0,当x>0时，有x-r(x)-f(x)<0,则不等式

x-7(x)>0的解集为—.

19.已知定义在(O,+e)上的函数的导函数为((无)，若/'(x)<2,且—4)=5,则不等式

2

/(log2x)>log2X-3的解集是—.

20.(2024•高三•上海浦东新•期中)定义在R上的函数/⑴满足/(x)-/'(x)+e*<0,其中/'(x)为

“X)的导函数，若〃3)=3e?,则的解集为一.

21.已知定义在(0,+“)上的函数/(“满足24(尤)+广[(尤)<0,"2)=],则关于x的不等式〃力>弓的

4A

解集为.

22.(2024•高三•黑龙江哈尔滨•期中)己知定义在R上的可导函数Ax)满足：f(x)+f'(x)>0,

/(；]=%，则的解集为•.

23.(2024•甘肃张掖•模拟预测)已知/(“为偶函数，且当xe[0,w)时，〃x)+#'(x)<0,其中

/'(尤)为/(无)的导数，则不等式。-力/@-1)+2犷(2£)>0的解集为_.

24.(2024•山东荷泽•三模)已知奇函数〃力是定义在R上的可导函数，其导函数为/"),当x>0时,

有"(x)+#，(x)>x2,则(x+2023)7(x+2023)+/(-l)<0的解集为—.

25.函数/(戈)定义域为(0,乃)，其导函数是7'(x),当(0,乃)时，有了'(x)sinx-/(x)cosx<0,则关于x的不

等式/(x)<72/Qsinx的解集为.

26.已知函数/(x)的导函数为/'(x),且满足/(力+/'(力>0在R上恒成立，则不等式e?"(2x+l)>

e2-"(3-x)的解集是.

重难点突破02原函数与导函数混合还原问题

目录

01方法技巧与总结2

02题型归纳总结..............................................................................3

题型一：利用了”/■(%)构造型...................................................................3

题型二：利用构造型......................................................................3

X

题型三：利用e加/(%)构造型...................................................................4

题型四：用构造型........................................................................4

e

题型五：利用sin%、tan%与/(%)构造型......................................................5

题型六：利用cosx与/(%)构造型..............................................................6

题型七：复杂型：e"与4'(X)+bg(x)等构造型..................................................6

题型八：复杂型：(丘+力与于(X)型...........................................................7

题型九：复杂型：与In(丘+b)结合型...........................................................8

题型十：复杂型：基础型添加因式型..............................................................8

题型十一：复杂型：二次构造....................................................................8

题型十二：综合构造.............................................................................9

题型十三：找出原函数.........................................................................10

03过关测试....................................................................33

亡法牯自与.柒年

//\\

1、对于矿(%)+/(%)>0(<0),构造g(x)=%•/(无)，

2、对于苗(x)+始(x)>0(<0),构造g(x)=/•/(%)

3、对于x"'(x)-/(x)>0(<0),构造g(x)=&D,

4、对于x•尸(x)-"(x)>0(<0),构造g(x)=¥

5、对于/'(x)+/(%)>0(<0),构造g(x)=e'"(x),

6、对于广(%)+外>(兀)>0(<0),构造g(x)=*•/(%)

7、对于广(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=卒,

e

8、对于/■'(x)-/x)>0(<0),构造8⑴=字

e

9、对于sinx•f(九)+cosx・/(x)>0(<0),构造g(x)=/(x)・sinx,

10>对于sin兄"'OO-cosx"。)〉。(<0),构造g(x)=/(”)

sinx

11>对于cosx"'Cx)-sin兄"(x)>0(<0),构造g(x)=/(%)•cosx,

12、对于cos兄•/'Cx)+sinx・/(X)>0(<0),构造g(x)=

cosx

13、对于/'(「)一。(x)>左(<0),构造g(x)=e'"(x)-口

14、对于/'(%)In%+>0(<0),构造g(%)=lnx"(x)

x

15、f(x)+c=[f(x)+cx]r；/'(%)+gr(x)=[/(%)+g(x)]f;ff(x)-gr(x)=[f(x)-g(x)y；

16、((x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)]';二(x)g(：2；《5)/")=[篇丫-

