2025年新高考数学一轮复习：二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】解析版

二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】

►热点题型归纳

【题型1二项分布1..................................................................................................................3

【题型2独立重复试验的概率问题】............................................................5

【题型3超几何分布】.........................................................................8

【题型4二项分布与超几何分布的综合应用】....................................................9

【题型5正态密度函数1..........................................................................................................15

【题型6正态曲线的性质】....................................................................16

【题型7正态分布的概率计算1.................................................................................................18

【题型8正态分布的实际应用】................................................................19

►考情分析

1、二项分布、超几何分布与正态分布

考点要求真题统计考情分析

从近几年的高考情况来看，本节是

高考的热点内容，主要考查二项分布、

(1)理解二项分布、超几何2022年新高考n卷:第13题，超几何分布及其期望与方差、正态分布

分布的概念，能解决一些5分等内容，正态分布主要以选择、填空题

简单的实际问题2023年新高考I卷：第21题，的形式考查，难度不大；在解答题中主

⑵借助正态曲线了解正12分要考查二项分布、超几何分布的期望与

态分布的概念，并进行简2024年新高考I卷：第9题，方差问题，有时会与统计、独立性检验

单应用6分等结合考查，难度中等偏难，关键在于

求出概率列出分布列，复习时需要加强

这方面的练习.

►知识梳理

【知识点1二项分布】

1.伯努利试验

⑴伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验

(2)«重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次

②各次试验的结果相互独立.

2.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(O</Kl),用X表示事件A发生的

次数，则X的分布列为尸后尸〃)"T,k=0,1,2,…，".如果随机变量X的分布列具有上式

的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜3(〃，p).

3.二项分布的期望与方差

一般地，如果X〜2(",p),那么/¥)=吵，D(X)=np(l-p).

4.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

【知识点2超几何分布】

1.超几何分布

(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽

「k「n—k

取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=乂：一,k^m,m+1,加+2,八其中

LN

n,NMGN*,MWN,n^N,m=max{0,n-N+M},r=min{&M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,

那么称随机变量X服从超几何分布

nM

若随机变量X服从超几何分布则其均值

⑵求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布

②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.

2.“二项分布”与“超几何分布”的区别

有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时,超几何分布可

近似为二项分布来处理.

3.超几何分布的应用

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考

察对象分两类；②己知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

【知识点3正态分布及其解题策略】

1.正态分布

(1)正态曲线

(X-㈤

1

函数小尸诉,2<T2,xGR.其中〃GR,为参数.我们称八x)为正态密度函数，称它的图象为正

态密度曲线简称正态曲线

⑵正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为八x),则称随机变量X服从正态分布,记为X〜NO").特别地,

当〃=0,<7=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若X〜则£⑶=〃，D(X)=<T2.

2.3。原则

⑴正态总体在三个特殊区间内取值的概率

PUi-00.6827

P(〃-2cWXW〃+2a)七0.9545

P(〃-3。+3c)=0.9973.

(2)3。原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布MN,/)的随机变量X只取［4-3c,〃+3内中的值，这在统计学

中称为3。原则.

3.正态分布问题的解题策略

解决正态分布问题有三个关键点:

(1)对称轴x=〃；

(2)标准差<7；

(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由仪G,分布区间的特征进行转化，使分布区间转

化为3c特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

【方法技巧与总结】

1.二项分布当«=1时就是两点分布.

超几何分布有时也记为长”5,MM，其均值E(X)=半，方差D(X)=H—1\

2.N-lh

3.若X服从正态分布，即X〜阳〃,M),要充分利用正态曲线关于直线对称和曲线与x轴之间的

面

积为1解题.

►举一反三

【题型1二项分布】

【例1】(2024•山东济南•二模)已知随机变量X〜则P(X=2)=()

A.3B.|C.jD.1

【解题思路】根据二项分布直接求解即可.

【解答过程】因为随机变量X〜B(4,3，

所以P(X=2)=鬣(9=^=|.

故选：B.

【变式1-1](2024・山西吕梁•三模)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向左移动

的概率为:，向右移动的概率为!若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置,

则P(X>0)=()

-4-3-2-10123456x

.5017c53「17

A•aBD.市C,—D.-

【解题思路】根据题意，由条件可得X的可能取值为1,3,5,且X〜B(5,3,结合二项分布的概率计算公式代

入计算，即可求解.

