2025年新高考数学一轮复习：数列（测试）（学生版+解析）

第六章数列（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.等比数列｛叫的前〃项和S“=4i+t,贝旷=（）

A.—IB.—C.—D.—

423

2.已知等差数列｛%｝中，的是函数/（x）=sin（2x-*）的一个极大值点，则tan（%+%）的值为（）

A.gB.百C.±73D.-73

3.正整数L2,3,，”的倒数的和1+:+：++,已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求

23n

和公式，只是得到了它的近似公式，当"很大时，i+D+工。山〃+九其中/称为欧拉-马歇罗尼常数，

23n

0.577215664901,至今为止都不确定/是有理数还是无理数.设印表示不超过x的最大整数，用上式计

算］1+:+>+/］的值为（）

（参考数据：1112go.69,ln3»1.10,In10«2.30）

A.10B.9C.8D.7

4.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，若。2。4+2。3%+。4。6=16,则%+生=（）

A.1B.2C.3D.4

5.已知实数a,b,c构成公差为d的等差数列，若abc=2,b<0,则d的取值范围为（）

A.卜8,-6）。［白,+8）B.（-00,-2）32,+8）

C.卜D.（-00,-3）U［3,+ao）

6.已知％=〃•（令2,则数列｛q,｝的偶数项中最大项为（）

A.4oB.%C.4D.%

7.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次

*，、c111

构成一个数列｛%,｝的前4项.记S=—+—+-•-+----，则下列结论正确的为（）

a

\。2400

A.S>—B.S=—

77

QQ

c.D.S与J的大小关系不能确定

77

8.给定函数〃x）,若数列｛玉｝满足无田则称数列｛玉｝为函数“X）的牛顿数列.己知｛x｝为

77W,n

x—2

/（x）=d-无一2的牛顿数列，,且q=l,无“>2（7ZWN+）,数列几｝的前，7项和为s”.则82023=

Xn+1

)

A.22023-1B.22024-l

D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（）

A.当“eN*时，S”，S2m,S3nl是等差数列

B.数列｛e'"｝是等比数列

C.数列［十｝是等差数列

sS-S

D.当p,q均为正整数且。二4时，~工

p+qp-q

10.记数列｛q｝的前〃项和为5“,5“=4〃+84、8为常数.下列选项正确的是（）

A.若1A+3=1,则4=1B.若A=2,贝!J%=2

C.存在常数A、B,使数列｛4｝是等比数列D.对任意常数A、B,数列｛q｝都是等差数列

11.设等比数列｛%｝前"项积为】，公比为心若%>1,«2023«2024>1-<0,则下列结论正确的是

“2024—1

)

A.0<^<1B・〃2023〃2025一1〉0

C.当〃=2023时，1取最大值D.使（＞1成立的最大自然数"是4046

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1117

12.已知在递增的等比数列｛q｝中，ata2a3=1,y+—+y=则数列｛?｝的通项公式为为=.

13.设数列｛%｝的通项公式为%=/-"/eN*,该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数

列也）,则小被7除所得的余数是,

"11"12"13人1

。12。13tl

“21“22623

%1①2。23

已知数表（"）=a（）41”32833

14.A",。31〃32。333n,Bn,n=

yanlan2an3ann）4bn2bn3bnn,

其中4,c..（z,jeN*,i,/W分别表示A（",n）,C（〃,“）中第i

行第/列的数.若&=%%+%%•++ai„b„j,则称C（”,"）是人（〃,"），/〃,〃）的生成数表.若数表

2_2_、

4（2,2）=[：[,3（2,2）=520,且C（2,2）是A（2,2）,3（2,2）的生成数表，则C（2,2）=.

IJI/U

55,

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已知数列｛q｝为公差不为零的等差数列，其前〃项和为3，£=49,且0，%，如成等比数歹！J.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若数列｛。,+2｝是公比为3的等比数列，且2=22,求也｝的前“项和】.

16.（15分）

已知数列｛q｝的首项%=3,且满足。同=24-1（neN,）.

