2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 求曲线的轨迹方程（十一大题型）（学生版+解析）

重难点突破05求曲线的轨迹方程

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：直接法.................................................................3

题型二：定义法.................................................................4

题型三：相关点法...............................................................5

题型四：交轨法.................................................................6

题型五：参数法.................................................................8

题型六：点差法.................................................................9

题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹..............................................10

题型八：复数与圆锥曲线的轨迹..................................................11

题型九：向量与圆锥曲线的轨迹..................................................12

题型十：利用韦达定理求轨迹方程................................................12

题型十一：四心的轨迹方程......................................................14

03过关测试....................................................................16

亡法牯自与.柒年

//\\

一.直接法求动点的轨迹方程

利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：

（1）建系：建立适当的坐标系

（2）设点：设轨迹上的任一点P（x,y）

（3）列式：列出有限制关系的几何等式

（4）代换：将轨迹所满足的条件用含为y的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为苍y的

方程式化简

（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检

验）.简记为：建设现代化，补充说明.

注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线.

二.定义法求动点的轨迹方程

回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点尸和满足焦点标志的定点连起来判

断.熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为下的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等

等.当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨

迹方程.

三.相关点法求动点的轨迹方程

如果动点尸的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知

曲线方程），则可以设出尸（羽y）,用（元,y）表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入己知曲线方程，

即可得到动点尸的轨迹方程.

四.交轨法求动点的轨迹方程

在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出

交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通

常选变角、变斜率等为参数.

五.参数方程法求动点的轨迹方程

动点M（x,y）的运动主要是由于某个参数。的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点

[x=f（（p）

的坐标，即，再消参.

〔y=g（。）

六.点差法求动点的轨迹方程

圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点

4（%,%）,3（无2，%）的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得占+W，%+%，玉-%，乂-%等关系式，由

于弦神的中点P（x,y）的坐标满足2彳=项+々，2y=%+%且直线的的斜率为资三?，由此可求得弦

中点的轨迹方程.

题型一：直接法

【典例1-11（2024.高三.河北张家口•开学考试）已知M、N两点坐标分别（-2,0）,（2,0）.直线既、祇相交于

点K,且它们的斜率之和是3,则点K的轨迹方程为（）

A.3%2一2孙-12=0（xw±2）B.3y之一2冲-12=0（1±±2）

2222

C.—+—=1（x±2）D.——=l（xw±2）

43v734v7

【典例1-2】已知等腰三角形A3C的一腰的两个端点分别是A（4,2）,B（-2,0）,|AB|=|AC|,则另一腰的一个

端点C的轨迹方程是（）

A.x2+y2-8x-4y=0

B.x2+/-8.r-4y-20=0（除去（—2,0）,（10,4）两点）

C.x2+y2+8x+4y-20=0（除去（—2,0）,（10,4）两点）

D.x2+y2-8x-4y+20=0（除去（—2,0）,（10,4）两点）

【变式1-1］（2024・高三.黑龙江哈尔滨・期末）点P到直线y=3的距离比到点F（0,-l）的距离大2,则点尸的

轨迹方程为（）

A.y2=2xB.y2=-4xC.x2=4yD.x2=-4y

【变式1-2］在平面直角坐标系中，若定点4（1,2）与动点P（x,y）满足向量。户在向量以上的投影为一行,

则点尸的轨迹方程为（）

A.x-2y+5=0B,x+2y-5=0

C.x+2y+5=0D.x~2y—5=0

【变式1-3］（2024•浙江温州•一模）动点M（x,y）到定点/（T,0）的距离与/到定直线/：*=一宁的距离

的比等于力4，则动点以的轨迹方程是（）

A.3=lIT

B.

2592516

产+炉一1

cD.

2592516

题型二：定义法

【典例2-1】已知圆/+（,+3）2=9和圆Q：x2+（y-3）2=l,动圆M同时与圆G及圆Q外切，则动圆

的圆心M的轨迹方程为一.

【典例2-2】已知定点P（-4,0）和定圆Q:/+V=8x,动圆加和圆。外切，且经过点P,求圆心M的轨

迹方程

【变式2-1】已知圆G：（X+1）2+V=25,圆C2：（X—1）2+/=1,动圆M与圆C,外切，同时与圆G内切，

则动圆圆心M的轨迹方程为（）

.X2X2J2

A.——+y2=1B.—+—=1

332

/Y2V2

C.—+/=1D.—+^=1

9-98

【变式2-2］已知”（-2,0）,P是圆N:/-4无+/-32=0上一动点，线段MP的垂直平分线交NP于点。,

则动点。的轨迹方程为—.

