2025年新高考数学一轮复习：平面向量中的最值与范围问题【十大题型】解析版

平面向量中的最值与范围问题【十大题型】

►题型归纳

【题型1定义法求最值（范围）问题】..........................................................4

【题型2基底法求最值（范围）问题】..........................................................6

【题型3坐标法求最值（范围）问题】.........................................................10

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】.........................................14

【题型5与数量积有关的最值（范围）问题】...................................................16

【题型6与模有关的最值（范围）问题】......................................................21

【题型7平面向量中参数的最值（范围）问题】.................................................23

【题型8极化恒等式】........................................................................26

【题型9矩形大法】..........................................................................30

【题型10等和（高）线定理】....................................................................33

►命题规律

1、平面向量中的最值与范围问题

平面向量中的范围、最值问题是高考的热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的

交汇组合；其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系

数的范围等.

►方法技巧总结

【知识点1平面向量中的最值与范围问题的解题策略】

1.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：

（1）“形化"，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图

形的特征直接进行判断；

（2）“数化"，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方

程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.

2.平面向量中的最值(范围)问题的常用解题方法：

(1)定义法

①利用向量的概念及其运算将所求问题进行转化，得到相应的等式关系；

②运用基木不等式、二次函数求其最值(范围)问题，即可得出结论.

(2)坐标法

①建立适当的直角坐标系，把几何图形放在坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标；

②将平面向量的运算坐标化，进行相应的代数运算和向量运算；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围).

(3)基底法

①适当选取一组基底，利用基底转化向量；

②写出向量之间的联系，根据向量运算律化简目标，构造关于设定未知量的关系式来进行求解；

③运用适当的数学思想方法如：二次函数、基本不等式、三角函数等思想方法来求解最值(范围)，

即可得出结论.

【知识点2极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|£+斤+|3—斤=2（|不+,『）,

证明：不妨设4B=a,AD=石,贝!J/C=a+B,DB=a-b>

22

阿=宓=R+S）=同2+2a-b+|S|①,

阿=加=(£一可=同一2鼠叼邛②,

①②两式相加得:

\AC

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：a-b=--------极化恒等式

平行四边形模式：«-ft=|[|^C|2-|£)S|2].

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即就•於=

--------2--------2

AM—为的中点)(如图).

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点3矩形大法】

1.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等.

即：已知点。是矩形与所在平面内任一点，可以得到：O^2+OC2=(9S2+OD2.

【知识点4等和(高)线定理】

1.等和(高)线定理

(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若5?=2方+〃无%〃CR),

则%+〃=1,由△0/8与△(?©夕相似,必存在一个常数依KR,使得苏=kOP，则苏=kOP=kXOA+k^tOB,

又OP=x。！+yOB(x,y€R),；.x+y=H+M=左；反之也成立.

(2)平面内一个基底｛扇，无｝及任一向量苏，OP'=XOA+f^OB^iER),若点P在直线N8上或在平

行于N2的直线上，贝〃+〃=©定值)；反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和(高)

线.

①当等和线恰为直线N3时，k1；

②当等和线在。点和直线42之间时，住（0,1）；

③当直线48在。点和等和线之间时，住（1,+8）；

④当等和线过。点时，k=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值自，上2互为相反数;

⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.

►举一反三

【题型1定义法求最值（范围）问题】

【例1】（24-25高三上•广东・开学考试）已知单位向量耳索的夹角为争则同一t（无一砌|（teR）的最小值

为（）

A.|B.亨C.1D.|

【解题思路】直接利用数量积与模的关系结合二次函数的性质计算即可.

【解答过程】易知万•诙=COS3=

所以|瓦—t(无一归)|2=|(l-t)e］：+tej|2=(l-t)2+2(l-t)t-|+t2

3

-t+1-t2+-

--_4

即当t=4时,IW-t（e?-^）lmin=y.

故选：B.

【变式1-1］（23-24高一下•安徽芜湖•期中）如图，已知点G是△/!回的重心，过点G作直线分别与4B,AC

两边交于M,N两点，设病=x荏，AN=yAC,则x+4y的最小值为（）

A.9B.4C.3D.|

【解题思路】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.

【解答过程】由点G是△48C的重心，AM^xAB,AN^yAC,

故而=+而）=l（^AM+-AN）=j-AM+j^AN,

11

由G、M、N三点共线，故五+豆=1,

则比+4、=0+4/©+［）="打£+5冶+2再焉=3,

当且仅当爱=/即x=l,y=：时，等号成立.

