2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 三次函数的图象和性质（八大题型）（学生版+解析）

重难点突破03三次函数的图象和性质

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................4

题型一：三次函数的零点问题....................................................................4

题型二：三次函数的最值、极值问题..............................................................5

题型三：三次函数的单调性问题..................................................................6

题型四：三次函数的切线问题....................................................................6

题型五：三次函数的对称问题....................................................................7

题型六：三次函数的综合问题....................................................................7

题型七：三次函数恒成立问题....................................................................9

题圜\：等极值线问题.........................................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

1、基本性质

设三次函数为：f(x)^ax3+bx2+cx+d(ab、c、且awO),其基本性质有:

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三

次函数为例来研究根的情况，设三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(av=O)

其导函数为二次函数:/'(x)=3加+2bx+c(a0),

判别式为：△=4^-12ac=4(d-3ac),设尸(x)=0的两根为玉、%,结合函数草图易得：

(1)若。2—3/40,则/(x)=0恰有一个实根；

(2)若加一3ac>0,且/(西)•/(%)>0，则f(x)=0恰有一个实根；

(3)若。―3尔>0,且/(%)"(々)=0,则八>)=0有两个不相等的实根;

(4)若廿-3〃>0,且/(%)"(%)<0，则f(.x)=0有三个不相等的实根.

说明:(1)(2)/(幻=0含有一个实根的充要条件是曲线y=/(x)与x轴只相交一次，即/(x)在R上为单

调函数(或两极值同号)，所以廿一3比40(或廿-3直>0,且/(公)"(々)>0);

(5)/(x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=/(x)与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以

1

b-3ac>0,/(%!)•/(%2)=0;

(6)/(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=/(尤)与x轴有三个公共点，即/(X)有一个极大

值，一个极小值，且两极值异号.所以炉-3℃>0且/(石)"。2)<。.

性质3：对称性

(1)三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；(_2,7(_2))；

3a3a

(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.

2、常用技巧

(1)其导函数为尸(x)=3办2+26X+C=0对称轴为*=_2,所以对称中心的横坐标也就是导函数的

3a

对称轴，可见，y=/(x)图象的对称中心在导函数y=r(x)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时

也是二阶导为零的点；

(2)y=/(x)是可导函数，若y=/(无)的图象关于点(加,〃)对称，贝！Jy=T(无)图象关于直线彳=机

对称.

(3)若y=/(无)图象关于直线％=相对称，则>=广(尤)图象关于点(加,0)对称.

(4)已知三次函数/(力=63+旅2+5+〃的对称中心横坐标为毛，若“力存在两个极值点石，尤『

则有"%)："%)=_*「)=力(力

题型归赢总结

题型一：三次函数的零点问题

【典例1-11一般地，对于一元三次函数“X）,若/"伉）=0,则&,/（%））为三次函数的对称中心,

已知函数/卜）=^+依?+1图象的对称中心的横坐标为与（%>0）,且/（无）有三个零点，则实数。的取值

范围是（）

【典例1-2】已知加，〃，peR,若三次函数/（力=/+7加+/1T+P有三个零点a,b,c,且满足

/（-1）=/（1）<|,/（。）=/（2）>2,则上+（+人的取值范围是（）

乙dDC

【变式1-1］已知三次函数/（》）=；+办2-34、+久〃>0）有两个零点，若方程/'"（初=。有四个实数根,

则实数a的范围为（）

fV6

[8'D

-一8'坦8,

|2x+l|,x<1

【变式1-2】已知/'。）=g（x）为三次函数，其图象如图所示.若y=/（g（x））-机有9个零

log2(x-l),x>l

点，则加的取值范围是.

【变式1-3］已知三次函数/（力=丁+加+bx+c在x=-g和x=l处取得极值，且〃尤）在处的

切线方程为>=丘+4.

（1）若函数g（x）=/（x）-侬的图象上有两条与X轴平行的切线，求实数加的取值范围;

（2）若函数〃（力=2/+8%+〃与〃x）在［-2』］上有两个交点，求实数”的取值范围.

【变式1-4］已知三次函数的零点从小到大依次为机，0,2,其图象在％=-1处的切线/经过点（2,0）,

则加二（）

853

A.—B.—2C.—D.—

532

题型二：三次函数的最值、极值问题

【典例2-1】已知三次函数/（x）=x3+Zz?+cx+d,其导函数为了，⑺，存在止（1,4）,满足

f

/（2-z）=/（?）=/（r）=0.记/（x）的极大值为〃，则"的取值范围是—.

