2025年中考数学一轮复习：锐角三角函数（讲义）（解析版）

考点26.锐角三角函数（精讲）

【命题趋势】

锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角

函数，尤其是应用主要在综合题中考查，是考查重点，每年都有一道三角函数的综合题，还常和四边形、圆、

网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型，分值为12分左右。预计2024年各地中考还将

以选填题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角

形，是得分的关键。

【知识清单】

1：锐角三角函数（☆☆）

1）锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做NA的锐角三角函数.（其中：0<NA<90。）

2）正弦、余弦、正切的概念：如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AB=c,BC=a,AC=b,

NA的对边ZA的邻边bNA的对边a

正弦:sin>4=余弦:cosA=正切:tanA二

斜边b

3）特殊角的三角函数值

asinacosatana

j_V3V3

30°

2~T

V2

45°也1

22

73£

60°百

22

【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.

4）锐角三角函数的性质

当0。</4<90。时，sia。随/A的增大而增大；cosA随NA的增大而减小；SwA随NA的增大而增大。

2：解直角三角形（☆☆）

1）解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三

角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

2）在解直角三角形的过程中，常用关系：

在Rt^ABC中，ZC=90°,贝U：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：Z/>+ZB=90°；

（3）边与角关系：sin/l=cosB=—,cosA=sinB=—,tan4=—；4）siMA+cos2A包.

ccb

3：解直角三角形的应用（☆☆☆）

1）解直角三角形的相关的名词、术语：

（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角。

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰鱼。

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角。

（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角.

（3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度I的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作，=%.

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角/记作a,i=tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡.

2）解直角三角形实际应用的一般步骤：

（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题;

（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

3）测量物体的高度（距离）的常见模型：

（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）

解题方法：（已知条件：a,J3,n,求高m）这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边

为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解。

（2）测量底部可以到达的物体高度

解题方法：1）已知测量仪高机，水平距离小角a,求高止2）已知水平距离”角a,角£,求高h=d+/i2

这两种模型种可结合水平距离和相应角度，用正切值解题。

（3）测量底部不可到达的物体的高度

注意：1）在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的

三个未知元素（知二求三）；2）已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似,

但不一定全等，因此其边的大小不确定。

【易错点归纳】

1.若锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示的，则表示它的正弦、余弦及正切时习惯省略角

的符号"/，，,如tanAysina、cosA-,若锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示的，则表示它的正

弦、余弦及正切时，不能省略角的符号"N",sinZABC,cosZ.2,tanZlo

2.锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角而言的，而且由锐角三角函数的定义可知，其本质特征是两条

线段长的比。因此，锐角三角函数只有数值，没有单位，它的大小只与角的大小有关，而与它所在的三角形

的边长无关。

3.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅

助线来构造直角三角形。

【核心考点】

核心考点1.锐角三角函数

例1：（2023年四川省内江市中考数学真题）在.ABC中，ZA、NB、NC的对边分别为。、b、c,且满足

a2+|c-10|Zb-8=12a-36,则sinB的值为.

4

【答案】y/0.8

【分析】由4+|c-101+Jb-8=12a-36,可得（4-6）?+卜-10|+Jb-8=0,求解a=6,6=8,c=10,证明

ZC=90°,再利用正弦的定义求解即可.

【详角军】角星：Ela~+|c-10|+Jb-8=12a-36,0-12tz+36+|c—10|+yjb—8=0,

0（a-6）2+|c-lO|+^/^8=O,0a-6=O,c-10=0,b—8=0,

解得：a=6,b=8,c=10,0a2+&2=62+82=100=102=c2,

6844

0Z.C=90°,0sinB=—=—=—,故答案为：一.

c1055

【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的

逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明NC=90。是解本题的关键.

变式1.（2024•河北承德•九年级统考期末）在RtaABC中，ZC=90°,若一ABC的三边都扩大5倍，则

sinA的值（）

A.放大5倍B.缩小5倍C.不能确定D.不变

【答案】D

【分析】直接利用锐角的正弦的定义一一“锐角A的对边。与斜边c的比叫做/A的正弦，记作sinA〃求

解.

【详解】解：0ZC=9O°,ElsinA=ZA的对边与斜边的比，

回*ABC的三边都扩大5倍，回NA的对边与斜边的比不变，回sinA的值不变.故选：D.

