2025年中考数学一轮复习：三角形及其性质（解析版）

考点三三角形及其性质

知识点整合

一、三角形的基础知识

1.三角形的概念

由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.

2.三角形的三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.

推论：三角形的两边之差小于第三边.

（2-）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明

线段不等关系.

3.三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180。.

推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

的和；③三角形的•一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

4.三角形中的重要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做

三角形的角平分线.

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线

（简称三角形的高）.

（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边,

且等于第三边的一半.

考向一三角形的三边关系

在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三

条线段的长度来判断.

典例引领

1.等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm,则它的周长是（）

A.12cmB.9cmC.12cm和9cmD.以上都不正确

【答案】A

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的

题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解

答，这点非常重要，也是解题的关键.

由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长.

【详解】解：当等腰三角形的腰为5cm,底为2cm时，

E5+2>5

05cm,5cm,2cm能够组成三角形,

此时周长为5+5+2=12cm；

当等腰三角形的腰为2cm,底为5cm时，

02+2=4<5,

02cm,2cm,5cm不能够组成三角形.

则这个等腰三角形的周长是12cm.

故选：A.

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.2,3,6B.4,4,8C.4,7,11D.5,8,12

【答案】D

【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长

的那条线段就能够组成三角形.根据三角形的三边关系进行分析判断.

【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A、2+3=5<6,不能组成三角形；

B、4+4=8,不能组成三角形；

C、4+7=11,不能组成三角形；

D、5+8=13>12,能够组成三角形.

故选：D.

3.下列木棒中，能与3cm和7cm的两根木棒围成一个三角形的是（）

A.7cmB.4cmC.3cmD.10cm

【答案】A

【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系：两边之和大于第三

边、两边之差小于第三边成为解题的关键.

根据三角形的三边关系可得第三边的取值范围，然后结合选项即可解答.

【详解】解：设第三边为c,则3+7>c>7-3,即10>c>4.

结合选项可知，仅有A选项符合要求.

故选A.

4.在,ABC中，AB=AC,AC边上的中线8。把ABC的周长分为21和27的两部分，则

BC的长为（）

A.12B.12或20C.18D.18或20

【答案】B

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质等知识点，题中给出了周长关系，要求底边长，

首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三

角形三边关系验证答案，根据题意画出图形，列出关于尤、丫的方程组是解答此题的关键.

【详解】设等腰三角形的底边BC长为x,腰长为y,则根据题意，

B

x+)=21x+)=27

2

得2或＜

y+»=27y+」=21

:22

%=12lx=20

解得)=18或1y=14

经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为12或20

故选：B.

5.下面不能组成三角形的三条线段是（）

A.a=b=10cm,c=1cmB.a=b=c=6cm

C.a=3cm,b=4cm,c=7cmD.a=2cm,b=4cm,c=5cm

【答案】c

【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两

边之差小于第三边，据此求解即可.

【详解】解：A、131+10>10,

团三条长分别为10cm,10cm,1cm的线段能构成三角形，不符合题意；

B、06+6>6,

国三条长分别为6cm,6cm,6cm的线段能构成三角形，不符合题意；

C、囱3+4=7,

团三条长分别为3cm,4cm,7cm的线段不能构成三角形，符合题意；

D、02+4>5,

回三条长分别为2cm,4cm,5cm的线段能构成三角形，不符合题意；

故选；C.

6.已知一个三角形有两条边相等，一边长为4cm,另一边长为7cm,则这个三角形的周长

为（）

A.15cmB.18cmC.不能确定D.15cm或18cm

【答案】D

【分析】本题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是利用三角形的三边关系确定第三

边的长度.分情况考虑，当相等的两边是4cm时或当相等的两边是7cm时，根据三角形的

三边关系进行验证，然后求出三角形的周长即可得答案.

【详解】解：回一个三角形有两条边相等，一边长为4cm,另一边长为7cm,

回①当相等的两边是4cm时，三边长为：4、4、7,

04+4>7,符合三角形三边关系，

团这个三角形的周长为15。〃，

②当相等的两边是7cm时，三边长为：4、7、7,

回4+7>7,符合三角形三边关系，

团这个三角形的周长为18«n,

综上所述：这个三角形的周长为15cm或18cm,

故选：D.

