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文档简介
考点06.分式方程(精讲)
【命题趋势】
分式方程考查内容以分式方程解法、分式方程含参问题、分式方程的应用题为主,既有单独考查,也有
和一次函数、二次函数结合考察,年年考查,分值为10分左右,预计2024年各地中考还将继续考查分式方
程解法、分式方程含参问题(较难)、分式方程的应用题,为避免丢分,学生应扎实掌握。
【知识清单】
1:解分式方程(☆☆)
1)分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
注意:“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别,是判定一个方程为分式方程的依据。
2)分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为重双方程,具体做法是去分母,即方程两边同乘以各分
式的最简公分母.
(2)解分式方程的步骤:①找最简公分母,当分母是多项式时,先分解因式;②去分母,方程两边都
乘最简公分母,约去分母,化为整式方程;③解整式方程;④验根.
3)增根
在方程变形时,有时可能产生不适合原方程的根,这种根叫做方程的增根。由于可能产生增根,所以解
分式方程要验根,其方法是将根代入最简公分母中,使最简公分母为零的根是增根,否则是原方程的
根.
注意:增根虽然不是方程的根,但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身
无解,当然原分式方程就一定无解。
2:分式方程的应用(☆☆☆)
1)列分式方程解应用题的一般步骤:①审题(找等量关系);②设未知数;③列分式方程;④解分式方
程;⑤检验(一验分式方程,二验实际问题);⑥答。
2)分式方程的应用主要涉及工程问题,有工作量问题、行程问题、利润问题等。
每个问题中涉及到三个量的关系,如:工作时间=/喝,时间=臂,总利润=单件利润X销售量,
工作效率速度
利润率=禾!J润:成本X100%等。
【易错点归纳】
1.解分式方程过程中,易错点有:①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体,记得不要漏乘整式项;
②忘记验根,最后的结果还要代回方程的最简公分母中,只有最简公分母不是零的解才是原方程的解。
2.分式方程有增根与无解并非是同一个概念。分式方程无解,需分类讨论:可能是解为增根,也可能是去
分母后的整式方程无解。
【核心考点】
核心考点1.解分式方程
例1:(2023•山东淄博•统考中考真题)已知x=l是方程二——二=3的解,那么实数小的值为()
2-xx-2
A.-2B.2C.-4D.4
【答案】B
【分析】将x=l代入方程,即可求解.
m1
【详解】解:将X=1代入方程,得「--7=3解得:m=2故选:B.
2—11—2
【点睛】本题考查分式方程的解,解题的关键是将X=1代入原方程中得到关于小的方程.
变式1.(2023上•河南开封•九年级统考期末)下列方程中是分式方程的是()
A.--2x=lB.2X2=X-3C.^—=2D.=2
2x-2
【答案】c
【分析】根据分式方程的定义判断即可.
【详解】解:A,B,D选项中的方程,分母中不含未知数,所以不是分式方程,故不符合题意;
C选项方程中的分母中含未知数,是分式方程,故符合题意;故选:C.
【点睛】本题考查了分式方程的定义,掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键.
变式2.(2023・四川成都・统考二模)若关于无的分式方程=-三匚=3的解为无=3,则根的值为()
x-22-x
A.1B.2C.3D.5
【答案】A
【分析】解分式方程,根据方程的解为x=3,即可求解.
【详解】解:‘。一手工=3,方程两边同时乘以(x-2)得:M7+(x-l)=3(x-2),
x—22—x
+5
解得%=彳,且x-2。0,
2
m+5
,•・方程的解为x=3,;.竺二=3,即根=1,故选:A.
2
【点睛】本题考查了解分式方程,将分式方程化为整式方程是解题的关键.
Y2
例2:(2023・福建・统考一模)下列解分式方程一=+4=0的步骤中,错误的是()
x-22-x
A.找最简公分母:2-xB.去分母:-尤+2=0
Y2
C.计算方程的根:X=2D.验根:当x=2时,方程」;+—=0成立
尤一22-尤
【答案】D
【分析】由解分式方程的步骤即可选择.