故选：C.

【变式1-2］（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）点。是△ABC所在平面内一点，若刀+南+沆=0,AM

=xAB,AN=yAC,~MO=WN,则久y的最小值为（）

124

A.-B.1C.~D.-

【解题思路】易知。为△ABC的重心，由题意，根据重心的性质可得:+；=箸=3,结合基本不等式计

算即可求解.

【解答过程】由题意知，OA+OB+OC^O,则。为△ABC的重心，

由箱=xABAN=yAC^MO=4而知，

4M,8三点共线，4MC三点共线，M,O,N三点共线，

---->2---->----»---->----»---->---->----»

如图，。为3c的中点，且40=E4D,M0=AL4+40,0N=04+4N,

由丽=4而，得加+而=2（福+而），又府=久彳瓦丽=y/,

所以|（1+A）AD=AyAC+xAB,

-*入y*x>3AV>3x>

ACABACAS

即4°=I（I+A）+I（I+A）=2（I+A）+2（I+A）,

因为。为8c的中点，所以而=夕+冠，

3Ay_1_l+a

所以蛮工，解得:迅所以鸿=皆=3,

、2（1+2）-2。一

由久>0,y>0,得3=：+>2区,即孙之：，

xy-yjxyy

当且仅当X=y=|时等号成立，所以孙的最小值为*

故选：D.

【变式1-3](23-24高一下•上海•期末)已知向量五区K满足同=|引=1,a-b=—^,c=xa+yb

(x、y£R,y>0),则下列四个命题中，正确命题的个数是().

①若x=l,则©的最小值为孚；

②若尤=1,则存在唯一的y,使得a•工=0；

③若向=1,贝b+y的最小值为一1；

④若向=1,则aU+。茄勺最小值为一a

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】对于①，对5+y1两边平方转化为求产-y+1的最值可判断①；对2=刃两边同乘

以工可判断②；对工=xa+证两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知x+y>-1可判断④.

【解答过程】：向=|引=1/ic=xa+yb(x,yeR,y>0),

对于①，若％=1,则涔=%2港+2盯方.3+y2^=1+2yx(—1)+y2

=y2-y+l^(y_|)2+^>^当且仅当y=T时，取得等号，

•••那的最小值为*同的最小值为亨.•・①正确；

对于②，若％=1,由]•工=0得久五2+y五.B=%—#=0,/.l--y=0t

.・.y=2,・,・存在唯一的y=2,使得五•工=0,.•・②正确；

对于③,若|工|=L则1=*=(xa+ybf=x2+y2—xy

=(x+y)2-3xy>(%+y)2-3'(等)=

当且仅当x=y=1时取得等号，，任产Wl,.-.x+y<2,

又y之0,j.x+yN%之一1,当且仅当y=0,第=—1时取得等号，・•.③正确；

对于④，若同=1,则五4+"不=%—3+(—))%+y=矍，

由③知汽+y>—1,・••矍之一今④正确.

故选：D.

【题型2基底法求最值（范围）问题】

【例2】（23-24高一下•重庆巴南•阶段练习）在矩形48CD中，已知瓦尸分别是上的点，且满足靛=前

，次=2丽.若点P在线段BD上运动，且2P=4a£+/MF&〃eR）,则1+〃的取值范围为（）

A.17B.34C.23D.工1

5,5-.5,5-.3,4.515.

【解题思路】建立基底，DC=a^DA=b,则族=五—颉而=》—b,然后将设4P=tAB+(1-t)AD

,0<t<1,最终表示为而=—1+熟通+R—第而，然后得到兀+“=；,进而求出范围.

【解答过程】矩形/BCD中，已知瓦F分别是BC,CD上的点，且满足族=品方=2万,

设DC=a,DA=b,则荏=屈+而=H—货，AF^AD+DF=^a-b,

6族3

--

AE=a--ba=55

荏4F

联立•而=匕,厂可解得26

--

b=55XF

、3

因为点P在线段8。上运动，则可设而=tXB+(1-t)AD,0<t<1,

Ip=tAB+-t)~AD=ta--t)b

(1-0(g/E—

_|+”+弓书而,

心2,8t

又万=2荏+〃而以“ER）,所以

^=56-T9t

、28t69t41

a+〃=—m+w+m?，

因为owt工1,所以a+〃=怖一c

故选：B.

