2025年新高考数学一轮复习：抛物线及其性质（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第07讲抛物线及其性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：抛物线的定义与标准方程.................................................2

题型二：抛物线的轨迹方程.......................................................2

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题...........................................3

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题.......................................3

题型五：焦半径问题.............................................................4

题型六：抛物线的几何性质.......................................................4

题型七：抛物线焦点弦的性质.....................................................5

题型八：抛物线的实际应用.......................................................6

02重难创新练..................................................................7

03真题实战练.................................................................11

题型一：抛物线的定义与标准方程

22

1.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点厂在，轴正半轴上.若点尸到双曲线C2：二-2=1的一条渐近

26

线的距离为2,则G的标准方程是（）

A28A/3R216A/3

A.y=------xD.y=-------x

33

C.x2=8yD.x2=16y

2.若点P（x,y）满足方程"（x-l）2+（y-2）2=段+:+12],则点方的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

3.（2024•陕西安康•模拟预测）过点（2,-3）,且焦点在V轴上的抛物线的标准方程是（）

42

A.x2=-3yB.x2=~~yC.x2=--yD.x2=-4y

题型二：抛物线的轨迹方程

4.点A（l,0）,点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB,则点P的轨迹方程为.

5.在平面坐标系中，动点尸和点”（一3,0）、N（3,0）满足|MN|.|"尸|+MN-N尸=0,则动点P（x,V）的轨迹方

程为.

6.若圆C与无轴相切且与圆/+/=4外切，则圆C的圆心的轨迹方程为（）

A.x2=4y+4B.x2=-4y+4

C.x2=4\y\+4D.x2=4y-4

7.（2024•高三•云南昆明•开学考试）已知点尸到点尸（0,1）的距离比它到直线/：y+2=0的距离小1,则点尸

的轨迹方程为（）

A.无2=-4yB.x2=4y

C.y2=-4xD.y?=4尤

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题

8.已知抛物线C:/=4x的焦点为歹，点矶3,-1）,若点A为抛物线上任意一点，当|筋|+忆目取最小值时，

点A的坐标为.

9.已知点A（2,0）,8（1,4）,M.N是N轴上的动点，且满足MN=4,的外心P在N轴上的射影为。，

则PQ+PB的最小值为.

10.已知A（3,2）,抛物线C:y=8x的焦点为尸，尸是抛物线C上任意一点，则△7作周长的最小值为.

11.已知抛物线y?=16x,的焦点为尸，尸点在抛物线上，0点在圆C：（x-6）2+（y-2）2=4±,则卢。|+「川

的最小值为.

12.（2024•陕西渭南•二模）若点A在焦点为尸的抛物线丁=-8x上，且|AF|=4,点尸为直线尤=2上的动

点，贝ij|P4|+|PF|的最小值为.

13.抛物线C:/=8x的焦点为尸，准线为/,点尸是准线/上的动点，若点A在抛物线C上，>|AF|=10,

贝”网+|PO|为坐标原点）的最小值为.

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题

14.已知抛物线V=4%的焦点为尸，过尸的直线/与抛物线交于A、8两点，若一AOF面积是一3。产面积的

两倍，则|明=（）

A.4B.—C.5D.—

22

15.（2024・四川乐山•三模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为尸，准线为/,过点歹的直线交C于P,Q两点，

PH上/于H,^\HF\^\PF\,。为坐标原点，则△母H与.。尸。的面积之比为（）

A.6B.8C.12D.16

16.（2024・高三・贵州贵阳•开学考试）已知抛物线C：V=2x的焦点为尸,A（九〃）是抛物线。上的一点，若

M=j,则△as（。为坐标原点）的面积是（）

A.-B.1C.2D.4

2

17.已知抛物线C：y2=8x,点P为抛物线上任意一点，过点尸向圆£）：Y+y2-4x+3=0作切线，切点

分别为A,2,则四边形2Z汨的面积的最小值为（）

A.1B.2C.73D.75

18.如图，已知抛物线C：/=2加（0>0）的焦点为尸，直线/与C相交于A,8两点，与》轴相交于E点.

