2025年中考数学教材考点复习：二次函数的特殊三角形问题（二阶）（学生版+教师版）

2025年中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的特殊三角形问题(二阶)学生版

考法探究突破

考法一等腰三角形问题

1.问题：已知线段A5和直线/,在/上求点P,使△尸45为等腰三角

形.

(1)找点：两圆一线

①若A5=AP,以点4为圆心，长为半径画圆.

②若尸，以点5为圆心，A5长为半径画圆.

③若4P=5尸，作A5的垂直平分线.

(2)求点

方法一：代数法

分①A5=AP,②AB=BP,③AP=BP三种情况讨论.分别表示出点4,

B,尸的坐标，再表示出线段45BP,AP的长度，分别列方程求解

即可.

方法二：几何法

作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系.

考法二直角三角形问题

2.问题：已知线段A5和直线/,在/上求点尸，使△尸为直角三角

形.

(1)找点：两线一圆

①若NA4P=90°,过点4作A5的垂线.

②若NA5尸=90°,过点5作A5的垂线.

③若N4P5=90°,以A5为直径作圆.

(2)求点

方法一：代数法

^@AB^+AP2=BP-.(1)AB2+BP2=AP2.③Ap2+5p2=A52三种情况

讨论.分别表示出点A,B,尸的坐标，再表示出线段AbAP,5尸的

长度，分别列方程求解即可.

方法二：几何法

作垂线，构造一线三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量关系.

题型分类过关

类型一等腰三角形存在性问题

1.(2024莱芜一模节选)抛物线与％轴交于A,5两点，与y轴交于

点。，顶点为D已知点5(-4,0),C(0,4).抛物线的对称轴

是直线％=—|,尸为抛物线上一动点，点尸的横坐标为冽(m〉一|),

过点尸作％轴的平行线交抛物线于另一点M.

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标.

(2)当△。四尸是等边三角形时，求根的值及此时三角形的边长.

类型二直角三角形存在性问题

2.(2024商河清华园模拟节选)如图，抛物线＞=依2+法+5与％轴

交于4,5两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴％=3与

经过点4的直线丁=丘一1交于点。，与X轴交于点E

(1)求直线A。及抛物线的表达式.

(2)在抛物线上是否存在点使得△AQM是以A。为直角边的直

角三角形？若存在，求出所有点V的坐标.若不存在，请说明理由.

3.(2024章丘一模节选)如图，在平面直角坐标系％2y中，抛物线y

=—%2+5%+c与次轴交于4(1,0)和5(3,0),与y轴交于点

C.点D

为线段上一点，过点。作y轴的平行线交抛物线于点E,连接

BE.

(1)求抛物线的表达式.

(2)当△50E为直角三角形时，求线段。石的长度.

类型三等腰直角三角形存在性问题

4.如图，抛物线y=a%2+2%+c与％轴交于点A(—2,0),B,与y

轴交

于点。(0,6),连接5。交抛物线的对称轴/于点是线段BE

上的一点，N是对称轴/右侧抛物线上的一点.

(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)若kEMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标.

达标演练检测

1.如图，抛物线y=%2+Z?%+c与％轴交于4、5两点，与y轴交于点

C,04=00=3,顶点为点D

(1)求此抛物线的函数表达式.

(2)判断AACD形状，并说明理由.

2.已知抛物线y=—f+bx+c与％轴交于A(—•1,0),对称轴为直

线％=1,顶点为"，点尸为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点,

连接4P,与y轴交于点D

(1)求6,c的值.

(2)当△A。河为以4"为底边的等腰三角形时，求点。的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-\-bx+c与％轴交于

B(4,0),C(-2,0)两点，与y轴交于点A(0,—2).

(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点使得2MAB是以AB

为一条直角边的直角三角形.若存在，请求出点M的坐标.若不存

在，请说明理由.

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的特殊三角形问题(二阶)教师版

考法探究突破

考法一等腰三角形问题

1.问题：已知线段A3和直线/,在/上求点P,使△瓦5为等腰三角

形.

(1)找点：两圆一线

①若A5=AP,以点A为圆心，A5长为半径画圆.

②若尸，以点5为圆心，45长为半径画圆.

③若AP=5尸，作A3的垂直平分线.

(2)求点

方法一：代数法

分①A5=AP,②AB=BP,③AP=BP三种情况讨论.分别表示出点A,

B,尸的坐标，再表示出线段ABBP,AP的长度，分别列方程求解

即可.

方法二：几何法

作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系.

考法二直角三角形问题

2.问题：已知线段45和直线/,在/上求点尸，使APAB为直角三角

形.

(1)找点：两线一圆

①若NBA尸=90°,过点4作A5的垂线.