【详解】该分式方程的最简公分母是2-x,故A正确,不符合题意.
分式两边同时乘以2-x,得:-x+2=0,故B正确,不符合题意.
由B选项即可得出x=2,故C正确,不符合题意.
当x=2时,2-x=0,故该分式方程无解.故D错误,符合题意.故选D.
【点睛】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键.
OOQ
变式1.(2023•山西晋中•校联考模拟预测)分式方程——一U=f三的解是()
x-2x+2X--4
A.x=2B.x=-2C.无解D.x=3
【答案】C
【分析】先去分母,将分式方程化为整式方程求解,再进行检验即可.
去分母,得:3(x+2)-2(x-2)=8,
去括号,得:3x+6—2x+4=8,
移项合并,得:x=—2,
检验,当尤=-2时,f_4=o,即x=-2是原分式方程的增根,
回原分式方程解.故选:C.
【点睛】本题主要考查了解分式,解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤.
变式2.(2023・上海•统考中考真题)在分式方程”+上=5中,设可得到关于y的整式
x2%—1x
方程为()
A.y2+5y+5=0B.y2-5y+5=0C.y2+5y+l=0D.y2-5y+l=0
【答案】D
2r-11
【分析】设f=y,则原方程可变形为y+—=5,再化为整式方程即可得出答案.
Xy
2Y—11
【详解】解:设岭2=y,则原方程可变形为>+—=5,即y2_5y+l=0;故选:D.
xy
【点睛】本题考查了利用换元法解方程,正确变形是关键,注意最后要化为整式方程.
13
变式3.(2023・山西•统考中考真题)解方程:一\+1=〈
x-12x-2
3
【答案】x
【分析】去分母化为整式方程,求出方程的根并检验即可得出答案.
1,3
【详解】解:原方程可化为^^+1=而刁.
方程两边同乘2(X-1),得2+2(x-l)=3.解得x=].
检验:当尤=:时,2(x—1)工0.回原方程的解是X=
【点睛】本题考查了分式方程的解法,熟练掌握解分式方程的方法是解题关键.
变式4.(2023•浙江嘉兴•统考中考真题)小丁和小迪分别解方程--A=1过程如下:
x-22-x
小丁:小迪:
解:去分母,得x-(x-3)=x-2解:去分母,得尤+(x-3)=l
去才舌号,彳导x—x+3-x—2去括号得x+x-3=1
合并同类项,得3=x-2合并同类项得2x-3=1
解得x=5解得x=2
回原方程的解是x=5经检验,x=2是方程的增根,原方程无解
你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确,请在框内打"V";若错误,请在框内打"X",并写出你的解答
过程.
【答案】都错误,见解析
【分析】根据解分式方程的步骤判断小丁和小迪的解法是否正确,再正确解方程即可.
【详解】小丁和小迪的解法都错误;
解:去分母,得%+(%-3)=%-2,
去括号,得2%-3=%-2,
解得,x=l,经检验:1=1是方程的解.
【点睛】本题考查分式方程的解法,熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键.
例3:(2。23・山东日照・统考中考真题)若关于x的方程六-2=4解为正数,则优的取值范围是
)
24242
A.m>——B.m<一C.m>——且机wOD.根〈一且加w一
33333
【答案】D
4-3m4—3m
【分析】将分式方程化为整式方程解得X=---,根据方程的解是正数,可得^^>0,即可求出加的
2
取值范围.
【详解】解:之一2二工
2x-2x2(x-l)=3m
2x—4x+4=3m
—2x=3m—4
4—3m
x=-----
2
团方程二--2=31的解为正数,且分母不等于0
x-12x-2
4-3m八4-3m,
团----->0,%=------
22
42
0m<—,且mw一故选:D.
33
【点睛】此题考查了解分式方程,根据分式方程的解的情况求参数,解不等式,将方程化为整式方程求出
整式方程的解,列出不等式是解答此类问题的关键.