【解答过程】由题意可知，当X>0时，X的可能取值为1,3,5,且X~8(5,3，

所以P(X>0)=P(X=5)+P(X=3)+P(X=1)

=0+碉飞)+跚飞)2=静

故选：c.

【变式1-2](2024•全国•模拟预测)已知随机变量f〜B(n,p),若E(f)=2,。(§)=1,则P(f=2)=()

A.-B.-C.-D.-

o4oZ

【解题思路】根据二项分布的期望和方差公式即可求解n=4,p=I，进而根据二项分布的概率公式求解即可.

【解答过程】因为§〜B(n,p),所以=np=2,D(f)=np(l-p)=1,解得n=4,p=

所以P(f=2)=鬣*©，©2=看

故选：C.

【变式1-3](2024•江苏苏州•模拟预测)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平

行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端

放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格

子从左到右的编号分别为0,1,2,…,10,用X表示小球最后落入格子的号码，若尸(X=/c)<P(X=k。)，则/=

【解题思路】由题意，X服从二项分布，X〜代入公式可得结果.

【解答过程】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为今

每一层均要乘以表共做10次选择，

故X服从二项分布，X~B(10,|),

1

又E(X)=10x-=5,

令P(X=k。)最大,

版P(XfP(X=ko_1)

!，i

''lP(X=k0)>P(X=k0+l),

"需I?)T。

〔嘘H。(纱f然吗用5K

Q11

解得?WkoW蓝，又因为0WkW10,keZ,所以册=5,

所以P(X=fc)<P(X=5),fc=0,1,2,3,...,10,

P(X=fc)<P(X=fc0),且，=5.

故选：B.

【题型2独立重复试验的概率问题】

【例2】（2024•安徽合肥•二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜,

比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（）

.1C3-5-15

A•豆B.豆C,-D.-

【解题思路】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解.

【解答过程】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，

则甲以4比2获胜的概率为鬣•弓T-（1）2x：=盘

故选：C.

【变式2-1］（2024•辽宁•模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一

个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（）

5555「25「25

AA・1024BD・市C.病D.—

【解题思路】就质子水平方向移动次数分类讨论，再利用独立事件的概率公式可求概率.

【解答过程】因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次

若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率鬣G）6；

若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率A"K?6；

若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率鬣A［｛）6；

若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率总©6；

故移动6次后仍然回到原点的概率为总，

故选：C.

【变式2-2］（2024•河北衡水•模拟预测）某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决

农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100元

的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）（4）四个区域，顾客将一皮球投进

区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域（4）三次，便视为中奖，投球停止，且投

球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为

p（0<p<l）,投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投

完皮球首次中奖的概率记为Pl,第四次投完皮球首次中奖的概率记为P2,若Pl>P2,贝Up的取值范围为

()

【解题思路】首先根据条件，理解P1和P2对应的事件，再根据独立事件的概率公式求解概率，根据Pl>P2

后，即可求解.

【解答过程】小王投进区域(3)的概率为2p,投进区域(4)的概率为1—4p,故0<p<".

小王第二次投完皮球后，首次中奖包含“第一次区域(1)(2)均末投中，第二次投中区域(1)或(2)”和

“第一次与第二次均投中区域(3)"两个事件，

则概率为Pi=(1-2p)x2p+(2p)2=2P.

第四次投完皮球后，首次中奖，需前三次投完后有一次投进区域(3),有两次投进区域(4),

因此「2=X2P(1—4P)2=6P(1+16P2—8p),令P2—Pi<0,

得24P2_L2p+l<0,解得筌<p<喈，又0<p<l所以筌<p<*

故选：C.

【变式2-3](2024•四川绵阳•模拟预测)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到

1的概率为a(0<a<1),收到0的概率为1—a；发送1时，收到0的概率为伙0<S<1),收到1的概率

为1-考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每

个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传

输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1)下列说法错误的是

()

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1—a)(l—0)2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为£(1—£)2

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为6(1—£)2+(1—0)3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0

的概率

【解题思路】根据独立时间的概率乘法以及列举法，可得答案.