㈤2

题型归纳与总结

题型一：利用了〃/(%)构造型

【典例1-1】函数“X)是定义在区间(0,y)上的可导函数，其导函数为八x),且满足广3+[〃尤)>0,

则不等式(X+2023)〃X+2023)<且也的解集为()

2x+2023

A.{x|x>-20211B.{x|x<-2021}

C.(x|-2023<x<0}D.{x|-2023<x<-2021)

【答案】D

【解析】根据题意，g(x)=</(x),x>0,则导函数根(x)=/f(x)+29(x),

函数/⑺在区间(0,+8)上，满足r(x)+：/(x)>0,则有/:(x)+2W(x)>0,

所以g'(x)>0,即函数g(x)在区间(0,+8)上为增函数，

(一网小+期%二包川E回了”必卜巧⑵,

2x-H2023

所以g(x+2023)<g(2),

贝I]有0<x+2023<2,

解得-2023Vx<—2021,

即此不等式的解集为"|-2023<x<-2021}.

故选：D

【典例1-2](2024•全国•模拟预测)定义在R上的函数"X)的导函数是广(x),3/(x)+次(幻<0,函数

y=/(x+1)+2022为奇函数，则不等式尤3〃x)+2022>0的解集为()

A.(-00,1)B.(y,T)C.D.

【答案】A

【解析】由题意知3/(x)+^'(x)<0,

设g(x)=x3f(x)+2022,贝1Jg'(x)=3X2/(X)+X3/,(X)=x2[3/(x)+xf\x)]<0,

仅当无=0时，等号成立，所以g(无)单调递减.

又因为函数y=/(尤+1)+2022为奇函数，所以/⑴+2022=0,即g⑴=0,

故由g(x)>g⑴可得x<l,

所以不等式X3f(x)+2022>0的解集为(-8,1),

故选：A

【变式1-1]设函数〃尤)是定义在(-8,0)上的可导函数，其导函数为了'(X),且有2〃x)+V'(x)>0,则

不等式(x+2023)"(x+2023)-4/(-2)<0的解集为()

A.(-2023,-2021)B.(-2025,0)

C.(-2025,-2021)D.(-2025,-2023)

【答案】D

【解析】由2/(尤)+矿(幻>0,(*<0),得24(x)+x"G)<0,即[尤V(尤)]'<o，

令g(x)=#/(x),则当x<0时，得g'(x)<0,即g(x)在(f,0)上是减函数，

g(x+2023)=(x+2023)2f(x+2023),g(-2)=4/(-2),

即不等式等价为g(x+2023)-g(-2)<0,

g(x+2023)<g(—2),得x+2023>—2,即x>—2025,

又x+2023<0,解得x<—2023,故一2025<x<—2023.

故选：D.

【变式1-2](2024•江西南昌•三模)已知函数/⑴的定义域为R,且/(2)=-1,对任意尤eR,

/(x)+#'(x)<0,则不等式(x+l"(x+l)>-2的解集是()

A.(-oo,l)B.(Y°⑵C.(l,+a>)D.(2,+00)

【答案】A

【解析】设g(x)=#(x),则g⑵=2〃2)=-2,

・•・对任意xeR,/(x)+#'(x)<0，,8㈡心人幻+犷心卜。恒成立，即g(x)在R上单调递减，

由(x+l)/(x+l)>-2可得g(x+l)>g(2),.”+1<2,解得x<l,即解集为(TO,1).

故选：A

【典例2-1】已知函数/(无)的定义域为=其导函数/⑴满足矿(力一2/(力>0,则

不等式/(x+2025)+(x+2025)2<0的解集为()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-oo,-2026)D.(9,—2025)

【答案】B

【解析】根据题意可令g(x)=W(x<0)ng，3=矿⑺;2〃x)<0,

所以g(x)=§在(-8,0)上单调递减，

/(x+2025)

则原不等式等价于(<T,

(x+2025)

由g(x+2025)=止坦字<-l=g(-l)n0>x+2025>-l,

(尤+2025)一

解之得xe(-2026,-2025).

故选：B

【典例2-2】已知函数〃尤)是定义在(