2025年新高考数学一轮复习：定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶问题、坎迪定理（五大题型）（学生版+解析）

拔高点突破01定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶

问题、坎迪定理

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定比点差法.............................................................2

题型二：齐次化.................................................................4

题型三：极点极线问题...........................................................5

题型四：蝴蝶问题...............................................................7

题型五：坎迪定理..............................................................10

03过关测试....................................................................12

亡法牯自与.柒年

//\\

1、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通

过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，

解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通过

代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程,

提高解题效率。

2、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式（即各项次数相等）来简化计算和提

高求解效率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。

通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易地求解斜率之

和或斜率之积等问题。

3、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的

特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共朝点轨迹形成的直线也

被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于

曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦.

4、坎迪定理是数学领域中的一个重要定理，也被称为蝴蝶定理的一般形式。该定理描述了在圆内的

一段弦上任意一点与圆上任意两点相连并延长交圆于另外两点，连接这两延长交点与弦上另外两点相交，

所得线段长度的倒数之差为常数。

题型一：定比点差法

【典例高三・江西吉安・期末）已知椭圆J。。心…）的离心率为手，且经过点

2'2广

（I）求椭圆C的标准方程;

（II）已知抛物线c2的焦点与椭圆C1的右焦点重合，过点P（0,-2）的动直线与抛物线C?相交于A,B两个不

同的点，在线段AB上取点Q,满足卜斗|。邳=仙。卜|理，证明：点Q总在定直线上.

22

【典例1-2】已知椭圆鼻+3=l（a>6>0）,过椭圆的左焦点下且斜率为6的直线/与椭圆交于A、B两

ab

点（A点在B点的上方），若有A尸=2FB，求椭圆的离心率.

22

【变式1-1］（2024.重庆沙坪坝.模拟预测）己知。>6>0,直线/过椭圆G：*+^=l的右焦点尸且与椭圆

ab

22

。交于A、8两点，/与双曲线-2=1的两条渐近线4、4分别交于M、N两点.

ab

⑴若|。可=#,且当Ux轴时，AMON的面积为g,求双曲线G的方程；

（2）如图所示，若椭圆的离心率《=手，且以=XAN（2>0）,求实数2的值.

【变式1-2】己知椭圆C:二+力=1(a>b>0)的离心率为正，过右焦点尸且斜率为左(左>0)

〃b-2

的直线与C相交于A,8两点，若AE=3FB,求左

【变式1-3］已知］+：=1,过点P(0,3)的直线交椭圆于A,B(可以重合)，求犒取值范围.

22

【变式1-4】已知椭圆匕+匕=1的左右焦点分别为k，F,,A,B,P是椭圆上的三个动点，且

62

P4=2耳A,若2=2,求〃的值.

题型二：齐次化

【典例2-1】已知椭圆的中心为0,长轴、短轴分别为2a,2b(a>b>0),P,。分别在椭圆上，且

11

OPX-OQ,求证:|。叶1。。「为定值•

22

【典例2-2】如图，过椭圆C：t+A=l(a>6>0)上的定点P(xo，y。)作倾斜角互补的两直线，设其分别交

ab

椭圆C于A8两点，求证：直线AB的斜率是定值.

22

【变式2-1】已知椭圆C:上+匕=1的左顶点为A,P,。为C上的两个动点，记直线"，&Q的斜率分

43

别为勺，k2f若女色=2,试判断直线尸。是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【变式2-2】已知椭圆C：二+仁=1.过点两个焦点为(-1,0)和。,0).设E,尸是椭圆C上的两个

43\2)

动点.

(1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2,证明：直线EF恒过定点；

(2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2,证明：直线防恒过定点.

题型三：极点极线问题

【典例3-1】(2024・湖南长沙•三模)已知椭圆。：］+手=1(4>4>0)的左、右焦点分别为月、F2,8为上

顶点，离心率为:，直线明与圆4/+4;/一3=0相切.

(1)求椭圆C的标准方程；

22

⑵椭圆方程「,+卓=1伍>6>0),平面上有一点尸(%，%).定义直线方程/：学+等=1是椭圆r在

点p(%,%)处的极线.

①若P（x。，%）在椭圆C上，证明：椭圆C在点尸处的极线就是过点尸的切线；

②若过点尸（-4，。）分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X、Y,割线交椭圆C于M、N两点,

过点河、N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：Q、X、F三点共线.