变式拓展

7.已知.、b、c是“ABC的三边，a=3,b=7,c为整数，则c的最小值为.

【答案】5

【分析】本题考查三角形三边关系.已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的

两边的差，而小于两边的和.掌握三角形三边的关系是解题的关键.

根据已知的两边确定第三边的取值范围，再根据c为整数，即可得出答案.

【详解】解：团。、b、，是_>1£(7的三边，«=3,b=7,

EI7-3<c<7+3,^4<c<10,

又回c为整数，

回c的最小值为5,

故答案为：5.

8.在..ABC中，AB=8,BC=4,则AC边上的中线5□长x的取值范围是.

【答案】2<x<6

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，构造全等三

角形是解题的关键.延长8。到E,使。£=班),连接AE,证明二四一CDB,再利用

三边关系即可得到答案.

【详解】解：延长8。到E,使DE=BD,连接AE,

在VADE与.CDE中，

BD=DE

<ZADE=ZCDE,

AD=CD

ADEMCDB(SAS),

:.AE=BC,

在,ABE中，AB-AE<BE<AB+AE,

即4<23D<12,

:.2<x<6,

故答案为：2cx<6.

三、解答题

9.已知占，巧是关于x的一元二次方程-4(m+1卜+/+3=0的两个实数根，

⑴若&一2乂马-2)=5,求m的值；

(2)已知咫ABC的斜边长为瓦，而且毛，超恰好是ABC另外两条直角边的长，求这个

RtABC的周长.

【答案】(1)9

(2)4+回

【分析】此题考查了根与系数的关系，勾股定理，以及三角形三边关系，熟练掌握各自的

性质是解本题的关键；

(1)利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，已知等式变形后，代入计算即可求

出m的值;

(2)根据题意得到+依此得到关于的方程求出机的值，进而代入原方

程求出解，进而求出周长即可，

【详解】(1)「公，X?是关于尤的一元二次方程4X2-4(〃Z+1)X+*+3=0的两个实数

根，

△=[-40〃+1)]~-4x40/+3)=32/71-32>0,BPm>7

-4(m+l),m2+3

xl+x2=------------=m+l,xxx2=---,

(石-2)-2)=5,

整理得：%/-2(%=1,

代入得：加；3一2(一+1)=1,BPm2-8m-9=0,

(m-9)(m+1)=0,

解得：叫=9,m2=-l,

m>7,

机2=1不符合题意，舍去，

的值为9；

（2）RfABC的斜边长为质，而且A，巧恰好是.ABC另外两条直角边的长，

考=（可『=10,

x1+x2=m+l,.尤2="；3,且（xi+zJ-Z%%=10,

./,、2cnr+3

••（m+1）-2x---=10,

整理得：加+4〃Z-21=0,

解得：/=3或?=-7,

m>l,

；•吗=-7不符合题意，舍去，

此时已知方程为4fT6x+12=0即X2-4X+3=0

解得：X]=1,x2=3,

;.1+3+丽=4+而，

故这个RtAABC的周长为4+而.

10.在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为：A（-3,2）,B（^,-3）,C（-1,-1）,

⑴若△ABC与..ABC关于〉轴对称，请写出点4,4c的坐标（直接写答案）：A_；

（2）ABC的面积为二

⑶在y轴上画出点P,使尸3+PC最小.

【答案】⑴（3,2）,（4,-3）,（1,-1）

(2)6.5

⑶见解析

【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的对称变换、三角形的三边关系，理解掌

握点的坐标的对称变换是解题关键.

(1)根据点关于y轴对称的性质"横坐标变为相反数，纵坐标不变"即可得；

(2)三角形面积=矩形面积减去周围的三个三角形面积即可；

(3)由题意可得y轴是线段B用的垂直平分线，则尸3=尸耳，因此尸3+PC=P4+PC；

又根据三角形的三边关系得P4+PC>8。，所以当尸、C、旦三点共线时，P3+PC最

小，且最小值为C4.

【详解】(1)解：根据点关于y轴对称的性质得：A(3,2),r(4,-3),G(1,7),

故答案为：A⑶2),男(4,-3)6(1,-1)；

(2)如图可知，

—

则^AABC=3X5—-xlx5—x3x2——x2x3=6.5,

故答案为：6.5；

(3)解：由题意可得y轴是线段B片的垂直平分线，则尸3=尸片,

因止匕尸8+PC=P4+PC,

由三角形的三边关系得PB,+PC>B.C,

故当尸、C、四三点共线时，P3+PC最小，且最小值为C8-

连接eg,与y轴的交点即为所求点P(如图所示).