【典例2-2】已知三次函数一（xxgax,br+x+c无极值，且满足。+348,贝卜2-廿=—.

Z7-1-A-I-

【变式2・11已知三次函数/⑴二/+芯+以+或公与在区上单调递增，则^——最小值为（）

b-a

,2^/6+5口^6+5尸7+y/s卜2A/T-+5

A.---------D.---------C.---------U.----------

2323

【变式2-2］（多选题）定义：设/'（X）是/⑴的导函数，/"（X）是函数/'（X）的导数，若方程/（力=。有

实数解与，则称点（%/（/））为函数y=〃x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐

点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数/（x）=d+/-3x+。图象的对称中心为（0,3）,则下列说法中

正确的有（）

A.a=0,b=3B.函数的极大值与极小值之和为6

C.函数有三个零点D.函数/（x）在区间［-3,3］上的最小值为1

【变式2-3］（2024•全国•模拟预测）已知三次函数/（x）=2/+加+6x+i的极小值点为心极大值点为

2b,则a+〃等于（）

A.4A/2B.-4-J2

C.±4A/2D.±5A/2

【变式2-4］（2024•江西新余•二模）已知三次函数的导函数/''（x）=3尤2-3ax,/（0）=fo,6为实数.

⑴若曲线y=〃x）在点g+lJS+D）处切线的斜率为12,求。的值；

（2）若"X）在区间［-1』］上的最小值,最大值分别为-2,1,且1<”2,求函数/⑺的解析式.

题型三：三次函数的单调性问题

【典例3-1】（2024•江西景德镇•一模）设三次函数〃了）=三+桁2+次（6,。为实数）的导数为/"）,设

g（x）=〃x）-尸⑺，若y=g（x）在R上是增函数，则上的最大值为_______.

c+9

【典例3-2】已知函数/（苫）=加+灰（%€&.

（1）若函数/⑺的图象在点x=3处的切线与直线x+24y+l=0垂直，函数在》=1处取得极值，求函

数"X）的解析式.并确定函数的单调递减区间；

（2）若。=1,且函数"X）在［-M］上减函数,求2的取值范围.

【变式3-1】三次函数在（f,+s）上是减函数，则加的取值范围是（）

A.m<0B.m<\C.m<0D.m£1

题型四：三次函数的切线问题

【典例4-1］（2024•新疆乌鲁木齐•一模）己知函数/（%）=加+加+5+4在R上是增函数，且存在垂

直于y轴的切线，则三的取值范围是.

【典例4-2］（2024•江苏•模拟预测）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线,

一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数/（x）的图象是可由A,B,C,。四点确定的贝塞

尔曲线，其中A,。在/（X）的图象上，“X）在点A,。处的切线分别过点8,C.若A（0,0）,8（-1-1）,

C（2,2）,0（1,0）,则/⑺=（）

A.5%3-4x2-xB.3%3-3x

C.3x3—4X2+XD.3尤3—2尤2—尤

【变式4-1】已知函数/（力=加+云2一3x（a,beR）在点处的切线方程为y+2=0.若经过点

M（2,机）可以作出曲线y=/⑴的三条切线，则实数力的取值范围为.

【变式4-2］（2024•广东深圳•一模）已知函数〃尤）=。（尤—％）（尤—尤2）（%-元3）（。>°），设曲线吊=1（力

在点（%"（%））处切线的斜率为尢«=1，2,3）,若再,W均不相等，且心=-2,则勺+4%的最小值为—.

题型五：三次函数的对称问题

【典例5-1】(2024•高三•广东珠海•开学考试)设函数y=/"(x)是y=/'(%)的导函数.某同学经过探究

发现，任意一个三次函数/(%)=加+加+5+4(。。0)的图像都有对称中心■，/(%)),其中七满足

/"小)=。•已知三次函数〃x)=V+2x—1,若无|+无2=。，则((不)+/(巧)=.

