2025年新高考数学一轮复习：新情景、新定义下的数列问题（七大题型）（学生版+解析）

拔高点突破01新情景、新定义下的数列问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：牛顿数列问题............................................................3

题型二：高考真题下的数列新定义..................................................4

题型三：数列定义新概念..........................................................6

题型四：数列定义新运算..........................................................7

题型五：数列定义新情景..........................................................9

题型六：差分数列、对称数列.....................................................10

题型七：非典型新定义数列.......................................................11

03过关测试....................................................................13

方法技巧旦

1、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以

简单运用的能力，考查了学生探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理

解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、套路总

结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题.

2、解答与数列有关的新定义问题的策略：

(1)通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问

题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移,

达到灵活解题的目的.

(2)遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的

要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.

(3)类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.

题型归赢总结

题型一：牛顿数列问题

【典例1-1](2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)牛顿选代法又称牛顿一拉夫逊方法，它是牛顿在17世

纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数了=/(x)的一个零点,

任意选取％作为r的初始近似值，在点(%,/(%))作曲线了=/(无)的切线4,设与4轴x交点的横坐标为看,

并称不为r的1次近似值；在点(占,〃网))作曲线y=f(x)的切线加设与4轴x交点的横坐标为巧，称巧

为，•的2次近似值.一般地，在点(x„,/(x„))(«eN)作曲线y=/(x)的切线1词,记/„+1与x轴交点的横坐标

为K，并称x用为：•的”+1次近似直设/'(x)=x3+x-3(x20)的零点为八取%=0,则厂的1次近似值

为—；若匕为r的力次近似值，设%=安力，〃eN*,数列｛%｝的前〃项积为人若任意〃eN*,

+3

北>2恒成立，则整数2的最大值为

【典例1-2】记R上的可导函数/卜)的导函数为尸⑺，满足怎「斗6N*)的数列｛xj称为函

数;'(x)的“牛顿数列”.已知数列｛%｝为函数/(x)=--x的牛顿数列，且数列｛%｝满足

=2,a,=ln—,x„>1.

x“-l

(1)证明数列｛%｝是等比数列并求。“；

(2)设数列｛%｝的前n项和为，，若不等式(-1)--tS„-\4<S^对任意的〃eN*恒成立，求t的取值范围.

【变式1-1】英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广

〃x,)

泛，若数列｛%｝满足则称数列｛%｝为牛顿数列，如果/d-x-2,数列｛七｝为牛

顿数列，设a“=ln」^且％=1,%>2,数列｛%｝的前〃项和为S,,贝1］邑。22=()

怎一,

A.22022-1B.22022-2C.D.

【变式1-2】科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数

“X")

「(X),若数列｛%｝满足X.M则称数列"“｝为牛顿数列，若函数/(x)=f,数列"“｝为牛顿

小)'

数列且再=2,%=log2xw,则%的值是()

A.8B.2C.-6D.-4

题型二：高考真题下的数列新定义

【典例2-1】(2024•北京・高考真题)已知集合

〃=｛亿/,左,刈卜€｛1,2｝,/€｛3,4｝,左€｛5,6｝,雁｛7,8｝,且7+/+左+叩为偶数｝.给定数列/：%,%，…,如，和序

列…&其中3吗)eM«=l,2,…,s),对数列A进行如下变换：将A的第％,九人,“项均

加1,其余项不变，得到的数列记作((⑷；将4(/)的第%,上，后2,叫项均加1，其余项不变，得到数列记作

砧⑷;……;以此类推，得到［…也⑷，简记为。⑷.

⑴给定数列41,3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出。(N)；

(2)是否存在序列O,使得。(/)为%+2,%+6,%+4,。4+2,。5+8,&+2,。7+4,。8+4,若存在，写出一个符

合条件的。；若不存在，请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且%+%+%+%为偶数，求证：“存在序列。，使得。(4)的各项都相等”

的充要条件为“%+%=。3+%=。5+。6=%+%

【典例2-2］(2024•全国•高考真题)设加为正整数,数列％，&，…,&"+2是公差不为0的等差数列，若从中

删去两项%和a.(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

%，。2,…，。4"+2是0>7)-可分数列.

