2025年中考数学总复习：相似三角形

4.5相似三角形

一、与相似三角形有关的证明与计算

1.(2020安徽中考第8题)如图，RtAABC中，ZC=90°，点。在AC上，4DBC=4A.^AC=4,cosA=

则BD的长度为()

2.(2021安徽中考第23题)如图1,在四边形ABC。中，乙4BC=ABCD,点E在边8c上，S.AE//CD,

DE//AB,作CF//4D交线段AE于点R连接8足

(1)求证：AABF=AEAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,乙ECF=4AED,求BE的长；

(3)如图3,若的延长线经过的中点求整的值.

3.(2019安徽中考真第23题)如图,RtHABC中,0ACB=9O",AC=BC,P为△ABC内部一点，且

ZAPB=ZBPC=135°

(1)求证：APABsaPBC

(2)求证：PA=2PC

(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为hi,h2,h3,求证hi2=h)h3

p

4.（2015安徽•中考第23题）如图1,在四边形ABC。中，点£、尸分别是48、CD的中点，过点E作A3

的垂线，过点/作CO的垂线，两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且/AG£>=N8GC,

(1)求证：AD=BC；

(2)求证：AAGDS^EGF；

An

(3)如图2,若A。、BC所在直线互相垂直，求义的值.

EF

G

D

EB

图2

图1

5.（2017安徽中考第23题）已知正方形点M为边A8的中点.

⑴如图1,点G为线段CM上的一点，且NAG2=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.

①求证:BE=C/;

②求证:BE2=BCCE.

（2）如图2,在边BC上取一点瓦满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点尸,

求tanNCBP的值.

6.（2024安徽中考第22题）如图1,YABCD的对角线AC与3。交于点。，点M,N分别在边AD,BC

上，且AM=C7V.点E,尸分别是与⑷V,CM的交点.

（1）求证：OE=OF；

（2）连接交AC于点X,连接HE,HF.

(i)如图2,若HE〃AB，求证：HF//AD;

AT

（ii）如图3,若YABCD为菱形，且MD=2A",ZEHF=60°,求一的值.

BD

7.（2023安徽中考第22题）在RtaABC中，〃是斜边A3的中点，将线段M4绕点〃旋转至ME•位置，点

。在直线A3外，连接A£>,8£>.

图1图2图3

（D如图1,求NADB的大小;

（2）已知点。和边AC上的点E满足被，AO,〃AS.

（i）如图2,连接8,求证：BD=CD；

(ii)如图3,连接BE,若AC=8,8C=6,求tan/ABE的值.

参考答案与解析

一、与相似三角形有关证明计算

1.（2020安徽中考第8题）如图，RtAABC中，ZC=90°，点。在AC上，4DBC=4A.^AC=4,cosA=

则BD的长度为（）

9121S

A.£B.-C.D.4

【答案】C

【详解】VZC=90°,.\cosX-—,

AB

4

VAC=4,cosA=・・・AB=5,

根据勾股定理可得BC=VXB2-"2=3,

4

Z-DBC=z>l,cosZDBC=cosA=-,

•/____BC4pr-t34.___15

♦.cosNDBC=—=—,即—=—,•.BD=一,

BD5BD54

故选：c.

2.(2021安徽中考第23题)如图1,在四边形ABC。中，4ABC=4BCD,点E在边BC上，5.AE//CD,

DE"AB,作CF〃2D交线段AE于点R连接8足

(1)求证：4ABF^^EAD；

(2)如图2,若4B=9,CD=5,Z.ECF=^AED,求BE的长；

⑶如图3,若BF的延长线经过A。的中点“求整的值.

EC

AAA

Ax;

注

BECBECBEC

图1图2S]3

【答案】(1)见解析；(2)6；(3)1+V2

【详解】(1)证明：•••AE//CD,/-AEB=ZDCF；

DE//AB(ABE=Z.DEC,=乙2,

vZ.ABC=乙BCD,•••Z-ABE=Z-AEB,乙DCE=Z-DEC,，AB—AE,DE=DC,

vAF//CD,ZD//CF,・•・四边形AFCO是平行四边形

：・AF=CD,AF=DE

AB=EA

在△ZBF与中,Z1=Z2,

AF=ED

・•.△ABF=△EAD(SAS)

(2)・・・4ABF三AEAD,ABF=AD,

在口4"0中，=CF,・・・BF=CF,•••Z-FBC=Z-FCB,

又「Z-FCB=z2,z.2=z.1,・♦・乙FBC=z.1,

f乙EBF=Z1

在△EBF与△EZB中,

IzBEF=^AEB

LCLLACEBEF

•••△EBFEAB,—=—；

EAEB

•・,AB=9,・•・AE=9；CD=5,AAF=5；

4

・•・ELFL=4A,E—B

9EB‘

・•・BE=6或一6(舍)；

(3)延长3M、ED交于点G.