11.已知，，b,c是三角形的三边长.

(1)化简：+卜_0_〃1+卜_.一4；

(2)若a=10,b=8,c=6,求(1)中式子的值.

【答案】⑴a+b+c

⑵24

【分析】本题考查了三角形三边关系定理，绝对值的化简，求代数式的值

(1)根据。，b,。是三角形的三边长，得b+c>a,a+c>b,a+b>c,化简计算即可.

(2)根据。=10,b=8,c=6,代入化简式计算即可.

【详解】(1)回"，b,。是三角形的三边长，^b+c>a,a+c>b,a+b>c,

国—h—c|+|Z?—c—tz|+|c—a—Z?|

=b+c—a+a+c—b+a+b—c=a+b+c.

(2)当a=10,/?=8,c=6时，

原式=a+Z?+c=10+8+6=24.

12.已知。，瓦。是三角形的三边长.

⑴化简：+3]a+c-@；

⑵。，匕满足卜-7|+0-2)2=0,且三角形的周长是16,判断此三角形的形状，并说明理

由.

【答案】(l)2a-2b+4c

(2)此三角形是等腰三角形，详见解析

【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角

形三边关系定理是解题的关键.

（1）根据三角形三边关系定理可得。+。-6>0,再去绝对值符号即可；

（2）根据+2）2=0及三角形的周长是16求得a,b,c的值即可判断三角形的形

状.

【详解】（1）解：。，8c是三角形的三边长，

:.b+c>a,a+c>b.

:.a-b-c<0,a-^-c-b>0.

|tz—h—c|+31<2+c—Z?|

=（Z?+c-〃）+3（a+c—Z?）

=b+c-a+3a+3c-3b

=2a-2b-\-4c.

（2）此三角形是等腰三角形.

理由如下：

:.a—7=0,Z?—2=0.

/.a=Q,b=2.

「三角形的周长是16,

.“=16—7—2=7.

:.a=c,

•二此三角形是等腰三角形.

13.如图，在4ABe中（AB>3C）,AC=2BC,8c边上的中线AD把ABC的周长分成

50和35两部分，求AC和AB的长.

【答案】AC=40,AB=25

【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据AC=2BC和三角形的

中线列出方程求解，分类讨论①AC+CD=50,®AC+CD=35,注意答案是否满足条

件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系.解题的关键是找到等量关

系，列出方程.

【详解】解:T^BD=CD=X,则AC=23C=4X,

BC边上的中线AD把二ABC的周长分成50和35两部分，AB>BC,

①当AC+CD=50,Afi+3£>=35时，

4x+x=50,

解得：兀=10,

.•.AC=4X=4X10=40,

BD=CD=\O,

.\AB=35-BD=35-10=25f

:.AB=25>BC=20f满足条件；

BC+=20+25=45>AC=40,满足三边关系，

/.AC=40,AB=25；

②当AC+CD=35,AB+8D=50时，

4x+x=35，

解得：x=7,

AC=4x=4x7=28,

：.BD=CD=19

AB=50-BD=50-7=43,

AC+5C=28+14=42<43=AB,

・二不满足三角形的三边关系，

「•不合题意，舍去，

综上：AC=40,AB=25.

14.已知关于x的一元二次方程尤(机-2)%+2%-8=0.

(1)求证：不论相为何值，方程总有两个实数根.

(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值；

⑶若等腰三角形的其中一边为4,列两边是这个方程的两根，求相的值.

【答案】⑴见解析

(2)1或2或3

(3)8

【分析】本题考查了一元二次方程及根的判别式、求根公式，等腰三角形定义及三角形三

边关系.

(1)先计算根的判别式的值得到D=(九-6『？0,然后根据根的判别式的意义得到结论；

(2)利用求根公式得到玉=利-4,%=2,则m-4<0,从而得到正整数机的值.

(2)分4为腰与4为底两种情况，求出方程的解，再验证是否能构成三角形，即可求解.

