2025年中考数学复习专项突破：函数问题过程性学习探究型（解析版）

突破03函数问题过程性学习探究型

3中考解密

函数过程性学习是一种以学生为中心设计执行函数过程性学习方法.函数过程性学习要求学生从真实世界

的基本问题出发，围绕复杂的、来自真实情境的主题，在精心设计任务、活动的基础上，以小组方式进行

开放性探究，并将学习结果以作品的形式表现出来，最终达到知识建构与自身能力提高.这个也是落实课

程标准中的活动建议，函数过程性学习更能有效提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，此类题

可以是纯函数性质探究，也可以结合几何动点探究函数性质，属于创新题.

3重点考向

=一.选择题

1.(2023•青海)生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如

B.酒精对这种鱼类的心率没有影响

C.当酒精浓度是10%时，心率是168次/分

D.心率与酒精浓度是反比例函数关系

解：由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误；

酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故2错误；

由图象可知，当酒精浓度是10%时，心率是168次/分，故C正确；

任意取两个点坐标(5%,192),(10%,168),因为192*5%彳168乂10%,所以心率与酒精浓度不是反

比例函数关系，故。错误.

故选：C.

2.（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5小时,

标准视力表中最大的“E”字高度为72.7%利，当测试距离为3机时，最大的“E”字高度为（）

A.121.17mmB.43.62mmC.29.08mmD.4.36mm

解：由题意得：

DFAD

前词

VAD=3m,AB=5m,BC=72Jmm,

DF二3

72.7

Z)F=43.62(mm),

故选：B.

也*9=画且

3.（2023•晋城模拟）观察式子：04X9=每=6,yx、/§=2x3=6；

1004V40020

7•号;VO.25X0.04=V0.01=0.1-VO.25X^O.04=0.5X0.2=0.L由

10

此猜想后=4-Vb（e0,feO）.上述探究过程蕴含的思想方法是（）

A.特殊与一般B.整体

C.转化D.分类讨论

解：探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，

故选：A.

4.（2023•迁安市二模）如图1和图2是在数学课上甲组和乙组在探究用不同方法：过直线外一点P作直

线/的平行线，用尺规作图保留痕迹，关于两组的作法下列说法正确的是（）

B.甲组作法不正确，乙组作法正确

C.甲组和乙组作法都不正确

D.甲组和乙组作法都正确

解：图1中，A3是/B4c的平分线,

：.ZPAB=ZBAC,

'：PA=PB,

：.ZPAB=ZPBA,

：.ZPBA^ZBAC,

J.PB//1,

.•.甲组作法正确;

图2中，A、C分别为PB、的中点,

，AC是APB。的中位线，

：.AC//PQ,

J.PQ//1,

.•.乙组作法正确;

故选：D.

5.（2022•百色）活动探究：我们知道，己知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如

已知AABC中，ZA=30%AC=3,/A所对的边为满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中

如图的AABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

C.2百或«D.2y或2我-3

解：如图，CD=CB,作C”_LA8于H,

A

DHB

：.DH=BH,

/A=30°,

：.CH=^AC=—,A

22

在RtACBH中，由勾股定理得BH=7BC2-CH

：.AB=AH+BH=^^-

2V3.AD=AH-

222

故选：c.

6.（2023•山西模拟）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建

立相等关系.我们把这种思想叫“算两次”“算两次"也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想.由它可

以推导出很多重要的公式.如图，两个直角边分别为。，。的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角

三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究a,b,c之间的数量关系，可以验证的是（

B.平方差公式

D.比例的性质

解：第一次利用梯形的面积公式,图形面积为：£（a+b）2.

第二次利用图形的面积和计算为:2xXC2.

2

2=2x2

•"-y(a+b)yc，

整理得：a2+2aZ?+c2=2ab+<?,

.".a2+b2=cz.

故选：A.