YY]X
变式1.(2023•黑龙江・统考中考真题)已知关于x的分式方程二+1=/-的解是非负数,则加的取值
x-22-x
范围是()
A.m<2B.m>2C.mW2且mW—2D.机<2且加W—2
【答案】C
【分析】解分式方程求出x=42万—m丝,然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于修的不等式组,求解即
可.
【详解】解:分式方程去分母得:m+x-2=-x,解得:尤=二2万—”m,
团分式方程」1+1=不匚的解是非负数,
无一22—尤
9_m9—rn
团——^0,且兀二一--。2,回相«2且〃1。一2,故选:C.
【点睛】本题考查了解分式方程,解一元一次不等式组,正确得出关于根的不等式组是解题的关键.
变式2.(2023・山东•统考一模)关于x的分式方程丝?-1=0解的情况,下列说法正确的是().
A.若。=0,则此方程无解B.若。=±1,则此方程无解
C.若方程的解为负数,则“>lD.若a<l,则方程的解为正数
【答案】BC
【分析】先按照一般步骤解方程,用含有。的代数式表示x,然后根据x的取值讨论。的范围,即可作出
判断.
【详解】解:A、当。=0时,原分式方程为一二-1=0,解得:尤=2,
x-1
当x=2时,x-UO,团原分式方程的解为x=2,故本选项错误,不符合题意;
B、^±1-1=0,去分母得:(a-l)x=—2,当。=1时,该方程无解,国原分式方程无解;
x-1
—X
当时,原分式方程为上+71-1=0,解得:x=L当x=l时,x-l=0,阻=1是增根,原分式方程无解;
x-1
团若。=±1,则此方程无解,故本选项正确,符合题意;
C、^1-1=0,去分母得:(a-l)x=-2,解得:*=-冬,
x-1a-1
回方程的解为负数,acvo且X-IHO,
22
0-----7<。且----7一I。。,解得:a>l,故本选项正确,符合题意;
a-\a-l
22
D、若方程的解为正数,回%二—三〉0,且-三-1。0,解得:苞〈1且以;,
a-la-l
团当avl且於-1时,方程的解为正数,故本选项错误,不符合题意;故选:BC
【点睛】考查分式方程的解,解题关键是要掌握方程的解的定义,使方程成立的未知数的值叫做方程的
解.
9Y_1_TT1
例4"。23•广东广州•校联考模拟预测)若关于,的分式方程三+53rl有增根,则加的值为,)
A.1B.2C.-1D.0
【答案】C
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根.所以应先确定增根的可能值,让最简公分母
x-3=0,得到x=3,然后代入化为整式方程的方程算出加的值.
【详解】解:方程两边都乘(x-3),得2-(x+m)=x-3,
・••原方程有增根,,最简公分母x-3=0,解得:x=3,
当X=3时,m=-l,故选:C.
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值.注意计算的准确性.
Y
变式1.(2023上•河南安阳•九年级校考期末)若分式方程一三-丹=2有增根,则根的值为()
x-11—x
A.1B.-1C.2D.-2
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程,令分母x-l=0,代入整式方程计算机的值.
【详解】因为2上=2,
x-11-x
去分母得:x+m=2(x—1),解得:m=x—2
因为分式方程一三-=2有增根,
x-11-x
所以X—1=0,即:x=l是方程增根,
所以相=》-2=-1,故选B.
【点睛】本题考查了分式方程的增根问题,解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法.
2TTI
例5:(2022・四川遂宁•统考中考真题)若关于尤的方程一=丁]无解,则的值为()
x2.r+l
A.0B.4或6C.6D.0或4
【答案】D
【分析】先将分时方程化为整式方程,再根据方程无解的情况分类讨论,当加-4=0时,当根-4。0时,
x=0或2x+l=0,进行计算即可.
