2025年中考数学一轮复习：多边形与平行四边形（讲义）（解析版）

考点17.多边形与平行四边形（精讲）

【命题趋势】

多边形与平行四边形是历年中考考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将

出现，并且在选择、填空题中考查多边形的内角和、平行四边形性质和判定、与三角形中位线有关计算的可

能性比较大。中考数学中，对平行四边形的单独考察难度一般不大，一般和三角形全等（相似）、函数、解

直角三角形等综合考查的可能性比较大，对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。

【知识清单】

1：多边形的相关概念（☆☆）

1）多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。

2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的重角线_。

3）多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n—3）条对角线,并且这些对角线把多边形分成了

（"-2）个三角形,n边形的对角线条数为_<21-。

4）多边形内角和定理：。边形的内角和为（n-2）-180°（。23）。

5）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360。，与多边形的形状和边数无关。

6）正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。

7）平面镶嵌（密铺）的条件：在同一顶点内的几个角的和等于迦；所有正多边形中，单独使用其中一种

能够进行密铺（镶嵌）的只有正三角形、正方形、正六边形。如果选用多种，则需要满足：⑴边长相等；（2）选

用正多边形若干个内角的和恰好等于360。。

2：平行四边形的性质与判定（☆☆☆）

1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2）平行四边形的表示：用符号“口”表示，平行四边形ABC。记作“QA8CD”，读作“平行四边形ABCZ）”.

3）平行四边形的性质：（1）两组对边平行且相等;（2）对角相等、邻角互补;（3）对角线互相平分;（4）

平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。

4）补充性质：

（1）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积利龌。

（2）如图①，AE平分NBA。，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等艘三角形，即

（3）如图②，已知点E为A。上一点，根据平行线间的距离处处相等,可得SABEC=SAABE+S^CDEO

（4）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得

图①图②图③

5）平行四边形的判定定理：

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

3；中位线（☆☆☆）

1）三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形空位线。

2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

3）三角形中位线定理的作用：（1）证明位置关系：可以证明两条直线壬红；（2）证明数量关系：可以证明线

段的倍分关系。

4）常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个金笠的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相壬会。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相篁。

【易错点归纳】

L多边形的有关计算的公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误；

2.切记一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。

【核心考点】

核心考点1.多边形的相关概念

例1:（2023•重庆•统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为100。，则其余六个内角之和为^

【答案】800。/800度

【分析】根据多边形的内角和公式180。5-2）即可得.

【详解】解：回七边形的内角中有一个角为100°,

回其余六个内角之和为180。'（7-2）-100。=800。，故答案为：800°.

【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键.

变式1.（2023•江苏连云港•校考三模）一个多边形的内角和等于1980。，那么它是（）

A.十边形B.H-一边形C.十二边形D.十三边形

【答案】D

【分析】根据题意可以设这个多边形的边数为〃，根据多边形的内角和定理列方程求解即可.

【详解】设这个多边形的边数为小

回一个多边形内角和等于1980。，0（n-2）xl8O°=198O°,解得，n=13.即它是十三边形，故选D.

【点睛】本题考查了多边形的内角定理，熟记多边形的内角和公式为（“-2）x180。是解答本题的关键.

变式2.（2023•吉林长春•统考中考真题）如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点3与点E重合，折痕为

AM,展开后，再将纸片折叠，使边A3落在线段AM上，点8的对应点为点e，折痕为Ab，则NAFB'

的大小为度.

【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为g（5-2）义180。=108。，根据折叠的性质求得

在VAF3'中，根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：回正五边形的每一个内角为：（5-2）*180。=108。，

将正五边形纸片A5CDE折叠，使点8与点E重合，折痕为AM,

则ZBAM=-ZBAE=1x108°=54°,

22

团将纸片折叠，使边落在线段AAf上，点8的对应点为点折痕为Ab,

0ZFAB'=-ZBAM=-x54°=27°,ZAB'F=NB=108°,

22

在VAF?中，ZAFB'=180°-ZB-ZFAB'=180°-108°-27°=45°,故答案为：45.

【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

变式3.（2022•湖南常德•中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将

其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这

样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样

共有4张纸片；......；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张

四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为.