【变式2-1］（23-24高一下•浙江•期中）如图，在四边形ABC。中，ABWCD,AB=2CD,尸为线段CD上一个

动点（含端点），AC=mDB-\-nAP,则TH+九的取值范围是（）

DPC

A.（0,1]B.[2,3]C.[1,2]D.[2,4）

_>_>_>_»_>（An_1

【解题思路】设而=ADC,以瓦，同为基底表示死后可得小三一？，求出nvi后结合0<2<1可求m+n

[n—m=1

的范围.

【解答过程】设丽=ADC,则0<2<1,

故前=m（AB-AD）+n（而+ADC）=（m+第同+（n-m）而,

又前=而+沆=而+次瓦因而，刀不共线，

,An1，3

44n=——

771+--=-r2+A所以zn+n=2一1,

所以2?，故彳3y

n-m=lm=---1

.2+A

因为0SS1,故+九<2,

故选：C.

【变式2-2]（23-24高一下•河南•阶段练习）已知口/8"）中，点尸在对角线NC上（不包括端点/,C）,

点。在对角线8。上（不包括端点3,D）,若方=%屈+〃1阮，AQ=A2XB+ii2BC,记2盾一%的最小

12

值为〃7,诟+R的最小值为"，贝I（）

1919

m-n-Bm-n-

-8-2--2-

A.cmm

1919

---n-----n--

o^4D.44

【解题思路】由四边形48CD为平行四边形，得AP=^AB+n±BC=41aB+及%=%且%e（0,1）,

再通过二次函数求最小值m；由而=而荏+〃2而及点。在对角线3。上，得而+〃2=1，再通过基本不

等式求最小值n.

【解答过程】因为四边形/8C。为平行四边形，所以而=同+%近=%荏+出前，

又点尸在对角线NC上（不包括端点/,C）,所以汨=“1且%e（0,l）,

则2淤-1=2盾_%=2（%_丁一、当为=：时，m=-j.

同理而=而同+〃2而，因为点0在对角线8。上（不包括端点8,D）,

所以入2+42=1且入2>。，〃2>0，

则去+V=（泰+怖）（，2+〃2）=》聂+普马=:

当且仅当；12=々，〃2=|时取得等号，所以九=:

故选：A.

【变式2-3］（23-24高三下•云南•阶段练习）已知。为△4BC的内心，角/为锐角，sin4=浮，若刀=〃

O

AB+AAC,贝!J〃+4的最大值为（）

A.—ZB.74C.~5D.6

【解题思路】方法一：先得到点。是△力BC内心的充要条件是：a市+6南+c方=6,其中8C=a,

ACb,AB=c,从而得到〃+%=~^-今击=1+E，求出cos4=（,利用余弦定理得到乒+c2c=

CL-rO-rC/XT/LUTLO4-

a2,求出E=［「三’由基本不等式求出最大值，得到答案；

方法二：作出辅助线，得到而=xyAB+x（l-y）XC,得到方程组，得到；I+〃=x,作出内切圆，根据sin4=

平，求出si6=；,设出内切圆半径，故4。=针，由图知。DNOE=r,从而求出x=黑=4,；赢三,

【解答过程】方法一：点。是a/lBC内心的充要条件是：a而+6而+c方=6,其中BC=a,AC=b,

AB=c,

理由如下：若a。！+6而+c方=6,贝Ua万？+6（。！+同）+c（61+而）=6,

整理得（a+b+c）01+bAB+cAC=0,

所以a=—薪（需j+焉），即点。在ABAC的角平分线上，

同理可证，点。在乙48C,NBC4的角平分线上，即点。为△48C的内心.

故彩=—^—AB+—j—AC,

“a+b+ca+b+c

,,-b+c14,a

故f〃+2=^7；今国=1+嬴.

因为角/为锐角，sin4=平，

O

所以cos/=5.由定理得到cosZ==(=炉+C2—9c=a2,

OZDCO4

b2+c2-：bc

b2+c2+2bc

又因为£+522（当且仅当6=c时取等号），

15

1511a5

所以1—之1一二=病所以氤=1+育21+

^+1+22+216D+c4

cb

4

故〃+%w土

方法二：如图,延长力0,交BC于点、D,

设而=y而，即而一^=y（瓦一左），故而=丫荏+（1—、）衣,

设4。=xAD=x{yAB+(1—y)^C)=xyAB+%(1—y^AC,

则m3犷

・•・?1+〃=%,

作的内切圆与边切于点E,与ZB切于点R

设圆O半径为r,

•・•sinA=A为锐角,

.AAA

2nsin—cos—2tan-

sinA=2sin^cosy=""2"2.一2

sin2d+c0S2_-tan^+l

故谭勺“=器I，解得tan2=*或后（舍去）,

故+后s.m,/=—V15cos-/,

又sin2?+cos2y=1,解得sin?=负值舍去,

ZZZ4

OF1

即40=4r,由图知0DN0E=r,

_|祠_4r4

'=调=4r+\0D\-5'

故选：c.

