2025年新高考数学一轮复习：等比数列及其前n项和（九大题型）（练习）（学生版+解析）

第03讲等比数列及其前n项和

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：等比数列的基本运算.....................................................2

题型二：等比数列的判定与证明...................................................2

题型三：等比数列项的性质应用...................................................3

题型四：等比数列前n项和的性质.................................................3

题型五：奇偶项求和问题的讨论...................................................3

题型六：等差数列与等比数列的综合应用...........................................4

题型七：等比数列的范围与最值问题...............................................5

题型八：等比数列的实际应用.....................................................6

题型九：公共项与插项问题.......................................................6

02重难创新练..................................................................8

03真题实战练.................................................................42

//

题型一：等比数列的基本运算

1.（2024・山东济南•三模）已知｛4｝是等比数列，且a2a7=-«8=-4%，则为=（）

A.-V2B.+72C.-2D.±2

10

2.（2024・湖北•模拟预测）已知｛a“｝是各项均为正数的等比数列，+a2+a3+a4+«5+«6=>=8,

A.2B.3C.4D.5

3.(2024・江西.二模)已知等比数列｛。“｝的前〃项和为S“，S2=4,且$3=4%+%,则S,=()

A.120B.40C.48D.60

题型二：等比数列的判定与证明

n

4.（2024•江西•模拟预测）已知数列也“｝满足4=2,an+l=3an+2-2.

令4=%+2"-1,证明：数列出｝为等比数列；

5.已知数列间满足%>°，。用七岁；黑;数

判断数列｛%"7｝是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由;

6.己知非零向量列门｝满足：q=a，x），［=（%，%）=：（九-%.1，%—1+%.1），（“22,〃eN*）.证明:

数列｛同｝是等比数列.

21211?

7.已知数列｛4｝和｛"｝满足：a,=-,bi=-,an+l=^an+-bn,bn+i^-an+-bn,其中”eN*.

证明：数列｛/"“｝是等比数列;

题型三：等比数列项的性质应用

8.已知数列｛4｝是等比数列，且0；+。5=3,则a2a4+2。：+%%的值为.

O1

9.已知｛%｝是正项等比数列，若金。"=用,则4+白的最小值等于.

10.已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列，则&+：+4的最小值为.

11.（2024.河南新乡.二模）已知等比数列｛4｝的首项为1,且4+4=2（%+q），贝Ijq%/…%=.

题型四：等比数列前n项和的性质

12.（2024・上海闵行•三模）设S,是等比数列｛%｝的前〃项和，若53=4,%+%+4=8,则粤=.

13.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为341,偶数项之和为682,则这个数列的项

数为_______

14.已知数列｛4｝的前〃项和S“=22向+。，若此数列为等比数列，则。=.

题型五：奇偶项求和问题的讨论

a+1,〃为奇数

15.（2024・河北张家口•三模）已知数列｛%｝的前a项和为S“，且满足

2a”为偶数，则每。。=

A.3X251-156B.3X251-103C.3X25O-156D.3X250-103

z、12+a23,〃为奇数，i、

16.数列｛4｝辆足4=。，a2=l,an=\%便沸则数列｛4,｝的刖20项和为（）

[2x4_2，w23,〃为偶数，

A.1110B.1111C.1112D.1113

zx13〃，〃二2左一1,左£N*

17.（2024・高三•河南南阳・期中）已知数列｛4｝满足q=1,%="c,,z*■

[an,n=2K,keN

⑴记2=的“，证明数列也｝是等比数列，并求也｝的通项公式；

⑵求｛%｝的前30项和.

61n-2,n=2k-l,ksZ

18.（2024・高三•河北张家口•期末）已知数列｛a.｝满足4=-1,。用=〈凡

.〃—乙K.K,£

12

⑴若£=%T+2,证明：数列也｝为等比数列；

⑵求数列｛%,｝的前2w项和S?".

2]工）」；£娄攵且4=1.

（%+1,"为偶数

（1）求数列｛q，｝的通项公式.

（2）求数列｛%,｝的前100项和Sl00.