△的的面积分别为耳，S],且兽=3,则抛物线C的方程为（）

已知|AF|=7,忸司=3,若AAE厂,

d2

B.y1=4x

C.y2=6xD.y1=8x

题型五：焦半径问题

19.（2024.广东佛山.模拟预测）设厂为抛物线C:/=4x的焦点，点A在C上，且在第一象限，若直线AF

的倾斜角为三，贝1|诙卜（）

A.2B.3C.4D.5

20.（2024・高三•江苏南通•开学考试）已知焦点为尸的抛物线V=2x上A8两点满足卜忸周+1=4,则

A8中点的横坐标为.

21.已知抛物线f=4y的焦点为尸，过尸的直线/交抛物线于A、8两点，若|AF|=4忸可，则

/=-

题型六：抛物线的几何性质

22.（多选题）已知抛物线C与抛物线V=8y关于无轴对称，则下列说法正确的是（）

A.抛物线C的焦点坐标是（0,-2）B.抛物线C关于x轴对称

C.抛物线C的准线方程为y=2D.抛物线C的焦点到准线的距离为8

23.（多选题）已知抛物线C:/=4y的焦点为R点尸为C上任意一点，若点”（1,3）,下列结论错误的

是（）

A.|P刊的最小值为2

B.抛物线C关于x轴对称

C.过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条

D.点P到点M的距离与到焦点厂距离之和的最小值为4

24.（多选题）己知抛物线C:/=4y的焦点为R点尸为C上任意一点，若点”（1,3）,下列结论正确的

是（）

A.|P耳的最小值为2

B.抛物线C关于x轴对称

C.过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条

D.点P到点M的距离与到焦点厂距离之和的最小值为4

题型七：抛物线焦点弦的性质

25.（多选题）设。为坐标原点，直线丫=/（1）过抛物线。：y=2「匹（0>0）的焦点，且与C交于A8两

点，/为C的准线，则（）

A.p=lB.|AB|=8

C.以A3为直径的圆与/相切D.SAAOB=4

26.（多选题）已知直线/经过抛物线C：尤2=4〉的焦点歹，且与C交于点A,B,点O为坐标原点，点A,

8在X轴上的射影分别为4，4，点A,B在V轴上的射影分别为4，则（）

A.|闯。4|=4

B.网慨2卜］

C.1-1+4忸尸|的最小值为7

2

D.A|+1^52|<^2AB+40A-OB

27.（多选题）设抛物线y2=4x,P为其焦点，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（）

A.抛物线的准线方程是％=-1

B.焦点到准线的距离为4

C.若A（2,l）,则|网+|尸盟的最小值为3

D,以线段尸尸为直径的圆与'轴相切

28.（多选题）（2024•高三•江苏南京•开学考试）抛物线C:尤2=2py的焦点为尸,尸为抛物线上一动点，当尸

运动到&2）时，|P耳=4,直线/与抛物线相交于A3两点，则下列结论正确的是（）

A,抛物线的方程为：x2=8y

B.抛物线的准线方程为：y=-4

C.当直线/过焦点厂时，以AF为直径的圆与x轴相切

D.当直线/过焦点厂时，以A2为直径的圆与准线相切

29.（多选题）已知抛物线C：V=4x,直线/过C的焦点厂，且与C交于M,N两点，则（）

A.C的准线方程为x=-2

B.线段"N的长度的最小值为4

C.存在唯一直线/,使得歹为线段的中点

D.以线段为直径的圆与C的准线相切

题型八：抛物线的实际应用

30.（2024•全国•模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分

的桥面跨度为21.6m,拱顶距水面10.9m,路面厚度约1m.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，

