2025年新高考数学一轮复习：平面向量的数量积及其应用（八大题型）（讲义）（学生版+解析）

第02讲平面向量的数量积及其应用

目录

01考情透视目标导航.............................................................2

02知识导图思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1：平面向量的数量积......................................................4

知识点2：数量积的运算律........................................................4

知识点3：数量积的性质..........................................................5

知识点4：数量积的坐标运算......................................................5

解题方法总结....................................................................6

题型一：平面向量的数量积运算....................................................7

题型二：平面向量的夹角问题......................................................8

题型三：平面向量的模长..........................................................9

题型四：平面向量的投影、投影向量................................................9

题型五：平面向量的垂直问题.....................................................10

题型六：建立坐标系解决向量问题.................................................11

题型七：平面向量的实际应用.....................................................13

题型八：向量回路恒等式.........................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................16

05课本典例高考素材............................................................35

06易错分析答题模板............................................................17

易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错...................................17

答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积.......................................18

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

平面向量数量积的运算、化简'证明及数量

积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考

2024年I卷第3题，5分的内容，单独命题时，一般以选择'填空形式出

2024年H卷第3题，5分现.交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函

（1）平面向量的数量积

2023年I卷第3题，5分数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工

（2）平面向量数量积的

2023年H卷第13题，5分具出现.向量的应用是跨学科知识的一个交汇

几何意义

2023年甲卷（理）第4题，5分点，务必引起重视.

2022年H卷第4题，5分预测命题时考查平面向量数量积的几何意义

及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合

的解答题也是热点.

复习目标：

（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义

（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

已知两个亦零向量5与鼠我们把数埴同砒。sH叫做］与方的数量枳（或内枳），

T平面向量数量积的定义

记作i8即Z④=|司司cosO,规定：零向量与仆一向星:的数埴枳为0.

平面向量的数量后）|永心。叫做向量3在5方向上的投影数量，

当。为锐角时，它是正数；

T向量的投影

当。为钝角时，它是仇数；

T平面向量数量积的几何意义「当。为直角时，它是0.

J（排石的几何意义）—（数量枳£石等的长度向与WG方向上射影B|cose的乘积.）

a-b=b-a

数量枳的运算律（高）防=人市@=3•（力）J

(a+b)-c=a-c+b-c

Te'a=a'e=\a\cosQ)

[〃JB4=wS=Oj

j当£与同司向时，a-d=|a||d|；

•■v当初与否反向时,0•方=•向历

磊响

/|q.d|<|g||d|)

已知非零向量方=&，乂），h=（x2,y2）,。为向量方、力的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=y/a-a1方1=收+/

数量枳

a-b=|方||b|cos0ah=xlx2+yly1

c三“x.x,+y.y-,

夹角cose=,।

向闻yjx-+y-->jx；+yl

a1b的充要条件a-b=0占勺+及乃=°

a//b的充要条件a=Ai)(bH0)芭%-*2“=0

|方.方|引方Ml的\a-b\^a\\b\（当hl仅

1Y+兑名|W收+兑■收+乂

美系当方〃，时等号成立）

老占突曲・题理探密

-----H-H-c

知识JJ

知识点1:平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

己知两个非零向量。与方，我们把数量|a||b|cos6叫做a与6的数量积（或内积），记作。力，即

a-b=\a\\b\cos0,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|a|cos6叫做向量。在b方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角

时，它是负数；当。为直角时，它是0.

②a费的几何意义：数量积等于a的长度IaI与匕在a方向上射影I们cos。的乘积.

③设a,b是两个非零向量，它们的夹角是6,e与b是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过A5

的起点A和终点3,分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A，4,得到A与，我们称上述变换为向量。

向向量B投影，叫做向量a在向量匕上的投影向量.记为|a|cos6e.

【诊断自测】（2024.安徽安庆.三模）已知线段A3是圆。的一条长为4的弦，则AOYB=（）

A.4B.6C.8D.16

知识点2：数量积的运算律

已知向量a、b、c和实数X,贝（］：

@a-b=b-a；

②(Aa)-b=・b)=a•(2b)；

(3)(a+b)-c=a-c+b-c.