【答案】6

【分析】根据多边形的内角和进行即可求解.

【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边

形的内角和增加360。，10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸

片，设还有一张多边形纸片的边数为“，

.•.（5-2）xl80°+3xl80o+（4-2）xl80ox5+（n-2）xl80o=360o+360°x9,解得〃=6.故答案为：6.

【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键.

例2：（2023•北京,统考中考真题）正十二边形的外角和为（）

A.30°B.150°C.360°D.1800°

【答案】C

【分析】根据任何多边形的外角和都为360。即可解答.

【详解】解：因为多边形的外角和为360。，所以正十二边形的外角和为：360°.故选：C.

【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，掌握任何多边形的外角和都为360。是解答本题的关键.

变式1.（2023•甘肃兰州•统考中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八

边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角4=（）

图1图2

A.45°B.60°C.110°D.135°

【答案】A

【分析】由正八边形的外角和为360。，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可.

【详解】解：回正八边形的外角和为360。，回/1=手360°=45°,故选A

O

【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360。是解本题的关键.

变式2.（2023•湖北黄冈•统考中考真题）若正”边形的一个外角为72。，则“=.

【答案】5

【分析】正多边形的外角和为360。，每一个外角都相等，由此计算即可.

【详解】解：由题意知，"=警=5,故答案为：5.

【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正"边形的外角和为360。，每一个外角的度数

均为幽.

n

变式3.（2023•河北保定•校考模拟预测）如果一个正多边形的内角比它相邻的外角大100。，那么这个多边

形是一边形.

【答案】九

【分析】设正多边形的内角为无，则与它相邻的外角度数为（x-100。），根据题意列方程

x+^-100°=180°,求出x=140。，进而求出外角的度数，进而根据外角和求解即可.

【详解】设正多边形的内角为无，则与它相邻的外角度数为（x-100°）,

0x+x-lOO°=18O°,解得x=140°,0%-100°=40°,回360°—40°=9.

团这个多边形是九边形.故答案为：九.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正多边形的内角与外角的关系.解题的关键在于对知识的熟练

掌握与灵活运用.

例3：（2023•浙江•模拟预测）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地

面，已知正多边形的边数为X、＞、z,则,+’+工的值为______.

xyz

【答案】1/0.5

【分析】利用正』多边形的内角公式（"-2）x180°求解即可.

n

【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为360。，

贝U（一）义180。+"2）x180。+-2）x18。°=§60。，

xyz

।2।212c1111+……i

mi一一+i一一+i一一=2,H-+—,故答案为：-.

xyzxyz22

【点睛】本题考查正多边形的内角问题，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为360。是解

答的关键.

变式1.（2023•吉林长春•校考三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特・丢勒利用正五边形和菱形创作

的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为度.

【分析】根据平面镶嵌的定义，结合正五边形的内角，即可求解.

【详解】解：正五边形的每一个内角为、-21x180=]08。

设菱形的最小内角为x,根据题意得，x+3xlO8=36O解得：x=36故答案为：36.

【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，平面镶嵌，熟练掌握平面镶嵌的定义以及多边形的内角和公

式是解题的关键.

变式2.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）20世纪70年代，数学家罗杰・彭罗斯使用两种不同的菱形，完

成了非周期性密铺，如下图，使用了A,5两种菱形进行了密铺，则菱形B的锐角的度数为

A

【答案】36

【分析】如图，设菱形B的锐角为x,菱形A的锐角和钝角分别为y、z,根据密铺的图案中一个顶点处的

周角为360。列出方程组，解答即可.

【详解】解：如图，设菱形B的锐角为羽菱形A的锐角和钝角分别为y、z,根据题意，得

5y=360。%=36。

<2x+y+2z=360°解得y=72°,故答案为：36.

y+z=180°z=108°

【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理解

题意、得出方程组是解题的关键.

例4：(2023•浙江丽水・统考一模)已知一个多边形内角和为1080。，则这个多边形可连对角线的条数是

()

A.10B.16C.20D.40

【答案】C

【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即

可.

