2025年中考九年级数学专项训练：反比例函数与几何综合

中考专题训练一一反比例函数与几何综合

1.如图，一次函数图象与非轴、4轴分别交于点4和点8,与反比例函数图象交于点。和点。，其中点。

的横标为1，OA=OB=1.

(1)如图1,求一次函数和反比例函数的表达式；

⑵如图2,点E是立轴正半轴上一点，OE=2OB,求4BDE的面积；

(3)在(2)的条件下,直线BE向上平移，平移后的直线过点。且交沙轴于点尸，点河为平面直角坐标

系内一点，是否存在以口、。、尸、河为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点河的坐标;若

不存在，请说明理由.

【(l)y=x+l,y=^-,(2)1(3)M(Ly),M(Ly),-y)

[(1)•.•点A和点B分别是①轴y轴的点OA=。0=1,根据图像可知

A(-1,O),B(O,1)

设直线AB的解析式为y=kx+b

将点A(-L,O),B(O,l)代入=°

I。一1

解得仁；

：.y=x+l

・・,点。在直线48上1,

・,•如=1+1=2

・・・0(1,2)

又丁。在反比例函数图像上

设反比例函数解析式为y=—,

X

将0(1,2)代入

m=2

2=2

,•y

x

(2)如图。作。G_L力轴于点G,则。G=2,OG=1

,：OE=2OB

：,OE=2,

:.EG=OE-OG=1

S^DE~S梯形BOG。+S/^DGE~SABOE

=^OB+DG)-OG+^-EG-DG-^-OE-OB

=y(l+2)Xl+yXlX2-yX2Xl

=

一万

(3)存在，理由如下：

设直线BE的解析式为y=ax+b

•••E(2,0),B(0,1)

片蓝=°,解得:a=T

0=1b=l

•'•y=--^x+i

平移后经过点0（1,2）

设平移后的直线DF的解析式为y=--^x+c

将。（1⑵代入，求得c=1~

•••贝”

・3"V

如图：以B、。、F、河为顶点的四边形是平行四边形

①当为边时，BF//DM时,BF=DM=-|-

都在沙轴上

/.DMIIg轴

V£>(1,2)

②当为对角线时，设对角线■交点为H

/.FH=BH,DH=MH,设M{x,y）

・••W吟）

•••D（L2）

,（2+1）=0《（2+?/）=：

x——\

解得

综上所述,T*

2

2.如图，点A是反比例函数y=空（巾＜0）位于第二象限的图象上的一个动点，过点A作AC，刀轴于

X

点C；M为是线段4?的中点，过点河作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于8、。两

点.顺次连接A、设点人的横坐标为期

（1）求点B的坐标（用含有m、n的代数式表示）；

（2）求证：四边形ABCD是菱形；

（3）若4ABM的面积为4,当四边形ABCD是正方形时,求直线AB的函数表达式.

【详解】（1）当2=九时，9=——,

由题意知，B。是AC的中垂线，

.•.点B的纵坐标是平，

2n

才巴y=代入y=—得力=2n,

2nx

.,•瓦2九,券）；

（2）证明：•.•BD_LAC,轴，

ABD_L沙轴，由⑴知,B（2n,2）,A（n,争,

:.BM=MD=-n,

'：ACA.x轴，

C（n,0）,

：.AM=CM,

：.四边形ABCD是平行四边形.

又AC,

平行四边形ABCD是菱形；

（3）当四边形48co是正方形时，

△ABM为等腰直角三角形，

：.AM=BM,

•：△ABM的面积是4,

SAABJW=-^-AM2—4,

AM=BM=2页,

•.•Af为线段4C的中点,

AC=2AM4V2,BL>=2BM=472,

2n=—4A/2,———4,\/2,

n

：.A(-2V2,4A/2),B(-4V2,2A/2),

设直线AB的解析式为夕=kc+b,

.f—2v^2fc+b=4-\/2^

At-4V2fc+b=2V2>

解得比:方

W=6V2

直线48的函数表达式为y—x-\-6A/2.