7.（2023•金昌）如图1,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了

我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就.其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻

矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光

线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”.为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图

在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线A8与地面C。所成夹角/A8C=50。时，要使太阳光线

经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜所与地面的夹角NE3C=（）

工

淮

南-*

9*

履

苒

#

<

图2

•：BM_LCD,

・・・NCW=90。，

ZABC=50°,

：.ZABE+ZFBM=1SO°-90°-50°=40°,

ZABE=NFBM,

：.ZABE=ZFBM=20°,

・•・ZEBC=20°+50°=70°.

故选：B.

8.（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质,请思

考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）

A.扇形B.平行四边形

C.等边三角形D.矩形

解：A.扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意;

B.平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

9.(2023•德阳)在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探

究活动；对依次排列的两个整式相，〃按如下规律进行操作：

第1次操作后得到整式中m,n,n-m-,

第2次操作后得到整式中m,n,n-m,-m-,

第3次操作后……

其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活

动命名为“回头差”游戏.

则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是()

A.m+nB.mC.n-mD.2n

解:第1次操作后得到的整式串m,n,n-m；

第2次操作后得到的整式串机，n,n-m,-m；

第3次操作后得到的整式串机，n,n-m,-m,-n；

第4次操作后得到的整式串机，n,n-m,-m,-n,-n+m；

第5次操作后得到的整式串加，n,n-m,-m,-n,-n+m,m；

第6次操作后得到的整式串机，n,n-m,-m,-n,-n+m,m,九；

第7次操作后得到的整式串机，n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m；

第2023次操作后得到的整式串机，n,n-m,-m,-n,-n+m,...m,n,n-m；共2025个整式；

归纳可得，以上整式串每六次一循环.每6个整式的整式之和为：m+n+(«-m)+(-m)+(-n)+

(-n+m)=0,

；2025+6=337...3,

.•.第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可.

••.这个和为wi+〃+(n-in)=2n.

故选：D.

10.(2023•东湖区校级二模)数学小组将两块全等的含30。角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，

并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1,其中NADB=NCB£)=30。，ZABD=ZBDC^90°,AB=

0)=3,将RtABCD沿射线方向平移，得到RtAB'C。.分别连接Ab,(如图2所示)，下列

有关四边形ABC。的说法正确的是()

B.先是平行四边形，平移«个单位长度后是矩形，再平移2a个单位长度后是菱形

C.先是平行四边形，平移我个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形

D.在RtABC。平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形

解：A.在R3ABB中，AB=3,BB'=M，

；•A"=VAB2+BB/2=Vs2+（Vs）2=2心

在R3A8O中，/ADB=30。，

・・・A£>=2A8=2x3=6,

，BD=4AD2-AB2=3«，

AABD”丛CDB,

:・CD=AB=3,BC=AD=6,

:・BC=6,

:・AB?B，C,

・・・四边形AQCO是平行四边形，但不是菱形，故A选项不符合题意；

B.当89=%时，

'：tanZAB'B=三二百，

V3

ZAB'B=60°,

VZCBD=30°,BC//B'C',

：.ZCB'D'=30°,

：.ZAB'C'^9Q°,四边形AB'CD是平行四边形，

四边形ABC。是矩形，

当88'=3«时，AB'=7AB2+BB72=V32+（3^3）2=6=BC,

四边形ABC。是菱形，故B选项符合题意；

C.由8可知先是平行四边形，平移«个单位长度后是矩形，

当88=4«时，AB，r/+BB，2r32+（如）2=历册,

...四边形AQC。不是正方形，故C选项不符合题意；

D.由8知，RtABCZ）平移逐个单位长度后是矩形，移动的其它位置不是矩形，故一定不是正方形，故

。选项不符合题意.

故选：B.

二.填空题

11.(2023•福山区一模)3月28日电28日，我国首单以人民币结算的进口液化天然气(LNG)采购交易

达成，标志着我国在油气贸易领域的跨境人民币结算交易探索迈出实质性一步，数据显示，2022年上海

石油天然气交易中心天然气双边交易量达到928.58亿立方米.928.58亿用科学记数法表示为

9.2858x101°.