【详解】(1)证明：0A=(m-2)2-4(2m-8)

=m2—12/72+36

=(m-6)220,

团方程总有两个实数根；

2a2

回石=加-4,x2=2,

回方程有一个根是负整数，

0m—4<0,

团正整数m的值为1或2或3.

(3)解：由(2)知％=加一4,X2=2,

①当4为底边时，机-4=2,

02+2=4,

国等腰三角形不存在，舍去；

②当4为腰时，m—4=4,即7〃=8,

02+4>4,

团等腰三角形存在，

综上所述，机的值为8.

考向二三角形的内角和外角

在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.

典例引领

1.如图，丝八4£也，点。在边BC上，NE4c=40。，则N3等于()

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】本题考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到

AB=AD,NBAC=NDAE,再证明N54O=NE4c=40。，然后利用等腰三角形的性质和

三角形内角和计算-3的度数.

【详解】解：团△ABC也△ADE,

BAB=AD,ZBAC=ZDAE,

^ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZEAC,

即/区M>=NEAC=40°,

HIAB=AD，

团N8=ZADB=1(180°-ZBAD)=1x(180°-40°)=70°.

故选：C.

2.如图，等腰三角形ABC中，AB^AC,ZA=24°,线段48的垂直平分线交AB于点

D,交AC于点E,连接8E,则/CBE等于()

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质，由

等边对等角结合三角形内角和定理得出=78°,由线段垂直平分线的性质可得

AE=BE,从而得出NAB石=NA=24。，再由=1即可得解.

【详解】解：等腰三角形A3C中，AB=AC,NA=24。,

180°-ZA1800-24°

...ZABC=NC==78。，

22

线段A5的垂直平分线交A5于点。，交AC于点石，连接班,

/.AE=BE，

\1ABE?A24?,

\1CBE1ABC1ABE78?24?54?,

故选：C.

3.如图，点。，E为ABC的边上的点，且满足EA=EC,若28=30。,

ZC=40°,则ZZME的度数为（）

【答案】C

【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，根据

NDAE=ZBAC—NBAD-NCAE,只要求出ZBAC,NDAB,NG4E即可解决问题.

【详解】解：0ZB=3O°,ZC=40°,

ElZBAC=180°-30°-40°=110°,

团DA=DB,EA—EC,

团NB=ND4B=30。，ZC=ZEAC=40°,

0ZDAE=ZBAC-ZBAD-ZCAE=110°-30°-40°=40°,

故选：c.

4.如图，已知ABC中，ZABC=50°,P为..ABC内一点，过点P的直线MN分别交

AB、BC于点M、N,若/在外的垂直平分线上，N在尸C的垂直平分线上，则/ARC的

度数为（）

A

A.100°B.105°C.115°D.无法确定

【答案】C

【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的

垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系

是解题的关键.根据三角形的内角和得到N8MN+NBM1=13O。，根据线段的垂直平分线

的性质得到=PN=CN,由等腰三角形的性质得到

ZMAP^ZMPA,NCPN=/PCN,由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和"

得ZBMN=AMAP+ZMPA,ZBNM=ZCPN+ZPCN,可得

ZMPA=-ZBMN,ZCPN=-ZBNM,推出/MR4+NCPN=65。，从而由平角定义得到

22

结论.

【详解】解：0ZABC=5O°,

团ZBMN+ZBNM=130°.

回M在上4的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，

SAM^PM,PN=CN.

S\ZMAP=ZMPA,NCPN=NPCN.

ENBMN=ZMAP+NMPA,NBNM=ZCPN+NPCN,

团ZMPA=-NBMN,ZCPN=-NBNM.

22

0ZMPA+ZCPN=1(ZBMN+NBNM)=：x130°=65°.

EINAPC=180°-65°=115°.

故选：C.

5.如图，在ASC中，AB=AC,边AC的垂直平分线MN分别交AB,AC于点M,N,

点。是边3c的中点，点尸是跖V上任意一点，连接尸£>,PC,若NA=(z,ZCPD=/3,

当一尸CD周长取到最小值时，a,夕之间的数量关系是()

A.a=/3B.a+/3=9Q°C.«+^=180°D.以上都不正确

【答案】A

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称一最短路径，三

角形外角的性质等知识点，找到,PCD周长取到最小值时P点所在的位置是解题的关

键.连接AD与交于点P,则此时周长取到最小值时PCD周长取到最小值，则根据等

腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得结果.