【典例5-2】(2024•全国•模拟预测)对于三次函数/卜)=加+凉+cx+d(，¥0)给出定义：设/'(x)是

函数y=/(x)的导数，尸⑺是/'(X)的导数，若方程/(力=0有实数解不，则称点(%,/(七))为函数

了=/(力的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,

且拐点就是对称中心，若请你根据这一发现计算:

'12024J+，120241，［2024)2023

++f

2024

A.2021B.2022C.2023D.2024

【变式5-1】设f(x)是函数y=/(元)的导数，7(x)是/'⑺的导数，若方程尸5)=0有实数解与,则称点

(%,/(%))为函数y=/(x)的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中

心.设/0)=尤3-6尤?+5尤+7,数列｛%｝的通项公式为%=2"-5,贝!］/(4)+/(/)+-/(4)=()

A.8B.7C.6D.5

【变式5-2］函数y=/(x)的图象关于点尸(a,6)成中心对称图形的充要条件是函数y=f｛x+a)-b为奇函

数.已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若/(刈=/_3/,则/三卢+/三"

的值为()

A.—4B.12C.0D.2

【变式5-3】已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心，若函数/(x)=V+依2+bx+c,且

川(孙〃％))为曲线)=/(力的对称中心，则必有g'(%)=0(其中函数g(x)=/'(x)).若实数加，“满足

m3+6m2+13m=10…

R.，则加+"=()

n+6n+13〃=—30

A.-4B.-3C.-2D.-1

题型六：三次函数的综合问题

【典例6-1］若a,b,ceR,关于x的一元二次方程/+bx+c=0("0)的两个根分别为占,则方程可写成

2

。(3-王)(工一左2)=0,BPax-a^+x2)x+axixx=0,容易发现根与系数的关系：西+尤?=一々苞％=9；若

a,b,c,dwR,设关于x的一元三次方程加+凉+cx+d=0（a/0）的三个非零实数根分别为小々户3,则

X；+X；+X；—.

【典例6-2］（多选题）已知三次函数“力=加+£+0；+，有三个不同的零点外,彳2，玉（玉<彳2<七），函数

g（x）=/（x）—1.则（）

A.3ac<l

B.若占,马，W成等差数列，则ae（T0）u（0,l）

C.若g（x）恰有两个不同的零点见”（〃2<〃），则2〃?+〃=-;

D.若g（x）有三个不同的零点”2,4（%</2<幻，则片+考+后=彳+g+=

【变式6-1］（多选题）下列关于三次函数/（力=加+加+夕+/（4/0）（X€11）叙述正确的是（）

A.函数〃尤）的图象一定是中心对称图形

B.函数/（%）可能只有一个极值点

c.当X。瓦时，/⑺在尤=不处的切线与函数）=〃%）的图象有且仅有两个交点

D.当时，则过点（毛,/（%））的切线可能有一条或者三条

【变式6-2］（多选题）（2024•江苏•模拟预测）已知三次函数/（尤）=。/+a2+5-1,若函数

g（x）=/（-x）+l的图象关于点（1,0）对称，且g（-2）<0,则（）

A.a<0B.g（x）有3个零点

C.Ax）的对称中心是（-L。）D.12a-4&+c<0

【变式6-3］给出定义:设,⑶是函数了=/（元）的导函数，/（X）是函数/‘（X）的导函数，若方程广（幻=0有

实数解x=x（）,则称&"（%））为函数，=/（元）的“拐点”.

（1）经研究发现所有的三次函数/（X）=ax3+bx2+cx+d（a^0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=/（元）的

图象的对称中心.己知函数/（彳）=/+6尤2-9彳+。的图象的对称中心为（T,10）,讨论函数/（丈）的单调性并求

极值.

185

（2）已知函数g（x）=2如3+［61n（mx）-15］x2+—xz-+l,其中相>0.

mm

（i）求g（%）的拐点；

2

（ii）若g（xJ+g（X2）=2（0〈项〈九2）,求证:七+%2>—.

m

【变式6-4】对三次函数/(力=加+法2+以+",。/0,如果其存在三个实根周,电，无3，则有

bcd

玉+%+%3=-一，X\X2+%2%3+X3X\=一，占兀2%3=——.称为三次方程根与系数关系.

aaa

(1)对三次函数/(%)=加+凉+cx+d,设g(%)=r(x),存在X0£R,满足o=/(xo)=g(x())wg'(xo).证

明：存在项w%o,使得〃犬)二〃(4一玉)(％-玉))2；

(2)称/(“是［加,M］上的广义正弦函数当且仅当存在极值点不々£(办加)，使得

{/(%)］(々)}={/(间］(河)}.在平面直角坐标系也》中，A(Q,8)是第一象限上一点，设

b

/(x)=x(a-x)+—,g(x)=x(o-x)2—46.已知g(尤)在(0,a)上有两本艮与<三.