【详解】方程两边同乘工(2x+l),得2(2x+l)=如,整理得(加-4)x=2,
,・•原方程无解,,当根一4=0时,m=4;
21
当机一4w0时,x=0或2x+l=0,止匕时,兀=----,解得%=0或%=——,
m-42
2
当%=0时,x=------=0无角麻
m-4
121
当尤=一彳时,x=-----=解得〃?=0;
2m-42
综上,加的值为0或4;故选:D.
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况,即分式方程有增根,分两种情况,分别是最简公分母为0和化
成的整式方程无解,熟练掌握知识点是解题的关键.
变式1.(2023•河北沧州•校考模拟预测)"若关于x的方程鼻=昌+1无解,求。的值."尖尖和丹丹的
3x-93x-9
做法如下(如图1和图2):
尖尖:丹丹:
去分母得:ax=12+3x-9,去分母得:ax=12+3x-9,
移项得:ax-3x=12-9,移项,合并同类项得:
合并同类项得:3
(6Z-3)X=3,解得:x=r,
(〃-3)x=3,a-3
•••原方程无解,•.•原方程无解,为增根,
.•。3=0,/.3x-9=0,解得x=3,
.\a=3.3
/.-7=3,解得个4
a-3
图1图2
下列说法正确的是()
A.尖尖对,丹丹错B.尖尖错,丹丹对C.两人都错D.两人的答案合起来才对
【答案】D
【分析】根据分式方程无解情况①去分母后方程无解,②解出的解是增根,两类讨论即可得到答案;
【详解】解:由题意可得,去分母可得,ax=12+3x-9,移项合并同类项得,(a-3)x=3,
当。一3=0时,即a=3时方程无解,当。一3。0时,即时,%=--,
a-3
团方程鼻=丁二+1无解,即x=2是方程的增根,可得:3x-9=o,解得:x=3,
3x-93x-9a-3
3
团3=-解得:a=4,故选D;
。一3
【点睛】本题考查分式方程无解的情况,解题的关键是熟练掌握分式方程无解情况①去分母后方程无解,
②解出的解是增根.
3x+5x+3
4一2
例6:(2023•重庆渝中•校考一模)若关于x的不等式组\无解,且关于y的分式方程
1X+4
X--->--------
22
?1-1=工7有整数解,则满足条件的所有整数。的和为()
2-yy-2
A.10B.12C.16D.14
【答案】B
【分析】先求得不等式组中各不等式的解集,根据不等式组无解可求得。的取值范围,然后求得分式方程
的解,根据解为整数,且2力0,即可求得满足条件的所有整数。的值.
3x+5<x+3①
4—?
【详解】,解不等式①,得xWL解不等式②,得1.
x+—>------②
I22
3x+5x+3
一
因为关于X的不等式组\4z2无解,可得解得。22.
1x+a
x+—>---
122
解关于y的分式方程得>=—、.
2-yy-2a-l
团一^-为整数,a>2,---2*0,回。=2或。=3或a=7.
a—1a—1
回满足条件的所有整数。的和=2+3+7=12.故选:B.
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和解分式方程,牢记解一元一次不等式组和解分式方程的步骤
是解题的关键.
变式1.(2021・四川达州市•中考真题)若分式方程工3一4=-2芯+"的解为整数,则整数。=
x-1X+1
【答案】±1
【分析】直接移项后通分合并同类项,化简、用a来表示X,再根据解为整数来确定。的值.
【详解】解:工£一4='士处,-2-x--a---2-x-+-a=4/
x-lX+1x-lx+1
(2j(x+l)-(a-2x)(1)=4整理得:2
x=—
(x-l)(x+l)a
若分式方程工@-4=~2x+a的解为整数,
x-lx+1
「a为整数,当。=±1时,解得:x=E,经检验:x—1W0,X+1W0成立;
当a=12时,解得:x=+l,经检验:分母为0没有意义,故舍去;
综上:a=±l,故答案是:±1.
【点睛】本题考查了分式方程,解题的关键是:化简分式方程,最终用。来表示了,再根据解为整数来确
定a的值,易错点,容易忽略对根的检验.