题型六：等差数列与等比数列的综合应用

20.（2024•山东青岛•三模）已知等差数列｛4｝的公差dN0,首项,%是生与小的等比中项，记S”

为数列｛4｝的前“项和，则$20=

21.（2024・湖北黄冈.二模）已知等差数列｛%｝的前“项和为S,,也｝是等比数列，若%>0,4+%=1。，且

她=5由，则”的最小值为________.

b5

22.已知函数/（x）=x2-bx+c（b>0,c>0）的两个零点分别为4，X],若％x2,-1三个数适当调整顺序

后可为等差数列，也可为等比数列，则b+c=（）

357

A.1B.—C.—D.一

222

题型七：等比数列的范围与最值问题

23.（多选题）设等比数列｛凡｝的公比为4,其前〃项和为/前几项积为却并满足条件卬>1,%。22劭）23>1，

咏三<。，下列结论正确的是（）

〃2023-I

A.%）22<^2023B.”2022”202411<。

C.4必是数列｛1｝中的最大值D.数列｛1｝无最大值

24.（多选题）设公比为q的等比数列｛%｝的前”项和为S“，前〃项积为4，且为>1,%>23出。24>1，鱼三<0，

“2024—1

则下列结论正确的是（）

A.。<4<1B.*S，20231^2024—1>。

C.乙24是数列｛北｝中的最大值D.7M23是数列｛（,｝中的最小值

25.（多选题）（2024.高三.江西•期中）在等比数列｛%｝中，4>1,。2。23出。24>0,也呼<0,若s,为｛叫

“20231

的前"项和，（为此｝的前〃项积，则（）

A.｛叫为单调递增数列B.邑023<,^2024

C.友3为忆｝的最大项D.｛力无最大项

26.（多选题）设等比数列｛%｝的公比为4,其前”项和为S"，前”项积为T“，且满足。<4<1,劭）22,“2023>1，

（1一％022b（4023-1）>。，则下列选项正确的是（）

A.｛。0｝为递减数列B.邑022+1<$2023

C.乙22是数列｛1｝中的最小项D.当1>1时，w的最小值为4045

题型八：等比数列的实际应用

27.（2024・陕西西安・模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为0.5%,20年还清，约定采用等额本

息按月还款（即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金），则每月大约需还款（）（参考数

据：1.OO5240«3.310

A.7265元B.7165元C.7365元D.7285元

28.（2024•河南洛阳•模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可

追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺.其

以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、亥I、画手法为辅助手段，创作

出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品.随着一代代折纸艺人的传承和

发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品己超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如

生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，

内涵博大精深，世代传承.在一次数学实践课上某同学将一张腰长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折

后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（）

A.克B.-C.也D.-

8844

29.（2024・广东佛山•模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即

按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%,从第二年开始每年贬值10%,刚参加工作的小明打算用7

万元入手一辆3〜5年的二手车,根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是他N）万,

则机=（）

A.14B.15C.16D.17

30.（2024・高三・四川・期中）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为

了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为4km的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸

张厚度为的,第2次对折后的纸张厚度为出……,以此类推，设纸张未折之前的厚度为。毫米，则43=（）

A.2%B.4%C.2%D.4%

题型九：公共项与插项问题

31.（2024.吉林长春.模拟预测）设S“为数列｛2｝的前〃项和，且5“=/%-1乂"€z），数列也｝的通项

公式为我=4"+3（"eN*）,将数列｛?｝与｛"｝的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列

｛4｝,数列｛4｝的通项公式为.

32.(2024•广西.模拟预测)记数列｛aj的前力项和为S“，对任意正整数”，有

⑴求数列｛为｝的通项公式；

(2)对所有正整数加，若4<4山<%「则在％和区|两项中插入4MS由此得到一个新数列也｝,求也｝的前

91项和.

33.(2024・高三・天津•期末)已知公差为d的等差数列血｝和公比q>0的等比数列也｝中，%="=1,

+83=8,+b2=9.

⑴求数列｛g｝和也｝的通项公式；

(2)求士他心；

Z=1

(3)若在数列｛%｝任意相邻两项。“,程+1之间插入一个实数%,从而构成一个新的数列｛4｝.若实数C“满足

a„an+lcn=1,求数列｛4｝的前2〃项和S2n.

34.(2024•浙江嘉兴.二模)己知｛4｝是首项为2,公差为3的等差数列，数列也｝满足4=4,%=3勿-2〃+L

⑴证明｛bn-n｝是等比数列,并求｛%｝,｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛?｝与也,｝中有公共项，即存在上机eN*,使得%=粼成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排

列，得到一个新的数列，记作｛%｝,求令+。2+…+c”.