⑴求证：数列｛4-1｝为等比数列；

⑵记〃=log,（a“-l）,求数列的前〃项和S,i,并证明:

bb

[„n+iJ2

17.(15分)

已知正项数列｝的前"项和为S"，且满足q=1,Sn="•试求：

(1)数列｛%｝的通项公式；

(2)记]=%,，数列,'1的前"项和为T,,当时，求满足条件的最小整数”.

匕£“+1J9

18.(17分)

已知｛4“｝是等差数列，公差d*0,4+%=8,且％是为与%的等比中项.

(1)求｛%｝的通项公式

⑵数列也｝满足"含=2%，且4=]

(i)求也｝的前w项和S..

(ii)是否存在正整数相，”(m^n),使得邑，品“，邑”成等差数列，若存在，求出“，”的值;

若不存在，请说明理由.

19.(17分)

如果〃项有穷数列｛%｝满足4=%,a2=an_r,a”=a、,即q=4T+][=1,2,JI),则称有穷数列｛%｝

为“对称数列”.

⑴设数列也｝是项数为7的“对称数列”，其中乙也也也成等差数列，且么=3,々=5,依次写出数列也｝

的每一项；

⑵设数列｛g｝是项数为2"1(丘N*且处2)的“对称数列”，且满足高+「。”|=2,记5"为数列｛&｝的前

”项和.

①若Q,c2,q构成单调递增数列，且&=2023.当％为何值时，S21取得最大值？

②若q=2024,且邑i=2024,求上的最小值.

第六章数列（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.等比数列｛%｝的前“项和S"=4"T+f,贝心=（）

A.—1B.—C.—D.一

423

【答案】B

【解析】若等比数列｛4｝的公比为1，

因为S]=t,S2=4+t,S3=16+/,

贝|]4+，=21,16+，=3，，矛盾，故qwl

设等比数列｛%｝公比为q｛qN1）,则Sn="_组二

1-q1-q1-q

即等比数列｛%｝的前〃项和S“要满足Sn=AB"-A（AB^Q）,

又因为臬=47+r=Jx4"+f,所以/

44

故选：B

2.已知等差数列&｝中，%是函数/（X）=sin（2x-令）的一个极大值点，则tan@+的）的值为（）

A.gB.百C.±73D.-73

【答案】D

【解析】由正弦函数性质知，当2X-£=]+2E,即x=1+E,左eZ时，函数/（x）=sin（2x-令）取得极大值，

JT2冗

则〃7=§+阮,左£2,由等差数列性质，得%+偈=2a）=工~+2E,k£Z,

27r2TL7LTCI-

所以tani%+的）=tan（---b2kn）=tan——=tan（7i——）=-tan—=73.

故选：D

3.正整数1,2,3,，”的倒数的和i+:+：++!已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求

23n

和公式，只是得到了它的近似公式，当“很大时，1+!+:++!。皿/+九其中/称为欧拉-马歇罗尼常数，

23n

0.577215664901,至今为止都不确定/是有理数还是无理数.设印表示不超过x的最大整数，用上式计

算心>的值为（）

（参考数据：In2«0.69,ln3-1.10,lnl0«2.30）

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

111*

【解析】设…+万+”+产N,则―+九

因为4+1-%1+-+-+L

23

可知数列｛q｝为递增数列,

且4800~In1800+/=ln2+21n3+21nl0+/®8.07,

〃2048xIn2048+/=llln2+/«8.17,

可知8.07<%024<817,所以l+j+[+L+=[〃20241=8.

故选：c.

4.在各项均为正数的等比数列｛%｝中，若。2%+2%%+%R=16,则%+。5=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由。2a4+2%%+。4a6=16得2%%+。；=16,即(4+%)2=16,

因为等比数列｛%｝各项均为正数，所以%+%=4,

故选：D.