【题型3坐标法求最值(范围)问题】

【例3】(2024•河北沧州一模)如图，在等腰直角△力BC中，斜边48=4鱼，点D在以3C为直径的圆上

运动，则|通+而|的最大值为()

A.4V6B.8C.6V3D.12

【解题思路】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，用坐标法求向量的模的取值范围.

【解答过程】如图：以C为原点，建立平面直角坐标系.

则力(0,4),5(4,0),可设D(2+2cos0,2sin。),

则28=(4,—4),AD=(2+2cos0,2sin0—4)

所以AB+4D=(6+2cos0,2sin0-8)

--2

所以4B+ZZ)=(6+2cos0)2+(2sin0—8)2=104+8(3cos0—4sin0).

又因为3cosB-4sin0<5,所以|荏+ADf<144=\AB+AD\<12.

故选：D.

【变式3-1](2024•四川成都•三模)在矩形ABC。中，4B=5,4。=4,点E满足2族=3而，在平面ABC。

中，动点P满足无•丽=0,则丽•尼的最大值为()

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2V13-6

【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.

【解答过程】以。为坐标原点(。是8E中点)，建立如图所示的直角坐标系，

因为在矩形ABC。中，AB=5,AD=4,2族=3丽，丽•丽=0,

所以动点P在以。为圆心，1为半径的圆上运动，故设P(cose,sin8),

则4(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0—4,sin0—4)-(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0—4)=V41cos(0+<p)+4,

其中锐角9满足tan?=p故而•尼的最大值为伍+4,

【变式3-2](2024•湖南永州三模)在△ABC中,N4CB=120°,园=3,|BC|=4,DC-DB=0,则|屈+而|

的最小值为()

A.6V3-2B.2V19-4C.3V3-1D.V19-2

【解题思路】以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标

系，求得点。的轨迹方程，取BD的中点为M,求得M的轨迹方程，数形结合可求|而+而|mim

【解答过程】由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面

贝心(一|,孚)，5(4,0),由皮•丽=0,可得。是以BC为直径的圆,

所以。的轨迹方程为(x—2)2+y2=生

取BD的中点为M,设M(x,y),D(&,yo),

可得而，所以｛劭1：〉)、所以(2x—6)2+(2y)2=4,

所以点M的轨迹方程为(％—3)2+y2=1,圆心为“(3,0),半径为1,

由9+而=2万认所以I9+而I=2|而I，所以|四+3b|min=2|前Imin，

所以14Mlmin=|力"I—1=J(-|—3)+(^^-0)-1=3V3—1,

所以Im+而|min=6V3-2.

故选：A.

【变式3・3】（2024・贵州贵阳•一模）如图，在边长为2的正方形4BC0中.以C为圆心，1为半径的圆分别

交CD,BC于点、E,F.当点P在劣弧EF上运动时，丽的取值范围为（）

A.[1-2V2,-1]B.[1-2V2,-1]

C.[-1,1-72]D.[1-2V2,1-V2]

【解题思路】根据给定条件，建立坐标系，设出点P的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函

数的值域即可.

【解答过程】依题意，以点C为原点，直线D&8C分别为轴建立平面直角坐标系，如图,

设点P(cos8,sin8)(-Ti<0<-^),而。(一2,0),8(0,—2),

则BP=(cos0,sin0+2),DP=(cos©+2,sin0),

因此BP•DP=cos20+2cos6+sin2^+2sin0=1+2V2sin(^+：),

由一5,得一与—不则一1<sin(6+4)<—冬

因此1—2V2<1+2V2^sin（0+^）<—1,

所以丽•市的取值范围为［1-2V2,-1］.

故选：B.