35.(2024・吉林通化•一模)记S”为公比不为1的等比数列｛4｝的前〃项和，/=-8%+80],S6=21.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)设用=log2吊，若由｛4｝与｛2｝的公共项从小到大组成数列｛5｝，求数列匕｝的前几项和1.

㈤2

创新练

1.（2024.北京海淀.二模）设｛q，｝是公比为“（叱-1）的无穷等比数列，S”为其前”项和.若4>0,贝上q>0”

是“数列电｝存在最小项”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2.（2024・天津和平.三模）己知数列｛%｝满足4=1,«„+1=2a„+l（neN*）,臬是数列｛%｝的前〃项和，则S9=

（）

A.29-10B.29-11C.210-10D.210-11

3.（2024.内蒙古呼和浩特.二模）数歹U也〃｝的前〃项和为S〃=3—2%/cN*,则邑=（）

•16「211-8n65

A.—B.-----C.—D.—

81812727

4.（2024•山东青岛.二模）一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），

例如：从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用为表示

蜜蜂爬到〃号蜂房的方法数，贝此2。22~24-婿023=（）

5.（2024.重庆・模拟预测）在半径为1的圆。中作内接正方形A3CD,作正方形A3CZ）的内切圆Q,再作

圆的内接正方形A与GA，依此方法一直继续下去.我们定义每作出一个正方形为一次操作，则至少经

1023

过（）次操作才能使所有正方形的面积之和超过中.

256

A.9B.10C.11D.12

6.（2024・河南•模拟预测）已知数列｛4）满足」一=1,，+：,且。2=：,贝!]%0"=（）

⑴狈ion31010「rn1010

I3JTT3?517）3）

〃+1

7.（2024.江西南昌.三模）已知数列｛%｝的前〃项和为%且满足％=1,S〃=2~~~,则S5的值不可

能是（）

A.1B.2C.3D.15

8.（2024.北京.三模）｛4｝为公差不为零的等差数列，S〃是其前〃项和，｛么｝是等比数列，7；是其前〃项和,

则下列说法正确的是（）

A.对任意keN,k>2,如果H•邑…邑J=。，那么。「出…%=。

B,存在左eN,k>2,满足子•⑥…4=0,且瓦•邑…S然_尸0

C.对任意ZeN,k>2,如果…q=0,那么4+为+]=0

D.存在上eN,k>2,满足4+4+i=0,且工Z…襄片。

9.（多选题）（2024.黑龙江.模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•曼德尔布罗特在20世纪70

年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照

图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第"行白心圈的个数为册，黑心圈的个数为“，则下

A.%=5

B.b3=2

C.数歹式q-2｝为等比数列

D.图②中第2023行的黑心圈的个数是个二

10.（多选题）（2024.江西南昌.三模）已知｛4｝是单调递减的等比数列，若％=2,前3项和S3=7,则下

列说法中正确的是（）

A.%=4B.q=3C.%=2"TD.S„=8-23-"

11.（多选题）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（）

A.若数列｛%｝为等比数列，且其前〃项的和S“=2"T+t,则f=

B.若数列｛。〃｝为等比数列，且的%+。3%=6,则的2a3…%=81

C.若数列｛%｝为等比数列，S“为前〃项和，则S“，S2n-Sn,S3,-S?”，…成等比数列

D.若数列｛?｝为等差数列，2iZj+3a3=S6,则%最小

12.（2024.浙江金华•模拟预测）己知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1

个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的

细菌的个数为（用数字作答）.

%+1,"为奇数

13.（2024•山东青岛•模拟预测）己知数列｛%,｝的前〃项和为5“，且满足q=l,a用

为偶数

14.（2024•河北•模拟预测）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数

列，每行的第〃个数从上到下形成以2片为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第"行（〃eN*）所有数

据的和S“=.

第一行1

第二行321

第三行9622

第四行27181223

第五行8154362424

15.（2024・浙江绍兴•三模）已知数列｛2｝的前〃项和为且4=2,Sn=~^-an+1,设包=盘.

⑴求证：数列出｝为等比数列；

⑵求数列｛E,｝的前几项和7“.

16.（2024・四川宜宾・模拟预测）己知数列｛。"｝满足％=l,a.+i=2a,

（1）证明：数列｛纥+小是等比数列，并求出数列｛。“｝的通项公式；

（2）设么=bg（：+“），数列也%｝的前'项和为I-若乙（疗-对于任意"eN*恒成立'求实数加的

取值范围.