5.已知实数a,b,c构成公差为1的等差数列，若abc=2,b<0,则］的取值范围为()

A.卜8,-右)。［百,+8)B.(-00,-2)U［2,+00)

C.卜8,-石卜［石,+8)D.(-00,-3)U［3,+00)

【答案】A

【解析】由实数。，6,c构成公差为d的等差数列，所以设a=〃-d,c=b+d,

贝abc=b｛b2-d2)=2,所以屋=片仅<0),

构造函数/仅)=廿一?仅<o),川6)=变士D，

bJ\/及

当be(y,-l)时，f\b)<0,所以此时46)单调递减,

当be[T,O)时，/(/7)>0,所以此时八6)单调递增,

所以/(6)的最小值为"-1)=3,

当6趋近于-8时，/。)趋近于+如当6从负方向趋近于。时，/(4也趋近于田,

所以屋e[3,+oo）,所以de（-w,-石）-[g,+oo）.

故选：A.

6.已知%=〃・，产2,则数列｛q｝的偶数项中最大项为()

A.%oB.%C.a6D.%

【答案】D

【解析】数列｛4｝中，a"："，)'会,4n+l

~~5X~n~'

4〃+1

令--->1,解得“<4,则当”<4时，a>a,即%>%>。2>%，

5nn+1n

同理当〃>4时，an+i<an,即%>4>%>%>-，而当〃=4时，%=%，

所以数列｛q｝的偶数项中最大项为明.

故选：D

7.如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依次

构成一个数列｛为｝的前4项.记S='+'+…+」一，则下列结论正确的为()

QQ

C.SqD.S与了的大小关系不能确定

【答案】C

【解析】由图分析可知％=1，%=8%+1=8+1,

t/j=8a,+1=8（8+1）+1=8i+8+1,

9897

依次类推，«100=8"+8+8++8+1,

LL…+-+J1

所以5=++8"+89S+897+~+8+1

“loo8+18+8+1

100

b1-

100

<"+3++1_818

1-<—•

882萨=一1-1787

8

故选：C.

8.给定函数若数列｛玉｝满足斗+|=尤“-尧J,则称数列｛玉｝为函数的牛顿数歹I」.已知｛■为

%—2

〃x）=x2-x-2的牛顿数列，«„=ln^—且q=l,x.>2（〃eN+）,数列｛见｝的前〃项和为S”.则£023

当+1

）

A.22023-1B.22024-1

20222023

C.II-1D.I-1

【答案】A

七一2_片+2

【解析】由/（尤）=x?—无一2可得/'（无）=2*—1,xn+l=xn

2尤“一12x„-l

看+2

'尤「2

彳用一22・1一2I,则两边取对数可得In

X+1

n+1片+2।]、%+1尤.+1+1Z+1.

2%,-1

即4角=2玛，所以数列｛凡｝是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以％23=22023—1.

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设等差数列｛见｝的前"项和为S“，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（）

A.当mEN*时，Sm，s2m,S3”是等差数列

B.

C.数列是等差数列

D.当p,q均为正整数且p—g时，上Ji~工

p+qp-q

【答案】BCD

【解析】对于A,令根=1,贝!]邑-$1=出，S3~S2=a3>

当dW0时，a2w/，即星—5户S3—S2,

所以跖，邑，邑不是等差数列，故A错误；

,、pan+\

对于B,设｛g｝的公差为d,则==■，「％=/（定值），

e”

所以付”｝是公比为e”的等比数列，故B正确;

n(n-1),

是公差墙的等差数列’故°正确;

对于C,故

nn22n

(p+q)(p+4-l)

(0+q)q+d_d.、d,

对于D,%2

—=5(P+9)+4一耳

p+qP+Q

p(p—l)」q(q-1),

—d-qax+---——d

Spf

p+qp-q

故选：BCD.