解：928.58亿=92858000000=9.2858x101°.

故答案为：9.2858X1O10.

12.(2023•杭州)在“探索一次函数了=丘+6的系数左，6与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中

的三个点：A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的

图象，并得到对应的函数表达式yi=/ix+6i，y2=k2x+b^>y^—kix+b-i.分别计算a1+61，kz+b”Z3+63的值，

其中最大的值等于5.

>

x

解：解法一：设直线AB的解析式为力=红计仇,

bl=2

将点A(0,2),B(2,3)代入得，，

2k<+bi=3

1

解得：〈1节,

i=2

/.ki+bi=—>

2

设直线AC的解析式为y2=k^+b2,

b2=2

将点A(0,2),C(3,1)代入得，，

3k2+b2=l

1

解得：，3

'•ki+b2=—t

3

设直线BC的解析式为y3=k3x+b3,

2kq+bo=3

将点8(2,3),C(3,1)代入得，•

3k3+b3=l

k=-2

解得：，

7

b3=

.*.fe+&3=5,

.•«i+d=a,k2+b2=—，k3+b3=5,其中最大的值为5.

23

解法二：如图，作直线AB、AC,BC,作直线x=l,

|X=1

I

设直线AB的解析式为以=左1%+。1，直线AC的解析式为丁2=左亦+。2，直线的解析式为”=%31+。3,

由图象可知，直线％=1与直线3C的交点最高，

即当X=1时，kl+bl，心+岳，依+加其中最大的值为总+。3,

2k3+b3=3

将点3(2,3),C(3,1)代入得，，

3k3+b3=1

k3=-2

解得：＜

b3=7

.".k3+b3=5,

kl+bl，%2+历，％3+匕3其中最大的值为左3+63=5.

故答案为：5.

13.(2023•杏花岭区校级模拟)我省积极探索保障粮食安全，做强精品粮油，始终坚持“藏粮于地、藏粮于

技”战略，稳定粮食面积，提升基础保障能力，增强科技支撑能力，牢牢把饭碗端在自己手中，某农科所

在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如表所示：

种子个数n10001500250040008000150002000030000

发芽种子个数m8991365224536447272136801816027300

发芽种子频率蚂0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910

n

则该作物种子发芽的概率约为0.91.(结果保留两位小数)

解：观察表格发现，随着实验次数的增多，种子发芽的频率逐渐稳定在0.91附近，

所以估计该作物种子发芽的概率约为0.91.

故答案为：0.91.

14.(2023•榆树市校级模拟)在“探索函数y=^+6x+c的系数a,b,c与图象的关系“活动中，师给出了直

角坐标系中的四个点A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探索了经过这四个点中

的三个点的二次函数图象，发现运些图象对应的函数表达式各不相同，其中。的最大值为$.

-2-

解：由图象知，A、B、。组成的二次函数图象开口向上，。>0；

A、B、C组成的二次函数开口向上，a>0；

B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a<0；

A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a<0；

即只需比较A、B、。组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可.

设A、B、。组成的二次函数为yiMaif+bix+ci，

4=2

把A(0,2),B(1,0),C(3,1)代入上式得，ai+bi+^l=O，

9a]+3b]+C[=l

解得ai=@;

5

设A、B、。组成的二次函数为〉=加+法+°,

"c=2

把A(0,2),B(1,0),Z)(2,3)代入上式得，a+b+c=O，

4a+2b+c=3

解得a=S,

2

即。最大的值为

2

故答案为：

2

15.(2020•安徽)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片A8C。沿过点A的直线

折叠，使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP；再将APCQ,^ADQ分别沿PQ,AQ折叠，此时点C,

。落在AP上的同一点R处.请完成下列探究：

(1)NB4。的大小为30。;