17.（2024.黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知数列｛4｝的前见项积为7=3等］，数列也｝满足4=1，

径依次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为—

mm.

3.（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、

用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛?｝,该数列

的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且卬=1,%=12,%=192,则%=；数列｛%｝所有项的

和为.

4.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记S“为等比数列｛4｝的前"项和.若8s6=7邑，则何｝的公比

为.

5.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知｛%｝为等比数列，a2a4%=。3a6，。9%）=-8,则%=.

6.（2022年新高考北京数学高考真题）己知数列｛4｝各项均为正数，其前〃项和S“满足

«„.S„=9（n=l,2,...）.给出下列四个结论：

①｛为｝的第2项小于3；②｛4｝为等比数列；

③｛?｝为递减数列；④｛。“｝中存在小于焉的项.

其中所有正确结论的序号是.

7.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列｛4｝的前,项和为加且2s“=3--3.

⑴求｛%｝的通项公式；

（2）求数列｛S“｝的前〃项和.

8.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记S.为数列｛4｝的前〃项和.已知一+”=2a“+l.

n

（1）证明：｛?｝是等差数列；

⑵若%，%，％成等比数列，求S”的最小值.

9.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设｛%｝是首项为1的等比数列，数列｛2｝满足勿=等.己知生,

3%,9%成等差数列.

（1）求｛%｝和也｝的通项公式；

C

⑵记s.和I,分别为｛4｝和也｝的前W项和.证明：工,<昔.

/、

10.（2021年浙江省高考数学试题）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，4=-彳9，且4s角=3耳-9.

（1）求数列｛%｝的通项；

（2）设数列也｝满足地足〃-4）%=0（“eN*）,记｛>｝的前"项和为若看W也对任意“eN*恒成立,

求实数4的取值范围.

11.（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列｛4｝的首项％=-1,公差d>l.记｛%｝的前〃项和

为S”（〃eN*）.

⑴若邑一2a2%+6=0,求5〃；

（2）若对于每个〃£N*,存在实数C“，使q用+4。"-+15g成等比数列,求d的取值范围.

12.（2022年新高考全国n卷数学真题）已知｛%｝为等差数列，也｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4.

（1）证明：G=4；

（2）求集合［l<\bk=am+av\<rn<50。｝中元素个数.

第03讲等比数列及其前n项和

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：等比数列的基本运算.....................................................2

题型二：等比数列的判定与证明...................................................2

题型三：等比数列项的性质应用...................................................3

题型四：等比数列前n项和的性质.................................................3

题型五：奇偶项求和问题的讨论...................................................3

题型六：等差数列与等比数列的综合应用...........................................4

题型七：等比数列的范围与最值问题...............................................5

题型八：等比数列的实际应用.....................................................6

题型九：公共项与插项问题.......................................................6

02重难创新练..................................................................8

03真题实战练.................................................................42

//

题型一：等比数列的基本运算

1.（2024・山东济南•三模）已知｛%｝是等比数列，且廿7=-%=-4%，则。3=（）

A._&B.±72C.-2D.±2

【答案】C

【解析】设等比数列｛%｝的公比为9，因为-%=-4%，所以-%1=-4%，

得到二=4,所以/=2,由劣%=-4。4，得到包X/q4=-4a3q，

q

4

所以%=--r=-2>

q-

故选：c.

2.(2024・湖北•模拟预测)已知｛%｝是各项均为正数的等比数列，al+a2+a3+a4+a5+a6=W,a(a2fl3a4a5a6=8,

111111

^~a+~a+~a+~a+~a+~a^=('

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】由题设易知，公比#1,设%=6尸，

,.q6-1

|f|J|~t~jq+6^2+^3+。4+。5+。6=1。，—10,

q-i

5

由010203a4以5a6=8得，a^q=2,

*

2

故选：D.

3.（2024・江西・二模）已知等比数列｛%｝的前几项和为S“，S2=4,且83=44+4,则S4二（)

A.120B.40C.48D.60

【答案】B

【解析】因为数列｛4｝为等比数列，设数列的公比为心

若乡=1,贝！J%,

此时S3=3q,由已知S3=4〃2+q=5%,即5q=3〃i，

解得%=0,不成立，所以

因为S?=4,S3=4%+4,

3+CLQ=4

则有:2yt，解得9=3,4=1,

ax+aiq+axq=^axq+ax

q(l一力14

所以二——m-

1-q1-3

故选：B

题型二：等比数列的判定与证明

4.(2024•江西•模拟预测)已知数列也“｝满足q=2,a„+1=3a„+2"-2.