使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（）

A.3mB.4mC.5mD.6m

31.（2024•山西晋城•一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至

滨江东路.雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设

该抛物线的焦点到准线的距离为。米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻

两根吊索之间的距离均为。米（将每根吊索视为线段）.已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距

离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点8到桥面的距离）为（）

98/+pb业

PP

169/+pb辽169a2+2pb

P

32.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽A3为2m,渠深OC为1.5m,水面防距

AB为0.5m,则截面图中水面宽E户的长度约为（）（0.L414，1.732,2.449）

A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m

33.（2024・湖北•模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为

经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为

10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光

灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（）（结果精确到0.01）

A.4.96B.5.06C.4.26D.3.68

1.（2024・湖北•模拟预测）已知抛物线C：V=12y和圆M:d+y2-4x-4y+4=0,点F是抛物线C的焦

点，圆”上的两点A8满足AO=2A£BO=2B尸，其中。是坐标原点，动点尸在圆M上运动，贝”到直

线A3的最大距离为（）

A.2+V2B.拒C.4+72D.20

2.（2024・高三•河南焦作•开学考试）已知点A12p+l,3p+；|在抛物线C:f=2刀（p>0）上，则C的焦点

与点（1,2）之间的距离为（）

A.4B.#C.2D.72

3.（2024.四川.模拟预测）已知抛物线C：/=8y的焦点为RP是抛物线。上的一点，O为坐标原点,

|。尸|=4石，则阀=（）

A.4B.6C.8D.10

4.（2024•北京海淀•三模）已知抛物线丁=4尤的焦点为尸、点M在抛物线上,垂直y轴于点N,若|上回=6,

则脑VF的面积为（）

A.8B.4A/5C.5^5D.10小

5.（2024•江西九江•二模）已知抛物线C:J=2px过点4（1,2）,歹为C的焦点，点P为C上一点，。为坐

标原点，贝U（）

A.C的准线方程为x=-2

B.Y4FO的面积为1

C.不存在点尸，使得点P到C的焦点的距离为2

D.存在点尸，使得PQF为等边三角形

6.（2024•湖南邵阳三模）已知抛物线C：丁=2内（。>0）的焦点为产，点1-1,曾在C的准线上，点8在

C上且位于第一象限，FA±FB,贝（）

A475口8Mr10^5八IOA/10

3333

7.（2024・湖北•模拟预测）已知抛物线。：：/=2〃%（2>0）的焦点为尸，过户的直线/与。与交于45两点

（A点在x轴上方），点若|AF|=|A£>|,忸刊=g,则C的方程为（）

A.>2=1%B.y2=~xC.y2=2xD.y2=4x

8.（2024.新疆.三模）已知抛物线C/=光的焦点为尸，在抛物线。上存在四个点尸，M,Q,N,若弦尸。

11

与弦的交点恰好为R且PQLMN,则国|+丽二（）

A.—B.1C.J2D.2

2Y

22

9.（2024•西藏林芝•模拟预测）已知O为坐标原点，设双曲线C的方程为=-斗=1（。>01>0）,过抛物

a'b"

线y2=4x的焦点和C的虚轴端点的直线/与C的一条渐近线平行.将C的两条渐近线分别记为4，，右焦

点记为F,若以。尸为直径的圆M交直线《于。，A两点，点8在4上，且54=2”，贝lJsinNOBA=（）

10.（多选题）（2024•山西•模拟预测）已知抛物线C：V=4x的焦点为RC的准线/与x轴交于点尸，过尸

的一条直线与C交于两点，过作/的垂线，垂足分别为S,T,则（）

A.\MF\-\NP\^\NF\-\MP\B.ZMFS+ZNFT=^

c.|A^|.|2VF|=|SF|.|7F|D..MZVF的面积等于△srr的面积

11.（多选题）（2024•陕西•一模）已知曲线4的方程为/=是以点A（0,。）为圆心、1为半径的圆位于y

轴右侧的部分，则下列说法正确的是（）

A.曲线4的焦点坐标为

B.曲线△过点（1,。）

C.若直线丁=尤+2被乙所截得的线段的中点在〃上，则“的值为21

2

D.若曲线心在乙的上方，则。

12.（多选题）（2024•河南周口•模拟预测）已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为尸（l,0）,过点（2,0）的动

直线与C交于N两点，则下列说法正确的是（）

A.|MN|＞2710

B.若|MN|=8近，则|MF|+|NV|=14

C.（|MV|-l）（|NF|-l）为定值

D..MNP为钝角三角形

13.（多选题）（2024.浙江•模拟预测）已知曲线C上的点满足：到定点（1,0）与定直线V轴的距离的差为定

值加，其中，点A,2分别为曲线C上的两点，且点3恒在点A的右侧，贝IJ（）

A.若机=g,则曲线C的图象为一条抛物线

B.若m=1,则曲线C的方程为丁=4尤

C.当加＞1时,对于任意的A（%,y0）,8（%,%）,都有㈤＞闯

D.当租＜-1时，对于任意的8（%,为）,都有国＞闯

14.（2024•福建福州•模拟预测）已知抛物线C：V=4x的焦点为e，点加在。上，且点/到直线x=-2的

距离为6,则阿同=.