(1)写出所有的亿/),14，</46,使数列4,02,…,必是亿))-可分数列；

⑵当〃亚3时，证明：数列4,电,…，。.+2是(2,13)-可分数列；

⑶从1,2,...,4机+2中一次任取两个数i和/«</),记数列%，电，…,~+2是亿/)-可分数列的概率为乙，证

明：2>(.

O

【变式2-1](2023•北京・高考真题)已知数列｛%｝,｛〃｝的项数均为加(加>2),且

%也e｛1,2,…,加｝,｛叫,也｝的前〃项和分别为纥,并规定4=综=0.对于左e｛0,1,2,…，加｝,定义

〃=max8q44，ie｛0,L2「、加｝｝,其中，maxM表示数集M中最大的数.

⑴若%=2,出=1，的=3,4=1也=3也=3,求％，小%,々的值；

(2)若626],且2。<5]+K,/=1,2,…,优-1,,求心；

(3)证明：存在R,g,SJe｛0,l,2,…,加｝,满足。>g,s>/,使得4?+』=4+及.

【变式2-2](2022.北京・高考真题)已知。:％,七，…,g为有穷整数数列.给定正整数〃?，若对任意的

〃e｛l,2,…,加｝,在。中存在a”%,%,…吗+式上0),使得%+*+\+2+…+%+广〃，则称。为加一连续

可表数列.

⑴判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(2)若。：4吗，…S为8-连续可表数列,求证:左的最小值为4；

(3)若。：％,4,…S为20-连续可表数列,且为+出+…+对<20,求证:k>1.

【变式2-3](2021•北京・高考真题)设p为实数.若无穷数列｛%｝满足如下三个性质，则称｛%｝为况.

数列：

①q+?20,且％+P=0;

②明=1,2,…)；

@am+n&{am+a„+p,am+an+p+l},(加,"=1,2,…).

(1)如果数列｛4｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能为况2数列？说明理由；

(2)若数列｛4｝是况。数列，求。5；

(3)设数列｛%｝的前〃项和为E,.是否存在况.数列｛%｝,使得S“'品，恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，说明理由.

题型三：数列定义新概念

【典例3-1】(2024•广东•模拟预测)定义：任取数列｛。,｝中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1,

则称数列｛%｝具有“性质1”.已知项数为〃的数列｛。“｝的所有项的和为且数列｛%｝具有“性质1”.

(1)若"=4,且％=0,%=T,写出所有可能的的值；

(2)若％=2024,〃=2023,证明：“?023=2"是"%>一(左=1,2,…,2022)”的充要条件；

⑶若为=0,”W2,%=0,证明：〃=4加或〃=4%+1(机eN*).

【典例3-2】对任意正整数〃，定义〃的丰度指数/(〃)=电口，其中$(〃)为"的所有正因数的和.

n

⑴求/⑻的值：

(2)若％=/(2"),求数列｛加〃｝的前〃项和1

(3)对互不相等的质数。,加,〃，证明：/(0%〃)=/仅3)/(加)/附，并求/(2024)的值.

【变式3-1](2024•重庆•模拟预测)对于数列｛%｝,定义=%+「%(〃eN*),满足

%=a2=1,A(Aa„)=m(meR),记/(私〃)=%%+电/+…+。产"，称/(办〃)为由数列｛4,｝生成的“加一函

(1)试写出“2-函数”/(2,〃)，并求"2,3)的值;

⑵若“1-函数求〃的最大值；

(3)记函数50)=%+2,+—+内〃，其导函数为S'(x),证明：“加一函数”

2an

=(m)———S(叫+(m+lRm.

22；=i

【变式3-2](2024•甘肃张掖•模拟预测)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形

成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到

数列1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列14,3,5,2,7,5,8,3.设数列。，4c经过”次“和扩充”后得到的数列

的项数为耳,，所有项的和为5“.

(1)若a=2,6=3,c=4,求£,$2；

(2)求不等式月22024的解集；

(3)是否存在数列a,6,c(a,瓦ceR),使得数列阻｝为等比数列？请说明理由.