令〃,=%+2"-1,证明：数列也｝为等比数列；

n

【解析】bn=an+2-l,则〃=q+2Jl=3,

bn+l=%+2向-1=3凡+2"-2+2"+|-1=3%+3x2'-3=3(2+2T=§

T-%+2"-1~~-—-%+2"-1«„+2--1一

故｛〃｝是以首项为3,公比为3的等比数列.

5.已知数列｛为｝满足弓＞0,%=［黑"黑］数

判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；

【解析】数列｛%~｝成等比数列.

炉Jl°g2。“，当”为奇数时，

根据-当“为偶数时.

得出+产23=2脸*+2==4*；

-,­>0,a,1>0,=4,

即数列｛%-J成等比数列.

6.已知非零向量列同满足：1=(和H)，Z=a",％)=；(x,T-%T，%T+%T)，("22,weN*).证明:

数列｛同｝是等比数列.

【解析】证明：因为乙=(匕,％)=3(尤“_1-%_1，%_1+%_1),("22,〃eN*),

故｛|Z|｝是以同为首项，专为公比的等比数列.

219119

7.已知数列｛4｝和也｝满足：q="伉=『an+l=^an+-bn,%=§”“+?“，其中〃eN*.

证明：数列｛4-么｝是等比数列；

o112

【解析】由数列｛%｝满足1=铲.+抄,bn+l=-an+-bn,

可得%-%=(。“一切，显然可产o,即

3nn

211

又由q=§,＞可得％一4=§,

所以数歹式q-々｝是以g首项，公比等于：的等比数列.

题型三：等比数列项的性质应用

8.已知数列｛〃〃｝是等比数列，且。3+。5=3,贝!)a24+2a；+。4a6的值为.

【答案】9

【解析】由等比数列的性质知：%〃4=d，蜡=。3。5，。4。6=尺，

所以%〃4++〃4〃6=";+2。3“5+"；=(43+45)'又"3+”5=3,

所以+2%2+。4。6=9.

故答案为：9

o1

9.已知｛4｝是正项等比数列，若%A=a；,则的最小值等于.

3

【答案】7/0.75

【解析】由金外=必可得m+〃=6,所以

211(21V、1/52nm1(5.\lnm3

—I=——I\\m+n)=——I1>——I-2.1-----

mIn6\m2n)6(2mIn)6(2Nm2n4

当且仅当2三九==YYI时，即相=4,〃=2时，取等号，故2二+；1的最小值为3

m2nm2n4

3

故答案为：—

4

10.已知数列｛为｝是各项均为正数的等比数列，则。6+―+。8的最小值为

【答案】2屈/[

【解析】由题意知数列｛为｝是各项均为正数的等比数列，设公比为4，

则4>0,,%上2个a6aL2al（当且仅当%=用时等号成立），

/2%+",又2%+,20（当且仅当％当时等号成立），

故4+—+/的最小值为20.

%

故答案为：2及

11.（2024•河南新乡•二模）已知等比数列｛%｝的首项为1,且为+为=2（%+4），则4%%…%=.

【答案】128

【解析】设等比数列｛?｝的公比为9,因为。6+%=2（%+4），根据等比数列的通项公式的计算得至IJ：

<?3=£^=2,所以q=夕,=2.由等比数列的性质得到：2%…%=。：=27=128.

故答案为128.

题型四：等比数列前n项和的性质

12.（2024•上海闵行三模）设S”是等比数列｛时的前“项和，若Ss=4,%+%+/=8,则于=.

【答案】5

【解析】由题意得$6-$3=8,56=53+8=4+8=12,

因为S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9,成等比数列，

Sf：—Sg—S[2—Sg/\

92

故^^=”差=于二，BP8=4（S9-12）,解得Sg=28,

之，,9）6

S60

贝”9-$6=28-12=16,所以162=8（&一28）,512=60,故谭=石=5.