【解答过程】对于A,由题意可知：信号的传输相互独立，输入0收到0的概率为(1—a),输入1收到1的概

率为(1一口),

所以采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1—a)(l—0)2,故A正确；

对于B,由题意可知：信号的传输相互独立，输入1收到0的概率为0,输入1收到1的概率为(1—/?),

所以采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为0(1—£)2,故B正确；

对于C,采用三次传输方案,若发送1,译码为1的情况分别为“1,1,0”、“1,0,1”、“0,1,1”、“1,1,1”，

因为信号的传输相互独立，输入1收到。的概率为£,输入1收到1的概率为(1—0),

所以采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为36(1—£)2+(1—0)3,故C错误；

对于D,若发送0,采用三次传输方案译码为0的情况有“0,0,0”、“0,0,1”、“0,1,0”、“1,0,0”，

所以其概率为(1-a)3+3a(1-a)2；

若发送0,采用单次传输方案译码为0的概率为(1-a),

由(1—a)3+3a(l—a)2—(1—a)=a(l—a)(l—2a),且。＜a＜0.5,

贝—a)(l—2a)＞0,故D正确；

故选：C.

【题型3超几何分布】

【例3】(2024•广东江门•二模)一箱苹果共有12个苹果，其中有“2＜几＜7)个是烂果，从这箱苹果中随

机抽取3个.恰有2个烂果的概率为■§,贝旧=()

A.3B.4C.5D.6

【解题思路】由超几何分布的概率公式列方程即可求解.

【解答过程】依题意可得%A=,，即』H=S整理得/一13荏+36=0,

C-17Du----------------03

6

解得71=4或9,因为2＜几＜7,所以？1=4.

故选：B.

【变式3-1](23-24高三上•山东临沂・开学考试)一个不透明的袋子中装有3个黑球，〃个白球(neN*),

这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为葛，设

X为取出白球的个数，则仅X)=()

31

A."B.~C.1D.2

【解题思路】根据取出2个黑球，1个白球的概率为言求出〃的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定

义即可计算.

【解答过程】由题可知，笋=焉解得n=3,

ji+3NU

X的可能取值为0,1,2,3,

。⑶=。)=却煮%=1)=誓=煮2侬=2)=誓=击呐=3)=却煮

1991

.•.E(X)=0x-+lx-+2x-+3x-=1.5.

故选：A.

【变式3-2](23-24高三上•四川成都・开学考试)某地盛行糕点有〃种，该地的糕点店从中准备了〃？

(爪<71)种糕点供顾客选购.已知某顾客喜好的糕点有左(k<71)种，则当其随机进入一家糕点店时，会

发现该店中有若干种糕点符合其喜好.记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则仅X)=

()

,km—m+kkn一m-k

A--B--c-mD--

【解题思路】由题意可知X服从超几何分布，然后利用超几何分布的期望公式求解即可.

【解答过程】由题意可知从含有顾客喜好的人(k<n)种糕点的"种糕点中，任取加(m<n)种糕点，其

中恰有X种顾客喜好的糕点，贝吠服从超几何分布，

所以P(X=N)=(N=0,1,2,­••,t),其中t=min{fc,m},m<n,k<n,

c*J*

所以伙x)=*

故选：A.

【变式3-3](2024•安徽马鞍山•模拟预测)有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里

有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出k(lWkW10,keN*)个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随

机取出一个球，记取到的白球的个数为X,则当k(l4卜310上€%*)变大时()

A.E(X)变小B.E(X)先变小再变大

C.伙X)变大D.伙X)先变大再变小

【解题思路】运用超几何分布与两点分布，求解离散随机变量的期望，然后判断选项.

【解答过程】由题意可知，从乙盒子里随机取出k(lwkw10,keN*)个球，其中白球的个数X服从超几何分

布，则E(X)=kq=?故从甲盒子里随机取一球，相当于从含有C+1)个白球的(k+1)个球中取一球，

取到白球的个数为X,

易知随机变量X服从两点分布，故P(X=1)=也=巳+康，

、k+12Zk+Z

所以E(X)=P(X=1)=：+康，随着k的增加，E(X)减小.

故选：A.

【题型4二项分布与超几何分布的综合应用】

【例4】（2024•吉林・二模）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机

抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中|是男性，|是女性.

（1）当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

（2）我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.

从N（N>4）名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作Pi；

在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前

提下，认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：V578«24.04,V19297«139）

【解题思路】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；

（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.