⑴证明：〃x)在(0,+8)上存在两个极值点的充要条件是d>27b；

(ii)求点A组成的点集，满足是［七,七］上的广义正弦函数.

题型七：三次函数恒成立问题

【典例7-1］已知/(力=加+加+cx(a,b,ceR,aH0),若不等式x・7'(x)V5对任意xeR恒成立,

b-2c

则的取值范围为一.

a

【典例7-2］若对于任意xe［-1,1］,存在6eR,使得辰、法国成立，则实数。的取值范围是.

【变式7・1】已知冗=2是三次函数/(%)=X3+狈2+陵+。3，b,c£R)的极值点，且直线3x+y—5=0与曲

线y=/U)相切与点(1，/(1)).

(1)求实数。，b,。的值；

(2)若即=—1,危)=5,求加+s)的值；

(3)若对于任意实数x,都有人/-2%+4)+兀12+云)>4恒成立，求实数2的取值范围.

【变式7-2］(2024•内蒙古呼和浩特•一模)已知三次函数/⑴=加+加+皿6"江h).

(1)若函数/⑴过点(2,2)且在点(1,7(1))处的切线方程是>+2=0,求函数/(x)的解析式;

（2）在（1）的条件下，若对于区间［-2,3］上任意两个自变量的值4，巧，都有|〃不）-归机，求出

实数加的取值范围.

【变式7-3】已知三次函数/（x）=d+加-6x+b,a,6eR,若函数/⑺的图象在x=l处的切线方程为

12x+2y-l=0

（I）求函数〃尤）的解析式；

（II）求函数/（尤）的极小值；

（III）若存在xe（O,y）,使得31nxN/'（x）+|2m—［成立，求实数机的取值范围.

题型八：等极值线问题

【典例8-1】设函数/■（尤）=（尤-17-6-力（尤eR）,其中。，6为实常数.

⑴若“=3,求/（尤）的单调区间；

（2）若/（X）存在极值点看,且/（菁）=/（修）其中工产与.求证：石+2%=3；

【典例8-2】设函数f（X）=（x-l）3-or+6,尤eR,其中。、Z7eR.

⑴求的单调区间；

（2）若“X）存在极值点看,且/（菁）=/（毛），其中玉求尤1+2尤0的值.

【变式8-1］设函数/(x)=%3-3/+(3一。)％+人一1,x,a,beR.

⑴求了(X)的单调区间；

(2)若/(x)存在极值点%,且/&)=/(%),其中占二%,求证：%+2%=3.

【变式8-2]设。＞0,已知函数/(x)=(x-2)3-ox.

⑴若八3)=1,求实数a的值；

⑵求函数y=/(x)的单调区间；

(3)对于函数＞=/(x)的极值点看,存在x1a2飞)，使得/(占)=/■(尤0),试问对任意的正数a,芯+2尤°是

否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

过蠹试

1.以下四图都是同一坐标系中某三次函数/5)=以3+灰2+5+1(°片0)及其导函数的图象，其中可能正确

2.人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数了⑺都有对称中心，其对称中心为(须,/(%))(其中

/"(^0)=0).已知函数/(了)=彳3-3/+4了+5.若/0)=4,/(〃)=10,贝I]m+〃=()

3

A.1B.—C.2D.3

2

32

3.（2024•全国•一模）已知三次函数/（x）=。俨3+仿炉+qx+d,g（x）=a2x+b2x+c2x+d{axa20）,

且/"）有三个零点.若三次函数p（x）=3/W+g（x）和q{x）=f（x）-g（x）均为R上的单调函数，且这两个函数

的导函数均有零点，则g（无）零点的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.2个或3个

4.（多选题）（2024•贵州•模拟预测）定义：设/'（X）是/⑺的导函数，r（力是函数/'（x）的导数，若方

程〃（无）=。有实数解与,则称点（%,/（%））为函数y=/（x）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都

有“拐点”且"拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数/（x）=V+而-x+a图象的对称中心为（0,1）,

