2025年中考数学一轮复习：整式与因式分解（讲义）解析版

考点02.整式与因式分解(精讲)

【命题趋势】

整式与因式分解在各地中考数学中难度中下，每年考查3题左右，分值为12分左右，主要考查整式的

加减、乘除法则及幕的运算，难度一般不大，偶尔考察整式的基本概念。因式分解作为整式乘法的逆运算，

在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，难度不大。对于整式与

因式分解的复习，需要学生熟练掌握相关概念及运算法则等，探究与表达规律、乘法公式的相关运用偶尔

考查难度相对较大，望同学们多加注意！

【知识清单】

1：代数式的相关概念(☆☆)

(1)代数式：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做上数

(2)代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

2：整式的相关概念(☆☆☆)

(1)单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式

的次数，数字因数叫做单项式的系数。

(2)多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多

项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项。

(3)整式：单项式和多项式统称为整式。

3:整式的运算(☆☆☆)

(1)同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。

(2)整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

(3)募的运算：a"'-an=am+n；(am)"=a"'"；(ab)"=anbn；a"l^an=0

(4)整式的乘法：1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2)单项式与多项式相乘：“2(a+b+c)=ma+mb+mc..

3)多项式与多项式相乘：(机+〃)(a+b)=ma+mb+na+nb。

(5)乘法公式：(1)平方差公式：(a+加(“一〃)=6—/：(2)完全平方公式：

（a±6）2=/±2a6+/。

（6）整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的塞分别相除，作为商的因式：对于只在被

除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以

单项式，再把所得的商相加。

（7）整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面。

（8）探究与表达规律常见类型：

1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号〃之间的关系。

2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号〃之间的关系。

3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号〃之间的关系。

4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，

进而观察商和余数。

5）数形结合的规律：观察前〃项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。

4：因式分解（☆☆☆）

（1）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

（2）因式分解的基本方法：1）提取公因式法：ma+mb+me=m{a+b+c）-

2）运用公式法：平方差与完全平方公式；3）十字相乘：a1+^p+q）a+pq={a+p\a+q）-4）分组分解。

（3）分解因式的一般步骤：“一提二套三检查

1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项

时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式或十字相乘；为四项时，考虑利用分组的方法进行分

解；3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。

【易错点归纳】

1.规范书写格式：列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数

相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不

加括号，什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用.

2.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。如单项式-25x2/z4的次数是2+3+4=9。

3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式。

4.因式分解分解对象是多项式，分解结果必是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可。

【核心考点】

核心考点L代数式的相关概念

例1:（2023•吉林长春,统考中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加

了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟尤公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路

程为公里.（用含x的代数式表示）

【答案】（7.5-10力

【分析】根据题意列出代数式即可.

【详解】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为（7.5-10x）.故答案为：（7.5-lOx）.

【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意.

变式1.（2023•河北石家庄•统考三模）某校举办的知识竞赛，共10道题，规定答对一道题加尤分，答错一

道题（不答按错）扣（x-2）分，小明答错了2道题，他得到的分数是（）

A.6x+4B.6x—4C.8x+4D.8x—4

【答案】A

【分析】根据答对一道题加尤分，答错一道题（不答按错）扣（x-2）分列出代数式.

【详解】解：团共10道题，小明答错了2道题，回小明答对了10-2=8道题，

团他得到的分数是8x-2（x-2）=8x-2x+4=6x+4,故选:A

【点睛】本题考查了列代数式，理解题意，掌握去括号，合并同类项的运算法则是解题关键.

变式2.（2023•河北沧州•校考二模）甲、乙、丙三个盒中分别放有不同数量的棋子，其中甲盒中棋子个数

为加，乙盒中棋子的个数是甲盒中棋子个数的2倍，丙盒中棋子的个数比乙盒中棋子的个数少;.

QQQ

甲乙丙

（1）请用含加的代数式表示乙盒中棋子的个数;丙盒中棋子的个数;

（2）现从三个盒中分别拿出一些棋子后，使每个盒中剩下的棋子个数均相等，若从丙盒中拿出的棋子个

数比甲盒中拿出的棋子个数多3个，从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍，则从三个盒中共

拿出的棋子个数是.