【解答过程】（1）当N=20时，男性员工有8人，女性员工有12人.

X服从超几何分布，X=0,1,2,3,

C1222011CjC?2528_44

P(X=0)襦=,=而，P(X=1)=高1140-95,

「2rl336_28八一强_5614

P(X=2)=,1140-95'(X—3)-C3o-7140-285'

L20

••・X的分布列为

X0123

11442814

P

579595285

数学期望为E（X）=0x||+lx熊+2x||+3x蔡建

|N(|N-I)X|N

^N(N-l)(N-2)25(N-l)(N-2)’

尸2=以。2.|=鸿=O,288,

由于P—2<0.001-贝喘^.288<0.001,

日口18N但N-1）

即右君岛«°289=端

即爬一）.28925289

V----X——

—100018720?

由题意易知(N-1)(N-2)>0,

从而720N(|N—1)<289(N—l)(N—2),

化简得N2-147N+578>0,

又N>0,于是N+答2147.

由于函数y=x+?在久=V578~24.04处有极小值，

从而y=N+罕当N>25时单调递增，

又142+瞪~146.07<147,143+誓〜147.04>147.

因此当N2143时，符合题意，

而又考虑到|N和|N都是整数，则N一定是5的整数倍，于是N=145.

即N至少为145,

我们可以在误差不超过0.001(即Pi-P2WO。。。的前提下认为超几何分布近似为二项分布.

另：N2-147N+578>0:.N>143或N<4

又N>4,故N2143,下同法一.

【变式4-1](2024•北京东城•一模)某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机

抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，

将测试结果整理得到如下频率分布直方图：

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；

(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数

为X,求X的分布列与数学期望E(X)；

(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506,516,553,592,617,632,667,693,723,

776,从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为丫，试判断数学

期望伏丫)与(2)中的E(X)的大小.

【解题思路】(1)根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；

(2)确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解X的分布列

与数学期望E(X)即可；

(3)根据超几何分布的概率求解丫的分布列与数学期望即可得结论.

【解答过程】(1)1500x(0.00375+0.001+0.00025)x80=600,

故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人；

(2)从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：

(0.005+0.00375+0.001+0.00025)x80=0.8,

X的可能取值为0、1、2、3,

P(X=0)=Cgx0.23—0.008,

P(X=1)=C3X0.8X0.22=0.096,

P(X=2)=鬣X0.82X0,2=0.384,

P(X=3)=董x0.83=0.512,

则其分布列为：

X0123

P0.0080.0960.3840.512

其期望为：E(X)=3x0.8=2.4；

(3)E(X)=E(Y),理由如下：

这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，丫的可能取值为1、2、3,

•,、禺髭81C犯5676C弼567

。(丫=1)=禹=西=1?0(丫=2)=扁=痂=正，d(丫=3)=京=育=元

177

则E(y)=lx—+2x—+3x—=2.4,故E(X)=E(Y).

【变式4-2](2024•北京西城・三模)根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深

圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、关B州、

东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深

圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.

(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；

(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机

变量X的分布列和期望；

(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量y表示新一线城市的数量，比较E

(X)与£(y)的大小关系.(直接写出结果)

【解题思路】(1)根据古典概型直接求概率；

(2)根据超几何分布求得X取值对应的概率，得到分布列和期望；

(3)V〜运用二项分布期望公式求得E(y),即可得到二者相等.

【解答过程】(1)10个超大城市中包含4个一线城市，

所以从10个超大城市中随机抽取一座城市，该城市是一线城市的概率为2

(2)10个超大城市中包含6个新一线城市，

X所有可能的取值为：0,1,2,3.

p（x=o）=翠=—p（x=1）=写==巨.

I）C?o12030，IJ岛12010,

nry鬣禺601C晶201

P（X-2）=高一育=了P（X=3）=^=^—%.

所以X的分布列为:

X0123

1311

P

301026

131IQ

F（X）=0x-+lx-+2x-+3x-=-.

(3)E(X)=E(Y)

理由如下：从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，

随机变量y〜B(3指)，F(n=3x^=1，所以E(X)=E(Y).

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜

适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运

输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径80mm〜85mm为一级果，果径75mm〜80mm

为二级果，果径70〜75mm或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽

取1000个，测量这些脐橙的果径(单位：mm),得到如图所示的频率分布直方图.