3.如图，A为反比例函数4=旦（其中t>0）图像上的一点，在2轴正半轴上有一点B,05=10.连接

rr

OA、AB,且CL4=AB=13.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）过点B作BCLO8,交反比例函数（其中非>0）的图像于点。，连接OC交4B于点D

X

①求OC的长；

②求警■的值.

JL/O

【答案】3.⑴y=幽；⑵①2俯;②4

x

【详解】解：⑴过力作AE_LOB于E,如图1,

•：OA=AB,

；.OE=BE=*）B=5,

：.AE=VOA2-AB2=12,

.•.4的坐标为（5,12）,

,/A为反比例函数y—4（其中0>0）图象上的一点,

X

fc=60,

.♦.反比例函数的解析式为：3=也；

X

⑵①・・・。8=10,

・・.B的坐标为(10,0),

_BC_L/轴交反比例函数图象于。点,

・・・。的横坐标为10,

令/=10,则g=—=6,

x

：.0(10,6),

BC—6,

・・.OC=VOB2+BC2=2V34;

②设直线OC为y=mx,代入点C的坐标得m—^~,

o

直线OC的解析式为9=之2，

5

设直线AB的解析式为g=n(x—10),代入点A的坐标得n

直线AB的解析式为9=—孕田+24,

5

沙=一齐+24

联立

片卷工

x=8

解得片篆

二。的坐标为(8,得

：.CD=OC-OD=^^,

5

.DO=

"DC

4.如图，将一个长方形放置在平面直角坐标系中，OA=2,OC=3,E是AB中点,反比例函数图象过点

E且和BC相交点尸.

(1)直接写出点B和点E的坐标；

(2)求直线08与反比例函数的解析式；

(3)连接OE、OF,求四边形OEBF的面积.

5

【答案】4.⑴B（2,3）,凤2,日）;⑵y=畀9=仔;（3）3

【详解】解：（1）；。4=2,OC=3,E是AB中点，

.•.8（2,3）,夙2,））;

（2）设直线的解析式是g=阮2，

把_B点坐标代入，得自=得，

则直线OB的解析式是沙=如

设反比例函数解析式是夕=?，

把E点坐标代入,得e=3,

则反比例函数的解析式是7/=1-；

（3）由题意得Fg=3,代入3,

x

得Er=l,即F（l,3）.

则四边形OEBF的面积=矩形04BC的面积一△OAE的面积一aOC歹的面积=2X3-["X1X3-/

X2Xy=3.

5.如图，在直角坐标中，矩形OABC的顶点。与坐标原点重合,顶点力、。分别在二轴和g轴上，点8的

坐标为（2,3）,反比例函数夕="是的图像经过8。的中点。,且与人口交于点已连接。及

X

（1）求R的值及点E的坐标；

（2）若点F是OC边上一点,且AFBC〜△OEB,求直线FB的解析式.

（3）若点P在夕轴上,且XOPD的面积与四边形BDOE的面积相等,求点P的坐标.

【答案】5.（l）fc=3;（2,白）；⑵片方+奈;⑶（0,6）或（0,-6）

【详解】解：（1）在矩形0AB。中，

•••3点坐标为（2,3）,

.•.B。边中点。的坐标为（1,3）,

又•.•反比例函数y=为图像经过点D（1,3）,

X

・•o・J_-k丁，

fc=3,

•；E点、在AB上，

・・・E点的横坐标为2,

又&经过点E,

X

.•.E点纵坐标为等，

.♦.E点坐标为（2,日），

（2）由（1）得==CB=2,

MFBC〜&DEB,

•旦2—旦旦即」——

"CFCB'CF2，

.―等，

O

.•.OF=（,即点尸的坐标为（0,部

设直线FB的解析式为沙=自t+b（阮/0）,而直线FB经过B⑵3）,F（0,_1）,

（3=2自+6

书=b，

.72,5

••自=可，。=W，

oo

直线FIB的解析式为y=方+得；

oo

（3）b'"S四边形BDOE=S矩形0Age—SAAOLS&CQD=2x3—x2x——x3x1=3,

由题意，得］■OP・DC=3,DC=1,

/.OP=6,

.•.点P的坐标为（0,6）或（0,—6）.