变式2.（2023・广东•校考一模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=3AC,则tanB=（）

C

A■B

A/103>/10

B.3"w"

10

【答案】A

【分析】本题考查正切的计算，熟知直角三角形中正切的表示是解题的关键.根据正切的定义tanB=m

计算，得到答案.

AC1

【详解】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,tanB=^=£^=4,故选：A.

BC3AC3

变式3.（2023•陕西西安・统考二模）在Rt^ABC中，ZC=90°,已知AC=2,BC=3,那么下列各式中,

正确的是（）

2222\1\3

A.sinB=—B.cosB=—C.tanB=—D.tanB=——--

33313

【答案】C

【分析】利用锐角三角函数定义判断即可.

【详解】解：「在RtaABC中，ZC=90°,AC=2,BC=3,

B

22713

>/13-13

38=/=2=也，tan於生二

故选：C.

AB屈13BC3

【点睛】此题考查了锐角三角函数定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.

例2：（2023年山东省威海市中考数学真题）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28。，高为7米.用

A.7口|或川2|81B，二T小」c.[7PM'?•

【答案】B

【分析】根据正弦的定义得出AB=7+sin28。，进而可得答案.

7

【详解】解：由题意得sin28°=r，回AB=7+sin28°,

国按键顺序为团目国圆|]目，故选：B.

【点睛】本题考查了正弦的定义，计算器的使用，正确理解三角函数的定义是解题的关键.

变式1.（2023年四川省南充市中考数学真题）如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再

向正北方向走到。处，已知NBAC=a,则A,。两处相距（）

YX

A.——米B.——米C.x-sin/米D.x-cosa米

sinacosa

【答案】B

【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.

【详解】解：小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，

ARARY

:.ZABC=90°,AB=x^z.：.cos«=——,/.AC=----=-----米.故选：B.

ACcoscrcosa

【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角

三角形中，锐角的邻边与斜边之比.

4

变式2.（2023•山东•九年级专题练习）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=8,贝l|

AB=.

【分析】根据锐角三角函数的意义求解即可.

4

【详解】解：回在Rt^ABC中，ZC=90°,sinA=-,BC=8,

0sinA=—=,HAB=10,故答案为：10.

5ABAB

【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决问题的前提.

例3：（2023年广东省深圳市中考数学真题）爬坡时坡角与水平面夹角为。，则每爬1m耗能

（1.025-cos<z）J,若某人爬了1000m,该坡角为30。，则他耗能（参考数据：1.732,72^1.414）

（）

A.58JB.159JC.1025JD.1732J

【答案】B

【分析】根据特殊角三角函数值计算求解.

【详解】1000（1.025-cos«）=1000（1.025-cos30°）=1025-500^®1025-500x1.732=159,故选：B.

【点睛】本题考查特殊角三角函数值，掌握特殊角三角函数值是解题的关键.

变式1.（2023•广东潮州•统考一模）3tan30。-1的值等于（）

A.73-1B.2也C.2D.V3

【答案】A

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，将tan3（T=3代入求值即可.

3

【详解】解：原式=3x3-1=6-1,故选：A.

3

变式2.（2023•陕西西安•校考一模）计算：

（1）2cos600+|l-2sin450|+^^,（2）^/1-2tan60°+tan260°-tan60°-

【答案】（1）0+1（2）T

【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、零指数幕以及二次根式的化简；

（1）先代入特殊角的三角函数值，再计算绝对值和零指数塞，最后计算加减即可；

（2）先利用完全平方公式对二次根式变形，再利用二次根式的性质化简，代入特殊角的三角函数值进行

计算即可.

【详解】(1)解：2cos60°+11-2sin45°|+

=2x-+l-2x^+l

22

=1+|1-V2|+1

=1+0-1+1

=-72+1

(2)解：V1-2tan60°+tan2600-tan60°

=^(l-taneO0)2-tan60°

=|l-tan60°|-tan60°

=卜-闽-百

=有-1-上

=—1

例4：（2023•安徽•统考一模）在ABC中，（2cosA-近了+|i-tan2|=0,贝|A8C一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得（2cosA-0『=0,|l-tanB|=0,从而得c°sA=],

tan3=l,根据特殊角度三角函数的性质，得NA=45。，ZB=45°；根据等腰三角形和三角形内角和性质

计算，即可得到答案.

【详解】解：回（2cosA-0j+|l-tan同=OI3（2cosA-应『=0,|l-tanB|=0

02cosA-V2=O，l-tan8=0ElcosA=q,tanB=10ZA=45°,ZB=45°

0ZC=18O°-ZA-ZB=9O°,3C=AC团,.ABC一定是等腰直角三角形，故选：D.