【典例3-2】阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,

则称点和直线/：&^+。0丫+。（X+飞）+E（y+%）+R=O是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实

上，在圆锥曲线方程中，以替换以型替换x；以为y替换产，以"2替换即可得到

22

尸（无。,%）对应的极线方程.特别地，对于椭圆二+斗=1,与点尸（X。,%）对应的极线方程为岑+学=1；对

abab

22

于双曲线鼻-2=1,与点尸（七,%）对应的极线方程为岑-浮=1；对于抛物线＞2=2必，与点P（%,%）

bbab

对应的极线方程为%y=M%+x）•即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.（二）极

点与极线的基本性质、定理：①当尸在圆锥曲线G上时，其极线/是曲线G在点P处的切线；②当P在G

外时，其极线/是从点尸向曲线G所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当尸在G内时,

其极线/是曲线G过点尸的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：已知椭圆G：

W

---1----1.

42

（1）点尸是直线/：y=2上的一个动点，过点P向椭圆G引两条切线，切点分别为叔，N,是否

存在定点T恒在直线"N上，若存在，当MT=77V时，求直线"N的方程；若不存在，请说明理由.

（2）点P在圆/+尸=4上，过点尸作椭圆G的两条切线，切点分别为A,B,求A4s面积的最大值.

【变式3-1】阅读材料：

（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点尸（%,%）和直线

/：AXoX+Cyoy+D（x+Xo）+E（y+%）+F=O是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中,

以不头替换以若三替换龙（另一变量y也是如此），即可得到点P（%,%）对应的极线方程.特别地，对

2222

于椭圆二+1=1,与点尸(%,%)对应的极线方程为岑+翌=1;对于双曲线三-马=1,与点尸(今,

ababbb

%)对应的极线方程为零-咨=1；对于抛物线y=2px,与点P(%,%)对应的极线方程为

%y=p(x0+x).即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.

(二)极点与极线的基本性质、定理

①当P在圆锥曲线G上时，其极线/是曲线G在点尸处的切线；

②当P在G外时，其极线/是曲线G从点尸所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；

③当P在G内时，其极线/是曲线G过点尸的割线两端点处的切线交点的轨迹.

结合阅读材料回答下面的问题：

(1)已知椭圆C：5+"=1(。>6>0)经过点尸(4,0),离心率是手，求椭圆C的方程并写出与点P对应

的极线方程；

(2)已知。是直线/：y=x+4上的一个动点，过点。向(1)中椭圆C引两条切线，切点分别为N,

是否存在定点T恒在直线上，若存在，当MT=7N时，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

题型四：蝴蝶问题

22,

【典例4-1】已知椭圆「j+==l(a>b>0)的离心率为彳，半焦距为c(c>0),且a-c=l.经过椭圆的

ab3

左焦点F，斜率为匕(匕*0)的直线与椭圆交于A、B两点，。为坐标原点.

(I)求椭圆r的标准方程;

⑵当匕=1时,求LOB的值;

(3)设R(l,o),延长AR,分别与椭圆交于C,。两点，直线CD的斜率为心，求证：口为定值.

22

【典例4-2】(2024・高三.江苏泰州•期末)如图，已知椭圆T:土+乙=1,矩形A8CD的顶点A,8在x轴上,

42

C,。在椭圆「上，点。在第一象限.CB的延长线交椭圆「于点E,直线AE与椭圆「、y轴分别交于点F、G,

直线CG交椭圆r于点H,D4的延长线交尸H于点

(1)设直线AE、CG的斜率分别为％、心，求证：f为定值;

(2)求直线切的斜率上的最小值；

(3)证明：动点M在一个定曲线上运动.

22

【变式4-1】设椭圆E:\+当=1(。>6>0)的左、右焦点分别为々(-c,0),6(c,0),过焦点且垂直于x轴

ab

的直线与椭圆E相交所得的弦长为3,直线>与椭圆E相切.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)斜率为*0)的直线过K，与椭圆E交于42两点，延长A月,28，分别与椭圆E交于两点，

直线CD的斜率为心，求证口为定值.

【变式4-2】设抛物线C：：/=2「乂0>0)的焦点为四点。(2,0),过尸的直线交C于M,N两点.当直线

垂直于x轴时，|MF|=3.

(1)求C的方程;

t

(2)设直线MDND与C另一个交点分别为A,B,记直线MMAB的斜率为勺、k2,求1的值.

22

【变式4-3］在平面直角坐标系卬中，已知椭圆C：1r+/=1(°>6>0),尸是椭圆的右焦点且______

从下列条件中任选一个补充在上面问题中并作答：注：如果选择多个条件作答，按第一个计分.