6.已知在平面直角坐标中，点A（m,n）在第一象限内，AB_LOA且AB=。4,反比例函数y=*■的图

x

象经过点A

（1）当点B的坐标为（4,0）时（如图1）,求这个反比例函数的解析式；

（2）当点8在反比例函数沙="的图象上，且在点人的右侧时（如图2）,用含字母m,n的代数式表示

X

点8的坐标；

⑶在第⑵小题的条件下，求旦的值.

【答案】6・(1)?/=—;(2)(m+n,n—m);(3)冲逐

x2

【详解】解：⑴过人作ACOB,交c轴于点C,

•：OA^AB,/OAB=90°,

/\AOB为等腰直角三角形，

.・.AC=OC=BC=^-OB=2,

•••42,2),

将6=2,g=2代入反比例解析式得：2=~|■，即k=4,

则反比例解析式为y——\

x

⑵过4作4E_L力轴，过B作BO_LAS,

VZOAB=90°,

・•・/OAE+/R4O=90°,

・・•乙4OE+NO4E=90°,

・・.ZBAD=AAOEf

(AAOE=ABAD

在MADE和ABAD中，<AAEO=ABDA=90°,

[AO=BA

：./\AOE/XBAD(AAS),

AE=BD=n,OE=AD=m,

DE=AE—AD—n—m,OE+BD—

则B(m+n,n—rn);

(3)由>1与B都在反比例图象上，得到mn=(m+n)(n—rrt),

整理得：n2—rn=mn,即(色丫+(2ZL)—1=0

vn7vn7

这里a=l,b=l,c=­1,

•••△=1+4=5,

.rn_—1土函

•空一2'

,:A(m,n)在第一■象限，

m>0,n>0,

则也=T+方.

n2

7.如图1,在平面直角坐标系rcOy中，函数0=坐（山为常数，zn>L①>0）的图象经过点P（m,l）和

X

⑴求/OCD的度数；

⑵如图2,连接OQ、OP,当APOC=AOCD-ZDOQ时,求此时m的值；

（3）如图3,点4、点B分别是在①轴和u轴正半轴上的动点.再以04、08为邻边作矩形OAMB.

若点M恰好在函数0="（馆为常数，山>1,x>0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形,求此

X

时OA、OB的长度.

【答案】7.(1)/OCD=45°.(2)馆=方+1;(3)。4=。8=巴也.

【详解】解：⑴设直线PQ的解析式为y=版+6,则有(手邛=1,

解得/7+1,

/.y——X+m+1,

令力=0,得到g=m+1,

/.Z)(0,m+1),

令g=0,得到力=Tn+1,

:.C(m+1,0),

・・.OC=OD,

vZCOD=90°,

・•.ZOCD=45°.

⑵如图2,过Q作QA/_Ly轴于河，过P作PN_LOC于N,过O作OH_LCD于X,

F(m,1)和Q(1,m),

/.MQ=PN=1,OM=ON=m,

•・•ZOMQ=AONP=90°,

・・・^OMQ空AONP(SAS),

・・.OQ=OP,ADOQ=APOC,

・・・ADOQ=ZOCD-ZFOC,ZOGD=45°,

・•.ADOQ=Z_POC=4QOH=乙POH=22.5°,

:.MQ=QH=PH=PN=\,

・・・NOCD=NODC=45°,

图2•••

・・.和△C7VP都是等腰直角三角形，

I.DQ=PC=0

OC=OD=m+l,

CD—V2OC—A/2(m+1),

•：CD=DQ+PQ+PC,

A/2(TYI+1)—2，^+2,

/.m—V2+1;

⑶如图3,

・・・四边形R4PQ为平行四边形，

・・.AB//PQ,AB^PQ,

：.NOAB=45°,

・・・ZAOB=90°,

:.OA—OB,

・,・矩形OAMB是正方形，

,点、7W恰好在函数y=—(m为常数，馆>1,/>0)的图象上,

x

7Vf(Vm,Vm),

即04=OB=Vm,

AB=PQ,

V2m=y/(m—1)2+(1—m)2,

解得:m=或力=':(舍),

.-.OA=OB=^n=y^^=&y=

8.如图，矩形AOCB的两边OC、Q4分别位于立轴、沙轴上,对角线QB长为8,且/COB=30°,。是

AB边上的点,将AADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线上的点E处.