【题型4与平面向量基本定理有关的最值（范围）问题】

【例4】（2024•四川遂宁•模拟预测）在△ABC中，点下为线段8C上任一点（不含端点），^AF=xAB+2y

AC（x>0,y>0）,则:+：的最小值为（）

A.3B.4C.8D.9

【解题思路】先根据共线向量基本定理得到x+2y=1,利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.

【解答过程】因为点尸为线段2C上任一点（不含端点），

所以设丽=2瓦，故而一卷=%尼―苏瓦

即方=AAC+（1-A）AB,

又2F=xAB+2yAC（x>0,y>0）,

故％+2y=1—4+4=1,

照+；=（H孤+2m=1+4+§+年25+2营|=9，

当且仅当§=仔，即x=y=拊，等号成立，

故!+：的最小值为9.

故选：D.

【变式4-1］（23-24高一下•广西南宁•阶段练习）在△力BC中，点。满足丽=2瓦，过点。的直线分别交

射线力B,4C于不同的两点M,N.设前=颛，丽=次，则爪2+n的最小值是（）

323

A.3B,1C,-D.-

【解题思路】利用共线定理的推论可得疑+|n=1,然后利用换元法结合二次函数性质求出最值即可.

【解答过程】由题可知，m>0,n>0,

因为宿=三看，俞=次，所以同=6前，AC=nAN,

因为而=2沆，所以而一同=2（前一前），

所以而=+|XC=^mAM+InAN,

因为M,O,N三点共线，所以界+|几=1,则?1=与^>0,则0<znV3,

所以？ri?+几=7n2+与您=（m—当m=；时等号成立,

2\4/16164

所以小+71的最小值为

16

故选：D.

【变式4-2]（23-24高一下•安徽六安•期末）在△ABC中，已知荏•菰=9,sinB=cosXsinC,SAABC=6,P

黄+瑞？则打和勺最小值为（

为线段ZB上的一点，且CP=")

A工+在B5+前n5+2缶

A.12+3c^+T■-6-

【解题思路】根据题设条件依次可求得边瓦C,a和角4的三角函数值，从而将向量等式化简，利用平面向量基

本定理得到?+3=1,最后利用常值代换法即可求得.

【解答过程】由-AC=bccosA=9①，由sinB=cos/sinC和正弦定理可得b=ccos4②,

把②代入①可得，b=3,

又由S44BC=^bcsinA=6可得be=总代入①可得，tanA=£

则角a是锐角，cos4=|,代入①可得，c=5,

O

222

又由余弦定理，a=b+c-2bccosA=9+25—2x5x3x-=16得Q=4,

于是，CP=x-j|^|+yj|||=+^CB,因P为线段上的一点，则[+*=1,

因（+；=&56+今=」+3+/宜|+2房=[+当=¥，

当且仅当左=工时等号成立，即久=3V6-6,y=12—4历时，"又得最小值字.

故选：D.

【变式4-3]（2024•全国•模拟预测）如图所示，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段4M上一点，

AG=2GM,过点G的直线分别交直线AB,4c于P,Q两点.设方=%而。>0）,XC=yXQ（y>0）,则

士+擀7的最小值为（）

A

3BC36

A.4-D.

【解题思路】由中点和三等分点得到正=式同+前)，结合同=x^(x>0),AC=yAQCy>0)>得到

而二卯+领，

由三点共线得到x+y=3,利用均值不等式中“1的代换”求得贵4+正I的最小值.

【解答过程】因为M为线段BC的中点，所以赢=|(AB+AC),又因为庶=2GM,所以前=押=|(4B+

AC),

又屈=xQ(x>0),AC=yAQ^y>0),则正=并+领，

XV

而P,G,Q三点共线，所以§+§=1,即x+y=3,

当且仅当/二*2,即x=2,y=l时取等号.

故选：B.

【题型5与数量积有关的最值(范围)问题】

1

【例5】(2024•陕西渭南•二模)已知菱形4BCD的边长为1,COSNBAD="为菱形的中心，E是线段力B上的

动点，则丽•丽的最小值为()

1211

A.T3B.T5C.ZTD.o7

—>—>

【解题思路】设4E="8,0W4W1,将DE,。。分别用4B/D表示，再结合数量积的运算律即可得解.