15.（2024.海南•模拟预测）己知抛物线C:/=6x的焦点为F,过点厂的直线/与抛物线C交于M,N

两点，若\MN\=54,则直线/的斜率为.

16.（2024・陕西铜川•模拟预测）己知“（3,0）,抛物线y2=4x的焦点为凡准线为/,点A是直线/与x轴

的交点，过抛物线上一点P作直线/的垂线，垂足为。，直线尸尸与加。相交于点N,若NA+NP=MN,则

△AMN的面积为.

17.（2024.福建泉州.模拟预测）若过抛物线C：V=4x的焦点F,且斜率为〃2（相＞0）的直线交C于点A（&y）

和B（x2,y2）,交C的准线于点。（七,%），则机Z七%的最小值为.

1=1

18.（2024•江西南昌•模拟预测）已知点7（2,-2）在抛物线C:y2=2px上，也在斜率为1的直线/上.

（1）求抛物线C和直线/的方程；

（2）若点M,N在抛物线C上，且关于直线/对称，求直线的方程.

19.（2024・浙江•二模）已知点P（l,2）为抛物线C:y?=2px与圆O:V+y2=产在第一象限的交点，另一交

点为Q.

⑴求P/；

⑵若点R在圆。上，直线网为抛物线C的切线，求aPQR的周长.

20.（2024•河南•三模）已知抛物线C：y2=2加（p>0）的焦点为R点加0,2月）为C上一点.

（1）求直线板的斜率；

（2）经过焦点厂的直线与C交于A,8两点，原点O到直线A3的距离为与，求以线段为直径的圆的标

准方程.

21.（2024.江苏南京.二模）在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点。的抛物线E经过点A（9,6）.

（1）求抛物线E的方程；

（2）若抛物线E不经过第二象限，且经过点3（0,3）的直线/交抛物线后于叔，N,两点（忸必<|8N|）,过加

作x轴的垂线交线段Q4于点尸.

①当经过抛物线E的焦点厂时，求直线NP的方程；

②求点A到直线NP的距离的最大值.

㈤3

1.（多选题）（2024年新课标全国n卷数学真题）抛物线C：y2=4x的准线为/，尸为C上的动点，过尸

作04:%2+（>一4）2=1的一条切线，。为切点，过P作/的垂线，垂足为8,贝U（）

A./与〈A相切

B.当尸，A,B三点共线时，|尸。|=店

C.当|PB|=2时，PA±AB

D.满足IPAI=IPBI的点P有且仅有2个

2.（多选题）（2023年新课标全国H卷数学真题）设。为坐标原点，直线y=-G（x-l）过抛物线

C：V=2px（p>0）的焦点，且与C交于M,N两点，/为C的准线，则（）.

Q

A.p=2B.|MA^|=-

C.以MN为直径的圆与/相切D.，刎V为等腰三角形

3.（多选题）（2022年新高考全国n卷数学真题）已知。为坐标原点，过抛物线。:/=2。吠0>0）焦点

下的直线与C交于A,B两点，其中A在第一象限，点M（p,0）,若|2F|=|AM|,则（）

A.直线AB的斜率为26B.\OB\=\OF\

C.\AB\>4|OF|D.AOAM+AOBM<180°

4.（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知。为坐标原点，点ACM）在抛物线C:x2=2py（p>0）

上，过点项0,-1）的直线交。于P,。两点，则（）

A.C的准线为y=-lB.直线48与C相切

C.|0「卜|0。|>|04『D.\BP\\BQ|>|BA|2

5.（2024年北京高考数学真题）抛物线9=I6x的焦点坐标为.

6.（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知抛物线y2=4x上有一点尸到准线的距离为9,那

么点尸到了轴的距离为.

7.（2024年天津高考数学真题）圆（X-1）2+V=25的圆心与抛物线y2=2px（p>0）的焦点尸重合，A为两

曲线的交点，则原点到直线"的距离为.