【变式2-3】已知定点砥1,0）,圆乱/+;/+2尤-15=0,过R点的直线4交圆于M,N两点过R点作

直线右〃SN交于。点，求。点的轨迹方程；

【变式2-4】设。为坐标原点，尸（2,0）,点A是直线x=-2上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线/,

过点A作y轴的垂线交/于点P,则点P的轨迹方程为一.

【变式2-5］（2024•山东青岛•一模）已知A（-2,0）,8（2,0）,设点尸是圆/+9=i上的点，若动点Q满足:

QPPB=O,。2=2］舄+f|即］，则。的轨迹方程为（）

A./上=iB.--y2^lC.—+/=1D.J匚1

335-62

【变式2-6］（2024•江苏南通•模拟预测）已知圆C的方程为炉+产=16,直线/为圆C的切线，记

A（-2,0）,8（2,0）两点到直线/的距离分别为4,4,动点尸满足1PH=&,|冏=%，则动点尸的轨迹方程

为（）

题型三：相关点法

【典例3-1】设过点尸（苞耳的直线分别与无轴的正半轴和y轴的正半轴交于4、B两点，点。与点尸关于y

轴对称，O为坐标原点.若BP=2PA，且OQ-AB=1,则点尸的轨迹方程是—.

【典例3-2】（2024•高三・江西•开学考试）已知面积为9的正方形ABCD的顶点A、3分别在X轴和V轴上滑

2:05,则动点P的轨迹方程是（）

动,O为坐标原点，OP=-OA+

A.J匚1%-—1

B.

3248

I_i

VC-X.--------1-------------1D.

4984

,2

【变式3-1】已知耳耳分别为椭圆氏工+y2=i的左、右焦点，尸是椭圆E上一动点，G点是三角形

9

尸片耳的重心，则点G的轨迹方程为（）

A.x2+9y2=lB.x2+9y2=l(y^0)

22

C,工+2=1D.工+工=l(y#0)

819819'

?1

【变式3-2]已知点尸是椭圆一+丁=1上的动点，9，%于点“，若PN=^NM,则点N的轨迹方程

22

为（）

x2J/B-1

A.---1-=-1--D.-----------1---=1

2424

Cx\4y2T

D-T+y=1

29

【变式3-3]（2024.高三.重庆・期中）长为2的线段A3的两个端点A和6分别在工轴和'轴上滑动，则点A

关于点石的对称点”的轨迹方程为（）

A.—+^=1B.^+―=1=i

0I4D

4242-

题型四：交轨法

22

【典例4-1】已知A,B分别为椭圆土+上=1的左、右顶点，点跖N为椭圆上的两个动点，满足线段

43

与无轴垂直，则直线MA与A®交点的轨迹方程为、

【典例4-2】已知椭圆C：二+工=1(.>6>0)的离心率为近,

且经过妁1,当，经过定点7(1,0)

ab27

斜率不为。的直线/交C于E,尸两点，A,8分别为椭圆C的左，右两顶点.

(1)求椭圆C的方程;

⑵设直线AE与BF的交点为P,求P点的轨迹方程.

,2

【变式4-1】设a，4是椭圆土+匕=1与x轴的两个交点，耳鸟是椭圆上垂直于da的弦的端点，则直线

94

A出与4鸟交点的轨迹方程为()

2222

A.-+=1(x+3)B.+—=l(x^±3)

94v794I7

x2

cD.4

.94

【变式4-2](2024•江苏苏州•模拟预测)已知点A(I,O),3(0,1),C(l,l)和动点尸(x,y)满足/是尸

PA-PC的等差中项.

(1)求尸点的轨迹方程;

(2)设尸点的轨迹为曲线。按向量。=平移后得到曲线C?,曲线G上不同的两点N的连线交、

轴于点2(0,3,如果NMON(。为坐标原点)为锐角，求实数b的取值范围;

(3)在(2)的条件下，如果6=2时，曲线G在点/和N处的切线的交点为R,求证：R在一条定直线上.

【变式4-3】已知椭圆C：W+£=l（a>b>0）经过点尸（0,-1）,且离心率为逅.直线y=履+3与C交于

ab2

A3两点，连结尸AP3.

（1）求.2B面积的最大值；

⑵设直线PAPB分别与x轴交于点M,N,线段肱V的中点为Q,求直线产。与直线43的交点H的轨迹方

程.