【详解】解：设这个多边形为〃边形，

由题意得，180x(0-2)=1080,回〃=8,回这个多边形为八边形，

回这个多边形可连对角线的条数是肥鱼2=20,故选C.

2

【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知W边形的对角线条数是

比山是解题的关键.

2

变式1.（2023•河北保定•统考一模）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的

一个顶点出发的对角线的条数是（）

A.3B.6C.9D.18

【答案】A

【分析】先由多边形的内角和公式与外角和的关系可得（〃-2）-180。=2*360。再解方程，从而可得答案.

【详解】解：设这个多边形为“边形，则（”-2）-180。=2乂360。，.•.〃-2=4,解得：〃=6,

所以从这个多边形的一个顶点出发共有3=6-3=3条对角线，故选A.

【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理，多边形的对角线问题，掌握"利用多边形的内角

和为5-2”80。,外角和为360。”是解题的关键.

变式2.（2023•陕西西安•校考模拟预测）一个正多边形每一个中心角都为40。，则这个正多边形共有

条对角线.

【答案】27

【分析】利用多边形的中心角之和是360度，每个中心角都是40。，可求多边形的边数，再根据一个多边形

有条对角线，即可算出共有多少条对角线.

【详解】解：360+40=9,•..这个正多边形有9条边；

.-.1n（n-3）=1x9x（9-3）=27,,这个正多边形共有27条对角线.故答案为：27.

【点睛】本题主要考查正多边形的中心角、对角线条数，解题的关键是掌握“边形对角线条数

=1w（n-3）.

核心考点2.平行四边形的性质与判定

例5：（2023•湖北十堰•统考中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架A3CD,然后向左扭动

框架，观察所得四边形的变化.下面判断错误的是（）

I)

8

A.四边形A3CD由矩形变为平行四边形B.对角线的长度减小

C.四边形A3CD的面积不变D.四边形A3CD的周长不变

【答案】C

【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可.

【详解】解：A、因为矩形框架ABCD向左扭动，AD=BC,AB=OC,但NCBA不再为直角，所以四边

形变成平行四边形，故A正确，不符合题意；

B、向左扭动框架，8。的长度减小，故B正确，不符合题意；

C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意；

D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意，故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量

和不变量是解答此题的关键.

变式1.（2023•北京海淀•校考模拟预测）下列命题中的假命题是（）

A.对角线互相平分的四边形是中心对称图形

B.有一个角是直角的平行四边形是轴对称图形

C.对角线互相垂直的平行四边形是中心对称图形

D.等边三角形既是轴对轴图形，又是中心对称图形

【答案】D

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定与性质，以及等边三角形的性质进行逐项判断即可.

【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是轴对称图形，真命题，不符合题意；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是中心对称图形，真命题，不符合题意；

D、等边三角形既是轴对轴图形，不是中心对称图形，假命题，符合题意，故选：D.

【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命

题；经过推理论证的真命题称为定理.熟练掌握相关知识是解答的关键.

变式2.（2023・四川绵阳・统考中考真题）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，。为坐

标原点，若点A的坐标是（6,0）,点C的坐标是（1,4）,则点B的坐标是.

【答案】（7,4）

【详解】试题分析：回四边形ABCO是平行四边形，。为坐标原点，点A的坐标是（6,0）,点C的坐标是

（1,4）,回BC=OA=6,6+1=7,回点B的坐标是（7,4）；故答案为（7,4）.

考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质.

例6：（2023・四川甘孜・统考中考真题）如图，在平行四边形ABCRABvAD）中，按如下步骤作图：①以

点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB,AD于点N；②分别以点N为圆心，以大于

的长为半径画弧，两弧在NBW内交于点尸；③作射线A尸交8c于点E.若4=120。,则NEW

为.

【分析】先利用基本作图得==再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到

/BAD=180°-ZB=60°,从而得到ZEAD=30°.

【详解】解：由作法得AE平分Z.BAD,NEAB=ZEAD=|NBAD,

四边形ABCD为平行四边形，.〔ADaBC,.•.N3+/BA£>=180。,

ABAD=180°-120°=60°,ZEAD=-ABAD=30°.故答案为：30.

2

【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键.