②若NA5尸=90°,过点5作AB的垂线.

③若NAP5=90°,以A5为直径作圆.

(2)求点

方法一：代数法

分①44+4尸2=5尸2.②44+3尸2=4尸2.③Ap2+Jg尸2=A52三种情况

讨论.分别表示出点A,B,尸的坐标，再表示出线段ABAP,5尸的

长度，分别列方程求解即可.

方法二：几何法

作垂线，构造一线三垂直模型，用勾股定理或相似建立等量关系.

题型分类过关

类型一等腰三角形存在性问题

1.(2024莱芜一模节选)抛物线与％轴交于A,5两点，与y轴交于

点C,顶点为D已知点5(-4,0),C(0,4).抛物线的对称轴

是直线％=—泉P为抛物线上一动点，点尸的横坐标为根(加〉一(),

过点尸作工轴的平行线交抛物线于另一点M.

(1)求抛物线的表达式及顶点。的坐标.

解：•.•抛物线对称轴为直线％=—|,且过点5(-4,0),

/.A(1,0),••.设抛物线的表达式为y=a(x-1)(%+4),将。

(0,4)代入得a=-1,.".抛物线的表达式为y=—(x—1)(%+4),

即y=—%2—3x+4.把％=一|代入y=—x2~3x+4,得y=—^+|+4

*"一，空).

(2)当△。“尸是等边三角形时，求根的值及此时三角形的边长.

解：由(1)可设，过点。作。垂足为E.

尸是等边三角形，

AZDPM=60°,XD=XE=-^.

设A/(m,—m2—3m+4)，

贝!]—ys=-^—(—m2—3m+4)=m2+3m+^=^m+,PE

=xp-XE=m+-.

2

在RtAPED中，

m+

tan60°=—PE=^m+1j=m+-2=V3,

.*.m=V3-|,PM=2PE=2y[3,边长为2倔

类型二直角三角形存在性问题

2.(2024商河清华园模拟节选)如图，抛物线尸加+法+5与％轴

交于4,5两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴％=3与

经过点4的直线丁=丘一1交于点。，与X轴交于点E

(1)求直线A。及抛物线的表达式.

(2)在抛物线上是否存在点使得△AQM是以A。为直角边的直

角三角形？若存在，求出所有点V的坐标.若不存在，请说明理由.

解：(1)•••抛物线的

对称轴％=3,A8=4,

AA(1,0),B(5,0).

将A(1,0)代入直线丁=H一1,得%—1=0,解得％=1,

/.直线AD的表达式为y=%—1.

将A(1,0),B(5,0)代入y=Q%2+b%+5,得

CL~\~b+5=0,左力/口a=1,

解得

、25a+5b+5=0,{,b=—6,

；•抛物线的表达式为y=%2—6%+5.

(2)存在点M,

,/直线AD的表达式为y=x-l,抛物线对称轴％=3与％轴交于点

E.

，当％=3时，丁=%—1=2,：.D(3,2).

①当NZ)AM=9(r时，

设直线A/0的表达式为y=—x+c,将点A坐标代入，得一l+c=0,

解得c=l,

直线AM的表达式为y=—%+1,

解方程组［—］+L解得卜=或［=%

iy=x2—6x+5,(y=°(y=—3,

.•.点M的坐标为(4,-3).

②当NAZ)M=90°时，

设直线的表达式为y=—%+d,将。(3,2)代入，得-3+d=

2,解得d=5,

，直线DM的表达式为y=—%+5,

解方程组'解得卜=卜或『二，

y=x2—6x+5,U7=5ly=0,

•••点河的坐标为（0,5）或（5,0）.

综上，点M的坐标为（4,-3）或（0,5）或（5,0）.

3.（2024章丘一模节选）如图，在平面直角坐标系X。y中，抛物线y

=—%2+5%+c与％轴交于A（1,0）和5（3,0）,与y轴交于点

。.点D

为线段5C上一点，过点。作y轴的平行线交抛物线于点E,连接

BE.

（1）求抛物线的表达式.

（2）当△台0石为直角三角形时，求线段。石的长度.

解：（1）二,抛物线yu—^+bx+c与X轴交于A（1,0）和5（3,

—1+b~\-c=0,fb=4,

0)解得，

、-9+3b+c-0,、c=-3,

J抛物线的表达式为y=-x2+4x-3.

(2)令X=0,则丁=一3,：.C(0,-3).

设直线BC的表达式为y—kx-\-n,

3k+n=0解,得.)k=1,

ji=-3,ji=-3,

，直线BC的表达式为y=x—3.

丁点。为线段5C上一点，

...设。(m,m~3),则点ECm,—m2+4m—3),

:.DE=(­/w2+4m-3)—(m-3)=­m2+3m.