【变式4-4】抛物线C的对称轴为x轴，定点为坐标系原点，焦点厂为直线与坐标轴的交点.

⑴求C的方程；

（2）已知尸（0,-1）,过点尸的直线交C与M,N两点，又点。在线段MV上（异于端点），且

\PM\-\QN\=\PN\-\QM\,求点。的轨迹方程.

【变式4-5】已知矩形ABC。中，A8=2«,8C=2也,E,EG,〃分别是矩形四条边的中点，以矩形中心。

为原点，所在直线为了轴，EG所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线衣,5。上的动

点R,S满足OR=WF,CS=eR）.求直线与直线GS交点尸的轨迹方程.

2

【变式4-6］（2024.高三.湖北.期末）已知双曲线C与双曲线上-f=i有相同的渐近线，且双曲线。的上

4

焦点到一条渐近线的距离等于2.

⑴已知M（Oj）（f>4）,N为C上任意一点，求|肱V|的最小值；

（2）已知动直线/:y="+加（丘±2）与曲线c有且仅有一个交点尸，过点尸且与/垂直的直线I、与两坐标轴分

别交于A（x（）,O）,B（O,y（））.设点Q（%%）.

（i）求点。的轨迹方程；

（ii）若对于一般情形，曲线C方程为上-1=1,动直线/方程为>=丘+〃?「*±：〕，请直接写出点

a2b-Ib）

。（%为）的轨迹方程.

【变式4-7］（2024.吉林•模拟预测）已知双曲线C:斗=1（。>0,6>0）的左、右顶点分别为

ab

A（-l,0）,B（l,0）,动直线/过点M（2,0）,当直线/与双曲线C有且仅有一个公共点时，点8到直线/的距

离为立

2

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）当直线/与双曲线C交于异于A8的两点P,。时，记直线AP的斜率为左,直线BQ的斜率为

（i）是否存在实数为，使得网=几勺成立，若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由；

（ii）求直线AP和BQ交点E的轨迹方程.

题型五：参数法

【典例5-1】方程x2+y2-4tx-2ry+3r-4=0（r为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通

方程）

【典例5-2］已知A（-1,4）,3（2,1）,0是坐标原点，点尸满足8=/1。4+〃08,且几+〃=2,则点尸的轨

迹方程为（）

A.x-y=lB.x-y=2C.x+y=3D.x+y=6

【变式5-1］已知A（2cose,4sin。），B（2sin。,Yeos。），当6eR时，线段AB的中点轨迹方程为.

2222

【变式5-2】己知。为坐标原点，OI：x+y=4,O2:x+y=l,A是&上的动点，连接。1,线段

。4交<4于点8,过A作尤轴的垂线交无轴于点C,过B作AC的垂线交AC于点。，则点。的轨迹方程

为—.

【变式5-3】已知在R4B中，AB=8,以A8的中点为原点。，所在直线为无轴，建立平面直角坐标系,

设=ZPBA=/3,若cos(a+6)+cos21a；尸[sin?[.2.[=sin]a；V]cos2]a2-]，则点P的

轨迹方程为一.

题型六：点差法

/v23

【典例6-1】已知椭圆二+乙=1,一组平行直线的斜率是:，当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得

492

的线段的中点轨迹方程是一

【典例6-2]己知椭圆]+y2=l.

(1)过椭圆的左焦点尸引椭圆的割线，求截得的弦的中点尸的轨迹方程；

(2)求斜率为2的平行弦的中点。的轨迹方程；

(3)求过点且被以平分的弦所在直线的方程.

2222

【变式6-1】我们把由半椭圆=+与=1(xN0)与半椭圆与+J=1(xV0)合成的曲线称作“果圆”，其中

abbc

a2^b2+c2,a>0,6>c>0.如图，点瑞、耳、F?分别是相应椭圆的焦点，司、&和耳、之分别是“果

圆”与无轴、y轴的交点.

(1)若△与的工是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程;

⑵当|A4|>|4闵时，求，的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦，求斜率为o的平行弦中点的轨迹方程.

22

【变式6-2】己知：椭圆二+21=1,求：

164

（1）以P（2,-l）为中点的弦所在直线的方程;

（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.