(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数；

(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70〜85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在

抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数X的分布列和数学期望；

(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数

为y,记一级果的个数为k的概率为p(y=k),写出P(y=k)的表达式，并求出当k为何值时，p(y=k)最

大？

【解题思路】(1)利用频率分布直方图求中位数的方法即可得解；

(2)根据题意，分析得一级果、二级果、三级果个数分别为4,3,2个，从而得到X的所有可能取值，再

利用超几何分布的分布列即可得解；

(3)利用二项分布得到P(y=k),再利用作商法判断出当k=30时，P(Y=k)最大,从而得解.

【解答过程】(1)果径［65,80)的频率为(0.013+0.030+0.045)x5=0.44<0.5,

果径［65,85)的频率为(0.013+0.030+0.045+0.060)x5=0,74>0.5.

故果径的中位数在［80,85),不妨设为a,

贝lJO.44+(a-80)X0.060=0.5,解得a=81,

所以估计这1000个脐橙的果径的中位数为8L

(2)果径［70,75),［75,80),［80,85)的频率之比为(0.03X5):(0.045X5):(0.06X5)=2:3:4,

所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4,3,2个，

故随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,

则P(X=O)=5=MP(X=I)=^=M

P(X=2)=胃若，P(X=3)=髀△

所以X的分布列为

X0123

1040304

P

84848484

好“nL八八c10,Y40,c30,c41124

期望E(X)=°x互+lx互+2x互+3x讪=转

3,

-2

(3)依题意知，这批果实中一级果的概率p=0.06x5=元，

每个果实相互独立，贝打-8(100,总，

/Q\k/_\100—k

则p(y=k)=/。。.恁).□,

z-xfc+1z7、99—k

令笔彩=黑b=骑?>1，解得k<29.3,

PS)C?00.(A),(Z)7(k+l)

故当k<29时，P(Y=k+l)>P(Y=fc),

即P(y=30)>P(Y=29)>P(Y=28)>P(Y=27)>…；

当k>30时，P(Y=k+l)<P(Y=k),

即P(Y=30)>P(Y=31)>P(Y=32)>P(Y=33)>…，

所以P(Y=k)max=P(Y=30),即一级果的个数最有可能为30个.

【题型5正态密度函数】

1(f)2

【例5】(23-24高二下•陕西宝鸡•期末)已知三个正态分布密度函数=;^e2d(尤61^=1,2,3)的

图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.41=42>43，<71=<72>0-3

B.%<〃2=林3,6=<12<。3

C."<42=43，/%>。3

D.%=〃2>43，=。2<0-3

【解题思路】结合正态分布密度函数中参数4表示其均值大小，。表示离散程度，利用图象形状即可判断出

结论.

【解答过程】根据正态分布密度函数中参数〃，。的意义，

结合图象可知；2(久)，介。)对称轴位置相同，所以可得42="3；

且都在/l（x）的右侧，即的＜〃2=〃3，

比较人（X）和/2（切图像可得，其形状相同，即。1=口，

又力（%）的离散程度比人（乃和/2（%）大，所以可得。1=。2＜。3；

故选：B.

【变式5-1]（23-24高二下•湖北武汉・期末）设随机变量X〜N（o,l）,则X的密度函数为（）

1士_1（1）2

A-/（x）=7^ezB./（x）=鬲e。

1上1（—）2

Cf（久）=鬲e2D.7（%）=鬲e2

【解题思路】根据正态分布的定义可求得〃=0。=1,从而可求X的密度函数.

【解答过程】因为X〜N（o,l）,所以〃=0。2=1,即（7=1,

所以X的密度函数为A.

故选：A.

17

【变式5-2]（23-24高二•全国•课后作业）已知随机变量X的正态密度函数为f（x）=嬴e=（xeR）,则其均

值和标准差分别是（）

A.0和8B.0和4C.0和2D.0和1

【解题思路】根据正态总体的概率密度函数的意义直接求解即可.

【解答过程】由f（x）的形式，知X的均值和标准差分别为0和2.

1（%一〃）2

正态总体的概率密度函数为f（x）=后”2。2,

1/

根据/co二加萨二色€⑷，可得其均值为o,标准差为2,

故选：C.