条件①：椭圆C的离心率e=g,焦点到相应准线的距离是3.

条件②：椭圆C与圆M：(尤-6)2+/=16夕卜切，又与圆N：尤2+卜一2力『=3夕卜切.

⑴求椭圆C的方程.

(2)已知A,B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AR2尸并分别延长交椭圆C于

£两点，证明：直线。E过定点.

题型五：坎迪定理

22

【典例5-1】椭圆C:金+齐=10>0)的左、右顶点分别为4，A,上顶点为8,点。(1,0),线的倾

斜角为135。.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过。且斜率存在的动直线与椭圆。交于M、N两点，直线4加与&N交于尸，求证：尸在定直线上.

【典例5-2】已知椭圆E：《+，=l(a>b>0)的左、右顶点分别为A3,长轴长为4,离心率为5，点C

在椭圆E上且异于A8两点，“(4,VM)，N(4,%)分别为直线AC,BC上的点.

⑴求椭圆E的方程；

(2)求VM,%的值；

⑶设直线与椭圆月的另一个交点为。，证明：直线8过定点.

【变式5-1](2024•全国•模拟预测)已知不过坐标原点。且斜率为1的直线与椭圆「：+尸=1交于点A,

B,为A3的中点.

(1)求直线31的斜率；

(2)设P(-2,0),直线田，尸8与椭圆「的另一个交点分别为C,D(均异于椭圆顶点)，证明：直线CD过

定点.

22

【变式5-2］在平面直角坐标系xOy中，如图，已知土+匕=1的左、右顶点为A、B,右焦点为设

95

过点7亿加)的直线方、7B与椭圆分别交于点对(和乂)、N&,%),其中%>0,%>0,y2<0.

(1)设动点尸满足尸尸-尸笈=4，求点尸的轨迹；

(2)设％=2,x2=1,求点了的坐标；

(3)设，=9,求证：直线肱V必过x轴上的一定点(其坐标与加无关).

【变式5-3］在平面直角坐标系附中，已知椭圆的左’右顶点分别为A,B,过点0)

作直线/交椭圆于C,。两点，若直线皿BC的斜率分别为"匕求证：?为定值.

【变式5-4】已知椭圆C：1+5=l(a>b>0)的左右顶点分别为A和8离心率为:，且点?［怖］在椭

圆上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(l,0)作一条斜率不为0的直线交椭圆于P,Q两点，连接AP、BQ,直线AP与3。交于

点M探求点N是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.

【变式5-5](2024•上海杨浦•一模)设A，4分别是椭圆「：W+y2=i(“>i)的左、右顶点，点8为椭圆的上

a

(2)设a=0,尸2是椭圆的右焦点，点。是椭圆第二象限部分上一点，若线段鸟。的中点”在，轴上，

求的面积.

(3)设。=3,点夕是直线%=6上的动点，点。和£)是椭圆上异于左右顶点的两点，且C,。分别在直线

PA和尸&上，求证：直线s恒过一定点.

2

1.已知椭圆C:三f+多v=l(a>b>0)的离心率为17，过椭圆。的右焦点并垂直于X轴的直线9交椭圆C

ab2

3

于尸，M（点P位于龙轴上方）两点，且OPM（0为坐标原点）的面积为

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若直线/交椭圆C于A,B（A,B异于点尸）两点，且直线上4与尸8的斜率之积为-彳，求点尸到直线

/距离的最大值.

22

2.（2024.全国•一模）如图，已知椭圆「的短轴长为4,焦点与双曲线三-十=1的焦点重合.点P（4,0）,

（1）求常数/的取值范围，并求椭圆r的方程.

（2）（本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答）

极点与极线是法国数学家吉拉德・迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述

的.对于椭圆极点POo，y。）（不是原点）对应的极线为岑+浮=1,且若极点尸在x轴上,

则过点p作椭圆的割线交「于点a，用，则对于。上任意一点。，均有％4+%4=2%加（当斜率均存在

时）.已知点。是直线4上的一点，且点。的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接PA,PB分别交椭圆「于

M,N两点.

①设直线A3、分别交N轴于点。、点T,证明：点E为。、T的中点；

②证明直线："N恒过定点，并求出定点的坐标.