【诊断自测】(2024・四川雅安・模拟预测)在一ABC中，AB=4fAC=3,且ABLAC，则四•"=

()

A.16B.-16C.20D.-20

知识点3：数量积的性质

设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，夕是。与e的夹角，则

①=cos0.②〃_Lbo〃•/?=（）.

③当a与匕同向时，a-b=\a\\b\；当。与b反向时，a-b=-\a\\b\.

特别地，〃•Q=|。『或|a|=y/a-a.

④cos6=&b(|a快0).⑤|a国〃A|.

\a\\b\

c°s"T，sin"T1

【诊断自测】（2024・西藏•模拟预测）已知向量。=

A.—2B.—cD.2

2-I

知识点4：数量积的坐标运算

已知非零向量。=（占，%）,b={x2,y2）,夕为向量a、b的夹角.

结论几何表示坐标表示

模Ia|=y/a•a1a1=+y2

数量积

a-b=\a\\b|cos0a-b=xxx2+y{y2

c°se=3cos”,13+产

夹角

"片+才•+

⑷闻

alb的充要

a-b-0V2+yty2=0

条件

a//b的充要

a=AbCb。0)%为一马％=0

条件

|a•6区|a||6|(当

1石石1与

1-+X%W

且仅当a〃匕时等号成Jx；+y；々考+6

1aIIb1的关系

立)

【诊断自测】已知平面向量a=(l,方且则实数彳的值为()

解题方法总结

(1)b在。上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0.

(2)数量积的运算要注意。=0时，a-b=0,但。•/?=()时不能得至iJ〃=0或人=0,因为时，

也有a-b=0.

(3)根据平面向量数量积的性质：|。|=,cos0="人,〃_L6=0等，所以平面向量

⑷叫

数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

(4)若。、b、c是实数，则(ab=ac=>b=c(awO)；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量

a、b>。满足〃•/?=〃•(？(awO),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时

乘以一个向量.

(5)数量积运算不适合结合律,即(〃♦/?)•(;£〃•(/?•(?),这是由于(〃•》)/表示一个与C共线的向量，

〃■(/?•0)表示一个与a共线的向量，而a与w不一定共线，因此(〃•/?)•△与〃•(/?•(?)不一定相等.

(题型洞察J]

题型一：平面向量的数量积运算

【典例例1】设平面向量2=0,3）,-1=2,且|a-b|=M，则（2&+6阳-b）=（）

A.1B.14C..J14D.710

【典例1-2】在Rt.ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=2,。为..ABC的外心，则AO.8C=（）

A.5B.2C.-4D.-6

【方法技巧】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量

数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

【变式1-1］（2024•高三・吉林四平•期末）已知向量6满足|a|=2,|b|=百，且d与6的夹角为g,

6

贝!］+=（）

A.6B.8C.10D.14

【变式1・2］已知同=6,忖=3,向量，在人方向上投影向量是4e，则2力为（）

A.12B.8C.-8D.2

【变式13］（2024•安徽芜湖•模拟预测）已知边长为1的正方形ABC。，点区户分别是3C,CQ的中

点，则AE・£F=（）

31

C.D.

44

【变式1・4】（2024.陕西安康.模拟预测）菱形ABCD的边长为2,=60,以。为圆心作圆且与

AQAE

A5相切于瓦。是。与8的交点，则|人彼=.

【变式1-5］（2024•浙江宁波•模拟预测）已知一ASC是边长为1的正三角形，亦=卜7是BN上一

2

点且=+,则（）

题型二：平面向量的夹角问题

【典例2-1］（2024.陕西安康.模拟预测）已知单位向量满足卜-3*3,则cos（a,b）=.

【典例2-2】（2024.陕西.二模）己知。=1,苧*=（1,⑹，则向量°,。的夹角的余弦值为.

【方法技巧】

求夹角，用数量积，由a?6|a|?|6|cosq得cos4=。+%.进而求得

⑷斗们7?5/?不

向量a,8的夹角.

【变式2-1］（2024•江西宜春•三模）已知a，6均为非零向量，若［2。-川=出|=2|可，则°与6的夹角

为.

【变式2-2］已知。=（2,1）力=化-2）#eR,a与％的夹角为6.若。为钝角,则左的取值范围是.