则下列说法中正确的有（）

A.a=l,b=OB,函数/⑺的极大值与极小值之和为2

C.函数"X）有三个零点D.y=/（x）在区间（0,1）上单调递减

5.（多选题）经研究发现：任意一个三次多项式函数/（力=0?+云2+5+/（4/0）的图象都只有一个对称

中心点（%,/（%））,其中/是/"卜）=0的根，/'（"是/（x）的导数，/'（x）是尸⑴的导数.若函数

f（x）=x3+/+x+Z?图象的对称点为（-1,2）,且不等式e”-后（尤）一/-3尤？+e］尤e对任意

xe（l,y）恒成立，则下列结论正确的是（）

A.«=3B.b=lC.加的值可能是一eD.加的值可能是-工

e

6.（多选题）定义：设/'（X）是Ax）的导函数，尸（X）是函数/（x）的导数，若方程/（幻=。有实数解％,

则称点（无。,/（%））为函数y=/（尤）的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次

函数图象的对称中心.已知函数/■5）=加+加+1曲*0）的对称中心为（1,1）,则下列说法中正确的有（

A.a=—,b=-l

3

B.函数f（x）既有极大值又有极小值

C.函数Ax）有三个零点

D.过（T；）可以作三条直线与y"（x）图象相切

7.（多选题）定义：设/'（X）是"X）的导函数，尸⑺是函数/'（X）的导数，若方程/"（x）=0有实数解

%,则称点（为〃%））为函数y=/（x）的“拐点”.经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就

是三次函数图像的对称中心.已知函数〃%）=3丁+62+陵+：的对称中心为（I/），则下列说法中正确

的有（）

A.a=-1,b=OB.函数/（尤）既有极大值又有极小值

C.函数/⑺有三个零点D.对任意xdR,都有x）+〃x）=l

8.（多选题）已知三次函数/（%）=丁+&?+5+1有三个不同的零点外,为2，%3（%<%2<&），若函数

g（X）=/（X）-1也有三个不同的零点”2/3&</2</3），则下列等式或不等式一定成立的有（）

A./<3cB.t3>x3

C.+%2+%3=%+,2+,3D.不兀2工3一邛/3=1

9.（多选题）对于三次函数/卜）=加+加+«+“叱0）,给出定义：/'（x）是函数y=/（x）的导数，

了"⑺是函数/'（x）的导数，若方程/"（"=。有实数解与,则称为函数y=/（x）的“拐点”.某同

学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.

249

若函数〃耳=；1一尤2一12》+二，则下列说法正确的是（）

36

137

A./⑴的极大值为宏

0

B./（无）有且仅有2个零点

C.点是“X）的对称中心

D.康I［嘉］+/［£)+」［篇)=4046

10.（多选题）（2024•山西晋中•二模）对于三次函数/（司=加+凉+cr+d（aw0）,给出定义：设

/'（x）是函数y=/（x）的导数，广⑺是函数/'（元）的导数，若方程—（力=0有实数解%,则称&,/（%））

为函数）=/（%）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有

对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数〃尤）=%3-92+x+6（beR）,则（）

A.“X）一定有两个极值点

B.函数y=/（x）在R上单调递增

C.过点（0⑼可以作曲线y=〃x）的2条切线

D.当匕=工时，/f—V/f—L.+/f—K2022

12'（2023）,（2023）^2023J2023）

11.（多选题）（山东省枣庄市2024届高三第二次模拟考试数学试题）已知函数/（x）=（x-l）3-or-b+l,

则下列结论正确的是（）

A.当。=3时，若〃尤）有三个零点，则b的取值范围为（TO）

B.若“X）满足〃2—龙）=3-〃尤），则a+b=-l

C.若过点（2,〃?）可作出曲线g（x）=〃尤）-3元+6+6的三条切线，则_5<7〃<T

D.若/(尤)存在极值点与,且/(毛)=/(%),其中七*占，则%+2%=3

12.已知三次函数〃尤)有三个零点4，巧，％，且在点(专八%))处切线的斜率为匕1=1,2,3),则

111

—+——+—=

k[k2k3，

13.已知所有的三次函数/(力=加+加+cx+d(awO)的图象都有对称中心,4，《3]，若函数

〃x)T+3d,则/']+42]+/上]++/[鲤]=.