变式2.(2023・广西九年级课时练习)若关于x的方程(a+l)x2+(2a-3)x+a-2=0有两个不相等的实根,且
关于x的方程;t-1=工的解为整数,则满足条件的所有整数a的和是_____.
1+XX+1
【答案】2
【分析】关于一元二次方程(a+1)x2+(2a-3)x+a-2=0利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a<
174
—且ax;,再解分式方程得到x=-7m~3),接着利用分式方程的解为整数得到a=0,2,-1,3,5,-
3,然后确定满足条件的a的值,从而得到满足条件的所有整数a的和.
【详解】团关于x的方程(a+l)x2+(2a-3)x+a-2=0有两个不相等的实根,
17
Ela+l*0且+=(2a-3)2-4(a+l)x(a-2)>0,解得a<一且a*-1.
8
把关于X的方程产njc-1=\3去分母得ax-l-x=3,解得*=4三5-3)
1+xx+1a-1
4
取工-1,团——。一1,解得ax-3,
a—1
4
团x=——(aw-3)为整数,0a-1=±1,±2,±4,
a-1
17
回a=0,2,-1,3,5,-3,而aV—JIaw-1且aw-3,
8
团a的值为0,2,团满足条件的所有整数a的和是2.故答案是:2.
【点睛】本题考查根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a*0)的根与A=b2-4ac有如下关系:当A>0
时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=()时,方程有两个相等的两个实数根;当△<()时,方程无实
数根.
核心考点2.分式方程的应用
例7:(2023•辽宁丹东•统考中考真题)"畅通交通,扮靓城市",某市在道路提升改造中,将一座长度为36
米的桥梁进行重新改造.为了尽快通车,某施工队在实际施工时,每天工作效率比原计划提高了50%,结
果提前2天成功地完成了大桥的改造任务,那么该施工队原计划每天改造多少米?
【答案】施工队原计划每天改造6米.
【分析】设施工队原计划每天改造x米,根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得:
¥=U而+2,解方程并检验可得答案―
【详解】解:设施工队原计划每天改造x米,
=
根据题意得:T(1+50%)X+2,解得彳=6,
经检验,x=6是原方程的解,
答:施工队原计划每天改造6米.
【点睛】本题考查分式方程的应用,解题的关键是读懂题意,找到等量关系列出分式方程.
变式1.(2023•山东淄博•统考中考真题)为贯彻落实习近平总书记关于黄河流域生态保护和高质量发展的
重要讲话精神,某学校组织初一、初二两个年级学生到黄河岸边开展植树造林活动.已知初一植树900棵
与初二植树1200棵所用的时间相同,两个年级平均每小时共植树350棵.求初一年级平均每小时植树多少
棵?设初一年级平均每小时植树x棵,则下面所列方程中正确的是()
9001200900_1200900_1200900_1200
I.------=----
350-xxx350+x350+%xx350-x
【答案】D
【分析】根据初一植树900棵与初二植树1200棵所用的时间相同列式求解即可得到答案.
【详解】解:由题意可得,%=上辔-,故选:D;
x350—x
【点睛】本题考查分式方程解决应用问题,解题的关键是找到等量关系式.
变式2.(2023•广东河源•统考三模)某工程队承接了60万平方米的绿化工程,由于情况有变,.…设原计
6060”
划每天绿化的面积为尤万平方米,列方程为(-20%卜一丁根据方程可知省略的部分是()
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果延误30天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成了这一任务
【答案】C
【分析】本题考查了分式方程的应用,根据给定的分式方程,找出省略的条件是解题的关键.根据工作时
间=工作总量+工作效率结合所列分式方程,即可找出省略的条件,此题得解.
【详解】解:设原计划每天绿化的面积为尤万平方米,
6060—6060
回所列分式方程为0_20%)Y一丁=,回(1-20%)x为实际工作时间,牛为原计划工作时间,
团省略条件:实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成了这一任务.故选:
C.