【详解】解：团AC的垂直平分线MN分别交AB,AC于点，M,N,

EL4,C关于对称，

连接AD与MN交于点P,则此时周长取到最小值时.PCD周长取到最小值，

SAB=AC,点D是5c的中点，

0ZBAD=ZCAD=-ZBAC=-a,

22

团MN垂直平分AC,点P是MN上的点,

0PA=PC,

^\ZPAC=ZPCA=-a,

2

0ZCPD=ZPAC+ZPCA=«=/7,

Ela=£,

故选：A

变式拓展

6.如图，RtaABC中，ZC=90°,/B4c=70。，点。是2c边上的一点，连接AD,将

A8沿4。折叠，使点C落在点E处，当是直角三角形时，/。⑦的度数

为.

【答案】35。或45。

【分析】本题考查折叠的性质，分两种情况：当/血＞=90。时，根据直角三角形的性质可

得NC4D=35。，当/班见=90。时，即E在2\4。3外时，由折叠可得：NE4c=90。，

ZADC=ZADE=45°,AD平分NG4E,即NG4D=45。，解本题要注意分类讨论.熟练

掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点.

【详解】解：分两种情况：如图：

由折叠可得NAED=NC=90。，ZCAD^ZEAD,

ABED=90°,

.-.AE、3三点在同一条直线上，

ZCAD=-ZBAC=35°；

2

如图，当/瓦见=90。时，即E在ZkACB外部时,

ZC=ZAED=ZEDB=90°,

:.ZEDC=90°,

ZEAC=360°-ZC-ZE-ZEDB=90°,

ZCAD=-ZEAC=45°,

2

故答案为：35。或45。.

7.如图，A3C中，AB.AC的垂直平分线分别交BC于点£、F.若NE4尸=110。，则

ZBAC=.

【答案】145。/145度

【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知

识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键.

由根据线段垂直平分线的性质可得AE=3E,AF=FC,然后根据等边对等角可得

ZBAE=ZB,ZCAF=ZC;再根据三角形内角和定理可得N3+NC=35。，即

ZBAE+ZCAF=35°,最后根据角的和差即可解答.

【详解】解:回AB、AC的垂直平分线分别交5c于点£、F,

SAE=BE,AF=FC,

ENBAE=ZB,NCAF=ZC,

EIZB+ZC+ZBAC=180o

SZB+ZC+ZBAE+ZCAF+ZEAF^180°,即2（N3+NC）+NEAF=180°,

0ZE4F=11O°

EZB+ZC=35°,即NBAE+NC4F=35°,

0ABAC=NEAF+ZBAE+ZCAF=110°+35°=145°.

故答案为：145。.

8.如图，ABC是等边三角形，AD//BC,CDA.AD.若AD=2cm,则AB=

cm.

【答案】4

【分析】本题考查平行线性质，等边三角形性质，垂直的定义，三角形内角和定理，含

30。角的三角形三边关系等.根据题意可得ZACB=NCW=60。，?D90?,利用三角形内

角和定理可得ZACD=30。，利用含30。角的三角形三边关系可得AC=4cm,再根据等边三

角形性质可得本题答案.

【详解】解：0AD/7BC,一ABC是等边三角形，CDLAD,

团NACB=NC4D=60。，?D90?,

团NACD=30。，

回AD=2cm,

回AB-AC=4cm,

故答案为：4.

9.如图，已知等边三角形ABC纸片，点£在AC边上，点尸在A8边上，沿石尸折叠，使

点A落在3C边上的点。的位置，且则/EED的度数为.

【答案】45。/45度

【分析】本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠性质可

知ZAFE=NEFD,通过等边三角形的性质可得/3=60。，ZC=60°,ZA=ZEDF=60°,由

得到4nB=30。，再利用三角形的外角性质即可求出NEFD=45。，熟练掌握边三

角形和折叠的性质是解题的关键.

【详解】由翻折性质可知：ZAFE=ZEFD,

团一ABC为等边三角形，

0/3=60°,ZC=60°,ZA=ZEDF=60°,

0£D±BC,

团△EDC为直角三角形，

aZFDB=30°,

0ZAFE是4BFD的外角,

0ZAFD=ZB+ZFDB=6O°+3OO=9O°,

0△EFD是由△AEF翻折得到,

0ZEFD=-x9O°=450,

2

故答案为：45°.