题型四：数列定义新运算

【典例4-1](2024•吉林长春•模拟预测)记集合S=｛｛4｝|无穷数列｛%｝中存在有限项不为零，〃eN*｝,

对任意｛qJeS,设0(｛%｝)=%+电工+…+。/1+…,xeR.定义运算区:若｛%｝,也JeS,贝l]

｛%｝到“｝eS,且9(｛a“｝必也｝)=0(｛%｝)—(也｝).

⑴设｛%｝®也｝=｛♦"｝，用％,电，%，4也也表示4；

⑵若｛/｝，也｝，匕｝小，证明：(｛。“烟也｝)到%｝=｛氏通他｝到加｝)：

(»+1)2+1<<k1丫。3f<<

(3)若数列｛%｝满足%=+数列也J满足"=⑸，14〃V500,设

0,«>100|0,〃>500

｛%｝®｛"｝=｛""｝，证明：^200<1.

【典例4-2】(2024•浙江杭州•三模)卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应

用.一般地，对无穷数列{叫，{〃},定义无穷数列也+修(〃€此)，记作{%}*{，}={，"},称为

左=1

{%}与{"}的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即{c“}中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对

角线上元素的和，易知有交换律{叫*也}=也}*{叫.

⑴若。"=",。=2",{%}*{4}={c”},求G，c2,c3,c4；

(2)对z*N+，定义4{%}如下：①当i=l时，[{%}={%}；②当时，4{%}为满足通项

>.的数列⑷，即将包}的每一项向后平移一项，前一项都取为0.试找到数列僧,

使得代卜{•〃}=[{%};

(3)若%=〃,{%}*{4}={c"},证明：当〃23时，bn=C„-2C„_1+C„_2.

【变式4-1](2024•山东青岛•一模)记集合5={{。"}|无穷数列{%}中存在有限项不为零，〃eN*},对

任意{%}eS,设变换/({%})=%+?》+・一+%/1+…，尤eR.定义运算B：若m}，也}eS,贝!]

{叫到“}eS,/({%2也})=/({。力./({»}).

⑴若{%}区也,}={叫j,用％,%,生,%,4也,a也表示加一

⑵证明：(m}⑤抄“})到%}=m}例低}⑤K})；

5+1)2+1/1丫眸"

⑶右a“=jw(w+l)，,{4}={%}到，}，证明：d200<-.

0，«>100限〃>500一

【变式4-2］任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上

述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-231.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称

“角谷猜想”）.如取正整数=6,根据上述运算法则得出6-3-10-5-16-＞8-4-2-1,共需经过

8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列｛4｝满足：（m

绘当a为偶数时

为正整数），。用=2'"'当m=3时，％+2+6+…+4。=（）

3a“+1,当/为奇数时

A.170B.168C.130D.172

题型五：数列定义新情景

【典例5-1］（多选题）（2024•山东青岛•三模）若有穷整数数列4：%,%（让3）满足：

e｛T，2｝（i=l,2,…，〃一1）,且%=%=0,则称具有性质T.则（）

A.存在具有性质7的4

B.存在具有性质T的4

C.若4o具有性质T,则％,电,L,。9中至少有两项相同

D.存在正整数左，使得对任意具有性质T的4,有为，t中任意两项均不相同

【典例5-2］（2024•河南•二模）已知无穷数列｛%｝是首项为1,各项均为正整数的递增数列，集合

N=,eN*|4“＜太＜%+1,〃eN*｝,若对于集合A中的元素无，数列｛%｝中存在不相同的项%…，气，使

得气+瞋+…+%=左，则称数列｛叫具有性质N团,记集合8=｛用数列｛%｝具有性质N㈤｝.

/、f2M-1,77＜4,、/\

（1）若数列｛%｝的通项公式为%=〃+6；＞4，判断数列｛%｝是否具有性质"优），若具有，写出集合A与

集合8；

（2）已知数列｛%｝具有性质N（k）且集合A中的最小元素为，.集合B中的最小元素为s,当此3时，证明：

t=s.

【变式5-1］（2024•北京东城•二模）已知4：。/2，一-当（〃23）为有穷整数数列，若4满足：

e｛p,q｝（i=l,2,…,,其中乙是两个给定的不同非零整数，且为=*=0,则称4具有性质

T.