(2)当四边形APCD是平行四边形时，地的值为V3

QR-

解：（1）由折叠的性质可得：ZB=ZAQPfZDAQ=ZQAP=APAB,/DQA=NAQR,ZCQP=Z

PQR,ZD=ZARQ,NC=NQRP,

•••NQM+NQ?尸=180。，

AZD+ZC=180°,

：.XD//BC,

：.ZB+ZDAB=180°,

ZDQR+ZCQR=1SO°,

：.NDQ4+NCQP=90。，

JNA。尸=90。，

：.ZB=ZAQP=90°,

：.ZDAB=90°,

：.ZDAQ=ZQAP=ZFAB=30°,

故答案为：30；

(2)由折叠的性质可得：AD=AR,CP=PR,

・・・四边形APCD是平行四边形，

：.AD=PC,

：・AR=PR,

又「ZAQP=90°,

.•・QR=」AP,

2

VZB4B=30°,ZB=90°,

:,AP=2PB,AB=MPB,

：.PB=QR,

:里=M，

QR

故答案为：Vs-

16.（2023•临淄区一模）华罗庚说过：“复杂的问题要善于，退’，足够地，退‘，‘退'到最原始而不失重要性的

地方，是学好数学的一个诀窍.”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究.如图，已知抛物线y=

-$+2x-I的图象与/的图象关于直线y=x对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上

去研究，可以得到图象/所对应的关于x与y的关系式为x=-y2+2y-l.若抛物线y=-x2+2x-1与g

J.x—y1+ly+V,

故答案为：x=y2+2y+l.

17.（2022•钢城区）利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法.如图1,

BD是矩形ABCD的对角线，将△8。分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆

放，观察两图，若a=4,b=2,则矩形的面积是16.

A,__________A______D

图1图2

解：设小正方形的边长为x,

。=2,

；・80=2+4=6,

在RtABCD中，DC2+BC2=DB2,

即(4+x)2+(尤+2)2=62,

整理得，f+6x-8=0,

而长方形面积为=(x+4)(x+2)=/+6x+8=8+8=16

该矩形的面积为16,

解法二：由题意得第一个矩形的左上角的三角形面积=第二个矩形左上角的长方形的面积=4x2=8,所

以原矩形面积为16

故答案为：16.

图1图2

18.（2023•十堰）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC（NA=90。）硬纸

片剪切成如图所示的四块（其中。，E,尸分别AB,AC,的中点，G,X分别为。E,的中点），

小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小

值为8,最大值为8+2点.

解：如图,

BC=4,AC=4x返=2M，CI=BD=CE=LAC=®DI=BC=4,

22

四边形BCID周长=4+4+2&=8+2&；

如图，

AF=AI=IC=FC=2,

四边形AFCI周长为2x4=8；

故答案为：8,8+2^2.

19.（2021•大庆）已知，如图①，若AZ）是AABC中NBAC的内角平分线，通过证明可得岖=坨，同理，

ACCD

若AE是AABC中/B4C的外角平分线，通过探究也有类似的性质.请你根据上述信息，求解如下问题：

如图②，在AABC中，BD=2,CD=3,A。是AABC的内角平分线，贝以48。的BC边上的中线长/的取

AB=BD

ACCD，

,:BD=2,CD=3,

•.•-A-B-_-2-,

AC3

作/8AC的外角平分线AE,与CB的延长线交于点E,

.AB=BE

"AC而''

.BE2

"5+BE

：.BE=IO,

：.DE=12,

：AO是NR4c的角平分线，AE是/R4c外角平分线

：.ZEAD=90°,

...点A在以DE为直径的圆上运动，

取2C的中点为R

：.DF<AF<EF,

；■</<生，

22

故答案为：工</<空.