【变式2-3］（2024•高三・天津宁河・期末）已知单位向量e；与02的夹角为三，则向量q+2e2与2q-3e?

的夹角为一.

【变式2-4］（2024.四川绵阳•模拟预测）平面向量a与。相互垂直，已知d=（6,-8）,\b\=5,且。与

向量（L0）的夹角是钝角，则6=—.

【变式2-5］（2024・四川绵阳•模拟预测）已知非零向量）,6满足2同=忖，且则.0的夹角

大小为.

rIrl

【变式2-6］（2024.上海•模拟预测）已知向量4,b，C满足|4=忖=1，同=3,且a+Hc=0，则

cos(a-c,b—c

题型三：平面向量的模长

【典例3-1】（2024・重庆•模拟预测）己知向量°,6满足同=1，b|=3,a-b=（2,®则帆+b卜

【典例3-2］（2024•浙江温州•二模）平面向量0,6满足a=（2,1）,ab,°力=-质，则忖=

【方法技巧】

求模长，用平方，|a|=，了.

【变式3-1］（2024•安徽池州•模拟预测）已知向量a=（4,—2）,6=（-2,2）,且d与6共线，则

pa+2b|=

【变式3-2］（2024.江苏连云港.模拟预测）若向量明“满足同=1,同=2,且（〃?-〃），加，则

|m-n|=（）

A.1B.73C.77D.2

【变式3-3］（2024.高三.上海奉贤.期中）已知平面向量°,b的夹角为:，若忖==而，则

||的值为.

题型四：平面向量的投影、投影向量

【典例4-1］（2024•福建泉州•模拟预测）在平面直角坐标系无0V中，点尸在直线x+2y+l=0上.若向

量。=（1,2）,则OP在。上的投影向量为（）

1B.12

A.5，-5555

1立2小

D.(-1,-2)

C.一三'一-5-

7

【典例4-2】（2024•新疆喀什二模）在直角梯形A3CD中，钮//8。且3。=2短）,/18,4）,4。与50

交于点。，则向量8。在向量区4上的投影向量为（）

173-.

A.-BAB.-BAC.-BAD.-BA

2334

【方法技巧】

设a,b是两个非零向量，它们的夹角是0,e与6是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过AB的

起点A和终点分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A，4,得到A耳，我们称上述变换为向量a向

向量b投影，4片叫做向量。在向量5上的投影向量.记为Ia|cos6e.

【变式4-1］（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）已知向量）,6满足㈤=2,6=（3,0）,卜-可=可，则向量一

在向量B方向上的投影向量为（）

A.B.［和［CD.（1,0）

【变式4-2］（2024.广东深圳•模拟预测）已知向量£=（3,-4）,6=（2,0）,则一在B上的投影向量为

B.（3,0）C.（2,0）D.（6,0）

【变式4-3］在三角形A3C中，若4B-AC=0,BC=2BO,则向量AO在向量”上的投影向量

为.