8.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点A（l,占）在抛物线C：9=2»上，则A到C的准线的

距离为.

9.（2021年北京市高考数学试题）已知抛物线y2=4尤的焦点为产，点加在抛物线上，垂直x轴于点N.

若刊=6,则点M的横坐标为；一MN/的面积为.

10.（2021年全国新高考I卷数学试题）已知。为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为歹，P为

C上一点，PF与x轴垂直，。为无轴上一点，且尸QLOP,若「。|=6,则C的准线方程为.

11.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为F,点0（p,0）,过尸的

直线交C于M,N两点.当直线垂直于无轴时，|“q=3.

⑴求C的方程；

（2）设直线地,初与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为见月.当a-6取得最大

值时，求直线的方程.

12.（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知尸是抛物线丁=2川（夕>0）的焦点，/是抛物线的准线与

无轴的交点，且|“尸|=2,

（1）求抛物线的方程；

（2）设过点尸的直线交抛物线与两点，斜率为2的直线/与直线必MB,AB,x轴依次交于点P,Q,

R,N,且|RN「=|PN|.|QN|,求直线/在X轴上截距的范围.

13.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸到准线的距离为2.

（1）求C的方程；

（2）已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足尸。=9。/，求直线OQ斜率的最大值.

14.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=l

交C于P,。两点，且。尸，OQ.已知点M（2,0）,且与/相切.

（1）求C,M的方程；

（2）设是c上的三个点，直线44，AA均与〃相切.判断直线&A与“的位置关系，并

说明理由.

第07讲抛物线及其性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：抛物线的定义与标准方程.................................................2

题型二：抛物线的轨迹方程.......................................................2

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题...........................................3

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题.......................................3

题型五：焦半径问题.............................................................4

题型六：抛物线的几何性质.......................................................4

题型七：抛物线焦点弦的性质.....................................................5

题型八：抛物线的实际应用.......................................................6

02重难创新练..................................................................7

03真题实战练.................................................................11

题型一：抛物线的定义与标准方程

22

1.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点厂在，轴正半轴上.若点尸到双曲线C2：二-2=1的一条渐近

26

线的距离为2,则G的标准方程是（）

A28A/3R216A/3

A.y=------xD.y=-------x

33

C.x2=8yD.x2=16y

【答案】A

【解析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程

22

中的P,则抛物线方程可求.双曲线C?的渐近线方程是二-21=0,即y=±氐.

26

因为抛物线的焦点E（0,£（P>0）到渐近线瓜_y=0的距离为2,

则［i==2,即P=8,所以G的标准方程是无2=16y,

2V3+1

故选：D.

2.若点尸（x,y）满足方程J（x-iy+（y-2）2=肉+?+12］,则点尸的轨迹是（）

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

【答案】A

［解析】等式左侧表示点尸（x,可与点（L2）间的距离，

等式右侧表示P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离，

整个等式表示点P（x,y）到点（1,2）的距离和到直线3x+4y+12=0的距离相等,

且点（L2）不在直线3x+4y+12=0上，

所以点尸轨迹为抛物线.

故选：D.

3.（2024・陕西安康•模拟预测）过点（2,-3）,且焦点在'轴上的抛物线的标准方程是（）

42

A.x2=-3yB.x2=--yC.x~=--yD.x2=-4y

【答案】A

【解析】设抛物线的标准方程为炉=◎(a*0),

4

将点点(2,-3)代入，得22=-3。，解得a=-§,

所以抛物线的标准方程是无2=-]y.

故选：B

题型二：抛物线的轨迹方程

4.点A(1,O)，点2是x轴上的动点，线段P2的中点E在y轴上，且AE垂直PB,则点P的轨迹方程为.

【答案】丁=4x(5)

【解析】设尸(％»)，川州0)，则石(乎，由点E在y轴上，得f=0,则冽=r,即E]O，£].又

2

AE±PB,若xwO,贝力,2y即丁=4%.若%=0,则切=0,此时点尸，3重合，直线

K-K=-----x—=—1

AEFPBR0-12x

P8不存在.所以点P的轨迹方程是丁=4苫(%*0).

故答案为：y2=4x(x^O).