22

解法2：是A48C的内角平分线，

.AB=BD

"ACCD，

,:BD=2,CD=3,

.AB_2

••-----,

AC3

可设AB=2亿AC=3匕

在AABC中，BC=5,

：.5k>5,k<5,

：.l<k<5,

E是8C边的中点，延长AE至A,使得AE=AE,连结AC,

：.A'C=AB,

：.k<2l<5k,

图②

A

OB4FC

三.解答题

20.(2023•广西)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探

索数学奥秘.

【动手操作】如图1，将矩形纸片ABC。对折，使与重合，展平纸片，得到折痕斯：折叠纸片，

使点B落在所上，并使折痕经过点4得到折痕AM,点、B,E的对应点分别为F展平纸片，连接

AB',BB',BE'.请完成：

(1)观察图1中/I,/2和/3,试猜想这三个角的大小关系；

(2)证明(1)中的猜想；

【类比操作】如图2,N为矩形纸片A3。的边AD上的一点，连接BN,在AB上取一点P,折叠纸片，

使8,尸两点重合，展平纸片，得到折痕ER折叠纸片，使点2,P分别落在ERBNk,得到折痕/,

点B,尸的对应点分别为9，P',展平纸片，连接3夕，P'B'.请完成：

(3)证明是NNBC的一条三等分线.

(2)证明：如图1,

（图1）

设AM,EF交于点、O,

由题意得：EP是A2的垂直平分线，AM是89的垂直平分线，AB^AB',

：.AB'=BB',OA=OB=OB',

：.AB'=BB'=AB,。为外心，

ZABB'=60°,

.*.Zl=Z2=30°,

•••四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

：.Z3=90°-60°=30°,

.\Z1=Z2=Z3；

(3)证明：如图2,

（图2）

同理（2）得：OB=OB'=OP=OP',BP'=PB'=BB',

：.ZP'BO=NB'BO,ZOBB'=ZBB'O,

'：EF//BC,

：.ZOB'B^ZB'BC,

：.ZP'BO=ZB'BO=ZB'BC,

:.BB，是/NBC的一条三等分线.

21.(2023•绵阳)如图，抛物线经过△AO。的三个顶点，其中O为原点，A(2,4),D(6,0),点尸

在线段AO上运动，点G在直线AO上方的抛物线上，GF//AO,GE，。。于点E,交AO于点/,A”平

分NQ4。，C(-2,-4),AH_LC8于点X,连接切.

C1)求抛物线的解析式及AA。。的面积；

(2)当点尸运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；

(3)试探究四的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；不为定值，请说明理由.

解：(1)设抛物线的解析式为丫二办耳匕无(存0).

将A(2,4),D(6,0)代入，得(4a+2b=4,

I36a+6b=0

f1

解得：2,

b=3

.*.y=-—,v+3x.

,2

设点0到AD的距离为d,点A的纵坐标为明，

9

**•S^AOD~~~~A,Dd—--0D9SA——~X6X4—12.

222

(2):尸--X2+3X=-—(x-3)2+—,

222

抛物线的对称轴为直线x=3.

当点尸运动至对称轴上时，点F的横坐标为3,

则AF=3-2=1,

AD6-24

即AF=-^AD.

4

如图，连接OC、OH,

...点A、O、C三点共线，且。为AC的中点.

"：AH±CH,

：.OH=-^AC=OA,

2

：.ZOAH=ZAHO.

「AH平分NCA£),

：.NOAH=NDAH,

：.ZAHO=ZDAH,

：.HO//AD,

：.H0与AD间的距离为d,

点H到AD的距离为d.

•SAAOZ)=12,

22

S^AFH=—xAFx<7=Ax—ADxd=Ax(』xADxd)=—xl2=3.

224424

.•.当点厂运动至抛物线的对称轴上时，AAEF/的面积为3；

(3)如图，过点A作ACOD于点L过点尸作雁_LGE于点K.

・•・0A=VAL2-K)L2=^42+22=2疾.

：.DL=OD-OL=6-2=4,

在RtZkADL中，AL=DL,

：.ZAZ)L=45°,

,:GE1D0,

：.ZFIK=45°,即AF/K为等腰直角三角形.