⑴求QE的长；

（2）点E在一反比例函数的图象上，那么该函数的解析式；

（3）反比例函数与BC交于朋■点,连接OM,求4OBM的面积.

【答案】8.（1）4；（2切=生⑤；（3）6/5

X

【详解】解：（I”.•四边形ABCD是矩形，

ZOCB=90°

•：OB=&,/COB=30°,

.•.BC=O4=4,

由折叠可知：OE—OA—4;

（2）过E点作EF_LOC于F,••

•.•OE=4,ZBOC=30°,

:.EF=2,

/.OF=V42-22=2V3,

；.E(2"，2),

设经过点E的反比例函数表达式为：“=反,

X

贝4k—4A/3,

反比例函数的解析式为：沙=生③；

X

⑶♦.•点”在反比例函数图像上，OC=V82-42=4V3,

.•.将2=4代代入，贝I9=1,即河侬3，1),CM=1,

又；BC=4,

.-.BM=4-1=3,

：.SAOBM=-1-x3x4V3=6V3.

9.如图，已知点/(—3,1),B(—2,2),反比例函数夕=?(2<0)的图象记为。

(1)若乙经过点4

①求L的解析式；

②「是否经过点B?若经过，说明理由；若不经过，请判断点B在L的上方，还是下方.

(2)若L与线段有公共点,直接写出k的取值范围.

【答案】9.(1)①？/=—&(cV0);②点6在图象力上方，理由见解析；(2)—4Wk4—3.

X

【详解】解：⑴①,:L过点4—3,1),

k=—3x1=-3,

/.图象乙的解析式为y=-—(®<0);

X

②点B在图象力上方，

理由：由(1)知，图象力的解析式为夕=—3，

X

当x=-2时，y=一一1<2,

.•.点B在图象L上方；

(2)当图象L过点A时，

由⑴知，k——3,

当图象L过点B时，

11

将点B(—2,2)代入图象力解析式夕=&中，得k=—2x2=—4,

X

当线段AB与图象Zz只有一个交点时，

设直线AB的解析式为g=mx+n,

将点4一3,1),B(-2,2)代入g=77次;十九中，]点:，

{—2m-rn=2

•・,1(nm==4l，

・・・直线AB的解析式为g=c+4,

_卜

y=w,

{g=⑦+4

化为关于i的一元二次方程为a:2+4a;—fc=0,

/.A=16+4A;=0,

/.k=-4,

即满足条件的％的范围为：一4&k<-3.

10.如图，一次函数0=自/+匕的图象与反比例函数g=电■(/<0)的图象相交于点A(—1,2)、点8(—4,

x

n).

(1)求此一次函数和反比例函数的表达式；

⑵求△AOB的面积；

(3)若点出(一:,人)也在双曲线上，那么在沙轴上存在一点P,使得—的差最大,求出点P的

坐标.

【答案】10.⑴片枭+得，9=—2；⑵必人。3=学；(3)p(0,得).

【详解】⑴•.•点4—1,2)在反比例函数图象上，

***一~=2,解得k=-2,

-12

反比例函数的解析式是沙=—―,

,・,点_B(-4,n)在反比例函数图象上，

.___2__X

—4-2，

・,•点8的坐标是(一4,]),

,:一次函数y=kiX+b的图象经过点A(—1,2)、点4,1).

—fci+fe=2

解得《

-4fc1+b=-1-

一次函数解析式是g=0r+1;

⑵设直线4B与力轴的交点为C,

15

y=~^x+—中，令g=0,则力=-5,

・,・直线与力轴的交点。为(-5,0),

•e•S^AOB~SXAOC~S&oc=/x5x2x5X

⑶•.•点川一方㈤也在双曲线上,

■■h=--^-=4,

•.•在沙轴上存在一点P,使得|PB—尸印最大,

P点是直线BH与y轴的交点，

设直线的解析式为夕=岫+皿，

—4fc+m=yk=l

，解得

—1-fc+m=4m=2

直线BH的解析式为沙=2；+4,

A,Q

令劣=0,则y=工,

••.No,?).