变式3.(2023•福建漳州・统考一模)某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道,现有两支施工队前来应
聘,村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况,获得如下信息.
信息一:甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天;
信息二:乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的1.5倍.
⑴根据以上信息,求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路?
(2)村委会将工程交给乙队,要求25天内完成.几天后因乙队接到抢险任务,经村委会同意,就将余下工
程交给甲队.那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天,才能按照村委会要求按时完成?
【答案】⑴甲施工队每天修40米道路,乙施工队每天修60米道路;
(2)在转交给甲队之前乙队至少要施工10天,才能按照村委会要求按时完成.
【分析】(1)设甲施工队每天修x米道路,则乙施工队每天修1.5尤米道路,利用工作时间=工作总量+工
作效率,结合甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天,可列出关于x的分式方程,解之
经检验后,可得出甲施工队每天修路的长度,再将其代入L5x中,即可求出乙施工队每天修路的长度;
(2)设在转交给甲队之前乙队施工y天,根据要求25天内完成修路任务,可列出关于y的一元一次不等
式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
【详解】(1)解:设甲施工队每天修x米道路,则乙施工队每天修L5x米道路,
根据题意得:段-警=10,解得:x=40,
x1.5x
经检验,x=40是所列方程的解,且符合题意,=1.5x40=60.
答:甲施工队每天修40米道路,乙施工队每天修60米道路;
(2)设在转交给甲队之前乙队施工y天,
根据题意得:40(25-y)+60y>1200,解得:y>10,也的最小值为10.
答:在转交给甲队之前乙队至少要施工10天,才能按照村委会要求按时完成.
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正
确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
例8:(2023,广东湛江•统考三模)某周日,珂铭和小雪从新天地小区门口同时出发,沿同一条路线去离该
小区1800米的少年宫参加活动,为响应节能环保,绿色出行的号召,两人步行,已知珂铭的速度是小雪的
速度的1.2倍,结果珂铭比小雪早6分钟到达.
⑴求小雪的速度;⑵活动结束后返回,珂铭与小雪的速度均与原来相同,若小雪计划比珂铭至少提前6分
钟回到小区,则小雪至少要比珂铭提前多长时间出发?
【答案】⑴小雪的速度是50米/分钟(2)小雪至少要比珂铭提前出发12分钟
【分析】本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用;
(1)设小雪的速度是x米/分钟,则珂铭速度是1.2x米/分钟,根据"珂铭比小雪早6分钟到达〃列出方程,
解方程并检验后即可得到答案;(2)求出珂铭与小雪全程所用的时间,根据"小雪计划比珂铭至少提前6分
钟回到小区”列出不等式,解不等式即可得到答案.
【详解】(1)解:设小雪的速度是x米/分钟,则珂铭速度是1.2无米/分钟,依题意得:
.-萼=6,解得:x=50,经检验x=50是原方程的解,
x1.2x
答:小雪的速度是50米/分钟.
(2)由(1)可知,珂铭速度是1.2x50=60(米/分钟),
珂铭全程用的时间是1800+60=30(分钟),
小雪全程用的时间是1800+50=36(分钟),
设小雪比珂铭提前。分钟出发,根据题意得,。+30-3626,解得。212,
答:小雪至少要比珂铭提前出发12分钟.
变式1.(2023・青海•统考中考真题)为了缅怀革命先烈,传承红色精神,青海省某学校九年级师生在清明
节期间前往距离学校15协7的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走,过了30min后,其余师生乘汽车出
发,结果他们同时到达;已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍,设骑车师生的速度为xkm/h.根据题
意,下列方程正确的是()
1511515151竺+3。=竺D,”="+3。
A.----F-=—B.——=-----F—C.
x22xx2x2x2xXlx
【答案】B
【分析】根据题意可直接进行求解.
【详解】解:由题意得:m+g;故选:B.
【点睛】本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是理解题意.