22

3.（2024.云南昆明.模拟预测）椭圆方程「f+方=1（“>6>0）,平面上有一点尸（尤0,%）.定义直线方程

22

/:誓+萼=1是椭圆「在点P(无。,%)处的极线.已知椭圆方程C:三+匕=1.

a'b-43

(1)若尸(1,%)在椭圆C上，求椭圆C在点尸处的极线方程；

(2)若尸(%,％)在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线；

(3)若过点P(-4,0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X,Y,割线交椭圆C于"，N两点，过

点N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q.证明：。，X,Y三点共线.

22

4.(2024・重庆・模拟预测)已知椭圆C：，+2=1(。>b>0)的右焦点为歹(1,0),点A,8是椭圆C上关

ab

于原点对称的两点，其中A点在第一象限内，射线AF,即与椭圆C的交点分别为N.

(1)若AF=FA/，BF=2FN，求椭圆C的方程；

(2)若直线的斜率是直线A3的斜率的2倍，求椭圆C的方程.

5.(2024・山东济南・二模)已知椭圆C的焦点坐标为耳(-1,0)和居(1,0),且椭圆经过点G，,|

⑴求椭圆C的方程；

⑵若7(1,1),椭圆C上四点M,N,P,。满足MT=3TQ,NT=3TP，求直线MN的斜率.

22

6.已知椭圆C：?+(=匕片，居为其左右焦点，尸为椭圆C上一动点，直线交椭圆于点A,直线

PF2椭圆交于点3,设尸£=4耳A,尸耳=〃与3,求证：4+〃为定值.

7.（2024•河北沧州•一模）已知椭圆c/+5=l（a>6>0）经过点（国），离心率为手.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点“（4,0）的直线交椭圆于A、5两点，AM=AMB,在线段A5上取点Z）,使=求

证：点。在定直线上.

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆马+工=1（a>6>0）的离心率为变.A为椭圆上异于

a2b22

顶点的一点，点P满足OP=2AO.

（1）若点尸的坐标为（2,虚），求椭圆的方程；（2）设过点尸的一条直线交椭圆于B,C两点，且

BP=mBC，直线OA的斜率之积-；，求实数加的值.

9.在直角坐标系xOy中，点尸到直线x=-2的距离等于点尸到原点。的距离，记动点尸的轨迹为W.

⑴求W的方程；

(2)点A,B,C,。在W上，A,8是关于无轴对称的两点，点A位于第一象限，点C位于第三象限，直线

AC与x轴交于点G,与V轴交于点8,48=8G,且3H,。三点共线，证明：直线C£>与直线AC的斜

率之比为定值.

10.如图，椭圆的长轴44与无轴平行，短轴旦旦在y轴上，中心为“(0")(6>r>0).

(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

⑵直线>=人B交椭圆于两点。(可,%),£>(%2，%)(%>。)；直线y=&x交椭圆于两点G«,y3),

H(^,y)(y>0).求证：

444人］人)

IX3+14

(3)对于(2)中的中的在C,D,G,H,设C"交工轴于尸点，GO交工轴于。点，求证：10Pl=1。。1

(证明过程不考虑或GO垂直于1轴的情形)

22

11.(2024・湖南•一模)已知过椭圆。:二+乙=1的左焦点尸，作斜率为网左工。)的直线/,交椭圆。于A3

32

两点.

(1)若原点。到直线/的距离为也，求直线/的方程；

3

(2)设点”(1,0),直线AM与椭圆C交于另一点P,直线BM与椭圆C交于另一点。.设尸D的斜率为占,

则厂是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

拔高点突破01定比点差法、齐次化、极点极线问题、蝴蝶

问题、坎迪定理

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定比点差法.............................................................2

题型二：齐次化.................................................................4

题型三：极点极线问题...........................................................5

题型四：蝴蝶问题...............................................................7

题型五：坎迪定理..............................................................10

03过关测试....................................................................12

亡法牯自与.柒年

//\\

1、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通

过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，

解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通过

代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程,

提高解题效率。

2、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式（即各项次数相等）来简化计算和提

高求解效率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。

通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易地求解斜率之

和或斜率之积等问题。

3、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的

特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共朝点轨迹形成的直线也

被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于

曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦.