【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对

值、三角函数的性质，从而完成求解.

变式L（2023・广东,统考二模）在4ABe中，若cosA=立，则的度数是（）

2

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键.

【详解】解：0cosA=—=cos30°,回/A的度数是30。；故选A.

2

变式2.（2023•广东•校考二模）在ABC中，sinA=cos（90°-C）=^,则ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】B

【分析】计算出她和团C的角度来即可确定.

万

【详解】解：SsinA=cos（90°-C）,H3A=45°,90o-EC=45°,

2

即S4=45。，I3C=45。，瓯8=90。，即E1ABC为直角三角形，故选：B.

【点睛】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键.

例5：（2023・重庆・统考模拟预测）若0。<夕<90。，则下列说法不正确的是（）

A.sina随a的增大而增大B.cosa随a的减小而减小C.tan。随a的增大而增大D.0<sin«<1

【答案】B

【分析】如图，作半径为1的（CD,E尸均为直径，BH±OC,AG±OC,A,8都在（O上，利

用锐角三角函数的定义分析可得答案.

【详解】解：如图，作半径为1的O,CDLEF,CD,所均为直径，BHLOC,AG±OC,

4,8者、在|O上，:.OA=OB=1,由sinNBOH=以=BH,sinZAOG=^=AG,

OBOA

显然，ZBOH<ZAOG,而

所以当0。<a<90。时，sina随a的增大而增大，故A正确;

同理可得：当0。<0<90。时，cos。随a的减小而增大，故B错误；

当0。<夕<90。时，tana随a的增大而增大，故C正确；

AG

当（z=NAOG,当点A逐渐向/移动，边AG逐渐接近。4,；.sina=sin440G=—逐渐接近L

OA

当0。<（/<90。时，0<sina<l,故D正确；故选B.

【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是

解题的关键.

变式L（2023・湖北恩施•校考模拟预测）己知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2--3x+l=0的一个

根，贝!JsinA=.

【答案】|

【分析】解方程得到X=:，x2=l,然后根据正弦的定义确定sinA的值.

【详解】解：2/-3》+1=0,解得：占=；,x2=l,

0<sinA<l,sinA=—.故答案为：y.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，正弦的定义，解题的关键是根据正弦值的范围选择合理的解.

变式2.（2023・浙江•统考一模）已知ABC是锐角三角形，若AB>AC,则（）

A.sinA<sinBB.sinB<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sinA

【答案】B

【分析】大边对大角，可得国B,当角度在0。〜90。间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增

大（或减小）；依此即可求解.

【详解】解：回ABC是锐角三角形，若AB>AC,贝峋C>回B,则sinBVsinC.故选：B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°〜90。间变化时，①正弦值随着角度的增大（或

减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的

增大（或减小）而增大（或减小）.

变式3.（2023・上海•校考模拟预测）如果锐角A的度数是25。，那么下列结论中正确的是（）

A.0<sinA<—B.0<cosA<---C.———<tanA<1D.1<cotA<y/3

223

【答案】A

【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大"解答即可.

【详解】解：0O°<25°<3O°0O<sin25<|E0<sinA<1.故选A.

【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90。间变化时，①正弦值随着角度的增大（或

减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的

增大（或减小）而增大（或减小）.

核心考点2.解直角三角形

例6：（2023年江苏省宿迁市中考数学真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形

的顶点称为格点.点A、B、C三点都在格点上，贝Usin/ABC=.

【答案】显

2

【分析】取A3的中点。，连接AC,C。，先根据勾股定理可得AC=8C=W,C£>=6,再根据等腰三角

形的三线合一可得CDLAB,然后根据正弦的定义即可得.

【详解】解：如图，取AB的中点。，连接AC,CD,

.........................^A

B

AC=J，+32=M,BC=df+32=W,CD=df+*=&，：.AC=BC,

又•点。是AB的中点，.•.CDLA3,，sinNABC=C2=^=走，故答案为：—.

BC71022

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解

题关键.

变式L（2023•江苏泰州•统考一模）如图，在4x3的网格图中，点A、B、C、。都在小正方形的顶点上，

AB,CD相交于点P,贝UtanNAPC的值是.