八，U023J,(2023J,(2023)‘12023)-----

14.今年是我校建校100周年，也是同学们在宜丰中学的最后一年，朱朱与毛毛同学想以数学的浪漫纪念

这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于宜

丰中学的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中:

在这盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“(两个字母组合而成.其中蕴含在函数

〃冷=N3+3/+》_1的图象中，过点尸(-6,。)与曲线相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了的形

状，请你求出使满足条件的三条切线均存在的整数a的个数，这就是打开盒子的密码：—.

15.对于三次函数/(同=加+左+◎；+15/0),经研究发现：任何一个三次函数都有对称中心，而且三

次函数的拐点(使二阶导数户(x)=0的点)正好是它的图像的对称中心.若/(X)=$3_；X2+3X_\,则

/()]+/[■![++…+.("22且〃eN)

16.已知三次函数/(x)=2/+3依2+bx+c(a,"ceR),且/(2020)=2020,7(2021)=2021,

f(2022)=2022,则/(2023)=

17.设y=/"(x)是y=/'(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数

/(x)=ac3+ta2+cr+J(ti^O)的图象都有对称中心(天,/(%)),其中/满足/"(%)=0.

(1)函数g(x)=gx3一元2+3尤+1的对称中心为;

(2)现已知当直线米-,-左+1=0(左eR)和〃(力二江+加+3的图象交于B伍,％)、

C(W,%)(%<%<七)三点时，/7(力的图象在点A、点C处的切线总平行，则过点他,。)可作无(X)的

条切线.

18.（2024•四川成都•三模）若指数函数了=优（。＞0且与三次函数y=式的图象恰好有两个不

同的交点，则实数。的取值范围是—.

19.已知三次函数/（xXax'+br+cx+dmwO）,对于任意尤eR,均有且存在唯一看,满

足/（与）=~/,（后）,则华―

20.已知函数=一办_匕，XGR,其中〃、Z?GR,若存在极值点与，且/（%）=/（尤0），

其中占w%,则％+2x°=___.

21.设函数/。）=元3-4/+办+6户€11,其中。,6eR.若了⑴存在极值点,且/（药）=/（%）,其中

玉KX。，则X]+2%—.

22.已知eR,函数/（%）=渥+加+尤+1（。＜0）恰有两个零点，则a+b的取值范围为.

b

23.已知函数人口二④^+万/一而①,/^；?）.若时，函数/（尤）恰有两个不同的零点，则z的值

为,若。=0时，f（x）＜ln元的解集为（孙〃），且（根,〃）中有且仅有一个整数，则实数6的取值范围

为.

24.函数〃工卜加+万/+仃+以小上之^^对的图像如图所示，贝Ua+b+c的取值范围是_.

25.给出定义：设r（x）是函数y=〃x）的导函数，/（X）是函数/"）的导函数，若方程/"（x）=0有实数

解x=x。,则称（/））为函数y=f（x）的“拐点”.经研究发现所有的三次函数

〃力=加+凉+5+4户0）都有“拐点”，且该“拐点”也是函数y=〃x）图象的对称中心.

⑴若函数〃"=^+3/—9彳-1,求函数/（无）图象的对称中心；

（2）已知函数g（x）=2mx3+[61n（mx）—15]%2+—x-+1,其中根＞0.

（i）求g⑴的拐点；

（五）若g（M）+g（%2）=2（0＜Xi＜工2），求证：0Vxi

m

29.已知三次函数/(工)=加+云_3在x=l处取得极值，且在(。「3)点处的切线与直线3x+y=0平行.

(1)求/⑺的解析式；

(2)若函数g(%)=/(%)+如在区间(1,2)上单调递增，求加的取值范围.

30.已知三次函数/(%)=加-3办2+2+4。.

(1)若函数/(“在区间(。,。+3)上具有单调性，求〃的取值范围;

(2)当〃>0时，若玉+%>2,求〃再)+〃%2)的取值范围.

2

31.已知三次函数/(x)=cue1+bx-bx-a(awU,a,bGR).

(1)求证：犬=1是/(尤)的零点；

1

(2)如果/是，(无)的零点，求证：一也是/(了)的零点.

玉)

bb

32.已知任意三次函数/(x)=o?+b尤?+5+或。*。)都有对称中心(-一,/(-一))，且

3a3a

g(x)=d+mx1+tx—\的对称中心为(§,g(?),

(1)当好1时，求曲线g(x)在点d,g⑴)处的切线方程；

(2)若尤e(0,y),g(x)+/-d..0恒成立，求实数/的取值范围.