10.如图，NM4N=120。，点B,C分别是射线AM,AN上的动点，/ACB的平分线和

NMBC的平分线所在直线相交于点D,则NBOC的大小为.

【答案】60。/60度

【分析】本题考查三角形外角性质和角平分线定义的应用，根据角平分线定义得出

ZACB=2ZDCB,ZMBC=2ZCBE,根据三角形外角性质得出

2ZD+ZACB^ZA+ZACB,求出/4=2ND,即可求出答案.掌握角平分线的定义及三

角形外角的性质是解题的关键.

【详解】解：回CO平分/ACS,BE平分/MBC,

EZACB=2NDCB,ZMBC=2ZCBE,

EZMBC=2ZCBE=ZA+ZACB,NCBE=ZD+ZDCB,

E2ZCBE=2ND+2Z.DCB,

0ZMBC=2ZD+ZACB,

S2ZD+ZACB=ZA+ZACB,

EZA=2ZD,

BZMAN=120°,

回"=60°,

回/加（7的大小为60°.

故答案为：60°.

三、解答题

11.如图，ABC是一张纸片，AD是BC边上的高线，把沿着AD折叠，点3落在

BC边上的8处.

A

BDB'C

⑴如果4=48。，ZC^ZCAB',求NC的度数；

⑵如果3£>=4,BC=14,AD=5,求VAB'C的面积.

【答案】⑴NC=24。；

⑵15

【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的面积，三角形外角的性质，熟练掌握

折叠的性质是解题的关键.

⑴根据折叠的性质和三角形外角的性质即可得到结论；

（2）根据折叠的性质和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】（1）解：回把N3沿着AD折叠，

/.ZAB'B=ZB=48°,

ZAfi'B=ZC4B,+ZC,ZC=ZC4B',

ZC=-ZAB'B=24°；

2

（2）团把—5沿着AD折叠，点5落在3c边上的9处，

.•.DB'=DB=4,

BC=14,

:.CB，=BC—BD—B'D=6,

AD±BC,AD=5,

AB'C的面积=LB'C-AO=LX6X5=15.

22

12.如图，已知点£）、E是:IBC内两点，S.ZBAE=ZCAD,NABC=ZACB,

AD=AE.

A

尔

DE

8C

⑴求证：△ABD^AACE；

(2)延长8。、CE交于点尸，若NB4C=86°,ZABD=20°,求NBFC的度数.

【答案】⑴见解析

(2)126°

【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应

用

(1)根据NABC=NAC8得到AB=AC；根据=NCAD得到Za4D=NC4E,结合

4。=AE证明△ABD^AACE即可.

(2)连接AF,并延长到点根据/跳m=N/®)+NR4F,

/CFM=ZACE+ZCAF,结合NBFC=ZBFM+Z.CFM,

ZBAC=ZBAF+ZCAF=86°,ZABD=ZACE=20°,计算即可.

【详解】(1)0ZABC=ZAC8,

SAB=AC；

SZBAE=ZCAD,

BZBAD=ZCAE,

^\AD=AE,

0ABD^,ACE(SAS).

(2)连接AT,并延长到点M,

EZBFM=ZABD+ZBAF,ZCFM=ZACE+ZCAF,

NBFC=NBFM+NCFM,

^BAC=ZBAF+ZCAF^86°,ZABD=ZACE=20°,

0NBFC=ABAC+ZABD+ZACE=86°+20°+20°=126°.

考向三三角形中的重要线段

三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可

得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系.另外，要注意区分三角形的中

线和中位线.中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边

中点的线段.

典例引领

1.如图，用三角板作ASC的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

B

【答案】B

【分析】本题考查了作高线，根据利用三角板作高线的方法即可求解，熟练掌握作高线的

方法是解题的关键.

【详解】解：由图得，作，ABC的边上的高线是

故选B.

2.如图，CM是，ABC的中线，8c=8cm,若一BCM的周长比△ACM的周长大3曲,

则AC的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】C

【分析】本题主要考查了三角形中线的知识，理解三角形中线的定义是解题关键.根据三

角形中线的定义可得期=3M,结合题意可得3C-AC=3cm,进而获得答案.