(1)若p=-l,q=2,那么是否存在具有性质7的4?若存在，写出一个这样的应；若不存在，请说明理

由；

⑵若P=T,q=2,且4o具有性质T，求证：％,为，L,%中必有两项相同；

(3)若。+4=1,求证：存在正整数左，使得对任意具有性质T的4,都有色,出，…吗t中任意两项均不相同.

【变式5-2］(2024•北京朝阳•一模)若有穷自然数数列A：…,%(〃22)满足如下两个性质，则称

A为纥数列：

①为上max｛q+ai，a2+a"2,…，久-1+%｝(左=2,3,…,〃)，其中，11«1*｛再,_¥2广、尤1!｝表示尤1#2/一,5,这s个数

中最大的数；

②0斤4min｛q+/-2,…，+%｝+1(左=2,3,…，其中，minH，/,…,xj表示再广?,,这s个

数中最小的数.

(1)判断A：2,4,6,7,10是否为区数列，说明理由；

(2)右A：%,。2,…,“6是线数列，且,。2,。3成等比数列，求。6；

(3)证明：对任意纥数列A：6，出,…,％(后2),存在实数人使得4=陷］住=1,2,①］表示不超

过x的最大整数)

题型六：差分数列、对称数列

【典例6-1】(多选题)如果项数有限的数列｛叫满足4=%+申=1,2…川，则称其为“对称数列”，设也｝

是项数为24-l(AeN*)的“对称数列”，其中4,bk+l,…，砥7是首项为50,公差为-4的等差数列，则

()

A.若左=12,则々=10B.若左=14,则也｝所有项的和为622

C.当左=13时，也｝所有项的和最大D.｛，｝所有项的和不可能为。

【典例6-2］若项数为〃的数列｛叫满足：％=%_,«=1,2,3,…，刈我们称其为〃项的“对称数列”.例如：

数列122,1为4项的“对称数列”；数列123,2,1为5项的“对称数列”.设数列k｝为2后+1项的“对称数列”，

其中卬C2…4H是公差为2的等差数列，数列｛&｝的最大项等于8,记数列｛&｝的前2左+1项和为星I，若

=32,贝I」后=___.

【变式6-1]（2024•四川南充•三模）对于数列｛%｝,规定为数列｛%｝的一阶差分，其中

HGN

A«„=a„+1-«„（T规定为数列｛%｝的左阶差分，其中eN*）.若

,="（1）（2〃-1）,则相一（）

6

A.7B.9C.11D.13

【变式6-2]（2024•四川南充•三模）对于数列｛%｝,规定为数列｛%｝的一阶差分，其中

kk

A«„=«„+1-a„（«eN*）,规定Na,为数列上｝的阶左差分，其中Aa„=A-'an+l-（〃eN*）.若

a=〃（"T）（2"T）,则△&=（）

〃6

A.7B.9C.11D.13

题型七：非典型新定义数列

"11"12…a\n

da•..a

【典例7-1]（2024•黑龙江•模拟预测）已知“行〃列（〃22）的数表4=::..:"中，满足：

\"〃1an2…ann>

°产｛0,1｝,（，,/=1,2,-一,"）.若数表人满足当%=0时，总有5>“+£%*,则称此数表A为典型数表,

i=l

此时记工=££凡.

1=1j=l

,、fooi0

’1on

⑴若数表河=001，N=：：；：,请直接写出M,N是否是典型数表；

、01”

'711100）

⑵当"=8时，是否存在典型数表/使得$8=31,若存在，请写出一个数表出若不存在，请说明理由；

（3）若数表N为典型数表，求A的最小值（直接写出结果，不需要证明）.

/

石［x12

【典例7-2]（2024•辽宁葫芦岛•二模）设数阵X。=其中xn,x12,x21,x22e{1,2,3,4,5,6}.设

X22

B=｛ni,n2,---,nk｝c｛1,2,3,4,5,6｝,其中％,左eN*且左V6.定义变换为“对于数阵的每一列,

若其中有/或T，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有「且没有T,则这一列中每个数都乘以-1”

•=勺-％),河5(4)表示“将士经过其多变换得到'，再将X]经过跖7?变换得到工，…，以此

类推，最后将A-1经过变换得到%.记数阵七中四个数的和为〃(X。).