10.记数列｛4｝的前〃项和为S“,S,=An+B,A,8为常数.下列选项正确的是（）

A.若A+_B=1,则。1=1B.若A=2,则电二2

C.存在常数A、B,使数列｛%｝是等比数列D.对任意常数A、B,数列｛4｝都是等差数列

【答案】ABC

【解析】对于A,若A+B=l,则4=R=A+5=l,A正确；

对于B,若A=2,则%=S2—S]=（2A+5）—（A+5）=A=2,B正确；

对于C,由+5得〃1=S]=A+5,

当孔22时，％==（即+B）-[.1）+5]=A,

所以，当5=0,Aw0时，数列｛“J是公比为1的等比数列，C正确；

对于D,由上知，当几>2时%=A,若5w0,则%-4=A-（A+_B）=-Bw%-%=0,

此时，数列｛g｝不是等差数列，D错误.

故选：ABC

11.设等比数列｛q｝前W项积为】，公比为心若为>1,出。23%024>1，线匚1<°,则下列结论正确的是

°2024—1

（）

A.0<4<1B.。2023a2025-1>0

C.当〃=2023时，1取最大值D.使（>1成立的最大自然数〃是4046

【答案】ACD

a—1

【解析】A选项，4>1,a7T<0,故“2023>I“2024<1或〃2023VL〃2024>，

。2024T

当〃2023<I〃2024>1日寸，由〃2023a2024>矢口〃2024>L。<。2023<1，

所以4=咏«1,+功，但产2=咏«0,1),互相矛盾，舍去,

〃2023%

当“2023>I“2024<1时,又出023%024>1，所以“2023>L。<4024<1，

故好咏40,1)满足要求，A正确；

“2023

B项，^2023^2025—1="2024—1<°,B错；

C选项，因为“2023>1，。<%024<］，°V,V1,

故当〃=2023时，（取最大值，C正确;

D选项，由于4>%>>4023>1，故当1<九工4045时，

1(1(5〈)与045=,。4044。4045=(“2023))1，

n046=”4045”4046=(〃1。4046)=(〃2023。2024)>】'

4047=4%^4046^4047=(^^4047)%024=(%024)<1'

使，>1成立的最大自然数场是4046,D正确.

故选：ACD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知在递增的等比数列｛4｝中，axa2a3=1,-+—+—=则数列｛〃〃｝的通项公式为。〃=

【答案】2日”N*）

【解析】设等比数列｛q｝的公比为9，因为％%%=1,所以4=1,解得％=1，

=1

1117

又/+丁+丁=5，所以有<115,

-----1------

2

由｛%｝是递增的等比数列,解得q==2,

所以4=&=2,即有a"」x2"T=27.

%2

故答案为：2-2（«eN*

13.设数列｛%｝的通项公式为风="-〃,〃£N*,该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数

列也｝，则b20K被7除所得的余数是

【答案】0

【解析】因为%=〃3Tz="（"—1）5+1）,所以当”的个位数字为1,4,5,6,9,0时,

凡的个位数为0,则在数列｛%｝中，每连续10项中就有6项的个位数字为0,

而2017=336x6+1,由此推断数列也｝中的第2017项相当于数列｛q｝中的第3361项,

即3>i7=a336i=336F-3361,而3361=480x7+1,所以3361除以7余数为1,

而（7左+叶=（7左）3+3（7左）2+3（7左）+1,keNf,所以336F除以7余数也为1,

而它们的差336F-3361一定能被7整除,所以优。”被7除所得余数为0.

故答案为：0.

an“12

022

14.已知数表A（〃,〃）=，B(〃,〃)=832

b

旧1氏2氏3“砧)*„n)