设FK=m,则K/=m,

在RtAAOL和RtAGFK中，

•.*GF//AO,

：.ZAOL=NGFK,

tanZAOL=tanZGFK,

.AL=GK

"OLFK"

即全雪

2m

:・GK=2m,

GI=GK+KI=2m+m=3m.

又sinNAO£=sinNGFK,

.AL=GK

*,AOFG，

・—VsmVs

3m

...里的值是定值，定值为

GI3

22.(2023•甘孜州)如图，在RtAABC中，AC=BC=3&，点。在AB边上，连接C。，将CD绕点C逆时

针旋转90。得到CE,连接BE,DE.

(1)求证：4CAD冬ACBE；

(2)若4。=2时，求CE的长;

(3)点。在A3上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果

不存在，请说明理由.

C

：.ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB.

即/ACO=NBCE.

在△C4O和ACSE中，

rCA=CB

，ZACD=ZCBE

CD=CE

.,•△CAD^ACBE(SAS)；

(2)解：•.•在RtAABC中，AC=BC=3&，

：.ZCAB=ZCBA=45°,AB=V2AC=6>

：.BD=AB-AD=6-2=4.

'：/\CAD^ACBE(SAS),

：.BE=AD^2fZCBE=ZCAD=45°,

：.ZABE=ZABC+ZCBE=90°.

•*-DE=VBD2+BE2=2V5>

...在RtACDE中，CE=CD=^=~=Vw;

V2

（3）解：存在，理由：

由（2）可知，AI^+BD2=BE^BD2=DE2=2CD2,

...当CO最小时，有AD^+BD2的值最小，此时CD±AB.

•••△ABC为等腰直角三角形，

CD-|AB=1x6=3-

AD^+BD-=2CD2>2X32=18.

即AD^+BD2的最小值为18.

23.（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.

（1）操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片ABC。和CEFG拼成乜”形图案，如图①.试判断："CB的形状为等

腰直角三角形.

（2）深入探究

小红在保持矩形A8CZ）不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若A8=2,AD=4.

探究一：当点尸恰好落在的延长线上时，设CG与。尸相交于点如图②.求ACMF的面积.

探究二：连接AE,取AE的中点H,连接DH,如图③.求线段DH长度的最大值和最小

在RtACFG中，CF={CG2+GF2>

\'AB^GF,BC=CG,

：.AC^CF,

...△ACT是等腰三角形，

'：AB^GF,/PGC=/ABC=90°.BC=CG,

AAABC^AFGC(SAS),

ZACG=ZGFC,

VZGCF+ZGFC=90°,

ZACG+ZGCF=9O°,

：.ZACF=90°,

...△ACF是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

(2)探究一：'：CD=GF,ZFMG=ZDMC,ZG=ZCDF=90°,

：.4CDMmA^FGM(A4S),

'：AC=CF,CD±AF,

：.AD=DF,

"：AB=CD=2,AD=DF=4,

：.DM=4-CM,

在RtZiCDM中，CM-=CD1+DM2,

：.CM2=21+(4-CM)2,

解得CM=^~,

2

2

:ZMF的面积=▲x2XA=A；

222

探究二：连接。E,取。E的中点尸，连接HP,取A。、3c的中点为M、N,连接血W,MH,NH,

•.,〃是AE的中点，

：.MH//DE,且

2

"：CD=CE,

：.CP±DE,DP=PE,

'JMH//DP,且MH=DP,

四边形MHPD是平行四边形，

:.MD=HP,MD//HP,

'：AD//BC,MD=CN,

：.HP//CN,HP=CN,

...四边形HNCP是平行四边形，

J.NH//CP,

ZMHN=90°,

：.H点在以MN为直径的圆上，

设MN的中点为T,

：.DT=N]2+。2=遥,

的最大值为返+1,最小值为泥-1.