⑴若5=｛2,5｝,写出X。经过此变换后得到的数阵并求，(X。)的值；

⑵若8=%,〃2，%｝，求〃(X。)的所有可能取值的和；

(3)对任意确定的一个数阵X。，证明：,(X。)的所有可能取值的和不大于一8.

【变式7-1】己知无穷数列｛%｝,给出以下定义：对于任意的〃eN*,都有。“+%+222%+「则称数列｛%｝

为“T数列”；特别地，对于任意的“eN*,都有氏+。“+2>2°用，则称数列｛4｝为“严格T数列”.

⑴已知数列｛叫，也｝的前〃项和分别为4,纥,且％=2〃-1,—试判断数列｛4｝，数列｛纥｝

是否为“T数列”，并说明理由；

(2)证明：数列｛%｝为“T数列”的充要条件是“对于任意的左，m,„eN\当人<能<"时，有

n

[n-m)ak+(m-k)an>(n-k)am-

(3)已知数列也｝为“严格T数列”，且对任意的〃cN*,»eZ,(=-8,如=-8.求数列出｝的最小项的

最大值.

【变式7-2](2024•山东泰安•模拟预测)已知数列｛%｝是斐波那契数列，其数值为：

1,1,2,3,5,8,13,21,34…….这一数列以如下递推的方法定义：%=1，%=1，。厘=+。"("eN*).数列也｝

对于确定的正整数左，若存在正整数〃使得4+“=4+6,成立，则称数列也,｝为“左阶可分拆数列”.

(1)已知数列｛g｝满足g=Ma,(〃eN*,meR).判断是否对V/weR,总存在确定的正整数左，使得数列｛qj

为“左阶可分拆数列”，并说明理由.

(2)设数列｛《,｝的前〃项和为S,=3"-a20),

(i)若数列｛服｝为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数。的值;

（ii）在⑴问的前提下，若数列｛力｝满足，（，〃eN*，其前〃项和为&证明：当〃eN*且“23时,

Tn<af+q；+a；+........+Q；—+1成乂.

0

;寸羊涮住

,八J\

1.（2024•浙江绍兴•三模）设ow%2c…<%9<%oo<1，已知。.+1230,（14〃499）,若

max｛%+「%｝2机恒成立，则冽的取值范围为（）

A.m<—B.m<—

93

24

C.m<—D.m<—

39

2.（2024•上海•模拟预测）已知数列｛%｝不是常数列，前"项和为S”，且为>0.若对任意正整数〃，存

在正整数加，使得寓则称｛%｝是“可控数列”.现给出两个命题：①存在等差数列｛4｝是“可控数

列”；②存在等比数列｛%｝是“可控数列”.则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

3.数列｛%｝的前〃项和为S“，若数列｛%｝与函数/（尤）满足：①/（x）的定义域为R;②数列｛%｝与函数

/（X）均单调增；③存在正整数〃，使$“=/（%）成立，则称数列｛与｝与函数f（x）具有“单调偶遇关系，，.给

出下列两个命题：（）

①与数列｛2〃+1｝具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；

②与数列｛2"｝具有"单调偶遇关系”的函数有无数个.