4

【答案】2m—m21

【分析】（1）根据乙盒中棋子的个数是甲盒中棋子个数的2倍，丙盒中棋子的个数比乙盒中棋子的个数少

列出代数式即可；（2）根据从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍，得到盒子中剩余的棋

子数，进而得到从甲盒和丙盒中拿出的棋子个数，利用从丙盒中拿出的棋子个数比甲盒中拿出的棋子个数

多3个，列出方程进行求解，得出加的值，即可得出结果.

【详解】解：（1）由题意，得：乙盒中棋子的个数为：2m,丙盒中棋子的个数为：2Ml-=g%

4

故答案为：2m,-m；

（2）团从乙盒中拿出的棋子个数是其剩下棋子个数的2倍，

2412

团从乙盒中拿出的棋子数为：=乙盒中剩余的棋子的个数为：2m沾=衣,

3333

回每个盒中剩下的棋子个数均相等，

21422

国从甲盒中拿出的棋子个数为：=从丙盒中拿出的棋子个数为：=

17

团从丙盒中拿出的棋子个数比甲盒中拿出的棋子个数多3个，S-m+3=-m,解得：m=9,

14277

团从三个盒中共拿出的棋子个数是：-m+-m+-m=-m=-x9=21（个）；故答案为：21.

【点睛】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用.找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解

题的关键.

例2：（2023上•山东泰安•九年级校考期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入尤的值是T时，则

输出的y值等于

【答案】-2

【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型.

由题意输入x=l然后平方得一,然后再一如小于0,乘以（1+班），可得y的值.

【详解］解：当x=l时，%2-A/3=1-A/3<0,.-.^=（1-73）（1+73）=1-3=-2.故答案为：-2.

变式1.（2023•安徽•统考模拟预测）如图所示为一金字塔运算程序，其中箭头为数字的移动方向，字母表

示限制条件，序号为运算方式，己知〃：x>2；①：［x；b：y>l；②：/+1；5|z|>2；③：

z-j;d-.y<l；@：/-2j；e：|z|<4；f：X<2,若某层中的数字达到限制条件，就可以通过相

应的运算方式进入新一层，安安将输入的数字定为2,则最后输出的结果为()

3输入II输出

71

A.-5B.C.-芸D.无法得到

【答案】D

【分析】根据题意，进行计算即可求解.

【详解】解：输入是数字是x=2,符合条件x>2,进入第二层，

由①得，则丁=娶=&>1,符合条件匕：y>i,进入第三层，

2

由②丁+1得，Z=(A/2)+1=2+1=3>2,符合条件e：|z|<4,回到第一层，

第二次输入的数字是x=3,符合条件。：xN2,进入第二层，

贝|Jy=1=囱>l,符合条件"y>l,进入第三层

由②产+1得，z=3+l=4,符合条件c：忖22,返回第二层，

由③Z-5得，4一3=2,y>l,进入第三层

2

由②y2+i得，Z=2+1=5,符合条件c：忖22,返回第二层，

由③z-j得，5-|=|,y>l,进入第三层

由②产+1得，z=g+l=?,符合条件c：|z|>2,返回第二层,

〜z29

由③Z-1得，"_4="，y>i,进入第三层…

242~8

观察发现，数字越来越大，在第二、三层循环，故选：D.

【点睛】本题考查了实数的混合运算与程序设计，根据题意列出算式进行计算是解题的关键.

例3：（2023年山东省济宁市中考数学真题）已知实数加满足疗-m-1=0,则

2m3-3m2-m+9=•

【答案】8

【分析】由题意易得加-,〃=1,然后整体代入求值即可.

【详解】解：0m2-m-1=0,0m2—m=1,

02m3-3/n2-m+9=2m（ni1-nij-m"-m+9=2m-nr-m+9=m-nr+9=-（»r-m^+9=-1+9=8；

故答案为8.

【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值.

变式1.（2023年江苏省南通市中考数学真题）若片-44-12=0,则2/-8。-8的值为（）

A.24B.20C.18D.16

【答案】D

【分析】根据4-4“-12=0得至!］。2-4。=12,再将整体代入2a2-8〃一8中求值.

【详解】解：o2-4a-12=0,得4-4〃=12,2〃一8〃一8变形为2（〃-4①一8,

原式=2x12-8=16.故选：D.

【点睛】本题考查代数式求值，将2片-8“-8变形为2（/-4。）-8是解题的关键.

变式2.（2023•江苏泰州•统考中考真题）若2a-%+3=0,则2（2〃+6）-4）的值为.

【答案】-6

【分析】由2。一6+3=0,可得2a—6=—3,根据2（2。+3—46=2（2。一6）,计算求解即可.