【分析】连接AC,先说明va炉SVDAP,然后利用相似三角形的性质得到笑=三=1,然后得到

ADPD2

片CD=3,进而利用勾股定理的逆定理证明出NA8=90。，然后利用直角三角形的边角间的关系求解即

可.

CBCP1CP1唉二3

【详解】连接AC,0BC//AD^VCBP^VDAPS——=——=-0——=一，

ADPD2CD3

0AC=CD=A/12+12=V2，AD=2EAC2+CD2=AZ)20ZACD=90°

ArCD

团在RtZXAPC中，tanNAPC=尸.=尸.=3.故答案为：3.

【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是

熟练掌握以上知识点.

变式2.（2023•河北邯郸・校考三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,。是ABC的

外接圆，点AB,O在网格线的交点上，则cos/ACB的值是（）

3M

10

【答案】A

【分析】连接A。并延长交工，。于。，根据圆周角定理可得/ADB=NACB,根据勾股定理可得

BD=25根据余弦的定义计算即可得到答案.

【详解】解：如图，连接AO并延长交I。于。，则为直径，

由圆周角定理得：ZADB=ZACB,ZA£>B=90°,由勾股定理可得：斤/=26，

AD=2>cosZACB=cosZADB-,故选：A.

BD2V55

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、余弦的定义，正确作出辅助线、根据圆周角定理得出

ZAPS=/ACB是解题的关键.

变式3.（2023・湖北宜昌•统考模拟预测）由小正方形组成的网格如图，A,B,C三点都在格点上，则

).

A.f

B.—cD.

5-I与

【答案】C

【分析】取格点。，连接CD,利用勾股定理计算出C。、8Z)和3C,从而根据勾股定理逆定理可判断

NBDC=90。,然后根据正切的定义求解即可.

【详解】解：如图，取格点连接co,

由勾股定理可知CD=a+F=夜,BD=722+22=2A/2»BC=[f+3?=回，

^BC2=CD2+BD2,0^BDC=9O°,回tanZA8C=——=)=—.故选C.

DB2点2

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求角的正切值.利用数形结合的思想是解题关键.

例7：(2023年浙江省杭州市中考数学真题)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中

国古代数学家赵爽的“弦图如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE,AABFABCGACDH)和中间

一个小正方形EFGH拼成的大正方形A3CD中，ZABF>ZBAF,连接BE.设/BAF=a,/BEF=0,若

正方形EFGH与正方形A3CD的面积之比为1：”,tana=tan?/?,贝！|九=()

Bering

August2628.2002

A.5C.3D.2

【答案】C

【分析】设班'=AE=a,EF=b,首先根据tana=tan?6得到2a?+2B=2〃，然后表示出正方形ABCD

的面积为A3?=3/,正方形EFG〃的面积为所2=〃，最后利用正方形EFGH与正方形ABCD的面积之

比为1：”求解即可.

【详解】设族=AE=a,EF=b,Etana=tan2/7,ZAFB^90°,

0—=T,即」=化『，回，=g,整理得/+成=片，回2/+2M=2〃，

AF^EF)a+b\bJa+bb1

SZAFB=90°,SAB2=AF2+BF2=(a+bf+a2=2a2+lab+b2=3b2,

团正方形ABCD的面积为AB2=3b2，回正方形EFGH的面积为EF2=b2,

A21

团正方形与正方形ABC。的面积之比为1:〃，H—=-,回解得"=3.故选：C.

3b~n

【点睛】此题考查勾股定理，解直角三角形，赵爽"弦图"等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

变式L（2023・陕西西安•校考模拟预测）国际数学大会是全世界数学家的大聚会.如图是某次大会的会

徽，选定的是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，充分肯定了我国在数学方面的成就，也弘扬

了我国古代的数学文化.如图，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，

如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,直角三角形中较小的锐角为仇那么cos。的值等

于_______________.

4【答案】|4

【分析】根据已知可得大正方形的边长和小正方形的边长，再设三角形的长直角边为短直角边为瓦从而

可得。与b的关系式，进而可得。与b的长度，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【详解】解：回大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,

团大正方形的边长是5,小正方形的边长是1,设三角形的长直角边为短直角边为6,

44

由题意得：a—b=l,6+62=25解得：6=3,a=4cos0=—,故答案为：y.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数学常识，勾股定理的证明，熟练掌握锐角三角函数的定义，

以及勾股定理是解题的关键.