11.如图，直线y=—■}rx+7与反比例函数y=0）的图象交于A,B两点，与0轴交于点。，且点

2x

4的横坐标为2.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求出点8坐标，并结合图象直接写出不等式也＜—22+7的解集；

（3）点、E为y轴上一个动点,若S&AEB=5,求点E的坐标.

【答案】11.（1为=⑫；（2）cV0或2V；cV12;（3汨（0,6）或（0,8）

X

【详解】解：（1）把力=2代入g=―5r+7得，y=6,

・・・42,6),

13

反比例函数y=—(m#0)的图象经过A点,

x

m=2x6=12,

/.反比例函数的表达式为y=卫~

x

(x=2(x=12

(2)由<，得或

[y=-^x+7卜=63=1

1),

由图象可知，不等式如V—4c+7的解集是：rrVO或2VcV12;

x2

⑶设成0,n)9

直线y——■^-x+7与g轴交于点C,

AC(O,7),

：.CE=\7-n\,

：.SAAEB=SABCE-S&ACE=y|7-n|x(12-2)=5,

解得，71=6或71=8,

：.E(O,6)或(0,8).

12.如图，一次函数y=2c—b的图象与反比例函数0=—的图象交于点人、B两点，与多轴、沙轴分别交

x

于。两点，且点A的坐标为(3,2).

(1)求一次函数和反比例函数的表达式.

(2)求△AO8的面积.

(3)点P为反比例函数图像上的一个动点，工轴于河，是否存在以P、M、O为顶点的三角形与

△COD相似，若存在，直接写出P点的坐标，若不存在,请说明理由.

【答案】12.⑴g=2,—4,?/=g⑵5,08=8;⑶存在，P点的坐标为(V3,2V3)或(-V3,-2V3)或

(2V3,V3)或(-2V3,-V3).

【详解】解：⑴把4(3,2)代入g=2工—b得：6—b=2,

解得：b=4,

一次函数的表达式为y=2x—4,

把力(3,2)代入y=为得：2=《,

x3

解得：fc=6,

反比例函数的表达式为y=—;

力

•・(

⑵连接04OB,如图所示:

g=2/一4fTi=3162=_1

由解得:11/1=2?b2=-6

y=7

.\A(3,2),B(-l,-6),

在g=2/一4上，当g=0时,

2力一4=0,解得：⑦=2

.*.0(2,0)

・・.OC=2

••SXOAC~X2=2,

S^OBC~~^~℃x6=6,

^^AOB~S^OAC+S^OBC~8；

(3)由题意可得如图所示：

当以P、河、O为顶点的三角形与△OOD相似时，始终有APMO

=4,设点P(4)，则PM=口,皿=同,器制，

①当NOPM=NOCD时,

.OC_PM_1gpI6I_1,,

・百一而F即kLi■同

解得：a=±2\后，

.♦.点F(2V3,V3)或P(-2V3,-V3);

②当NOPM=NODC时，

.OCOM1_即四㈤

==P=2

"ODPM2'IaIIL

解得：a=±V3,

.♦.点P(V3,2V3)或P(-V3,-2V3);

综上所述：当以P、M、O为顶点的三角形与△COD相似时，P点的坐标为(依,2/)或(-V3,-2A/3)或

(2V3^,V3^)或(一2，^,—V3).

13.已知反比例函数,=上血(小为常数)的图象在第一、三象限.

X

⑴求小的取值范围；

(2)如图,若该反比例函数的图象经过UABCO的顶点B,点A,C的坐标分别为(2,0),(-1,2),求出

m的值；

⑶将UABCO沿力轴翻折，点。落在。处,判断点C是否落在该反比例函数的图象上？

【答案】13.(2)m=—；；⑶点Cr(—1,—2)在反比例0=(图象上

【详解】解：(1)反比例函数。二上迎(馆为常数)的图象在第一、三象限，

x

,,1—2rm>0,

解得771V］；

(2)・・・HABCO是平行四边形，・・・CB=04=2,

・•・点6坐标为(1,2).