5.在平面坐标系中，动点P和点加(-3,0)、N(3,0)满足|MN|.|M尸|+MN-N尸=0,则动点次苍V)的轨迹方

程为.

【答案】y2=-12x

[解析1由题意=(6,0),MP=(x+3,y),NP=(x-3,y),

由IMN|•|MP|+MN-NP=0得6j(x+3)2+;/+6(x-3)=0，

化简得y2=-12x.

故答案为：y2=-12x.

6.若圆C与x轴相切且与圆V+/=4外切，则圆C的圆心的轨迹方程为()

A.x2=4y+4B.x1--4y+4

C.X2=4|J|+4D.x2=4y-4

【答案】B

【解析】设圆心坐标为(x,y)，依题意可得J心+y=2+3,化简得了2=4祝+4,

即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.

故选：C

7.(2024・高三•云南昆明•开学考试)已知点尸到点尸(0,1)的距离比它到直线/："2=0的距离小1,则点尸

的轨迹方程为()

A.x2=-4yB.x2=4y

C.y2=-4xD.y2=4x

【答案】A

【解析】由题意，点尸到点尸(o,i)的距离等于它到直线y=-i的距离，

则点P的轨迹是以尸为焦点，＞=-1为准线的抛物线，则点P的轨迹方程为x2=4y,

故选：B.

题型三：与抛物线有关的距离和最值问题

8.已知抛物线C:4x的焦点为尸，点3(3,-1),若点A为抛物线上任意一点，当|AB|+|AF|取最小值时,

点A的坐标为.

【答案】

【解析】抛物线C：y2=4x的焦点为F(l,0),准线方程为x=—l,

过点A作AC垂直准线交于点C,贝“AF|=|AC|,

所以|AB|+|AF：=|AB|+|AC|»|3C，当且仅当B、A、c三点共线时取等号，

即A8平行于无轴时|AB|+|AF|取最小值，此时以=-1，则(-1)2=4/，即％=；,

所以心-11

故答案为：(才—1]

9.已知点A(2,0),5(l,4),M,N是V轴上的动点，且满足MN=4,的外心尸在V轴上的射影为。,

则PQ+PB的最小值为.

【答案】3

【解析】设点M（OJ）,则N（OJ-4））根据点尸是一AAW的外心,P（x,r—2）,

而1PMl2则/+4=（*_2）2+«_2）2

所以尤=七或，〉._2

4

从而得到点尸的轨迹为>2=4x,焦点为尸（1,0）

由抛物线的定义可知归同=|PQ|+1因为|尸盟+|也沦忸尸|=4,

\PF\+\PB\=\PQ\+]+\PB\>4,

即|PQ|+|冏23,

所以|PQ|+|PB|的最小值为3,

故答案为：3

10.已知43,2）,抛物线C:/=8x的焦点为F,P是抛物线C上任意一点，则2X24厂周长的最小值为

【答案】5+45

【解析】抛物线的准线x=-2,F（2,0）,过点P作阳垂直于准线，

由题可知，AR4F的周长为|AF|+|R4|+|尸盟=|AF|+|R4|+|PM，

又|AF|=,J（3-2）2+22=非,

易知当A,P,”三点共线时，的周长最小，且最小值为5+班.

故答案为：5+75

11.已知抛物线y?=16无，的焦点为凡尸点在抛物线上，0点在圆C：(X-6)2+(J-2)2=4±,则怛。|+|尸尸|

的最小值为.

【答案】8

【解析】如图，过点尸向准线作垂线，垂足为A,则|尸司=|上4|,

当CP垂直于抛物线的准线时，依尸|+归山最小，

此时线段CP与圆C的交点为0,因为准线方程为尤=^,C(6,2),

半径为2,所以|PQ|+|「目的最小值为阐=图-2=10-2=8.

故答案为：8.

12.(2024•陕西渭南•二模)若点A在焦点为尸的抛物线产=一8彳上，且|AF|=4,点尸为直线尤=2上的动

点,贝IJ|科+|尸盟的最小值为.