变式2.(2023•辽宁辽阳•统考三模)小明和小丽约定周末在学校门口集合,乘大巴车一起去本溪水洞游
玩,但由于小明有事,在小丽出发半小时后小明才到达校门口,然后小明立即乘出租车追赶,已知出租车
的速度是大巴车的L5倍,追赶上大巴车后继续前行,结果比小丽提前15min到达本溪水洞,已知学校到本
溪水洞的距离为90km,设大巴车的速度为xkm/h,根据题意,所列方程正确的是()
901901909011909011901901
A.——I■—=------1■—B.------=一+—+—C.一=----+—+—D.------+—=一+—
x41.5%21.5尤x24x1.5.x241.5尤4x2
【答案】C
【分析】设大巴车的速度为xkm/h,则出租车的速度是L5xkm/h,根据所用的时间,即可列出分式方程.
【详解】解:设大巴车的速度为Jtkm/h,则出租车的速度是1.5xkm/h,
根据题意得:—90=^90+^1+41,故选:C.
尤L5x24
【点睛】本题考查了分式方程的应用,解题的关键是理解题意,找到题目中蕴含的相等关系,并依据相等
关系列出方程.
变式3.(2022・四川自贡•统考中考真题)学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动,骑行爱好
者张老师骑自行车先行2小时后,其余师生乘汽车出发,结果同时到达;已知汽车速度是自行车速度的3
倍,求张老师骑车的速度.
【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时
【分析】实际应用题的解题步骤"设、列、解、答",根据问题设未知数,找到题中等量关系张老师先走2
小时,结果同时达到列分式方程,求解即可.
【详解】解:设张老师骑车的速度为x千米/小时,则汽车速度是3x千米/小时,
根据题意得:”45=4?5+2,解之得x=15,经检验x=15是分式方程的解,
x3x
答:张老师骑车的速度为15千米/小时.
【点睛】本题考查分式方程解实际应用题,根据问题设未知数,读懂题意,找到等量关系列出分式方程是
解决问题的关键.
例9:(2023•江苏盐城•统考中考真题)某校举行"二十大知识学习竞赛"活动,老师让班长小华到商店购买
笔记本作为奖品.甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元(单价均为整数).
⑴若班长小华在甲商店购买,他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同,求
甲商店硬面笔记本的单价.⑵若班长小华在乙商店购买硬面笔记本,乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件
(软面笔记本单价不变):一次购买的数量少于30本,按原价售出;不少于30本按软面笔记本的单价售
出.班长小华打算购买加本硬面笔记本(加为正整数),他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的
费用相同,求乙商店硬面笔记本的原价.
【答案】⑴甲商店硬面笔记本的单价为16元;(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】(1)根据"硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程,求解检验即可;(2)设乙商店硬面笔
记本的原价为。元,则软面笔记本的单价为(。-3)元,由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相
/\/、Im<30
同可得〃IM)"),再根据-5三0且上均为正整数,即可求解
【详解】(1)解:设硬面笔记本的单价为x元,则软面笔记本的单价为(%-3)元,根据题意得
包240二195?,解得尤=16,经检验,x=16是原方程的根,且符合题意,
xx-3
故甲商店硬面笔记本的单价为16元;
(2)设乙商店硬面笔记本的原价为〃元,则软面笔记本的单价为(。-3)元,
Im<30
由题意可得加+523。’解得25"<3。,
根据题意得7因=(m+5)(。-3),解得。=网产,
•.•机为正整数,,机=25,26,27,28,29,分别代入。="产,
可得。=18,18.6,19.2,19.8,20.4,由单价均为整数可得a=18,
故乙商店硬面笔记本的原价18元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用,解题的关键是找准等量关系,正确列出相
应方程.
变式1.(2023•广东湛江•统考三模)"五一"期间,我市某商场举行促销活动,活动期间规定:商场内所有商
品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:根据
促销方法,顾客在该商场购物可获得双重优惠.例如,购买标价为450元的商品,则消费金额为
450x0.8=360(元),获得优惠额为:450x0.2+30
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