•:B(3,0),C(0,-3),：.OB=OC=3,

：.ZOBC=ZOCB=45°.

轴，ZEDB=ZOCB=45°,

•••点。不可能是直角的顶点.

①当点5为直角的顶点时，设。E交工轴于点E

'：ZBDE=45°,ZEBD=90°,ZDEB=45°,

MBED为等腰直角三角形.尸=。尸=?)E

2

DF=3—m,.*.3—m=-2(—m+3m),

解得加=2或3(机=3不合题意，舍去).

：.m=2,.*.DE=-22+3X2=-4+6=2.

②当点E为直角顶点时，此时边防在％轴上，点E与点A重合，.•.加

=1..*.DE=-l2+3Xl=-l+3=2.

综上，当AaDE为直角三角形时，线段。石的长度为2.

类型三等腰直角三角形存在性问题

4.如图，抛物线y=a%2+2%+c与％轴交于点A(—2,0),5,与y

轴交

于点。(0,6),连接5。交抛物线的对称轴/于点是线段BE

上的一点，N是对称轴/右侧抛物线上的一点.

(1)求该抛物线的函数表达式.

(2)若工EMN是以为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标.

解：(1)将点A(-2,0)和点。(0,6)的坐标代入,=依2+2%

1

4a―4+c=。，解得

+c中，得7故该抛物线的表达式为y

c=6,

2

=1-2x+2%+6.

⑵•.•抛物线产一#+2%+6与％轴交于点A,B,与y轴交于点

C,令y=0,即一#+2%+6=0,解得％=—2或%=6,令％=0,解

得y=6,AA(-2,0),B(6,0),C(0,6),，直线5C的表

达式为y=—%+6,，05=0C,NO8C=NOC5=45°.•对称轴为

直线％=2,J当％=2时，y=—%+6=4,：.E(2,4).设M(加，

-m+6),2WMW6,①当NMEN=90°,时，如图1,过

点E作EH上MN于点、H.：.MN=2EH,ZEMN=/ENM=45°,

,：ZOBC=ZOCB=45°,AZNME=ZOCB,轴，

~~i^2+2m+6),MN——|m2+2m+6+m—6=—|m2+

3ni,EH=m—2,--m2+3m=2(m—2),解得根=4或机=—2

2

(不符合题意，舍去)，•••〃(4,2).

②当NEMN=9U°,时，如图2,过点“作M2,石N于点

1

Q.：.EQ=NQ=MQ^EN,：./MEN=/ENM=45°,'：ZOBC=

ZOCB=45°,:./MEN=/OBC,，EN〃x轴，.二点N的纵坐标

为4.当尸4时，一#+2%+6=4,解得％=2+2&或％=2—2/(不

符合题意，舍去)，：.N(2+2V2,4),.*.£^=2+272-2=272,

EQ=MQ=^EN=42,.*.m=2+V2,：.M(2+V2,4—应).综上

所述，点M的坐标为(4,2)或(2+夜，4-V2).

达标演练检测

1.如图，抛物线y=/+b%+c与X轴交于4、5两点，与y轴交于点

C,04=00=3,顶点为点D

(1)求此抛物线的函数表达式.

(2)判断△ACD形状，并说明理由.

解：(1)'：OA=OC=3,

.••点A坐标为(一3,0),点。坐标为(0,-3).

\,抛物线yuf+bx+c经过点A,C,

"9—3"=。，解得『=2,

、c=-3,(c=—3,

抛物线表达式为y=x2+2x~3.

(2)如图，连接AZ),CD,AC,作。E，入轴于点E,。尸，y轴于点

F.

由抛物线的性质得抛物线y=x2+2x-3=(x+1)2—4的顶点D坐标

为(一1,—4),

在R3A0C中，AC2=AO2+CO2=32+32=18.

在R3DC/中，DC2=D7^+C/^=(4-3)2+l2=2.

在R3ADE中，AD2=AE2+DE2=(3-1)2+42=20.

.,.AG+OCnAZA.•.△A。。是直角三角形.

2.已知抛物线y=与％轴交于A(—1,0),对称轴为直

线％=1,顶点为“，点尸为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点,

连接AP,与y轴交于点D

(1)求6,C的值.

(2)当AAD河为以AM为底边的等腰三角形时，求点。的坐标.

解：(1)•.•对称轴为直线

x=l,A(―1,0)在抛物线y=—f+bx+c上，

f一1一b+c=0,A,_Q

.Rb解得产;2，

(2x(-1)-，c—3.

解：(2)抛物线y=—f+2x+3=—(X-1)2+4,顶点M(b

4).设0。=%,根据题意，得•.•N4Z)M>90°,△ADM为等腰三角

形，：.AD=DM