【答案】4乖

【解析】抛物线y2=-8x的焦点厂(-2,0),准线X=2,设4%,%),

贝“AF|=2-%=4,解得％=-2,显然尤=16,%=±4,不妨设A(-2,4),

尸(-2,0)关于直线尸2的对称点为尸'(6,0),则|PP|=|PP|

因此|到+|尸盟=|到+|PF[,当且仅当A,P,F'三点共线时取等号，

所以|到+|P盟的最小值为7(-2-6)2+(4-0)2=475.

故答案为：46

13.抛物线C：V=8尤的焦点为歹，准线为/,点P是准线/上的动点，若点A在抛物线C上，且|A同=10,

贝”网+|PO|(。为坐标原点)的最小值为.

【答案】4屈

【解析】由C：V=8x,得p=4,所以尸(2,0),准线/为x=—2,

不妨设点A在第一象限，过A作于8,则|A典=|A同=4+2=10,得/=8,

则只=8x8,得乃=8,所以4(8,8),

设点。关于直线x=-2对称点为0(-4,0),则户0|=|/科，

所以|上4|+|PO|=|PA|+|PZ)|>\AD\=’(8+4)2+8。=4而，

当且仅当AP,。三点共线时取等号，

所以|X4|+|PO|的最小值为4万,

故答案为：4^13

题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题

14.已知抛物线y2=4%的焦点为尸，过尸的直线/与抛物线交于A、2两点，若jlOF面积是..次万面积的

两倍,则|AB|=()

911

A.4B.—C.5D.—

22

【答案】A

【解析】由题意得尸。,0),当直线/的斜率为0时，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去；

设过尸的直线/的方程为x=l+缈，与抛物线丁=4尤联立得,

y1—4my—4=0,

设4(%,%),3(%,%),%>0,%<0，则M+必=4〃7，M%=-4,

因为AOF面积是，3Q尸面积的两倍，所以％=-2丫2，

贝U%%=-2>；=—4,解得％=-〃，则％=-2%=2拒，

则4m=%+%=^2,解得m=，

故&+%=乎(％+%)+2="|，

故选：B

15.(2024・四川乐山.三模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为产，准线为/,过点E的直线交C于P,。两点,

PHLI于H,^\HF\=\PF\,。为坐标原点，则△PFH与，。/。的面积之比为()

A.6B.8C.12D.16

【答案】B

【解析】依题意，由P//JL/于H,得|P"|=|PF|=|HF|,即△PEH是正三角形，NPFx=NFPH=60,

而尸(2,0),则直线尸。的方程为了=如。-2),

由［。一"。一2),消去y并整理，得3--20x+12=0,

U=8x

2

令尸(占,%),。(%,%),解得％=6,%=§,又准线/:x=-2,

Q

因止匕IPb|=玉+2=8]QF\=x2+2=-,

1

q—|PF|92sin60*2

所以APFH与OFQ的面积之比沁=产--------------=4=12.

3'Q||eF||OF|sin60|x2

故选：C.

16.（2024・高三・贵州贵阳•开学考试）已知抛物线C：V=2x的焦点为£A（八〃）是抛物线。上的一点，若

M=j,则△Q4F（。为坐标原点）的面积是（）

A.-B.1C.2D.4

2

【答案】A

【解析】由题可得歹（；，0；因为|AF|=g=m+；,

所以机=2,/=4,

所以一OAP（O为坐标原点）的面积是gxgx2=j

故选：A.

17.已知抛物线C：y2=8x,点p为抛物线上任意一点，过点P向圆£＞：/+丫2一41+3=0作切线，切点

分别为A,B,则四边形2Z汨的面积的最小值为（）

A.1B.2C.73D.6

【答案】B

【解析】如图，连接尸£）,圆。：（X-2）2+/=1,该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1,

则S四边形PADB=^Rt^PAD=|P4|•

又|PA|=J|卬2-1,所以当四边形RWB的面积最小时，|尸。最小.

过点P向抛物线的准线x=-2作垂线，垂足为E,贝”/犯=|咫，

当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时眼|=2.

故图边加皿）皿=（晒W）=6.

\/min

故选：C

18.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线/与C相交于A,B两点，与，轴相交于E点.

已知|盟=7,|网=3,若△但△①/的面积分别为跖，S2,且今=3,则抛物线C的方程为()

C.V=6xD.y2=Sx

【答案】A

【解析】如图，过48分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M,N,

因为C的