变式2.（2023・浙江绍兴•校联考模拟预测）如图，用4个全等的直角三角形拼成正方形，并用它证明了勾

股定理，这个图被称为“弦图若"弦图"中大正方形面积为20,tana=2,则小正方形的面积为.

【答案】4

【分析】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形；先设出直角三角形的边长，然后根据"弦图"中大正方

形面积为20,tana=2,可以求得三角形的三边长，然后即可得到小正方形的边长，从而可以求得小正方

形的面积.

【详解】解：设直角三角形长的直角边长为短的直角边长为6,斜边为

;"弦图"中大正方形面积为20,tana=2,

c?=20r”

〃=4

£=2,解得<b=2,

a2+b2=c2［。=2非

，小正方形的边长为。->=4-2=2,.•.小正方形的面积为2x2=4,故答案为：4.

例8：（2023年四川省广元市中考真题数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知点4。,0）,点

8（0,-3）,点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB,BC,若tanNABC=；,则点C的坐标

【分析】根据已知条件得出/4BO=/ABC，根据等面积法得出黑=胃，设C（〃0）,则AC=m-1,进

OAOB

而即可求解.

【详解】解：回点4(1,0),点3(0,-3),团04=1,03=3,tanN0?A=g,

0tanZABC=1,EZABO=ZABC,过点A作ADI3c于点D,

SAO1BO,AD±BC,A3是/OBC的角平分线，EIAO=A£)=1

一OAxOB-OBxOA.（0

q-f-----------=j--------回生=0

团上返设C（〃4。），则AC=a-l,BC=>]32+rrr

0A0B

°ABC-ACxOB-BCxAD

22

回中=土了解得：机=/或机=0（舍去）回故答案为：

【点睛】本题考查正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键.

变式L（2023•浙江•校考二模）如图，）0的半径ODLAB于点C,连接49并延长交工。于点E,连接

EC.若AB=8,CD=2,贝h@11/0石。为（）

3A/132713

A.——Rc

1713-I13

【答案】A

【分析】连接班，过C作CQLAE于。，根据垂径定理求出AC=BC=4,根据圆周角定理求出

NABE=90。，根据勾股定理求出。的半径，求出AE,根据勾股定理求出3E,根据三角形的面积公式

求出C。，根据勾股定理求出EQ,再解直角三角形求出答案即可.

【详解】解：连接3E,过C作CQLAE于Q,设。的半径为R,

OCLAB,OC过。，..NOC4=90。，AC=BC=4,

由勾股定理得：OA2=OC2+AC2,即代=（R-2>+42,解得：R=5,即AE=5+8=1O,

AE为。的直径，,4=90。，BE->JAE2-AB2=V102-82=6-

AC=4,ASACE^^ACBE=^AECQ,：.1x4x8=1xlOxCQ,解得：Cg=y,

由勾股定理得：CE=NBC、BE2=依+65=2万，

12一

56

--一A

34一17

5

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，解直角三角形等知识点，能求出

CE的长度是解此题的关键.

变式2.（2023•浙江杭州•校考二模）点E为正方形ABCD的边A8上一点，连接DE,AC,且DE与AC相

S1

交于点若三巫=淳，贝!|sin/CDE=________________.

JCMD10

【答案】手

【分析】由..WWEsQWD,推出:='，得到H=I则器=；，令钻=彳，">=4x，

由勾股定理得到£）石=JAE^+AD2=近工，即可求出sin/AE£>=42=生叵.由NCDE=/AED,得到

ED17

sinZCDE=sinZAED=.

17

【详解】解：回四边形A3CD是正方形，^AE//CD,AD=CD,NZME=90。，

团NCDE=NAED,ZEAM=ZDCM,fflAME^.CMD,

AE1AE1

团。/竺团---=—,团----=—

Sc.UDJ16CD4AD4

令AE=x,AD=4x,DE=>]AE2+AD2='

HsinZAEZ）=—=.EsinZCDE=sinZAED=.故答案为：她7.