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

4.（多选题）（2024•湖南衡阳•模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价

格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数使得对一

切正整数“，都有㈤则称｛%｝为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷

大）的数列称为收敛数列，如数列。”=）,显然对一切正整数〃都有而:的极限为0,即数列｛0“｝

既有界也收敛.如数列〃=（-1）”，显然对一切正整数”都有同VI,但不存在极限，即数列也｝有界但不收

敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（）

A.an=sinlrm+—1B.〃及=cos]〃兀+万J

.「叫

_c々an-\sin〃兀+一

C.=2,<72=3,an—D.I2）

an-2an=

n

Q—a

5.（多选题）（2024•江苏南通•模拟预测）在数列｛%｝中，若对V“eN*,都有用_角=4（9为常数）,

an+\~an

则称数列｛%｝为“等差比数列”，q为公差比，设数列｛%｝的前"项和是S“，则下列说法一定正确的是（）

A.等差数列｛。“｝是等差比数列

B.若等比数列｛。“｝是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同

C.若数列｛S,J是等差比数列，则数列｛凡+J是等比数列

D.若数列｛。〃｝是等比数列，则数列｛S,｝等差比数列

6.（多选题）（2024•山东烟台•一模）给定数列｛%｝,定义差分运算：

A。,,=%+/%△%N".若数列｛%｝满足%=/+〃，数列｛"｝的首项为1,且

M,=,+2）.2"T,〃eN*,贝U（）

A.存在M>Q,使得Aa„<M恒成立

B.存在M>0,使得A2a恒成立

C.对任意Af>0,总存在〃eN*，使得

D.对任意M>0,总存在〃eN*,使得卓

7.（多选题）（2024•浙江•模拟预测）“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1,如果是

偶数就除以2,这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图If4-2-1.对任意正整数%,按照上述

规则实施第〃次运算的结果为。“（〃eN）,（）

A.当旬=7时，则a”=5

B.当%=16时，数列｛%｝单调递减

C.若%=1，且%[=1,2,3,4）均不为1,则为=5

D.当％=10时，从。,«=1,2,3,4,5,6）中任取两个数至少一个为奇数的概率为1

8.（2024•高三•河北保定•期中）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿

〃x“)

数歹广在航空航天中应用广泛，若数列｛%｝满足X用则称数列｛%｝为牛顿数列•如果函数

f'g'

x+2

f（x）=x2-4,数列｛%｝为牛顿数列，设4=ln-=,且为=1,兑>2.则出以

X”一2

9.（2024•江西九江•模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”,

3

它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数/（》），若数列｛%｝满足x用,则称数列列“｝为牛

小")

顿数列，若函数/（幻=/,an=log2xn,且4=1,则殁=.

10.给定函数/（x）,若数列｛七｝满足x用则称数列｛%｝为函数/（X）的牛顿数歹!J.已知｛%｝

小〃）'

为/（尤）=%2-4的牛顿数列，且4=ln&i|,q=l,x”>2（〃eM）,数列｛%｝的前,项和为S”.则

Xn

11.将正整数”分解为两个正整数左、左2的积，即"=左『履，当左、心两数差的绝对值最小时，我们称其

为最优分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即为20的最优分解，当仁、&是〃的最优分解时，定义

f（n）=\kt-k2\,则数列｛/（5"）｝的前2024项的和为.

a

1。12"13…\n

d2]22a23,,.a2n

12.（2024•高三•甘肃兰州•开学考试）已知数表/（〃,"）=a3la32“33.•,3n

aa

"2n3…nn,

42/

鱼…%。12。13,,5、

，22

。23…%。21。22。23,.02〃

B(n,n)=“3…其中与，%«/训分别

41,C(72,H)=。31。32。33,

b

n2CC•Q

也ha,n2n3,nn/

表示/（〃,〃），8（%〃），C（〃,〃）中第i行第/列的数.若％=%及+岫瓦/+…+a加b可,则称C（〃,〃）是

‘！_2_、

/（%〃），8（〃,〃）的生成数表.若数表/（2,2）=（：5（2,2）=:20,且C（2,2）是

（43）26

J5>

4（2,2）,3（2,2）的生成数表，则C（2,2）=_.

13.%,出，...％（）是一个1,2,3,…，10的排列，要求a—和q+i一定有一个大于q（i-2,3,---,9）,则

满足的排列的总数为—.

14.（2024•北京通州•三模）若数列也｝、仁｝均为严格增数列，且对任意正整数〃,都存在正整数利,

使得粼e[g,c“+J,则称数列四｝为数列｛c.｝的“M数列”.已知数列｛%｝的前"项和为S*,则下列结论中正

确的是.

①存在等差数列0｝,使得｛%｝是⑸｝的数列”

②存在等比数列｛«„｝,使得｛凡｝是©｝的数列”

③存在等差数列｛%｝,使得岱“｝是｛«„｝的数列”

④存在等比数列｛%｝,使得｛SJ是｛%｝的数列”

15.（2024•江苏扬州•模拟预测）对于有穷数列｛%｝,从数列｛%｝中选取第1项、第％项、L、第或项

（«<・••<）顺次排列构成数列低｝,其中14加,则称新数列出｝为｛叫的一个子列，称

也｝各项之和为｛%｝的一个子列和.规定：数列｛叫的任意一项都是｛叫的子列.则数列1,2,4,8,16,32的

所有子列和的和为.