C(/Z,77)=，其中阳也,与wN*工分别表示A（〃㈤，B（n,n）,中第i

Cn3Cnn>

行第，列的数.若0=生氏+生2b2j++*,则称是A（〃〃），的生成数表.若数表

31

8520

A(2,2)=,8(2,2)=，且C（2,2）是4（2,2）,8（2,2）的生成数表，则C（2,2）=

I26

J5，

20

【答案】

12

［解析］由题意，得C"=4岛+%2。21=gx^+lXy=2,

12

。21~］+%2,21=4x—+3x—=2,

+lx|=O,

c12=anbl2+%2b22=8x

c

22=a2ib]2+a22b22=4xfj+3x-|=3,

-2,2）=］：

故答案为：131

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

已知数列/｝为公差不为零的等差数列，其前w项和为S“，S7=49,且％,%,附成等比数列•

⑴求｛屐｝的通项公式；

⑵若数歹岂q+2｝是公比为3的等比数列，且4=22,求也｝的前"项和

【解析】（1）因为｛碑｝为等差数列，设公差为d,

由跖=49,得（％+；）义7=7%=49,=2=7即％+3d=7,

由%，生，知成等比数列得d=为“4，n（7+d）2=（7-2d）（7+10d）,（3分

化简（7+d）2=（7-2d）（7+10d）得42_2d=0,因为1W。，所以d=2.

所以=%+（〃—4”=2〃-1（〃£?4*）.

综上。〃=2〃—l（nwN*）.（6分）

（2）由〃〃=2fl-1知。［=1,%=5,

又｛凡+2｝为公比是3的等比数列，4=22,

所以的+4=（4+4）x9=5+22=27,即〃1+,=1+4=3,

所以+么=3x3M=3〃，％=3〃—（2〃一1）,（〃eN*）（10分）

所以7；二4+打+仇+…+勾=31+32+33+3+3〃一口+3+5+―+（2〃-1）］

3x（l-3"）（l+2〃-3"+i-32

=--------------------------------=------------n-

1-322

综上至士一（13分）

“2

16.（15分）

已知数列｛q｝的首项巧=3,且满足%+1=2为一1（〃eN*）.

⑴求证：数列｛q-1｝为等比数列；

⑵记〃=log,（4-1）,求数列;的前"项和S,,并证明

〔她+J2

【解析】（1）由%=2an-l（neN*）得为口-1=2（a—1）,（〃eN*）,

又q-l=2,所以｛%-1｝是首项为2,公比为2的等比数列.（6分）

（2）由（1）知，4-1=2X2"T=2",所以々=log2（a〃-1）=〃

1111

所以〃〃_=，加=----77，（10分）

bnbn+in（n+1）nn+1

s“=4+H+4++bn

223nn+ln+1n+1

当“eN”时，S„=l--匚单调递增，

（15分）

n+12

17.（15分）

已知正项数列｛a,,｝的前"项和为S.,且满足％=1,S“=.试求：

⑴数列｛%｝的通项公式；

1,I2

（2）记c,,=a,“，数歹"——的前”项和为当时，求满足条件的最小整数".

cc

[„„+l\9

【解析】（1）因为s.=安,

当〃=1时，4=n%=2,

当几之2时，（3分）

因为S,=4件,

两式相减得，。〃吟口+1-。〃-1）,

因为%>0,所以2=%+i-4_i,（6分）

所以｛⑸一/，｛%｝均为等差数列，%.1=2〃-1，a2n=2n.

所以（7分）

112〃.2：+1）T-,

（2）由题意得,

"〃+1a2na2（n+\）

所以4+（10分）

2

因为

bi、in2

所以4(〃+1)>9'

解得〃>8.所以满足条件的最小整数”为9.(15分)

18.(17分)

已知｛。,｝是等差数列，公差1*0,%+%=8,且％是%与%的等比中项.

(1)求｛屐｝的通项公式

⑵数列也｝满足与含=2%,且伪=1

°n°n+\/

(i)求也｝的前W项和S“.

(ii)是否存在正整数加，n(祇。〃)，使得S2m,S2,,成等差数列，若存在，求出相，”的值;

若不存在，请说明理由.

【解析】(1)因为｛“为等差数列，且q+%=8,所以％=4.

又能是%与%的等比中项，所以即16=(4—2d)(4+4d).

化简得cP—4=0,解得d=l或d=0(舍),

所以4=<23+e-3)xl=〃+l.(5分)

(2)(i)由，；7""=2a”,得，-一1=2a“，所以〈■—?—=2。“_[(M>2),又瓦=，,

她+i%b,bn%2

..1f11)(11)(1111

bb

n14n-i)(%bn_2)[b2bjb｛

=2%+2an_2++2ax+-^-=4(n-l)+――—―x2