【详解】解：由2a-6+3=0,可得2a-b=-3,

团2（2。+b）-46=4a+2》-46=4a-26=2（2。-b）=-6,

故答案为：-6.

【点睛】本题考查了代数式求值.解题的关键在于正确的运算.

核心考点2.整式的相关概念

例4：（2022・广东•中考真题）单项式3盯的系数为.

【答案】3

【分析】单项式中数字因数叫做单项式的系数，从而可得出答案.

【详解】3孙的系数是3,故答案为：3.

【点睛】此题考查了单项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式系数的定义.

变式1.（2023.广东•统考模拟预测）下列结论中正确的是（）

A.单项式车的系数是次数是4B.单项式机的次数是1,系数为0

C.多项式2/+盯2+3是二次三项式D.在L2元+y,-a2,2二上，半，0中整式有4个

x334x

【答案】D

【分析】根据单项式次数和系数的定义，多项式项和次数的定义，整式的定义进行求解即可.

【详解】解：A、单项式华的系数是次数是3,原结论错误，不符合题意；

B、单项式机的次数是1,系数为1,原结论错误，不符合题意；

C、多项式2x,+孙2+3是三次三项式，原结论错误，不符合题意；

D、在L2x+y,-a2,二，半，0中整式有2x+y,-a2,二和0,一共4个，原结论正确，符

x334x33

合题意；故选D.

【点睛】本题主要考查了单项式的次数、系数的定义，多项式的定义及其次数的定义，整式的定义，解题

的关键在于能够熟知相关定义.

变式2.（2020•四川绵阳市•中考真题）若多项式孙…+5-2谭尸+i是关于x,y的三次多项式，则机场=

【答案】0或8

【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案.

【详解】解：...多项式划叱”+（"-2）*y+1是关于x,y的三次多项式，

.•.71-2=0,1+1/71-n1=3,：.n=2,Im-1=2,

二.m—72=2或7篦=2,.,.机=4或机=0,\〃"?=0或8.故答案为：0或8.

【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键.

例5：（2023•广东东莞•统考一模）若-3x，"Ty2和92v是同类项，则”=—.

【答案】9

【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，先根据同类项的定义求出相和”的值，再把求得的加

和n的值代入所给代数式计算即可.

【详解】解：：-3产。2和gfy”是同类项，

：.〃?一1=2,〃=2.〃2=3,“=2.mn=32=9.故答案为：9.

变式1.（2022・湖南湘潭•中考真题）下列整式与a/为同类项的是（）

A.a2bB.-2ab2C.abD.ab2c

【答案】B

【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选

项求解.

【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1,b的指数是2.

A、a的指数是2,b的指数是1,与a/不是同类项,故选项不符合题意;

B、。的指数是1,b的指数是2,与而2是同类项，故选项符合题意;

C、。的指数是1,b的指数是1,与a/不是同类项,故选项不符合题意;

D、。的指数是1,b的指数是2,c的指数是1,与曲2不是同类项,故选项不符合题意.故选：B.

【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数

是否相同.

变式1.（2023•江苏•校考模拟预测）已知单项式2/ZT2m+7与3a2%"+2是同类项，则加+九=.

【答案】3

【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同），求出m,n的值，再代入代数式计算

即可.

【详解】解:回单项式2。4-2，"+7与3a2»"+2是同类项，回2m=4,n+2=-2m+7,

解得：m=2,n=l,则m+n=2+l=3.故答案是：3.

【点睛】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个"相同J相同字母的指数相同，是易混点.

核心考点3.整式的运算

例6：（2023•辽宁丹东•统考中考真题）下列运算正确的是（）

A.（3xy）2=9x2y2B.（力一=卜5c.x2-x1=2x2D.%6H-%2=X3

【答案】A

【分析】直接利用积的乘方运算法则以及累的乘方运算法则、同底数累的乘除运算法则分别化简，进而得

出答案.

【详解】解：A.(3冲)2=9/V，故此选项符合题意；B.(/)2=/,故此选项不合题意；

C.无2.炉=无4,故此选项不合题意；D.x6-x2=x4,故此选项不合题意.故选：A.

【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幕的乘方运算、同底数幕的乘除运算，正确掌握相关运算法则

是解题关键.