4、坎迪定理是数学领域中的一个重要定理，也被称为蝴蝶定理的一般形式。该定理描述了在圆内的

一段弦上任意一点与圆上任意两点相连并延长交圆于另外两点，连接这两延长交点与弦上另外两点相交，

所得线段长度的倒数之差为常数。

题型一：定比点差法

【典例1-1】（2024•高三・江西吉安・期末）已知椭圆C|：5+/=1（。＞。＞0）的离心率为乎，且经过点

工回

2'2-

（I）求椭圆的标准方程;

（II）已知抛物线G的焦点与椭圆G的右焦点重合，过点P（0，-2）的动直线与抛物线C2相交于A,B两个不

同的点，在线段AB上取点Q,满足同=|4。卜|尸耳，证明：点Q总在定直线上.

c_^2

a2

23

【解析】（I）由题意可知，+T7T=L解得/=2,if?=1,

4a4b~

a2=b2+c2

故椭圆的方程为三+产=1・

证明（n）由已知可得抛物线c2的标准方程为丁=4尤，

设点Q,A,B的坐标分别为（X,y）,（外,%）,（%,%），

PAPB

由题意知——，不妨设A在P,Q之间,设PA=A,AQ,(A>0),

AQ一BQ

又点Q在P,B之间，故PB=-ABQ，

四＞1阕,

Z＞1,

由PA=2AQ可得(&，X+2)=/l(x_%,y_yJ解得芯=^-,凶=；可

1+A1+A

•.•点A在抛物线上，

,—2+Xy、？.

/.(--------)=4x-----,

1+21+2

即(4y_2)2=4；l(4+l)x,(2^-1),①

由尸5=一丸3。可得(%,%+2)=—4(%一无2，>一％)解得尤2=V-7'%=：丁’

A—171—i

•・•点B在抛物线上，

.2Z±2)2=4x—,

A-12-1

即(Xy+2)2=42(X—l)x,(A^l),②.

由②—①可得84y=44(-2x),

丸w0,

:.x+y=O,

•••点Q总在定直线x+y=0上

22

【典例1-2】已知椭圆二+2=1（。＞。＞0）,过椭圆的左焦点/且斜率为G的直线/与椭圆交于A、8两

ab

点（A点在2点的上方），若有A尸=2EB，求椭圆的离心率.

【解析】因为AF=2尸3,设A（X],%）、3优,%）,

耳+*=1…①

ab

厚+与=4…②

、ab

①_②得.（%+2%）（-—2々）+（%+2%）（凹-2%）=_3

a2b1

玉+2X2=-3c,%+2y2=0,

,%,将A代入椭圆方程

xx+c

整理得：W-136/2C2+9C2=0,所以4/=902或Q2=02（舍）

【变式1-1]（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）已知匕＞0,直线/过椭圆G：《+《=1的右焦点尸且与椭圆

ab

22

G交于A、8两点，/与双曲线C2：J-当=1的两条渐近线乙、4分别交于"、N两点.

（1）若|。尸|=若，且当Ux轴时，△MON的面积为求双曲线G的方程;

（2）如图所示，若椭圆G的离心率e=乎，且以=X4V（2>。），求实数几的值.

22〃

【解析】（1）由题设厂（6,0）,且双曲线C?：3=1的渐近线为y=±—X,

aba

当/Lx轴时，|MN|=2她，又=AMON的面积为：，

a2

13

所以］|。尸|•|MN|=2,故。=2"而82=02=3,可得/=4万=1,

所以双曲线G的方程为工-9=1.

4

（2）对于椭圆有e=£=Y^,而a?—廿二。?，贝、a==6b，

a2

不妨彳发设《:y=—x=^^x，贝!J，2：）=--x=-^-x_E1为y=-及（x-c），

a2a2

所以N（2c,-缶），又尸（G。），E4=ZA7V（A>0）,

x-c=A(2c-x)

令A(%,y),则F4=(x-c,y),AN=(2c—x,—&c—y),故＜

y=-A(V2c+y)，

2A+1

x=--------c

l+£,,而A在椭圆G：冬+A=1上

所以

v2A2cc

y=--------c

1+Z

则北卷+篇:笥记.整理得6万=1，

综上，可得2=逅

6

【变式1-2】已知椭圆C:二+三=1（a〉b>0）的离心率为妇，过右焦点P且斜率为左（左>0）

cr阱2

的直线与C相交于A,B两点、,若A^=3FB,求左

【解析】由0=上，可设椭圆为土+V="（m>0）,

24

设A(%i，y),B(x2,y2),F(y/3m,0),由A/二3五3,

玉+3x=4y/3m

所以<2

o=A±M%+3%=0

1+3

2

=m(l)

按彳酉己型(2)x9<

9%2=9，/(3)

22学+

+y2=m(2)

rh/i\/Q\夕日(西+3%)(七一3%o\zo\Q2_&8’3

由(1)-(3)行----------------F(y+3y2)(%一3%)=—8根=>jq-3x2=——m,

T7,a_A/a2G2y[im瓜m

3^%+3^2—4,3m=>%=———HIA(———,±———).