【变式4-4］已知向量a与6的夹角为号，卜卜退忖，设人a在。上的投影向量为"，则人（

A.--B.--C.士D.-

2222

22

【变式4-5】已知双曲线C:十”l（a>0,"0）的左、右焦点分别为8,C,以2C为直径的圆与渐近线

交与点A,连接AB与另一条渐近线交与点E,。为原点，OE//AC,且卜。=2.若胡在上的投影向

3uiiu

量为：BC,则A0.2C=（）

4

A.-4B.一2#>C.-2D.-百

题型五：平面向量的垂直问题

【典例5-1］（2024.西藏林芝.模拟预测）已知向量a=（尤,3）/=（2,x+5）,若a_L（a-6）,贝1|x=（）

A.2或3B.-2或-3C.1或-6D.-1或6

【典例5-2】（2024•甘肃张掖•模拟预测）已知向量4,6满足向=5卜1,且a人，若

（2Q+/?）_L（4+M7），贝U（

A.4+〃=0B./1+//——1

C.4〃=—1D.沏=0

【方法技巧】

〃_1_6=〃/=0=%兀2+%%=0

【变式5・1】（2024.辽宁・模拟预测）若Q,万是夹角为60°的两个单位向量，%+b与2a-b垂直，则

C.-1D.-2

【变式5・2】（2024•浙江绍兴•二模）已知6,g是单位向量，且它们的夹角是60。，^a=2e^e2,

b=鸡-4，且〃_L〃，则几=（）

D.2

【变式5-3］（2024・重庆•模拟预测）已知|。|=1,|口=2,且d与人不共线，若向量a+妨与a-心互相

垂直，则实数上的值为（）

±—D.±2

一2

题型六：建立坐标系解决向量问题

【典例6-1】（2024•全国•模拟预测）已知在菱形ABC。中，AB=BD=6,若点M在线段上运动,

则BCBM的取值范围为—.

【典例6-2】如图，已知正方形ABCD的边长为3,且2BC=3BE+AB，连接BE交CO于F,则

（CA+2BF）-1cA-4BF1=

A

B

【方法技巧］

边长为a的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形

【变式6-1］（2024.高三.河南濮阳.开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介

绍了“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”.如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形ABC。,跳G”均为正方形,

AD=AE=2,则.

【变式6-2］（2024.天津.二模）已知菱形ABCD边长为1,且4历4。=-工,片为线段AD的中点，若厂

2

在线段CE上，S.BF^ABA+yBC,则2=_____，点G为线段AC上的动点，过点G作8C的平行线交边

6

A3于点过点加r做BC的垂线交边于点N,则（MG+儿的最小值为.

【变式6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意

蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABC。是边长为50cm的

正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形EFGH拼接而成，则

tanAHAB-__.

【变式6-4］如图，正八边形ASCDEFGH中，若AE=XAC+〃AF（几〃eR）,则2+〃的值为.

题型七：平面向量的实际应用

【典例7-1］（2024.高三.广东汕头.期末）设&表示向东走了10km,。表示向南走了5km,贝！|°+26

所表示的意义为（）

A,向东南走了10A/2kmB.向西南走了1072km

C.向东南走了5痣kmD.向西南走了5A/6km

【典例7-2】（2024.浙江温州•二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了

一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=FS（其中W是功，F是力,S是位移）

一物体在力片=（2,4）和耳=（-5,3）的作用下，由点4（1,0）移动到点8（2,4）,在这个过程中这两个力的合

力对物体所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【方法技巧】

用向量方法解决实际问题的步骤

把实际问题中的相关量用向量

表示出来

转化为向量问题的模型，通过

向量的运算使问题得以解决

把结果还原为实际问题

【变式7-1】一条东西方向的河流两岸平行，河宽250鬲，河水的速度为向正东3km/h.一艘小货船

准备从河南岸码头尸处出发，航行到河对岸Q（PQ与河的方向垂直）的正西方向并且与。相距250m的码

头〃处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h,则当小货船的航程最短时，小

货船航行速度的大小为（）

A.3百km/hB.6km/hC.7km/hD.3面km/h

【变式7-2］（2024.广东梅州•二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子AB上.已知物体M的重力

大小为20牛，且NAOM=150。，在下列角度中，当角。取哪个值时，绳。8承受的拉力最小.（）

C.90°D.120°

【变式7-3］在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10亚m/h的速度从河的南岸垂直到

达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（）

A.北偏西30。，20km/h

B.北偏西60°,lO0km/h

C.北偏东30。，10V2knVh

D.北偏东60°,20km/h

【变式7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）.假设行李包所受

的重力为G,所受的两个拉力分别为耳，F2,且|4|=|巴|,耳与鸟的夹角为。，则以下结论不正确的是

)

A.|可|的最小值为g|G|

B.。的范围为［0,兀］

C.当6=5时，WI=4IG|

乙L

27T

D.当。=丁时，HRGI

题型八：向量回路恒等式

【典例8・1】如图，在平面四边形ABCD中，|AC|=3,|BD\=4,贝1］（凝+方"）.（/+疝））=

【典例8-2】如图，在平面四边形A3C。中，若|AC|=6,（AB+DC）\AC+BD）=U,则

【方法技巧】

向量回路恒等式：AB+CD=AD+CB

【变式8-1］如图，已知在四边形ABCD中，AC=ll,BD=l2.贝|（A2+£»C）-（2C+4。）=

1.（2024年北京高考数学真题）设°,6是向量，贝广（。+6）（。-6）=0”是或0=6"的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知向量a=（0,1）,。=（2,尤），若b，（0-4a）,贝”=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024年新课标全国II卷数学真题）已知向量满足忖=1,卜+24=2,且则忖=（）