变式1.(2023•山东泰安・统考中考真题)下列运算正确的是()

A.1a+3b=5abB.(a-/?)2=a2-b2C.(ab2).="崂D.3a3■(—4a2J=-12a5

【答案】D

【分析】A、不能合并，本选项错误；B、利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断；C和D、利用

积的乘方及事的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断.

【详解】解：2a和36不是同类项，不能合并，故A选项错误，不符合题意；

222236

(a-b)=a-2ab+b,故B选项错误，不符合题意；(ab>)=ab,故C选项错误，不符合题意；

3a3.(Ta)=-126/5,故。选项正确，符合题意；故选：D.

【点睛】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幕的除法，积的乘方与累的乘方，熟练掌握完全

平方公式是解本题的关键.

变式2.(2023•浙江杭州•校考模拟预测)电子文件的大小常用8,KB,MB,GB等作为单位，其中

1GB=210MB,1MB=210KB,1KB^2l0B,某视频文件的大小约为1GB,1GB等于()

A.230BB.830Bc.Sxio105D.2X1030B

【答案】A

【分析】根据题意及嘉的运算法则即可求解.

【详解】依题意得1GB=210MB=210x2"KB=210x210x2i0B=230B故选A.

【点睛】此题主要考查幕的运算，解题的关键是熟知同底数幕的运算法则.

例7：(2023,湖南•统考中考真题)先化简，再求值：(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2,其中〃=-3力=g.

【答案］2a2-6ab，24

【分析】先展开，合并同类项，后代入计算即可.

【详解】(。一3Z?)(Q+3Z?)+(a—3Z?)2=a2-9b2+a2—6ab+9b2=2a2-6ab

i9i

当a=—3,。=§时，原式=2x(—3)—6x(—3)x—=24.

【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握两个公式是解题的关键.

变式1.(2023•山东青岛・统考中考真题)计算：8尤3>+(2%)2=.

【答案】2到

【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可.

【详解】解：原式=8V产4/=2孙，故答案为：2孙.

【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

变式2.(2023•陕西西安•校考二模)先化简，再求值：［(x+2y)(x-2y)+(x+2y『-2孙卜2x,其中％=5,

y=-8.

【答案】x+y,-3

【分析】先利用完全平方公式，平方差公式与单项式乘多项式运算法则去掉括号，然后再合并同列项计

算，最后代入x,y计算即可.

【详解］解：［(x+2y)(x-2y)+(x+2y『-2孙卜2x=(x2-4y2+x2+4xy+4y2-2xy^2x=(2x2+2xyj-=-2x=X+y,

当X=5,y=-8时，原式=5+(-8)=-3.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则.

例8：(2023年江苏省镇江市中考数学真题)如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5

个，先从甲袋中取出2'个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2、+2，)个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个

球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于()

丙袋

甲袋乙袋

A.128B.64C.32D.16

【答案】A

【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出232,，最后逆

用同底数暴相乘法则求出答案.

【详解】调整后，甲袋中有(29-2*+2，)个球，29+2*-2,-2K=29-2,，乙袋中有(29-2，)个球，

5+2*+2,-2y=5+2*，丙袋中有（5+2”）个球.

团一共有29+29+5=63（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，

回调整后每只袋中有63+3=21（个）球，

回5+2*=21，29-2'=21，02"=16,2〉=8,

回2g=2*2V=16x8=128.故选：A.

【点睛】本题考查了塞的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键.

变式1.（2023・四川乐山・统考中考真题）若相、"满足3m-〃一4=0,则8Ml+2"=.

【答案】16

【分析】先将已知3〃?-4=0变形为3〃L〃=4,再将8"'+2"变形为23gS然后整体代入即可.

【详解】解：—M—4=0133m—n=4

08m+2"=（23-2"=23m4-2"=23m-"=24=16故答案为：16.

【点睛】本题考查代数式值，幕的乘方和同底数幕除法，熟练掌握幕的乘方和同底数幕除法法则是解题的

关键.

变式2.（2023.江苏•校考模拟预测）己知（x-2广=1,则x的值为—.

【答案】-1,1,3

【分析】由已知可分三种情况：当x+l=0时，x=-l；当x-2=l时，x=3；当x-2=-l时，x=l,此

时x+l=2,等式成立.

【详解】解：0（x-2）'+1=1,当龙+1=0时，x=-l；当％—2=1时，x=3；

当x-2=-l时，x=l,此时x+l=2,等式成立；故答案为：-1,1,3.

【点睛】本题考查有理数的乘方；熟练掌握有理数的乘方的性质，切勿遗漏零指数幕的情况是解题关键.