方法二：设AC的中点为T,连接"T,

是AACE的中位线，

:.HT=LCE=L

2

在以T为圆心，1为半径的圆上，

"：DT=4]2+。2=遥,

二。”的最大值为泥+1,最小值为遥-1.

图③

图③

24.（2023•青海）如图，二次函数＞=-f+6x+c的图象与x轴相交于点A和点C（1,0）,交y轴于点8

（0,3）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设二次函数图象的顶点为P,对称轴与无轴交于点。，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；

（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点使得是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求

出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）.

f-l+b+c=O

Ic=3，

.42,

Ic=3

.\y="%2-2x+3；

(2)如图，

连接OP,

•；y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

：.P(-1,4),

・・・尸。=4,0。=1,

由-f-2x+3=0得，

X\=lfX2=~3»

・・・0A=3,

,Swi形AOBP=SAAOP+SABOP=^A-PQ+^OB・OQ=^X3X4TX3X1=卷

乙乙乙乙乙

(3)设M(-1,加，

由4〃2=即产得，

[(-3)-(-1)]~+n^—(-1)2+(MJ-3)2,

・・m=1,

25.（2023•盐城）综合与实践

【问题情境】

如图1,小华将矩形纸片ABC。先沿对角线2。折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线2。上，点、B

的对应点记为8，折痕与边A。，8C分别交于点E,F.

【活动猜想】

(1)如图2,当点夕与点。重合时，四边形2瓦不是哪种特殊的四边形？答：菱形.

【问题解决】

(2)如图3,当AB=4,AD=S,8/=3时，求证：点4,B',C在同一条直线上.

【深入探究】

(3)如图4,当AB与8C满足什么关系时，始终有49与对角线AC平行？请说明理由.

(4)在(3)的情形下，设AC与B。，EP分别交于点。，P,试探究三条线段4P,B'D,所之间满足

(1)解：当点夕与点。重合时，四边形BE/m是菱形.

理由：设与8D交于点0,如图，

；.NBOF=/DOE=90。,

•••四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZOBF=ZODE,

:.△BFO沿ADEO(ASA),

：.0E=0F,

四边形2EDF是菱形.

故答案为：菱形.

(2)证明：•.,四边形ABC。是矩形，AB=4,AD=8,BF=3,

・・・3C=AO=8,CD=A3=4,/BCD=90。,

：.CF=BC-BF=8-3=5,

:,BD=VBC2-CD2=VS2+42=4疾，

如图，设叱与2。交于点Af,过点夕作HKLBC于K,

由折叠得：ZA'B'F=ZABF=ZBMF=ZB'MF=90°,B'F=BF=3,BB'=2BM,

：./BMF=ZBCD,

"：ZFBM=ZDBC,

：.ABFMsABDC,

即

ABM=BF；BM_3

*'BCED'8475'

5

A

•••PDPD,_-1-2---/-5-,

5

'：ZBKB'=ZBCD,ZB'BK=ZDBC,

:.△BB'Ks/XBDC,

12V5

.ByK_BK_BBy即B，K_BK__T"

CDBCBD4T475

.•.8K=卫，BK=建，

55

VB,F2+B,C2=32+42=25,CF2=52=25,

：.B'F2+B'C2=CF2,

：.ZCB'F=90°,

：.ZA'B'F+ZCB'F=90°+90°=180°,

.•.点4,B',C在同一条直线上.

(3)解：当时，始终有49与对角线AC平行.

理由：如图，设AC、BD交于点0,

A

B

.四边形A2CD是矩形，

：.OA=OB,ZABC=90°,

•：BC=MAB,

，tanNBAC=W=F，

AB

AZBAC=60°,

：.AOAB是等边三角形，

/ABO=/AOB=60°,

由折叠得：ZA'B'B=ZABO=60°,

：.ZA'B'B=ZAOB,

：.A'B'//AC,

故当时，始终有4夕与对角线AC平行.

