2025年中考数学复习：二次函数求整点个数专项练习

二次函数求整点个数专项练习

方法突破练

1.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.求直线y=-%+4与坐标轴围成的区

域内（不包括边界）整点的个数.

♦r

JTx

I

-T

第1题图

2.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线y=x2+2招当-8WxW

8时，求抛物线上整点的个数.

第2题图

3.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知抛物线y=%2-2,将该抛物线与

x轴围成的区域（含边界）记作W,求区域W内整点的个数.

第3题图

4.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，把直线y=久与抛物线y=/—%—

3围成的封闭区域（不包含边界）记作W,求区域W内整点的个数.

_Tr_-_^-4一

I—

—

+—

_._1-_1-3一

J141

_+_I-.1--

±JI412

_l_I-一;-1-

—

x

第4题图

5.在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.把双曲线y=|与抛物线y=-x2+

2x+3围成的封闭区域（包含边界）记为W,求区域W内整点的个数.

1111

卜|-j

lilt

112!3

第5题图

设问进阶练

例在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=/-4%+3.我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

⑴将该抛物线与直线y=%+ll所围成的封闭区域（不含边界）记为Wi,求Wi内整点的个数；

⑵将抛物线沿X轴翻折得到新的抛物线yi,将原抛物线与新人,抛物线围成的封闭区域（包含边界）记为加2,求

内整点的个数；

例题图②

（3）创新题•抛物线平移求整点将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到一个新抛物

线y2.将以.新抛物线y2与双曲线y2y=2直线y=3（%<1））围成的封闭区域（不含边界）记为皿。求皿3内整点的

个数

例题图③

综合强化练

L在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+法+3与x轴交于4(-1，0)„B两点，且经过点C(l,4).

⑴求抛物线的解析式及点B的坐标；

⑵设点M(x,y)为抛物线上一点，当-3<%<8时,m<y<n,求代数式n-m的值；n一m

(3)(三种图象围成的区域)我们把横、纵坐标都是整数的点记为整点，抛物线与直线丫=x的上方部分和反比例

函数y=扣勺图象在第一象限围成的封闭图形中(不含边界)有多少个整点?并写出这些整点的坐标.

作图区答题区

y

5

4

3

2

1

呼23456

4-2-

-2

-3

-4

第

图

题

▲7V

5F

4I-

3I-

2I-

1I-

-4-3-2-10123456x

-1

-2

-3

-4

备用图①

y

5

4

3

2

1

-4-3-2-10123456,

-1

备用图②

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线（C］的解析式为y=——（%.我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点.

⑴求抛物线（品与x轴围成的封闭区域（包含边界）内整点的个数；

（2）（两条抛物线围成的区域）若抛物线Q关于原点对称的抛物线为（C2.

①求抛物线（C2的函数表达式；

②直线y=-1分别与Cl,G围成两个封闭的区域W和G,求封闭区域w和G（不含边界）内整点个数的比.

作图区答题区

y

5

4

3

2

1

123456x

第2题图

y

5

4

3

2

1

123456%

备用图①

y

5

4

3

2

1

-4-3-2-10123456人

-1

-2

-3

-4

备用图⑵

一阶方法突破练

1.解:令x=0,得y=4,令y=0,得x=4,

.■直线y=-x+4与坐标轴围成的区域内(不包括边界)整点的个数，即为0<x<4的范围内，直线y=-x+4下方的整

点个数，易知当x=l时，y=3,

，横坐标为1的整点(不包括边界)有2个，同理横坐标为2的整点(不包括边界)有1个，横坐标为3的整点

(不包括边界)没有，

，直线与坐标轴围成的区域内(不包括边界)共有3个整点.

2.解：1•横、纵坐标都是整数的点叫做整点，

，当x=l时,y=3,当x=2时,y=8,...,即当X取整数时，y都为整数，，当-84x48时》抛物线上的整点有8-(-8)

+1=17个

3.解：；抛物线的解析式为y=%2-2,

令Y=°，解得Xi=鱼,尢2=-V2,X

如解图，当-&Wx<鱼时，在x轴上有(-1,0),9,0),(L0)三个整点；

在区域W内部有(0,-1)一个整点；

第3题解图

在抛物线上有(口,-1),(0,-2),(1,-1)三个整点

，区域W内(含边界)整点的个数为7个.

4.解:联立L_7:R,解得-U，如解图，画出直线y=x与抛物线y=%2-%-3,在区域W

vy—x-1-J—s172--1

内有。-2),

(0,-1),(1,0),(1,-1),

(l,-2),(2,0),(2,l)±t7个整点，

二区域W内(不包含边界)整点的个数为7个.

第4题解图

5.解：如解图，画出双曲线y=:与抛物线y=-运+2%+3,抛物线上有(1,4),(2,3)两个整点;双曲线上有(1,2),

(2,1)两个整点;在区域W内有(1,3),(2,2)两个整点；区域W内(包含边界)整点的个数为6个.

二阶设问进阶练

例解：(1)画出抛物线y=x^-4x+3与直线y=x+l如解图①所示，

此时,Wi内(不含边界)的整点有Q,1),(2,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,4)共8个;

X

例题解图①

⑵抛物线y=返_以+3沿x轴翻折得到新的抛物线为=—运+4x-3,

画出抛物线y与抛物线九如解图②所示，两抛物线交点为(L0),(3,0),止匕时,Wz内(包含边界)的整点有(1,0),(2,-

1),(2,0),(2,1),(3,0)共5个

例题解图②

(3)抛物线y=大一4x+3向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到新抛物线"=0-1)2

-3,画出新抛物线yz与双曲线y=：及直线y=3(x41),如解图③所示，

6一Ir-T-

—

5-—T-

2--

--l--

-L—-

s

-

-t.4S

lMX

--「

——

；

「

十-

—T

+-1

J.

例题解图③

此时,W3内(不含边界)的整点为(-L2),(0,2),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-2),(L-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,1),(2,0),(2,-1)共1

3个.

三阶综合强化练

1.解：(1),.抛物线y=ax2++3与x轴交于A(-l,0),B两点，且经过点C(l,4),

二将A,C两点的坐标代入，

得(a—b+3=0解得俨=—1

型la+b+3=4'蝌守Ib=2'

，抛物线的解析式为y=-x2+2%+3,

令y=0,解得x=-l或x=3,

二点B的坐标为(3,0);

(2)由(1)知抛物线的解析式为y=一/+2久+3,

抛物线的对称轴为直线x=l,-l<0,

,.点M(x,y)为抛物线上一点当-34x48时,msysn,.,.当x=l时,y取得最大值,，n=4,

.,.当x=8时,y取得最小值",.m=-45,.1n-m=49;

⑶如解图，画出抛物线y=-x2+2x+3与直线y=x,反比例函数y=和图象(根据函数的解析式画出函数

图象)，在封闭区域内有(1,2),(1,3)两个整点(选区域内为整数的横坐