变式3.（2022・湖南长沙,中考真题）当今大数据时代，"二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特

点，它己被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠"疫情防控期间，区区"二维码”己经展现出无

穷威力.看似"码码相同"，实则"码码不同通常，一个"二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，

其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据

相关数学知识，这200个方格可以生成22°°个不同的数据二维码，现有四名网友对2,。。的理解如下：

FTOS（永远的神）：22°°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

DDDD（懂的都懂）：22°°等于2002；

（觉醒年代）：22°°的个位数字是6；

QGIW（强国有我）：我知道2K'=1024,103=1000,所以我估计2?°°比1O60大.

其中对2200的理解错误的网友是(填写网名字母代号).

【答案】DDDD

【分析】根据乘方的含义即可判断1TDS(永远的神)的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将22°°化为

(2100)2,再与2(疗比较，即可判断。(懂的都懂)的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律

即可判断JXND(觉醒年代)的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得22。。=(21°产,1。6。=(103严，即可

判断。G1W(强国有我)的理解是正确的.

【详解】2?0°是200个2相乘，FTOS(永远的神)的理解是正确的；

2?。。=⑵。。>/2002,DDDD(懂的都懂)的理解是错误的；

2]=2,22=4,23=8,24=16,25=32...,2的乘方的个位数字4个一循环,

...200+4=50,2?°°的个位数字是6,JXN。(觉醒年代)的理解是正确的；

•1-2200=(210)20,10S0=(1O3)20,210=1024,103=1000,且*>1()3

2200>1060,故。GKW(强国有我)的理解是正确的；故答案为：DDDD.

【点睛】本题考查乘方的含义，幕的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题关

键.

例9：(2023•江苏宿迁•统考中考真题)若实数机满足(m-2023)2+(2024-租I=2025,则

(771-2023)(2024-/71)=.

【答案】-1012

【分析】根据完全平方公式得

2(m-2023)(2024-m)=[(加—2023)+(2024-2023)2+(2024-rri)2],再代值计算即可.

【详解】解：V(m-2023)2+(2024-m)2=2025

2(m-2023)(2024-m)=[(/n-2023)+(2024-ni)f-[(/n-2023)2+(2024-m)2]=1-2025=-2024

:\m-2023)(2024-zn)=-1012故答案为：-1012.

【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式(。±6)2=/±2必+。2及其变式

是解题本题的关键.

变式1.(2023年四川省凉山州数学中考真题)已知/-〃9+1是完全平方式，则加的值是.

【答案】±2

【分析】根据=4±2"+。2,计算求解即可.

【详解】解：回Vy+1是完全平方式，

团-m=±2,解得机=±2,故答案为：±2.

【点睛】本题考查了完全平方公式.解题的关键在于熟练掌握：5±6）2=片±2^+6?.

变式2.（2022•黑龙江大庆•中考真题）已知代数式片+（2”1）必+4/是一个完全平方式，则实数/的值为

【答案】|5■或3

22

【分析】直接利用完全平方公式求解.

【详解】解：团代数式6+（2-1）2+4〃是一个完全平方式，

回片+⑵-1）必+4/=/+2.°.（±26）+（±26）2=（°土,

回2-1=±4,解得r=三5或七二3，故答案为：5］或-3；

2222

【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键.

变式3.（2023年河北省中考数学真题）若左为任意整数，贝。（2左+3）2-4/的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

【答案】B

【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式.

【详解】解：（2左+3尸一4/=（2左+3+2左）（2左+3-2Q=3（4左+3）,

3（4左+3）能被3整除,回（24+3>-软2的值总能被3整除，故选:B.

【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为"-^=5一加口+切通过因式分解，可以把多项式

分解成若干个整式乘积的形式.

例10：（2023年四川省攀枝花市中考数学真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等

式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式：

①(a+匕J=4。+2ab+b1

③(a+b^a—b)=a2

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案.

【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D.

【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积.

变式L（2023年湖北省随州市中考数学真题）设有边长分别为。和仇。＞切的A类和8类正方形纸片、长

为。宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为。的正方形，需要1张A类纸片、1张B

类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为为+6、宽为2a+»的矩形，则需要C类纸片的张数为（）

9

【答案】C

【分析】计算出长为（3。+3，宽为（2a+助）的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可

看出应当需要各类卡片多少张.