【解答过程】由题意点。为8。的中点，

——>

设4E=>L4B,0<2<1,

则反=族一前=4同一和~DO=^DB=|AB-|AD,

故反.丽=(AAB-AD)•(净-；利

1—>21—>2/I1\—»—>

=2AAB+2AD~\2A+2)AB'AD

=21A+21-31\/12A+21\)

【变式5-1](2024・重庆•模拟预测)如图，圆。内接边长为1的正方形2BCD,P是弧BC(包括端点)上一

【解题思路】法一：以/为坐标原点，4B,4D所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量

的坐标运算即可求解；法二：连接设"48=0,0<0<p则NP"=?一/而•屈=|XP||AB|cos

9=\AB\■\AC\cosz.PAC,即可求解.

【解答过程】方法一：如图1,以/为坐标原点，4B,2D所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系,

则4(0,0),8(1,0)).

设P(x,y),则而=(x,y).因为荏=(1,0),所以而-AB^x.

由题意知，圆。的半径「=乎.因为点P在弧BC(包括端点)上，

所以lSxwT+乎，所以而•四的取值范围是[1，晋目・

方法二：如图2,连接2&CP.易知=M

4-

设NP4B=80WeWT，贝IUP4C=?—仇

由已知可得=1,\AC\=a4Ape=p所以|4P|=\AC\CQSZ-PAC=&cosg_9）,

所以ZP•AB=\AP\\AB\cos6=V^cosg—O）cos。=四俘cos8+孝sin6）cos。

=（cos8+sin6）cos。=cos20+sinOcosJ=匕等丝+=J+退sin（20+-）.

因为OW"*所以打28+牌季所以日wsin（28+：）Wl,

所以1<|+争in（29+力l即Q.荏的取值范围是，，阴.

故选：C.

【变式5-2］（2024•陕西安康•模拟预测）如图，在平面四边形4BCD中，△4BD为等边三角形,

CB=CD=2BD=2,当点E在对角线4C上运动时，前•丽的最小值为（）

【解题思路】由平面几何知识可得2C平分NB4D,且平分NBCD,设4c与BD交于点0,可求得通|cosNBC4=

券，可得就•丽=（瓦］—享丫―言，可求最小值.

【解答过程】因为CB=CD,所以△BCD为等腰三角形，又△ABD为等边三角形，

所以力C平分NB4D,且平分NBCD,

设4c与BD交于点。，由题可知BD=1,CB=CD=2,

所以|而|COSNBC4=孚,

所以正-^B=IC-（JEC+CB）=EC2+JC-CB=

\EC\2+\EC\■\CB\cos（EC^CB）=\EC\2-\EC\'\CB\cosZ.BCA=\EC\2~^-\EC\

=（国-穹之一噌所以当回=苧时，记.而取最小值，最小值为一卷.

故选：D.

【变式5-3]（2024•全国•模拟预测）如图，已知正六边形48CDEF的边长为2,对称中心为0,以。为圆心

作半径为1的圆，点M为圆。上任意一点，则而•加的取值范围为（）

A.[-6,4]B.[0,8]C.[-8,0]D.[-6V3,0]

【解题思路】解法一连接。M,0C,设诟，丽=①根据向量的线性运算用血，而表示出由，然后结合

三角函数的性质即可求得结果.

解法二以。为坐标原点建立平面直角坐标系，设M（cos8,sin8）,根据数量积的坐标表示得到而•雨，再结

合三角函数的性质即可求得结果.

解法三借助向量投影的知识将通•而转化，找到取得最值时点M的位置，即可求得结果.

【解答过程】解法一：如图所示:

B

连接。M,设而，丽=仇连接。C,依题意得4。=2,AB=4,0C=2,AD-0C=19

则40-CM=AD•(~0M—0C)=AD•OM—AD,OC=4x1xcos0—4x2xcosp

=4cos8—4.

因为ee[o,Ti),所以一IWcosewi,(三角函数的有界性)

所以一8w而•屈wo.

故选：C.

解法二如图，

B

以。为坐标原点，以直线4。为x轴，过。且和力C垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系,

则依题意可得4(-2,0),0(2,0),C(l,-V3),

因为圆。的半径为1,所以可设M(cosasin。)，

所以4D=(4,0),CM=(cos0—l,sin0+V3),所以ZD,CM=4cos。一4,

又一IWCOSOWI,(三角函数的有界性)

所以—8W而•雨W0.

故选：C.

解法三如图所示:

设前，加=9,则同•不/=|AD||CM|COS6=4|CM|COS0.

I击|cos。可看成是而在而上的投影，

当点M与G重合时|回司cos。最小，最小值为一2,

当点M与N重合时|前kos。最大，最大值为0,

故一8《诟•屈W0.