【详解】解：回CM是,ABC的边AB上的中线，

0BCM的周长比的周长大3cm,

^\(BC+BM+CM)-(AC+AM+CM)=3cm,

EIBC-AC=3cm,

128c=8cm,

EIAC=5cm.

故选：C.

3.如图，BD,BE,跳'分别是.4?C的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是

()

A.AE=ECB.ZABE=-ZABCC.AC=2CFD.BDVCD

2

【答案】A

【分析】本题考查了三角形的的高、角平分线和中线，根据三角形的中线的定义，可得点

尸是AC的中点，即可判断选项A、C,根据角平分线的定义，可得的平分即可

判断选项B,再根据三角形高的定义，判断选项D即可，解题关键是掌握三角形的的高、

角平分线和中线的定义.

【详解】解：A、■是J1BC的中线，；.AF=RC,,AEWEC,故选项A错误，符合

题意；

B、BE是ABC的角平分线，=故选项B正确，不符合题意；

2

C、所是一ABC的中线，，AC=2B,故选项C正确，不符合题意；

D、BZ）是4ABe的高，二BDLCD,故选项D正确，不符合题意；

故选：A.

4.下列说法正确的是（）

A.三条线段组成的图形叫三角形B.三角形的角平分线是射线C.任何一个

三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线D.三角形的高所在的

直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外

【答案】C

【分析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌

握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键.根据三角形定义，三角形的角平分线、

中线、高的定义判断即可.

【详解】解：A、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A

错误；

B、三角形的角平分线是线段，故B错误；

C、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C正确；

D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D错误；

故选：C.

5.下列说法正确的有（）

①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条高线都在三角形内部；③三角形的三条角

平分线的交点叫做三角形的重心；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三

角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解，熟练掌握三角形的中线、

角平分线、高的概念是解决本题的关键.根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形

的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形

有两条高在边上即可作答.

【详解】解：①三角形的角平分线是线段，故原说法错误；

②锐角三角形的三条高线都在三角形内部，故原说法错误；

③三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，故原说法错误；

④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两个三角形，故正确.

故选：A.

6.如图，AD是的中线，E,尸分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF,连接

BF,CE.则下列说法：①CE=BF；②和ACD面积相等；③BF〃CE；④

△BDF名ACDE.其中正确的有（）

A

F

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】D

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行

线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键.

根据三角形中线的定义可得3D=CD，然后利用"SAS"证明VB/m和二CDE全等，根据全

等三角形对应边相等可得=全等三角形对应角相等可得NF=/CED,再根据内

错角相等，两直线平行可得3产〃CE,最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正

确.

【详解】解：（BAD是一ABC的中线，

BBD=CD,

在V3Z邛和.CDE中，

BD=CD

<NBDF=ZCDE,

DE=DF

0BDF冬CDE（SAS）,故④正确；

0CE=BF,ZF=ZCED,故①正确，

SBF//CE,故③正确；

回3D=CD,点A到3D、CD的距离相等，

回△ABD和,ACD面积相等，故②正确，

综上所述，正确的是①②③④，共4个.

故选：D.

变式拓展

7-如图‘在"C中‘M=AC'分别以点5和点C为图心，以大于京。的长为半径作

弧，两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若44£=44。，则NR4C=度.

【分析】本题考查角平分线定义.根据题意可知AD为/A4c的平分线，利用角平分线定

义即可得到本题答案.

【详解】解：BAB=AC,分别以点8和点C为图心，以大于‘8C的长为半径作弧，两弧

交于点O,作直线AD交BC于点E,

回AD为，5AC的平分线，ZBAE=44°,

SZBAE=ZCAE=44°,

0ZBAC=2x44°=88°,

故答案为：88.

8.如图，AD是‘ABC中8C边上的中线，旦P分别是AD,BE的中点.若△丽的面积为

3,则.ABC的面积为.

【答案】24

【分析】本题考查了三角形的面积公式，由于产是班的中点，BF=EF,那么△口和

△3FD可看作等底同高的两个三角形，根据三角形的面积公式，得出△砂D和△血»的

面积相等，进而得出的面积等于△BED的面积的2倍，同理由于E是A。的中点，

得出,AD3的面等于面积2倍，由于AD是8C边上的中线，得出J1BC的面积等于

△A