33.已知三次函数“X)=V+bx2+cx+d(a,b,ceR)过点(3,0),且函数/(x)在点(0,/(0))处的切线恰好是直

线y=。.

⑴求函数AM的解析式；

⑵设函数g(x)=9x+根-1,若函数y=/(x)-g(x)在区间［-2,1］上有两个零点，求实数加的取值范围.

重难点突破03三次函数的图象和性质

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳总结.................................................................4

题型一：三次函数的零点问题....................................................................4

题型二：三次函数的最值、极值问题..............................................................5

题型三：三次函数的单调性问题..................................................................6

题型四：三次函数的切线问题....................................................................6

题型五：三次函数的对称问题....................................................................7

题型六：三次函数的综合问题....................................................................7

题型七：三次函数恒成立问题....................................................................9

题型八：等极值线问题.........................................................................10

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

1、基本性质

设三次函数为：f(x)^ax3+bx2+cx+d(ab、c、且awO),其基本性质有:

由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三

次函数为例来研究根的情况，设三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a丰0)

其导函数为二次函数:/'(X)=3G?+2bx+c(a0),

判别式为：△=4万2-12℃=4。2-3砒)，设尸(x)=O的两根为阳、x2,结合函数草图易得：

⑴若从-3h40,则〃x)=0恰有一个实根；

⑵若〃_3ac>0,且/(QC㈤>0,则/(x)=0恰有一个实根；

(3)若匕2-3a>0,且/(%)4(%)=0,则f{x)=0有两个不相等的实根；

(4)若一一3女>0，且/(演)./(々)<0,则“X)=0有三个不相等的实根.

说明:(l)(2)/(x)=0含有一个实根的充要条件是曲线y=/(x)与x轴只相交一次，即/(X)在R上为单

调函数(或两极值同号)，所以〃-3ac40(或％2_3ac>0,且/(占)"(％)>0);

(5)〃x)=0有两个相异实根的充要条件是曲线y=/(x)与x轴有两个公共点且其中之一为切点，所以

b2—3ac>0,且/(菁)•/(无2)=0；

(6)/(x)=0有三个不相等的实根的充要条件是曲线y=/(元)与x轴有三个公共点，即/(x)有一个极大

值，一个极小值，且两极值异号.所以。2一3a>0且/(%)"(%)<0.

性质3：对称性

(1)三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；,/(-—));

3a3a

(2)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.

2、常用技巧

(1)其导函数为尸(x)=3办2+26X+C=0对称轴为*=_2,所以对称中心的横坐标也就是导函数的

3a

对称轴，可见，y=/(x)图象的对称中心在导函数y=r(x)的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时

也是二阶导为零的点；

(2)y=/(x)是可导函数，若y=/(无)的图象关于点(加,〃)对称，贝！Jy=T(无)图象关于直线彳=机

对称.

(3)若y=/(无)图象关于直线％=相对称，则>=广(尤)图象关于点(加,0)对称.

(4)已知三次函数/(力=63+旅2+5+〃的对称中心横坐标为毛，若“力存在两个极值点石，尤『

则有"%)："%)=_*「)=力(力

题型归赢总结

题型一：三次函数的零点问题

【典例1-1】一般地，对于一元三次函数/(无)，若/优)=0,贝|(飞,/(%))为三次函数/(X)的对称中心,

已知函数/卜)=丁+62+1图象的对称中心的横坐标为与(%>0),且/(X)有三个零点，则实数4的取值

范围是()

A.一%-B.(一8,0)C.(-1,0)D.［一孚，T

【答案】A

【解析】由函数〃x)=d+加+1求导得:f\x)=3x2+2ax,则解⑺=6x+2a,

由广(不)=6x0+2a=0解得％=>0,则有a<0,

r(x)=3x(x+—),当x<0或无>一生时，殁x)>0,当0<x<-%时，/'(x)<。，

333

则在(-8,0)，，彳，+8)上单调递增，在上单调递减，

因此，当x=0时，/(无)取得极大值/(o)=l,当x=-当时，/(无)取得极小值/(一学="+1,

因函数/(x)有三个零点，即函数y=/(x)的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，

7(o)>o

<，/2a.八，

/(--)<0

于是得‘匚+1<0,解得"-逆，