、612

故答案为：5

13.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为341,偶数项之和为682,则这个数列的项

数为_______

【答案】10

【解析】设等比数列项数为九项，公比为1，由题意可求出4=2,结合等比数列的性质和前〃项和公式可

知"[1一，进而可求出项数.设等比数列项数为九项，公比为9,则0+%+…+%1=341,

i-q

%+%+…+=682,

aa=

由％+“4+…+4〃=%夕+〃3夕+…+n-]Q=（4+%+•••+n-\）Q341^=682,

解得q=2,因为4,为，是公比为d=4的等比数列，则"[j]一,

-1-^2—-

即""）=341，解得〃=10，

1-4

故答案为：10.

14.已知数列｛4｝的前〃项和5"=22向+。，若此数列为等比数列，则。=.

【答案】-2

【解析】因为数列｛g｝的前〃项和S”=产包+。，

2n+12H121

所以%=S“一5n_1=（2+a）-（2-+«）=3-2-,n>2；

又q=8+。，因为数列｛%｝为等比数列，则4=8+°也满足%=3-22'

即％=8+。=3-2=6,解得〃=一2.

故答案为-2

题型五：奇偶项求和问题的讨论

为奇数

（.河北张家口•三模）已知数列｛｝的前项和为，且满足100

15.20244aS“q=l,a,1+12%,“为偶数'」~

A.3X251-156B.3X251-103C.3x25°-156D.3x25°-103

【答案】A

a+1,“为奇数

【解析】因为％=l，4+in

为偶数

所以aik+2=a2k+i+1=2。2k+1,a2t+i=2电*=2a21+2,左eN*,且％=2,

aa

所以2k+2+2k+\=2(a2k+a2k-i)+3,

记纥+则%=22+3,所以%+3=2(a+3),

所以也+3｝是以仇+3=可+%+3=6为首项，2为公比的等比数列，

所以6.+3=6X2"T,2=6X2"T-3,

记出｝的前〃项和为■，贝I50a=金=(6x2°+6x21+6x2?+…+6*249)-3x50=3x251-156.

故选：A

16.数列｛%｝满足4=。，%=1,=[：+""一2'〃[:则数列｛为｝的前20项和为()

[2X%_2，〃N3,W为偶数，

A.1110B.1111C.1112D.1113

【答案】D

【解析】因为"23且"为奇数时%=2+%_2，

所以所有奇数项构成4=。为首项，2为公差的等差数列，

又因为"24且〃为偶数时，an=2a„_2,

即所有偶数项构成生=1为首项，2为公比的等比数列，

月f以q+%+。3+,,,+〃20

=(q+/+...+[9)+(%+44+…+”20)

故选：D.

3a72——2k-1kG

17.(2024•高三•河南南阳・期中)已知数列｛?｝满足q=l,。“+1=n，-'

an,n=2k,左£N

⑴记4=%“，证明数列出｝是等比数列，并求也｝的通项公式;

⑵求｛%｝的前30项和.

【解析】(1)由题意得%+l=«2〃+2="(2〃+l)+l=3a2n4=302rl=3b”,

即bn+i=3bn,且4=%=3q=3,

所以也〃｝是以3为首项，3为公比的等比数歹U，

故£=3.3"T=3"；

9)+(%+/+“6+,,,+^30)

(2)q+%+%+•••+60=(%+%+，5+•••+%

+b

=2+4+…+九)+(4+》2+4+…十九)

430—3”)

=—x-^-----^=2x3”—2•

31-3

a-2,n=2k-l,keZ

｛叫满足％=_1,%=&n〃.kZ

18.(2024・高三•河北张家口•期末)已知数列

12

(1)若2=々”1+2,证明：数列｛2｝为等比数歹

(2)求数列｛an｝的前2n项和S2n.

-2Z7_

【解析】(D由题意，得%"=a(2”-i)+i=%-i-乙，〃2〃+1一方，

故%+i=5(%-112)=5%1-1，

2

所以为用+=1(«2„-i+2)，即么+1=；么,

又4=q+2=l,所以数列也｝是以1为首项,5为公比的等比数列.

(2)由上知a=%T+2=U,故。2,T=1广,

所以的“=%,1一2=13)-4.

设的=出“一+%“=[(]_2+[g)_4=2x]

+a

故82〃=q+%++2n

=q+q+…+c,=2x[1]+[[+•••+1)

—6n

i-W"

=2x——^~r——6及=4-22f—6n.

1--