16.（2024•高三•山东日照•期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就

将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著

名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6,根据上述运算法则得出

6—3—10—5—16T8-4T2->1,共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示为数列

左(左

—,a„=2eN+).问：当加时，试确定使得需

｛0“｝满足：％=加Gw为正整数），a'.〃+1—2"’”=17%=1

3an+1,4〃=2左+1(kGN)

要步“雹程”；若&=1,则冽所有可能的取值所构成的集合为.

17.（2024•高三•北京朝阳•期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著

作《少广缱凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：已知正实数N,取一正数％作为J而

过,〃为奇数

%

的第一个近似值，定义％M则…，…是亚的一列近似值.当N=10,q=3时,

〃为偶数

给出下列四个结论：①尺>10;②%%>10；③加22,出"_1<出用；④V〃22,㈤.其中

所有正确结论的序号是—.

18.（2024•吉林长春•模拟预测）对于数列｛%｝,称｛△%｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中

M=。用—“（〃©N*）.对正整数Mg2）,称｛△,“｝为数列何｝的左阶差分数列，其中

N%=公01%）=八1%-小一%已知数列｛%｝的首项为=1,且角-。"-2"｝为｛%｝的二阶差分数列.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

1«

⑵设"2_"+2）,｛xJ为数列｛4｝的一阶差分数列，对v〃eN*,是否都有成立？并说明理

2z=i

由；（其中C：为组合数）

，、tXn+f—X"1

⑶对于(2)中的数列｛%｝‘令"」+',其中5<f<2.证明：

221=1

19.(2024・贵州•三模)差分密码分析(DifferentialCryptanalysis)是一种密码分析方法，旨在通过观察

密码算法在不同输入差分下产生的输出差分，来推断出密码算法的密钥信息.对于数列｛0"｝(〃©N*),规定

｛A。,｝为数列｛4｝的一阶差分数列，其中Aa"=a,+「。,；规定为｛4｝的二阶差分数列，其中

A\=人阚.如果｛叫的一阶差分数列满足幽,|丰瓯|("jeN\zVj),则称｛叫是“绝对差异数列”;

如果｛%｝的二阶差分数列满足则称｛%｝是“累差不变数列”.

(1)设数列4:1,3,7,9,13,15,判断数列A是否为“绝对差异数列”或“累差不变数列”，请说明理由；

⑵设数列｛凡｝的通项公式。"=2/+〃(〃eN*),分别判断｛A4｝,｛A?%｝是否为等差数列，请说明理由；

(3)设各项均为正数的数列匕｝为“累差不变数列”，其前〃项和为%且对V〃eN*,都有t>2，=A2q.|,

k=\

对满足〃+加=2左(〃7w”)的任意正整数%见k都有C"产g,且不等式Sn+sm>0恒成立，求实数，的最大

值.

20.(2024•安徽黄山•一模)随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛.差分和差分方程

是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用.对于数列｛%｝,规定｛A%｝为数列｛%｝的一阶差分

数列，其中(〃eN*),规定｛/%｝为数列｛叫的二阶差分数列，其中

⑴数列｛%｝的通项公式为a”=/(〃eN*),试判断数列格凡｝,｛耳“｝是否为等差数列，请说明理由？

(2)数列｛log/J是以1为公差的等差数列，且。>2,对于任意的〃eN*,都存在meN*,使得

求•的值；

(3)各项均为正数的数列｛g｝的前"项和为S"，且｛△&｝为常数列，对满足加+"=2乙%*〃的任意正整数

见%/都有金wc“，且不等式。+S">-S,恒成立,求实数2的最大值.

拔高点突破01新情景、新定义下的数列问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................3

题型一：牛顿数列问题............................................................3

题型二：高考真题下的数列新定义..................................................4

题型三：数列定义新概念..........................................................6

题型四：数列定义新运算..........................................................7

题型五：数列定义新情景..........................................................9

题型六：差分数列'对称数列.....................................................10

题型七：非典型新定义数列.......................................................11

03过关测试....................................................................13