•••△ABE^t^DCE均为等腰三角形，^ABC=乙DCE,

ADAE_BE

•,△ABEfDCE,A—

DCDE-CE'

设CE=1,BE=x,DC=DE=a,

则=AE=ax,AF=CD=a,EF=a(%—1),

AB//DG,z3=zG；

△3=NG

在△M/B与^MOG中，z4=z5,

MA=MD

/.△MAB三△M0G(44S)；

DG=AB=ax,•••EG=a(%+1)；

•・•AB//EG..•・△FAB八FEG,

FA_AB.a_ax

••尸E—EG'••a(x-l)-a(%+l)'

:.x(x—1)=X+1,

・•・x2—2%—1=0,

(%—l)2=2,.,-%=1+V2,

•••xr=1—V2(舍)，x2=1+V2,

BE.nz

•*«—=1+v2.

EC

3.(2019安徽中考真第23题)如图，Rt团ABC中，0ACB=9O°,AC=BC,P为△ABC内部一点，且

ZAPB=ZBPC=135°

(1)求证：△PAB^APBC

(2)求证：PA=2PC

(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为hi,h2,h3,求证h/=h2-h3

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【详解】解：⑴VZACB=90o,AC=BC,

ZABC=45°=ZPBA+ZPBC

又NAPB=135。，

.-.ZPAB+ZPBA=45°,

/.ZPBC=ZPAB,

又；NAPB=/BPC=135。，

/•△PAB^APBC；

（2）VAPAB^APBC,

•,PB-PC-BC，

在R3ABC中，AC=BC,

BC，

.,.PB=V2PC,PA=V2PB

.\PA=2PC；

（3）

过点P作PDLBC,PELAC交BC、AC于点D,E,

•/ZCPB+ZAPB=135°+135°=27O°,

ZAPC=90°,AZEAP+ZACP=90°,

又；ZACB=ZACP+ZPCD=90°

；.NEAP=/PCD,

.,.RtAAEP^RtACDP,

==2,

''•DPPC即，=2，.*.h3=2h2

VAPAB^APBC,

・••兽="=鱼，h1=V2h2

02BC

22

BPh1=2h2=2h2,h2=h2h3.

4.(2015安徽•中考第23题)如图1,在四边形A3C。中，点E、尸分别是AB、C。的中点，过点E作A3

的垂线，过点/作的垂线，两垂线交于点G,连接AG、BG、CG、DG,且/AGO=N8GC,

(1)求证：AD=BC；

(2)求证：AAGDsAEGF；

4D

(3)如图2,若A。、BC所在直线互相垂直，求不二的值.

图1

【答案】⑴见解析；⑵见解析；(3)£=&.

EF

【详解】(1)证明：E为AB的中点，

GA=GB.

同理，GD=GC.

,*,Z.AGD=Z-BGC9

・,・易证△AGDBGC,

:.AD=BC.

(2)证明：•・•/-AGD=乙BGC,

Z.AGB=Z.DGC.

vGA=GB,G0=GC,点点尸分别是A3、8的中点,

11

••・Z.AGE=-/LAGB,乙DGF=~DGC,Z.GAE=乙GDF.

22

•••Z-AGE=Z-DGF.

・,・易证△AGEDGF,

,易证△4G。〜AEGF.

（3）方法1：如图所示，延长AZ）和BC,相交于点与2G相交于点M.

■AD,BC所在的直线互相垂直，AH1BH.

**•Z-DAG=Z-CBG.

・•・乙4MG=Z-BMH.

••・乙AGM=乙BHM=90°.

在等腰直角三角形GAB中，/.AGE=45°.

由（2）的结论：AAGD-AEGF,可得竺=竺=a.

EFEG

方法2：如图所示，连接对角线AC,取AC的中点X,连接£8,FH.

”、H、E分别是CO,AC,AB中点，

.,・/田是AaDC的中位线，E8是△ABC的中位线,

11

C.HFUAD,HF=-ADHE//BC,HE=-BC.

22f

-AD.BC所在的直线互相垂直，

/.乙FHE=90°.

•・•AD=BC,

••・HE=HF,

在等腰直角三角形"E尸中，警=夸，

EF2

方法3如图所示，过点4作4知///巾，使AM=OC,连接MB,MC,过点E作EN//AM,交BM于点、N,连

接NC,则四边形AMCD为平行四边形.

：.AD//MC,AD=MC,ENIIAM!ICD.