题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹

【典例7-1】已知点P是正四面体A-3CD内的动点，E是棱C。的中点，且点P到棱A3和棱CD的距离

相等，则点尸的轨迹被平面ABE所截得的图形为（）

A.线段B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

【典例7-2］（2024.广东梅州•一模）如图，正四棱柱ABCD-ABCR中，AAi=2AB=2,点尸是面

AB瓦4上的动点，若点尸到点2的距离是点尸到直线A3的距离的2倍，则动点尸的轨迹是（）的一部

分

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【变式7-1】已知直线机<=平面a,直线“〃平面a,且根_1_”.若尸是平面a上一动点，且点尸到直线机、

”的距离相等，则点尸的轨迹是（）

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【变式7-2］在长方体ABCD-ABC'。'中，点P在矩形ABCD内（包含边线）运动，在运动过程中，始终

保持到顶点8的距离与到对角线8'。所在直线距离相等，则点P的轨迹是（）

A.线段B.圆的一部分

C.椭圆的一部分D.抛物线的一部分

【变式7-3】已知线段A8与平面。所成的角为60。，点8为斜足，在平面a上的动点尸满足=30。,

则点P的轨迹是()

A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一部分

【变式7-4］已知正方体4G2的棱长为a,点尸是平面A3CD内的动点，若点尸到直线的

距离与到直线CD的距离相等，则点P的轨迹为()

A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.圆

题型八：复数与圆锥曲线的轨迹

【典例8-1］已知i为虚数单位，且％=丹，复数z满足|z-z0|=l,则复数z对应点的轨迹方程为(

A.(x-l)2+(y+l)2=4B.(x-l)2+(y+l)2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=lD.(x-l)2+(y-l)2=1

【典例8-2】(2024•全国•模拟预测)已知i为虚数单位，且z°=W，复数z满足|z-z0|=l,则复数z对

l+2z

应点的轨迹方程为()

A.(x-l)2+(y+l)2=4B.(x-l)2+(y-l)2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=1D.(x-l)2+(y-l)2=1

【变式8-1］设非零复数Z。是复平面上一定点，%为复平面上的动点，其轨迹方程|Z「Z0|=|ZJ,Z为复平

面上另一个动点满足Z|Z=-1,则Z在复平面上的轨迹形状是()

A.双曲线B.圆C.一条直线D.抛物线

【变式8-2］(2024•陕西咸阳.三模)设复数z满足|z+i|=l,z在复平面内对应的点为P(x,y),则点尸的轨

迹方程为()

A.(x+l)2+y2=1B.(x-l)2+y2=1

C.%2+(y-l)2=lD.x2+(y+l)2=1

【变式8-3］设复数z=(l+cose)+i-sin。(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点(x,y)的轨迹方程

为.

2

【变式8-4］设复数z满足l<z+±K3,则复数z所对应的点Z在复平面上的轨迹方程为

z

题型九：向量与圆锥曲线的轨迹

【典例9-1】已知。是平面上一定点，A，8,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足

OP=OA+A(AB+AC),2c(0,+co),则尸的轨迹一定通过..ABC的()

A.重心B.外心C.内心D.垂心

【典例9-2】。是平面内一定点，A,B,C是平面内不共线三点，动点尸满足OP=OA+〃AB+AC),

Xe［O,E),则尸的轨迹一定通过一45。的()

A.外心B.垂心C.内心D.重心

【变式9-1］在ABC中，S：AC2-AB2=2AM.(AC-AB),那么动点”的轨迹必通过..A5C的()

A.垂心B.内心C.重心D.外心

【变式9・2】(2024•江苏•高三统考期末).中，AH为5c边上的高且B"=3HC，动点尸满足

1.2

APBC=--BC,则点尸的轨迹一定过一ABC的()

4

A.外心B.内心C.垂心D.重心

【变式9-3］己知。=卜-"力，匕=(x+/y),且满足同+小4,则点P(x,y)的轨迹方程为一.

【变式9-4］(2024•湖北咸宁•模拟预测)已知a,6,e是平面向量，e=(l,0),若非零向量“满足

|a|-|e|=2|a-e|,向量。满足忸+4eH，,则b的轨迹方程为；,-可的最小值为.

题型十：利用韦达定理求轨迹方程

丫2V22

【典例10-11(2024•全国•模拟预测)已知椭圆C:5+A=l(a>b>0)的离心率为丁，左、右顶点分别为

ab3

4和4,M是椭圆C上一点，且MA&面积的最大值为3君.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)记O为坐标原点，当点M与椭圆C的顶点不重合时，过点M分别作直线OM,MF,其中直线不过

坐标原点，且不与坐标轴平行，直线OM,板与椭圆C交于异于点M的E,尸两点，直线片£与直线&月

相交于点。，直线。。与直线板相交于点N,求点N的轨迹方程.