A.；B.立C.3D.1

222

4.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量a=（x+l,x）/=（x,2）,贝ij（）

A.“龙=-3”是“66”的必要条件B.“尤=-3”是的必要条件

C.“x=0”是的充分条件D.“x=-l+出”是“a/份'的充分条件

5.（2023年北京高考数学真题）已知向量°,b满足。+6=（2,3）,。-6=（-2,1）,则⑷J方『=（）

A.-2B.-1C.0D.1

B

7.一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一般船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度

匕的大小为闻=10切/肌水流速度%的大小为网=2切?/人如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距

离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论：

（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；

（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；

（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.

请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最

㈤6

〃易错分析-答题模板\\

易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错

易错分析：（D解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间

的关系是互补还是相等.（2）向量。力的数量积a»与代数中“，6的乘积写法不同，不能漏掉其中的

【易错题1】在，A6C中，a=5,6=8,c=7,贝的值为.

【易错题2］已知忖=3,々在6上的投影向量为则的值为.

答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积

1、模板解决思路

通过定义法求解本模板问题时，要将待求数量积的向量用已知模和夹角的向量表示出来，再运算求解.

2、模板解决步骤

第一步：根据条件，把向量用已知模和夹角的向量表示出来.

第二步：将〃的表示式代入a?，再根据定义法求数量积.

第三步：进一步求解相关问题.

TT

【经典例题1】已知在边长为2的菱形ABCD中，/DAB=g，点E满足BE=3EC，则AC-AE=.

【经典例题2】如图，在AABC中，lAB+ADHAB-AOI，BC=42BD，1人。1=2,则AC-AO=

第02讲平面向量的数量积及其应用

目录

01考情透视目标导航.............................................................2

02知识导图思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1：平面向量的数量积......................................................4

知识点2：数量积的运算律........................................................4

知识点3：数量积的性质..........................................................5

知识点4：数量积的坐标运算......................................................5

解题方法总结....................................................................6

题型一：平面向量的数量积运算....................................................7

题型二：平面向量的夹角问题......................................................8

题型三：平面向量的模长..........................................................9

题型四：平面向量的投影、投影向量................................................9

题型五：平面向量的垂直问题.....................................................10

题型六：建立坐标系解决向量问题.................................................11

题型七：平面向量的实际应用.....................................................13

题型八：向量回路恒等式.........................................................15

04真题练习•命题洞见............................................................16

05课本典例高考素材............................................................35

06************************************************************************************************************************17

易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错...................................17

答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积.......................................18

春情目标导航

考点要求考题统计考情分析

平面向量数量积的运算、化简'证明及数量

积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考

2024年I卷第3题，5分的内容，单独命题时，一般以选择'填空形式出

2024年H卷第3题，5分现.交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函

（1）平面向量的数量积

2023年I卷第3题，5分数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工

（2）平面向量数量积的

2023年H卷第13题，5分具出现.向量的应用是跨学科知识的一个交汇

几何意义

2023年甲卷（理）第4题，5分点，务必引起重视.

2022年H卷第4题，5分预测命题时考查平面向量数量积的几何意义

及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合

的解答题也是热点.

复习目标：

（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义

（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

已知两个亦零向量5与鼠我们把数埴同砒。sH叫做］与方的数量枳（或内枳），

T平面向量数量积的定义

记作i8即Z④=|司司cosO,规定：零向量与仆一向星:的数埴枳为0.

平面向量的数量后）|永心。叫做向量3在5方向上的投影数量，

当。为锐角时，它是正数；

T向量的投影

当。为钝角时，它是仇数；

T平面向量数量积的几何意义「当。为直角时，它是0.

J（排石的几何意义）—（数量枳£石等的长度向与WG方向上射影B|cose的乘积.）

a-b=b-a

数量枳的运算律