故选：C.

【题型6与模有关的最值（范围）问题】

【例6】（2024•安徽六安・模拟预测）已知平面向量无b,才满足同=1,|同=旧，H.b=-1,

每一福一力=30。，则旧的最大值等于（）

A.2V7B.V7C.2V3D.3值

【解题思路】由N408=150。,乙4cB=30°,即点4O,B,C四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.

【解答过程】设"？=afiB=bfiC=c,

i|a|=1,|fo|=V3,a-h=—I，则cos乙4。8=—孚

所以乙4。8=150。，又怎-福一方=30°,所以乙4cB=30°,

即点40,8,C四点共圆，要使©最大，即|沆|为圆的直径，

在△40B中，由余弦定理可得=OA2+0B2-20AxOBxcos乙4。8=7,

即4B=V7,又由正弦定理可得2R=TE=2V7，

smz-AuD

即©的最大值为2V7,

故选：A.

【变式6-1］（2024•湖南长沙•三模）在平行四边形力BCD中，AC=2BD=4,点P为该平行四边形所在平面

内的任意一点，则|互5，+|而『+|玩『+|而『的最小值为（）

A.6B.8C.10D.12

【解题思路】设"与BD的交点为0,由西=而+而，两边平方可表示出I可|2,同理可表示I方|2,|玩而

『，四个式子相加化简可求得结果.

【解答过程】设4C与BD的交点为。，由同=PO+OA,

得I而|2=|PO|2+丽2+2PO.OA)

同理可得I而|2=|P0|2+|0B|2+2P0-OB,

\PC\2=\P0\2+|0C|2+2P0-OC,

\PD\2=\P0\2+\0D\2+2P0~~0D,

所以西2+|函2+西|2+|而|2=

4\PO\2+\0A\2+\0B\2+\0C\2+\0D\2+2P0-(0A+~0B+0C+^0D)

=4|PO|2+10>10,当点P与点。重合时，等号成立.

故选：C.

【变式6-2]（23-24高一下•天津•期末）如图，在△ABC中，已知4B=2,4C=3,右4=120。，E,尸分

别是48,4C边上的点，且族=xAB,AF=yAC,且2x+y=1,若线段EF,的中点分别为M,N,贝”两

|的最小值为（）

V7「V21D•察

A.,~14~

【解题思路】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得病=知就+而初，AN=l（AB+AC）,再

------»----->------>______»2____

根据“％=47—4用并结合乂丫6[0,1]且2%+、=1,可得MN关于x的函数式，由二次函数的性质即可求

|丽|的最小值.

【解答过程】解：在△4BC中，|同|=2,|m|=3,M=120。,则荏・就=|同||而|cos4=-3,分别是边

AB/C的点，线段的中点分别为M,N

---»1----->----->1-----»----->----->1----->----->

・・.4M=-（AF+AE）=-（yAC+xAB},AN=-（AB+AC）,

・•.丽=AN-AM=1[(1-x)AB+(1-y)AC],

•••两边平方得:

M/V2=i[(l-x)292+2(1-x)(l-y)AB-XC+(1-y)2^]

=^[4(1-%)2-6(1-x)(l-y)+9(1-y)2]=(1-%)2-1(1-%)(1-y)+-y)2.

v2x+y=1,

.•.W2=13x2-5x+1=13(x一亲)2+||,

又e[0,1],

二当“得时，而2最小值为即|而|的最小值为嚼.

故选：B.

【变式6-3](23-24高一下•广东广州・期末)已知平面向量五，b,e,且同=1,同=2.已知向量石与3所成

的角为60。，且加一词2仍一用对任意实数唯成立，则|五+司+版一目的最小值为()

A.V3+1B.2V3C.V3+V5D.2V5

【解题思路】杨一同2另一同对任意实数t恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来

解,算出历|=2,借助同=2,得到同+可=诧+2W，忻+可+,一砸勺最小值转化为匿+2目+版一同

的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可

【解答过程】根据题意，b-e=\b\-|e|cos60°=||&|,

\b-te\>\b-e\,两边平方历『+t2同2_2窃亮2\b\2+\e]2-2b-e,整理得到田一历归一1+的>0,

对任意实数t恒成立，则△=|砰一4(—1+网)W0,解得(历|—2:W0,贝胴|=2.

-a+~e

e

由于同=2,如上图，|五+可=版+2W，则+可+版一同=2五+2a+恨一同2