(4)解：MEF=2(AP+B'D),理由如下：

如图，过点E作EG_LBC于G,设EF交BD于H,

由折叠得：EF±BD,B'F=BF,ZBFE=ZB'FE,

设人七二m，EF=n,

由（3）得：ZBAC=60°=ZABD.

・・・NBB'F=NDBC=3。。,

・•・ZBFE=ZBrFE=60°,

ZEAB=ZABG=/BGE=90。,

・・・四边形ABGE是矩形,

：.AB=EG=^-n,BG=AE=m,AD//BC,

2

：.BF=B'F=m+^n,

2

:.BH=BF*cos3Q°=叵Cm+^n）,

22

：.BB'=2BH=y[3（m+—H）,

2

■:BD=2AB=Mn,

：,B'D=BD-BB'=y/3n-M（m+—n）=返〃-V3m,

22

U：AD//BC,

:・/DEF=/EFG=60。,

：.ZAPE=ZDEF-ZDAC=60°-30°=30°=ZDACf

AP=2AE*cos30°=,

：.AP+B'D^y/3m+（等”-百=耳〃，

：.AP+B'D=^-EF,

2

即我E尸=2{AP+B'D）.

26.（2023•呼和浩特）探究函数y=-2奸+4|x|的图象和性质，探究过程如下：

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

尤..._5-2_3-1_1o11325

J...503m3o323o_5

其中，1n=2.根据如表数据,在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

(2)点/是函数y=-2|肝+4国图象上的一动点，点A(2,0),点8(-2,0),当心随B=3时，请

直接写出所有满足条件的点F的坐标；

(3)在图2中，当尤在一切实数范围内时，抛物线y=-2/+4x交x轴于O,A两点(点。在点A的左

边)，点尸是点。(1,0)关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线/分别交线段。尸，AP(不含端

点)于M,N两点.当直线/与抛物线只有一个公共点时，与PN的和是否为定值？若是，求出此定

图1图2

解：(1)当x=-1时，y=-2x(-1)2+4x|-1|=2,

:・m=2,

图1

由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当xV-1或时，y随工的增大而增大；当7夕

<0或正1时，y随x的增大而减小；

故答案为：2；

(2)当x<0时，y=--4x,

2

当x>0时，y=-2x+4xf

VA(2,0),B(-2,0),

・・・A3=4,

,*,SAFAB=3,

.•.lx4|yF|=3,

：.yF=+—,

,2

当〉F=旦时，若x<0,贝I」-2/-4X=3,

22

解得：彳=-3或一1,

22

若xK),则-2P+4X=3,

2

解得：x=S或工，

22

：.F（一旦，2）或（--1,旦）或（旦，旦）或（工，旦）；

22222222

当■时，若无<0,则-2/-4X=-3,

22

解得：X=-1一近或X=-1+五（舍去），

22

若定0,则-2f+4x=-2,

2

解得：尤=1-近（舍去）或X=1+近，

22

：.F（-1+2ZL,-S）或（-1-近，-3）或（一近，-旦）或（1+近，-2）；

22222222

综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（-3,旦）或（-工，S）或（&，1）或（工，3）或

22222222

一冬号或小冬专;

（3）与尸N的和是定值;

如图2,连接直线尸。,

：.O(0,0),A(2,0),

".'y--2x2+4x=-2(x-1)2+2,

抛物线y=-2f+4x的顶点为(1,2),

•••点P是点。(1,0)关于抛物线顶点(1,2)的对称点，故点尸的坐标为(1,4),

由点P、。的坐标得，直线。尸的表达式为y=4x①，

同理可得，直线AP的表达式为>=-4尤+8②，

设直线I的表达式为y=tx+n,

联立y=Zx+"和y=-"+标并整理得：2^+(f-4)x+n—0,

•・•直线/与抛物线只有一个公共点，

故A=(r-4)2-8〃=0,解得〃=[(r-4)2,