【典例10-2］过点A（0,-2）的直线与抛物线产=4尤相交于两点尸，Q,求以。尸，OQ为邻边的平行四边形

的第四个顶点M的轨迹方程.

【变式10-1】已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4/+5/=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点

A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;

（2）若角A为90°,垂直BC于。，试求点。的轨迹方程.

【变式10-2］（2024.江苏南通•二模）己知抛物线C:/=4x,过点（4,0）的直线与抛物线交于A,8两点,

则线段中点m的轨迹方程为.

【变式10-3】已知抛物线C：V=4x,焦点、为F

⑴若点P为C上一点，且|尸典=4,求点P的横坐标.

（2）若斜率为2的直线/与抛物线交于不同的两点A,B,线段中点为M,求点M的轨迹方程.

【变式10-4】已知尸为抛物线/=工的焦点，点在该抛物线上且位于x轴的两侧，OAOB=2（其中

。为坐标原点）.直线A2在绕着定点转动的过程中，求弦A8中点M的轨迹方程.

【变式10-51过抛物线丁=8x的焦点作直线交抛物线于P、Q两点，则线段尸2的中点的轨迹方程为（

A.y=4x-lB.y2=——+1

4

c.r=|-lD./=4(x-2)

【变式10-6］(2024.河南•校联考模拟预测)已知抛物线C:Y=2处(p>0)的焦点/到准线的距离为2,直

线］:y=%(x-4)与抛物线C交于P,。两点，过点尸，。作抛物线C的切线人如若//交于点则点M

的轨迹方程为.

题型十一：四心的轨迹方程

【典例11-1】设点〃、N分别是不等边VABC的重心与外心，已知4(0,1)、B(0,-1),且MN=2A8.则动

点C的轨迹E_；

22

【典例11-2】点M为椭圆上+上=1上一点，片，巴为椭圆的两个焦点，则△耳的内心轨迹方程

95

为.

【变式11-1】己知椭圆C4+4=1(«>O>b>0)过点逑,乎］,且离心率为”.

abI33J2

⑴求椭圆c的标准方程；

⑵若直线/：y=x+7"与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A,B,证明：AMAB的内心在一条定直线上.

【变式口-2】在平面直角坐标系x0y中，已知双曲线经过点A(2,1),点8与点A关于原点

m

对称，C为M上一动点，且C异于A8两点.

⑴求M的离心率；

(2)若4307的重心为人，点。(8,4),求|。刀的最小值;

(3)若△BCT的垂心为A,求动点T的轨迹方程.

【变式11-31求解下列问题:

(1)如图，动圆G：/+丁="，1</<3与椭圆Q：5+>2=1相交于A,B,c,。四点，点A,4分别为

的的左、右顶点.求直线AA与直线的交点M的轨迹方程.

22

(2)已知耳，尸2分别为椭圆C：土+匕=1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，求PE工的重心G的

43

轨迹方程.

【变式11-4］己知VABC的顶点A是定点，边3c在定直线/上滑动，|BC|=4,3c边上的高为3,求

VABC的外心M的轨迹方程.

22

【变式11-5】(2024•河北石家庄•一模)已知坐标原点为。，双曲线C:二-1=l(a>0,b>0)的焦点到其渐

ab

近线的距离为拉，离心率为否.

(I)求双曲线的方程；

(II)设过双曲线上动点P(M，%)的直线瞥=1分别交双曲线的两条渐近线于A,3两点，求VAOB

的外心"的轨迹方程.

1.已知两定点A（-1,O）,3（1,0）,动点P（x,y）满足tanNR钻.tanNFR4=-2,则点P的轨迹方程是（）

A.x2-=1B.%2-^_=i（yw。）

22

C.x?+'=lD.x2+^1-=l（y^0）

2.在圆C:（x-2y+y2=4上任意取一点尸，过点尸作无轴的垂线段尸D,。为垂足.当点尸在圆C上运动

时，线段尸£>的中点M的轨迹方程是（当点尸经过圆与左轴的交点时，规定点M与点P重合）（）

A.4/+（y-2『=4B.x2+4（y-2）2=4

C.4（X-2）2+/=4D.（x-2『+4/=4

3.已知A（3,2）,B（-3,-2）,若动点“满足直线M4与直线MB的斜率之积为;，则动点M的轨迹方程为

2_

A.y2--=1±3B.-r----y?=1,冗w±3

33

C.=1D.—-y2=l

33

4.已知圆C:x2+y2=3,直线/过点A（-2,0）.线段4B的端点B在圆C上运动，则线段4B的中点M的轨迹

方程为（）

A.(%-l)2+y2=|B--J：

C.—=：D.(x+l)2+y2=|

5.已知点尸是圆O：/+y2=4上的动点,作轴于点则线段PH的中点M的轨迹方程为（）

r2j

A.----1-y2=1B.----Fy2=1C.x2+^=lD./+上=1

416164

6.当点A在椭圆工+>2=1上运动时,连接点A与定点5（2022,0）,则A5的中点尸的轨迹方程为（）

4

A(x-2022)上1(%+2022)2y2_

B.