把点(1,2)代入g=1得,

_1-2?71

2=1'

解得??2=

(3)点。关于力轴的对称点为。(一1,-2).

由⑵知反比例函数的解析式。=2,

x

把劣=-1代入9=2=三=一2,

X—1

故点。(一1,—2)也在反比例沙=2图象上.

x

14.如图，一次函数0=小刀+1的图象与反比例函数夕=总的图象相交于力、口两点，点。在•轴正半轴

x

上，点0(1,—2),连结04OD、DC、AC,四边形CL4CD为菱形.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出反比例函数的值小于2时，7的取值范围；

(3)设点P是直线AB上一动点,且Sd0Ap=菱形04co，求点P的坐标.

【答案】14.⑴一次函数的解析式为：y=c+1,反比例函数的解析式为­.y——-,⑵a;V0或a;>1;(3)P

X

点坐标为(一3,—2)或(5,6)

【详解】解：⑴如图，连接40,交2轴于点E,

/.OE=1,ED=2,

•.•四边形AODC是菱形，

：.AE=DE=2,EC=OE=1,

•••41,2),•••

将＞1（1,2）代入直线g=mx+1可得m+l=2,解得m=1,

/.一次函数的解析式为：g=/+1,

将41，2）代入反比例函数沙=",可求得k=2;

x

反比例函数的解析式为：y——\

x

（2）•・•当力=1时，反比例函数的值为2,

/.当反比例函数图象在4点下方时，对应的函数值小于2,

此时x的取值范围为：力＜0或力＞1;

（3）VOC=2OE=2,AD=2DE=4,

S菱形OACD~=4,

SAOAP~菱形O/CD，

••S^OAP=2,

直线0=力+1与力轴交点州（一1,0）

设P点坐标为（/,劣+1）,

当点P在力轴下方时，

S^OAP-S^oAM+^^OMP~2,

~~x1x2H—~x(—x—1)x1=2,

解得x=-3,

・・.P点坐标为（-3,-2）.

当点P在/轴上方时，

••SM)AP~S^OMP-$△OAM—2,

11

x(力+1)x1——x1x2=2,

解得力=5,

・・.P点坐标为（5,6）.

15.如图，在第一象限内有一点A（4,1）,过点人作力轴于B点，作ACLg轴于。点，点N为线段

AB上的一动点，过点N的反比例函数夕=£■交线段AC于M点，连接OAf,ON,MN.

（1）若点N为48的中点，则打的值为；

（2）求线段AN的长（用含"的代数式表示）；

（3）求△?!处的面积等于十时n的值.

【答案】15.（1）2；（2）1-j；（3）4-72

【详解】解：（I）：4（4,1）,AB，/轴于点5,交^=生于点N,

X

17

xA—xB—xN—AB—1,

又•・•点N为AB中点，

•e-BN--yAB二方，即UN=4,

・•・71=6NXUN=4X]=2,

故？i=2;

(2)由(1)可决口：/4=力6=/％=4,

,1点、N在n=型上,

x

nn

・,VN=----r,

xN4

AN=AB-BN=1-^,

故线段AN的长为1—半；

(3)由⑵可知：AN=1-^,

•.•点44,1),AC,沙轴，交沙=&于点河，

X

・・・外=沙河=1，4c=力"=4,

则二九，即CM—xM—n,

VM

：.AM=AC-CM=4—n,

*/AC_Lg轴，AB_L力轴，

・•・四边形OA4。为矩形，

・•・ZA=90°,

S4AMN=/xANxAM

=gl-号)x(4-n)

=-1-n2—n+2,

o

又△4A4N的面积等于；，

32-^+2=^,

解得：n=4土V2,

又4V=1—子>0,

n<4,

n=4—A/2,

故九的值为4—V2.

16.如图，直线防=自力+b与反比例函数仍=&的图象交于A、B两点，已知点A(m,4),8(%2),AD_L

x

力轴于点。，力轴于点C,。。=3.

⑴求TH,九的值及反比例函数的解析式;

(2)结合图象，当包u+bW&时，直接写出自变量出的取值范围;

X

(3)若P是①轴上的一个动点，当AABP的周长最小时，求点P的坐标.