ED历x171717

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，正方形的性质，关键是由一AMES-CWD得

AE1

至।—=-

AD4

变式3.（2023・重庆•统考一模）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tanl5。

时，如图，在RtaABC中，ZC=90°,ZABC=30°,延长CB,使BD=AB,连接AD,使得"=15。,

AC12-V3cr-

所以tan1l5CO=而=二出=印诉诉=2-6,类比这种方法,计算tan22F=

【答案】V2-1

【分析】如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZCAB=45°,作NCAB的角平分线AD,作DE2AB,设

DE=CD=x,则3。=^1^=后，AC=BC=x+y/2x，«tan22.5°=^|,计算求解即可.

sinNBAC

【详解】解：如图，在RtaA3c中，ZC=90°,ZCAB=45°,作—C43的角平分线A£>,^DE±AB,

^CD=DE,ACAD=-NCAB=22.5°,

2

DEI—

0ZB=45°,设DE=CD=x,13BD=--二=<2x,AC=BC=x+6x，

smZB

Otan22.5°=-^=—/=夜-1,故答案为：72-1.

ACx+y/2x

【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识.熟练

掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键.

例9：（2023年湖南省娄底市中考数学真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书

中，给出了这样的一个结论：三边分别为。、b、c的工MC的面积为

S-BC=g1"2_]"2+；—.,ABC的边。、AC所对的角分别是财、财、回C则

S^ABC=^absinC=^acsinB=^bcsinA.下列结论中正确的是（）

人厂a2+b2-c2_„a2+b2-c1,》a2+b2-c2__a2+b2

A.cosC=--------------B.cosC=------------------C.cosC=---------------D.cosC=----------

lablablac2bc

【答案】A

【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可.

【详解】解：回以ABC=L-户9二^],sABC=^absmC,

团!卜匕尸^^=g必sinC即a2b2-=a2b2sin2C,

p2+/?2_c2V

cos2C=cosC+A?-c。故选:A.

12ab)2ab

【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉si/C+cos2c=1是解题的关键.

变式L（2023•浙江杭州•统考二模）在放一ABC中，ZC=90°,cosA=1,贝UsinB=.

【答案】|

【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解.

【详解】解：「在AABC中，ZC=90°,:.ZA+ZB=90°,

.­.sinB=COsA=1.故答案为：

【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的余弦等于它余角的正

弦.

变式2.（2023•河北保定•统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°»0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°。0.372+0.932=1.0018,

sin29°+sin261°~0.482+0.872=0.9873,

sin37°+sin253°®0.602+0.802=1.0000,

据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角a,P,若C+尸=90。，均有sin%+sii?夕=1.

⑴当a=30°,尸=60°时,验证sin?ar+sin?〃=1是否成立？

（2）嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示给予证明，其中-A所对的边为。，N3所对

的边为6,斜边为c；若不成立，请举出一个反例；

B

⑶利用上面的证明方法，直接写出tana与sina,cosa之间的关系.

cinry

【答案】(1)成立，见解析⑵成立，见解析(3)tana=”^

cosa

【分析】(1)直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；

Z7h

(2)根据正弦函数的定义列出sina=—,sin4=-,结合勾股定理整理化简即可证得结论；

CC

ah

(3)根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt^ABC中，sina=-,cosa=-,再变形代入整理即

cc

可得出结论.

【详解】(1)解：l?]sin30o=i,sin60°=—,[Esin2cif+sin2/?=^->1+—=1,结论成立；

22⑶I2J

Z7h

(2)解：成立.理由如下：在RtZXABC中，sina=—,sin/7=—且〃+加=/,

cc

0sin2a+sin2/3=+^—=鼻=1,故结论成立；

(3)解：tana=f理由如下：在RtZXABC中，sincr=—,cosa=—,tana=f,

cosa

----,团tana--

cosa---------------cosa

【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的基本定

义，灵活变形构造是解题关键.

变式3.(2023・湖南•校考一模)同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：

sin(a-/7)=sinacos/?-cosasin/3,sin(a+/?)=sinacos/3+cosasinjS；

cos(a-0)=cosacos/?+sinasin夕，cos(a+6)=cosacos4一sinasin/?.

例：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=JJ一.

⑴试仿照例题，求出cos75。的值；⑵若已知锐角a满足条件sina=；,求sin2a的值.

[答案](1)1二包(2)逑

【分析】（1）把75。化为30。+45。直接代入三角函数公式85（。+/?）=85口8577-5•二5m分计算即可；

（2）把2a化为。+。直接代入三角函数公式sin（a+尸）=sinacos尸+cosasin4计算即可.

【详解】（1）解：0cos（cr+/?）=cosacos/?-sincrsin/?,

0cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°—=历史；

22224

（2）解：Osina=：,sin2a+cos2=1,a为锐角，解得cosa=2垃,

33

0sin2ct=sin（cz+cr）=sinacos（z+cosasin（z=.

339

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结

合特殊角的