又F(J^n,0)=>左=.

【变式1-3】已知1+》1,过点尸(0,3)的直线交椭圆于A,B(可以重合)，求犒取值范围.

【解析】设B(x2,y2),P(0,3),由AP=4PB,

石+AX

0=-------2

1+2玉+AX=0

所以n2

3_=M+几%乂+4%=3(1+4)

-1+2

」4元：+9短=36(1)14无；+9短=36⑴

配比(2)x1

田12222

2(4A%+9Ay=36(3)

4X2+9^=36(2)22

由(1)-(3)得：=4(为+4%)(为—4*2)+9(%+2%)(%—4y2)=36(1—矛)

=(%-几%)=4(；2),又%+4%=3(1+2)=13+52

JO

从喘小

又％£[—2,2]=>2e-5,--G?5

22

【变式闻已知椭圆的左右焦点分别为不B，A,B,P是椭圆上的三个动点，且

尸耳=4耳A,PF2=*B若入=2,求"的值.

【解析】设尸(不，%)，A(%，X)，B(X,^),,由

22PF2=JLIF2B

_x0+Xxx

C

~~1+2XQ+=—c(l+4)

①耳(-c,0)满足v

°二%+M%+M=0

1+A

x0+jUX2

1+4%+〃％=-c(l+〃)

&(G。)满足<

.%+〃%=0

0=

1+4

22

乌

=1(1)+*=1(1)

ab

②由“22n

二1(2)

③由⑴-⑶得：伉一打)优+M)+(%必)=1.段

ab

n(尤°二222；：%)=/n(x「心)=_4。_外,又宙+石)=Y(1+2)

(i—XIH+ZIC

c/22+2°2222

=>2%=---------A------------，同理可得2%=------------〃+---------

CCCC

〃2一02\ca2+c2z.X_a1+c2s

=>--------(2+川=2----------=>(4+")=2•-=10=>〃=8o.

cca-c

题型二：齐次化

【典例2-1】已知椭圆的中心为。，长轴、短轴分别为2a,2b(a>b>0),P,。分别在椭圆上，且

11

OP,OQ,求证：所+研为定值.

因为OPLOQ,所以由勾股定理可得|OP「+|OQ「=|尸

11

所以-------k—M

\OPf|。靖(\OP\-\OQ\)2-

设△。尸。的面积为S,。到尸。的距离为d,

则5=3加阳=1。斗|。。］,因此1

~d

11

所以要证明的+丽为常数，只需证明d为定值.

——+—=1

设直线尸。的方程为如+4=1,联立/及

mx+ny=l

齐次化[+[=(如+町)2,并整理可得(3一/1口[_2加/+3-m2=0,

ClL?\c?J\XJXCI

方程的两根嵋埼，由韦达定理曾十勺

b2

211

因为8,0。，所以胃-----=一1,化简得帚+/=吃+3.

1“2aro

后一'1

d=-------------------=----------------------

由点到直线的距离公式，得而工7nr,

2

crr,iiipgii/+"

所以I[2+|(2=/ICDIlccl\2=~f2=2.2为7E值.

\OP[\OQ[(\OP\-\OQ\)2d2a2b2

22

【典例2-2】如图，过椭圆C:二r+多=l（a>6>0）上的定点P（x0,yo）作倾斜角互补的两直线，设其分别交

ab

椭圆C于两点，求证：直线A3的斜率是定值.

【解析】由题意可得直线不过点p（与,%）,且直线尸4依的斜率都存在,

设直线A3的方程为〃2（x-Xo）+”（y-%）=l,A（%，X）,3（X2，%），

因为尤2।yWx-Xo+xoy(y%+%y

a2b-~a1b2

_(尤J%)2,2%(y-%)

—F^'

所以椭圆方程可化为+(yf『+2皿—/)+2%(y-%)=0,

a2b1a2b1

(X7o『2xo(x_xo)2%(y-%)

'-cTc=0

联立a2b2a2b2

m(x-x0)+n(y-y0)=l

2

2〃%+1(y-%nx2mxe+1

齐次化并整理可得+20++——?—=0,

b2a2a2

为螫

2十人2

由韦达定理得上二为+三二配=ab

2ny+1