19、

【答案】16.(l)m=3,n=6,y=—;(2)0V/43或力>6;⑶点P的坐标为(5,0).

2x

【详解】⑴,点A(m,4),B(n,2)在反比例函数纺=的图象上，

/.k2—4m=2n,

即n—2m;

・・・。。=3,

/.n—m=3,

m=3,n=6,

・••点A(3,4),点B(6,2),

=

fc23x4=12,

反比例函数的解析式为0=卫■:

X

(2)・・・点/(3,4),点6(6,2),

/.当kx+b4-时：0V/&3或力>6;

xx

(3)如图，作点石关于力轴的对称点F(6,—2),连接AF交力轴于点P,此时△ABP的周长最小;

设直线4F的解析式为n=kx+a,

13fc+a=4

(6k+a=—2

解得仁;；

・・・直线AF的解析式为y=-2x+10,

当g=0时，力=5,

・••点P的坐标为(5,0).

17.如图，一次函数仍=for+b的图象与反比例函数统=@的图象交于A(2,m),B(n,l)两点，连接OA,

x

OB.

(1)求这个一次函数的表达式;

(2)求△OAB的面积;

(3)问:在直角坐标系中，是否存在一点P,使以O,A,B,P为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】17.(l)yi=-yx+4;(2)8;(3)存在，点P的坐标为(-4,2),(4,-2),(8,4)

【详解】解：(1)将＞1(2,小),B(n,1)两点代入反比例函数⑹

得?=1=*，得?n=3,九=6,所以A(2,3),B(6,1)

将＞1(2,3),B(6,1)代入一次函数yx-kx-\-b

得3=2k+b,1=6k+b,解得k=—~--,b=4

即yi=-y^+4

⑵设一次函数%=—^-x+4与力轴、g轴分另U交于_D,。两点，再过工.,B两点分别向g轴、/轴作垂线,垂

足分别为两点，如图1,

当力=0时，％=—^-x+4=―x0+4=4;

当g=0时，0=―，力+4,力=8

・・.OC=4,00=8

VA(2,3),B(6,1)

：.AE=2fBF=l

SbocD=/*OOxOD=^-x4x8=16

S»OAC=4*℃xAE=-i-x4x2=4

S〉oBD=4xO£＞xBF=-1-x8xl=4

SQOAB=SQOCD-SQOAC-SQOBD=16-4-4=8

AOAB的面积为8

⑶存在，如图2,

当AB和03为邻边时，点8(6,1)先向左平移6个单位再向下平移1个单位到点0(0,0),则点＞1也先向左

平移6个单位再向下平移1个单位到点P(2-6,3—1),即P(-4,2);

当。力和OB为邻边时，点。(0,0)先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点4(2,3),

则点B也先向右平移2个单位再向上平移3个单位到点尸(6+2,1+3),即产(8,4);

当AB和。4为邻边时，点4(2,3)先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点B(6,1),

则点O也先向右平移4个单位再向下平移2个单位到点P〃(O+4,0—2),即P〃(4,-2);

20

・••点P的坐标为(-4,2)或(4,-2)或(8,4).

18.如图，反比例函数g=也与一次函数g=far+b的图象交于4(1,3)和B(—3,n)两点.

x

(1)求7n、n的值；

(2)当力取什么值时，一次函数的值大于反比例函数的值.

⑶求出△OA8的面积.

【答案】18.(l)m=3,n=—1;(2)/>1或一3〈力V0;(3)4

3=平

【详解】解：(1)由题意，得,解得:m=3,n=­1

71=%

⑵由⑴可求得反比例函数解析式为：g二旦,一次函数解析式为：g=/+2,

x

。0时，一次函数的值大于反比例函数的值.

(3)设直线48交g轴于C,

把力=0代入。=力+2,得：g=2,

:.OC=2,

,11

/./\OAB的面积=SbAoc+SNRcc~1x2x1+—x3x2=4.

19.如图1,一次函数0=力/一4(kW0)的图象与g轴交于点4,与反比例函数g=—〃•(/<())的图象交于