为AB中点,

：.N为BM中点、,

EN=-AM=-DC=FC,

22

••・四边形ENCF为平行四边形,

•••EF=CN.

■AD,2C所在的直线互相垂直,

・•・MC1BC,

CMB是等腰直角三角形,

冷夜，C=V2.

5.(2017安徽中考第23题)已知正方形A8C2点M为边的中点.

⑴如图1,点G为线段CM上的一点，且NAG8=90°,延长AG,8G分别与边BC,CD交于点E,F.

®^.Tj£:BE=CF;

②求证序=BCCE

图1图2

(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2-GCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交C。于点R

求tan/CB/的值.

【答案】（1）详见解析；（2）tanZCBF=

【详解】（1）①［四边形A3CO是正方形，

・：AB=BC,NABC=NBCF=90°,

.'.ZABG^ZCBF=90°,

VZAGB=90°,

ZZABG+ZBAG=90°,

・・・/BAG=/CBF

：9AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

•MABEQbBCF,

・：BE=CF.

②：・NAGB=90°,点”为A3的中点，

.'.MG=MA=MB,

/.ZGAM=ZAGM,

又：VCGE=ZAGM,ZGAM=ZCBG,

・：NCGE=NCBG,

又NECG=/GCB,

・：2CGEsACBG,

=—,gpCG=BC・CE.

CGCB

：*ZCFG=ZGBM=ZBGM=ZCGF,.,.CF=CG,

由①知BE=CF,

.".BE=CG,/.BE2=BCCE.

⑵延长AE,OC交于点N,

「四边形ABC。是正方形，

.".AB//CD,.,.ZN=ZEAB,

又'."ZCEN=ZBEA,

；.4CENSABEA,乌=—,BPBECN=ABCE.

BEAB

•・・AB=BC,BE?=BCCE,・：CN=BE,

CG_CF

7

VAB//DN,.\—AH/f=GM-MB'

TAM=MB,・・・CF=CN=BE.

不妨设正方形的边长为l,BE=x,

由班；2=3℃及可得f=1.（1㈤，

解得为二3之刀2=当々舍）,BEV5-1

BC2

mil+CFBEV5-1

贝UtanZCBF=—=—=----.

BCBC2

6.（2024安徽中考第22题）如图1,YABCD的对角线AC与3£）交于点。，点M，N分别在边AD,BC

上，且W=CN.点E,F分别是与AN,CM的交点.

(1)求证：OE=OF；

（2）连接交AC于点”，连接HE,HF.

(i)如图2,若HE〃AB,求证：HF//AD；

AT

(ii)如图3,若YABCD为菱形，且A4D=2AM,ZEHF=60°,求——的值.

BD

【答案】（1）见详解（2）（i）见详解，（ii）2叵

5

【小问1详解】

证明：：四边形ABCD是平行四边形，

AAD//BC,OA=OC,

：.AM//CN,

又•：AM=CN,

...四边形AMCN是平行四边形，

：.AN//CM,

VZOAE=ZOCF.

在“。石与一。。「中，

ZOAE=ZOCF

<OA=OC

ZAOE=ZCOF

：..AOEWCOF(ASA).

：.OE=OF.

【小问2详解】

(i)'：HE//AB

.OHOE

••一，

OAOB

又OB=OD.OE=OF,

,OHOF

••一,

OAOD

,：ZHOF=ZAOD,

：.HOFAOD,

：.ZOHF=ZOAD,

HF//AD

(ii)•••ABC。是菱形，

•••ACLBD,

又OE=OF,ZEHF=60°,

；•ZEHO=NFHO=30°,

OH=y/3OE，

•/AM//BC.MD=2AM,

.AHAM1

••-----——,

HCBC3

即〃C=3AH,

：.OA+AH=3(OA-OH),

：.OA=2OH,

VBN//AD,MD=2AM，AM=CN,

,BEBN2

"ED~AD~3'

即3BE=2ED,

/.3（OB-OE）=2（OB+OE）

，OB=5OE,

故AC。420H2X60E26

"BD~OB~5OE—5OE—5

7.(2023安徽中考第22题)在Rt^ABC中，〃是斜边A3的中点，将线段M4绕点〃旋转至切)位置，点

。在直线A3外，连接仞,网》.

图1图3

(1)如图1,求上4DB的大小；

(2)已知点D和边AC上的点E满足被，AD,DE//AB.

(i)如图2,连接8,求证：BD=CD；

(ii)如图3,连接BE,若AC=8,BC=6,求tan/ABE的值.

【详解】（1）解：VMX=MD=MB,C./.MAD=/.MDA.^MBD=乙MDB,

在乙ABD中，Z.MAD+4MDA+乙MBD+ZM£）B=18O°

.^ADB