【详解】解：长为（3。+6）,宽为（2a+2b）的大长方形的面积为：（3。+6）（2。+力）=6/+»2+8"；

需要6张A卡片，2张8卡片和8张C卡片.故选：C.

【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解（3a+3（2a+%）结果中必项的系

数即为需要C类卡片的张数.

变式2.（2022・湖北随州•中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史

的一个里程碑.在该书的第2幕"几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几

何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

⑴我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下

面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：［a+b+c^d-ad+bd+cd公式②：（a+b^c+d）=ac+ad+bc+bd

公式③：［a-b）"=a2-2ab+b2公式④：（a+Z?）*=a2+2ab+b2

图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式；

⑵《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（。+3（。-6）=/-廿的方法，如图5,请写出

证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

图5

⑶如图6,在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,。为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重

合），过点E作EG,3c于点G,作团，ADF点，过点B作BF〃AC交EG的延长线于点F.记ABFG与

△CEG的面积之和为A,MBD与4AEH的面积之和为S2.

①若E为边AC的中点，则今的值为;②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？

若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由.

【答案】⑴①，②，④，③⑵证明见解析⑶①2②结论仍成立，理由见解析

【分析】（1）观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；

（2）根据面积关系：矩形AKHD面积=矩形AKLC面积+矩形CLHD面积=矩形D8FG面积+矩形CLHD面积=

正方形BCEF面积一正方形LEGH面积，即可证明；（3）①由题意可得AABD,6.AEH,LCEG,ZkBFG都是等

腰直角三角形，四边形OGEH是正方形，设8D=a,从而用含。的代数式表示出S、52进行计算即可；②由

题意可得△"£>,4AEH,LCEG,ABFG都是等腰直角三角形，四边形DGE”是矩形，设BD=a,DG=b,从而

用含。、b的代数式表示出S、S2进行计算即可.

⑴解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；

故答案为：①，②，④，③；

（2）解：由图可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a—b,

S矩形AKLC=S矩形DBFG=。（。一少），S矩形AKHD=S矩形AKZC+5矩形CZHD，

,•S矩形AKHD=S矩形0BFG+S矩形CIHD=$正方形BCEF-S正方形=〃一^'

又：S卿c=(a+3(a—6),(a+b)(a-b)=a2-b2；

(3)解：①由题意可得：4ABD,4AEH,4CEG,ABFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是正方形，设

113

BD=a,：.AD=BD=a,AH=HE=DG=-a,EG=CG=—a,FG=BG=-a,

222

邑=S"BD+%EH=9+夕（/）=|«2-/,^=2;故答案为：2；

②成立，证明如下：由题意可得：AABD,AAEH,ACEG,ABFG都是等腰直角三角形，四边形DGEH是矩

形，设BD=a,DG=b,：.AD=BD=a,AH=HE=DG=b,EG=CG=a-b,FG=BG=a+b,

11222

「・E=SABFG+S/\CEG=5（。+b¥+-（^a-b）=a+b,

iiiS

$2=^AABD+^AAEH=~^=3（"+/）,1.7=2仍成以

2ZZ。2

【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图形,

通过图形面积解决问题是解题的关键.

例11:（2023•四川德阳•统考中考真题）在"点燃我的梦想，数学皆有可衡"数学创新设计活动中，"智多星"

小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式如〃按如下规律进行操作：

第1次操作后得到整式串加，n,n-m.第2次操作后得到整式串n,n-m,-m.第3次操作后…

其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动

命名为"回头差”游戏.则该"回头差"游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（）

A.m+nB.mC.n-mD.2n

【答案】D

【分析】先逐步分析前面5次操作，可得整式串每四次一循环，再求解第四次操作后所有的整式之和为：

m+n+n-m-m—n-n+m=0,结合2023+4=505一-3，从而可得答案.

【详解】解：第1次操作后得到整式串的n,n-m.

第2次操作后得到整式串机，w,-m.

第3次操作后得到整式串机，“，n-m,-m,-n.

第4次操作后得到整式串根，n,n-m,-m,-n,-n+m.

第5次操作后得到整式串机，n,n-m,-m,-n,-n+m,m....

归纳可得：以上整式串每六次一循环，

团2023+6=337-1,回第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等，

团这个和为加+〃+"-a=2”,故选D

【点睛】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运

用是解本题的关键.

变式1.（2023年湖南省岳阳市中考数学真题）观察下列式子：

l2-l=lx0;22—2=2x1;32-3=3X2;42-4=4X3;52-5=5X4;...