【变式5-31（23-24高二下•福建泉州•期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用

与推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我

国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，

I（x-100）2

得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为/。）=砺¥「^厂，x&R,则下列说法错误的

是（）

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为100

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小

D.随机测量一株水稻，其株高在(90,100)和在(100,110)(单位：cm)的概率一样大

【解题思路】根据密度曲线求得〃"，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.

【解答过程】依题意〃=100,cr=10,

所以平均数为100cm,方差为M=100,所以AB选项正确.

依题意P(X>100+20)=P(X<100-20),P(X>120)=P(X<80),

而P(XW80)>P(XW70),即P(X2120)>P(XW70),所以C选项错误.

P(100—10<X<100)=P(100<X<100+10),P(90<X<100)=P(100<X<110),所以D选项正

确.

故选：c.

【题型6正态曲线的性质】

【例6】(2024・湖南益阳•三模)某生产线正常生产下生产的产品2的一项质量指标X近似服从正态分布N(5〃2),

若P(X<a)=P(X>1+2a),则实数a的值为()

A.1B.3C.4D.9

【解题思路】根据正态曲线的对称性计算可得.

【解答过程】因为X〜N(5Q2),且P(x<a)=P(X>l+2a),

所以a+(1+2a)=2x5,解得a=3.

故选：B.

【变式6-1](2024•全国•模拟预测)已知随机变量X〜N(“"2)(〃>0">。)，则下列说法正确的是()

A.P(X<0)=P(X>0)B.P(|X|<〃)=P(|X|2〃)

C.P(X<〃一<J)<P(X<N+a)D.P(X>—〃)WP(X>+〃)

【解题思路】正态分布中的概率问题一般需要用到正态曲线的对称性，需要画出大致的正态曲线，标注好

对称轴，数形结合，分别判断四个选项的正误即可.

【解答过程】

由图(1)得P(X<0)<P(X>0),所以A错误.

由图(2),P(|X|<〃)=P(—〃<X<〃)对应阴影部分的面积，P(|X|2〃)=P(X2〃)+P(XW—〃)对应空白

部分的面积，所以P(|X|<〃)<P(|X|N〃)，所以B错误.

由图(3),因为正态分布中。>0,所以P(X<〃+G所对应图形的面积一定大于P(X<4—c)所对应图形的

面积，所以P(X<//+<7)>P(X<4—<7),所以C正确.

由图(4)可知，P(X>。一〃)对应图形的面积大于P(X>〃+cr)对应图形的面积，所以P(X>o■—>P

(X>〃+c),所以D错误.

故选：C.

【变式6-21(2024・四川•模拟预测)若随机变量X服从正态分布N(3,02),P(X<5)=0.55,贝i」P(X<1)=

()

A.0.45B.0.55C.0.1D.0.9

【解题思路】由题可知〃=3,所以X<5和X>1对称，据此求解即可.

【解答过程】因为随机变量X服从正态分布NR,/),

所以P(X<5)=P(X>1)=0.55；

所以P(XW1)=1-P(X>1)=1-0.55=0.45.

故选：A.

【变式6-3](2024•安徽合肥•三模)为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了

言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N(70,64),据此估计测试成绩不小于94

的学生所占的百分比为()

参考数据：P(/z-er<X</z+er)-0.6827,P(〃-2。<X<〃+2<r)=0.9545,P(〃-3a<X<

林+3。)x0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

【解题思路】根据正态分布的对称性求得正确答案.

【解答过程】依题意4=70"=8,94=〃+3a,

所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为1一°；973x100%=0.135%.

故选：A.

【题型7正态分布的概率计算】

【例7】(2024・甘肃张掖・三模)若已知随机变量%服从正态分布N(3/2),且PQ>2)=0.75,贝|P(3<%<4)

=()

A.0.75B.0.5C.0.25D.0.15

【解题思路】由正态分布曲线的对称性，由此即可计算出答案.

【解答过程】随机变量%服从正态分布N(3,/2),所以对称轴为〃=3,

因为P(x>2)=0.75,所以P(xW2)=P(x24)=1—0.75=0.25,

匕厂[、[门1—0.25—0.25八_广

所以P(3<%<4)=-------------=0.25,

故选：C.

【变式7-1](2024•全国•三模)已知随机变量X〜Ng/),且P(XW4)=0.84,则P(0<XW