16416T-

C.+/=]D.(x-1011)2+4y2=1

4

7.如图，在圆尤?+丁=4上任取一点P,过点尸作x轴的垂线段PD,。为垂足，当点尸在圆上运动时，线

R321

D.----1----=1

42

D.W+V=1

8.已知两圆G：(尤+4y+y2=9,C2：(x-4『+y2=9,动圆C与圆G外切，且和圆C,内切，则动圆C的圆心

C的轨迹方程为()

A.»g3）B.-----=1

97

C.--^=1D.—-^-=l(x>3)

7997v7

9.(2024•江西景德镇•三模)首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它的

设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中国选

手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助滑道

可以看成一个线段尸。和一段圆弧QM组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧QM所在圆的方程为

(x+10)2+(y-3)2=128,若某运动员在起跳点加以倾斜角为45且与圆C相切的直线方向起跳，起跳后的

飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为()

A.%2=Y（y+4）B.y=--x2-3

2

一*+）

C.%2=—32（y-1）D.y=4

10.（2024・陕西咸阳・模拟预测）已知椭圆〃方程为一+>2=1,过平面内的点尸作椭圆"的两条互相垂直

4

的切线，则点尸的轨迹方程为（）

22

A.x+y=5B.%2+>2=4

C.V+y2=3D.x2+/=-

2

2

11.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）已知双曲线炉-q=1与直线/：y=依+加伏片±2）有唯一的公共点M,

过点M且与/垂直的直线分别交无轴、N轴于A（龙,0）,3（0,y）两点.当点M运动时，点P（x,y）的轨迹方程

是（）

r29

A.>2=l(yW0)B---j2=l(y^0)

C》"（"。）DL("°)

12.（2024.湖北.模拟预测）如图，己知圆圆N:（x-2y+（y-3）2=l,己知尸为两圆外的动

点，过点P分别作两圆的割线和PCD,总有NPC4=/PBD,则点P的轨迹方程是（）

B.J+y—2=0

D.f—y2=5

32

13.设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点。与点P关于y轴对称,

O为坐标原点，若BP=2PA且AB=1，则点P的轨迹方程是（）

33

A.3x2+—y2=l（x>0,y>0）B.3x?-3/=1（尤>0,y>0）

33

C.-y2-3x2=l（x>0,y>0）D.//+3/=1（尤>0,y>0）

14.（2024•陕西咸阳•模拟预测）如图，点尸是正方体与G2面A4G2内的动点，且点尸到棱

CG和面A4.B由的距离相等，则点p的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线

15.（2024.北京延庆•一模）己知在正方体ABCD-ASG2中，AB=\,P是正方形ABC。内的动点，

PANPG，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）

A.-B.-C.—D.-

84168

16.已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，M■为正方形ABCD对角线的交点，动点尸在圆柱下底

面内（包括圆周）.若直线㈤以与直线MP所成的角为45。，则点尸形成的轨迹为（）

A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.双曲线的一部分D.圆的一部分

17.在四棱柱ABCD-AB|G2中，己知侧棱。2,底面A3CD,P为底面A3CD上的动点.当？PC的

面积为定值6（6>0）时，点尸在底面ABCD上的运动轨迹为（）

A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

18.已知圆C/:（尤+3）2+y2=l和圆C2：（X—3）2+y2=9,动圆M同时与圆。及圆C2相外切，则动圆

圆心M的轨迹方程为一.

19.已知定点44,-2）和曲线/+丁=4上的动点2,则线段AB的中点P的轨迹方程为.

20.设工为椭圆c：£+3=l的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点尸的轨迹的

1612

方程为—.

21.设O为坐标原点，/（2,0）,点A是直线x=-2上一个动点，连接并作AF的垂直平分线/,过点A

作y轴的垂线交I于点P,则点P的轨迹方程为一.

22.（2024・广东・一模）如图，在矩形ABCD中，|相|=8,忸C|=6,E,£GH,分别是矩形四条边的中点，点

。在直