依此规律，则第”（〃为正整数）个等式是.

【答案】"一〃=〃（〃一1）

【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1,即可求解.

【详解】解：回12_1=卜0;22—2=2x1；3?-3=3x2;42-4=4x3;52-5=5x4：...

团第"（"为正整数）个等式是"一〃=〃（〃一1）,故答案为：〃2-〃="（〃一1）.

【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键.

变式2.（2023年湖南省常德市中考数学真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规

律，分数若排在第。行匕列，贝腐-6的值为（）

1

1

j_2

27

£23

321

1224

432T

A.2003B.2004C.2022D.2023

【答案】C

【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数

一致.

【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数

20-19

一致，故旧而在第2°列，即5=2°；向前递推到第1列时，分数为故分数而与分

2023+19一2042

数」一在同一行.即在第2042行，贝l]a=2042.Ela—6=2042-20=2022.故选：C.

2042

【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性.

变式3.(2023年黑龙江省大庆市中考数学真题)1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算

法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角

1

11(a+b)x=a+b

121(a+b)1=a1+2ab+b2

1331(a+b)i=ai+,ia1b+3ab2+bi

14641(a+by=a4+Aa2b2+6a2b2+4ab3+b4

观察"杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(。+初7展开的多项式中各项系数之和为_.

【答案】128

【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果.

【详解】根据题意得：(。+域展开后系数为：1,5,10,10,5,1,系数和：1+5+10+10+5+1=32=25,

(a+b)6展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1,系数和：1+6+15+20+15+6+1=64=26,

"展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1,系数和：1+7+21+35+35+21+7+1=128=27,故答案:

128.

【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清系数中的规律.

例12：（2023年四川省绵阳市中考数学真题）如下图，将形状、大小完全相同的"•"和线段按照一定规律

摆成以下图形，第1幅图形中"•"的个数为由,第2幅图形中"•"的个数为出，第3幅图形中"•"的个数为

以此类推,那么:+看+1+…+/的值为（）

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

【答案】C

【分析】首先根据图形中"•"的个数得出数字变化规律，进而求解即可.

【详解】解：q=3=l?3,a2=8=2?4,a3=15=3?5,q=24=4?6,…，an=/7（M+2）；

团1----1F•••H=1-----1-----1-----F…-I-------

%4%%9卜32x43x54x619x21

1^111111111八111、589…

2132435461921J2^22021J840

【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解题的关键.

变式1.（2023年重庆市中考数学真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆

圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排

列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）

OOOOOO

OOOOOOOOOOOOOO...

OOOOOO

（1）（2）（3）（4）

A.14B.20C.23D.26

【答案】B

【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.

【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2=3x1-1；

第②个图案中有5个圆圈，5=3x2-1；

第③个图案中有8个圆圈，8=3x3-l；

第④个图案中有11个圆圈，11=3x4-1；…，

所以第⑦个图案中圆圈的个数为3x7-1=20；故选：B.

【点睛】本题考查图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第〃个图案的规律为3〃-1是解题关

键.

变式2.（2023年黑龙江省绥化市中考数学真题）在求1+2+3+……+100的值时，发现：1+100=101,

2+99=101……,从而得到1+2+3+…+100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个

三角形，记作%=1;分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作。2=5；再分别连接

图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）,有9个三角形，记作/=9;按此方法继续下去，则

【分析】根据题意得出q=1+4（〃-1）=4几-3,进而即可求解.

【详解】解:依题意，q=1,%=5,%=9,…，an=l+4（«-l）=4n-3,

1A1/）-3

自q+%+%+......+a„==——-——〃故答案为：

【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键.

例13：（202”湖北鄂州市•中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数

之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题.

猜想发现：由5+5=2^^?=10；|+1=2^|x|=|；0.4+0.4=210.4x02=0.8；

—F5〉2.।-x5=2；0.2+3.2>2,0.2x3.2=1.6；—I—〉2.—x—=—

5V528V282

猜想：如果a〉0,b>0,那么存在a+bN2j茄（当且仅当a=b时等号成立）.

猜想证明：>0

团①当且仅当—=0,即i=时，a—2y[ab+Z?=0，^a+b=2y[ab;

②当y[a-y[bw0，即"i〃时，a—2yfab+b>0»回a+b>2y[ab.

综合上述可得：若a〉0,b>0,则o+益成立（当日仅当。二人时