变式1.（2023•山东潍坊•统考二模）已知YABCD中，蜘=55。，分别以点B,点C为圆心，以大于的

作直线交。C于点E,则NABE的度数为（

C.65°D.70°

【答案】D

【分析】由YABCD得NC=/A=55。，根据题意得MN是JBC得垂直平分线，则比="，得

NC=NEBC=55。,即求得/ABE的度数.

【详解】团解：四边形A3CD是平行四边形，

0ZC=ZA=55°,ZA+ZABC=180°,贝i|ZABC=180°-55°=125°,

回以点2,点C为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点M,N,作直线MN交。C于点E,

2

是3C得垂直平分线，则3E=CE,所以NC=NEBC=55。，

那么ZAfiE=ZABC—/£BC=125。-55。=70。，故选：D.

【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题

的关键.

变式2.（2022•湖南湘潭•中考真题）在ABCD中（如图），连接AC,已知/WC=40。，ZACB=80°,则

ZBCD=（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

【答案】C

【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解.

【详解】解：回四边形ABC。为平行四边形，SAB//CD^\DCA=SCAB,

0ZBCD=0DCA+EL4CB,ZS4c=40°,ZACB=80°0ABCD=405+805=1205,故选：C.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用.

例7：（2023•海南•统考中考真题）如图，在YABCD中，AB=8,ZABC=60°,8E平分/ABC,交边

AD于点E,连接CE,若AE=2ED,则CE的长为（）

C.4拒D.276

【答案】C

【分析】由平行四边形的性质可得ND=NABC=60。，CD=AB=8,AD^BC,由平行线的性质可得

ZAEB=ACBE,由角平分线的定义可得NABE=NCBE,从而得到N/RE=NAEB,推出AE=M=8,

DE=4,过点E作所工CD于点八由直角三角形的性质和勾股定理可得。尸=；OE=2,EF=20,

CF=6,即可得到答案.

【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，

:.ZD=ZABC=GO°,CD=AB=8,AD〃BC,:.ZAEB=ZCBE,

BE平■令NABC,:.ZABE=ZCBE,:,ZABE=ZAEB,:.AE=AB=8,

AE=2ED,:.DE=4,如图，过点后作EF，CD于点尸，

则NEFC=NEFD=90°,/.NDEF=90°-ZD=90°-60°=30°,

:.DF;DE=2,...EF=1DE2-DF2=代—2?=2百，CF=CD-DF=8-2=6,

:.CE=ylcF+EF?=+（24J=4上，故选:C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性

质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键.

变式1.（2023•福建•统考中考真题）如图，在YABCD中，。为的中点，E尸过点。且分别交互,8于

点、E,F.若AE=10,则C/的长为.

【答案】10

【分析】由平行四边形的性质可得DC〃AB,DC=AB即NOED=NOEB,NODF=NEBO,再结合

OD=OB可得AAS）可得DF=EB，最进一步说明产C=AE=10即可解答.

【详解】解：回ABCD中，^DC//AB,DC=AB,0AOFD=ZOEB,ZODF=ZEBO,

SOD=OB,SA£>OF^ABOE（AAS）,SDF=EB,

SDC-DF=AB-BE,^FC=AE^10.故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证明三角形全等是解答

本题的关键.

变式2.（2023,湖北宜昌•统考中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边上的

点A处，并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A，EBC的周长为.

【答案】16

【分析】可证=从而可得=再证四边形A'£BC是平行四边形，可得

CA，EBC=2（AC+AE）,即可求解.

【详解】解：四边形A3CD是平行四边形，.•.ABaC。，，NAED=NA'DE,

由折叠得：ZADE=ZADE,AD=AD,AE=A'E,

ZADE=ZAED,AD=AE,AD=AE=A!D=A!E>

:.AB-BE=CD-AD,:.AC=BE,四边形A'EBC是平行四边形，

.•.CA，EBC=2（AC+AE）=2（AC+AO）=2CD=16.故答案：16.

【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键.

变式3.（2023•山西•统考中考真题）如图，在YABCD中，ZD=60°.以点8为圆心，以54的长为半径作

弧交边BC于点E,连接AE.分别以点AE为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点尸，作射

OF

线BP交AE于点。，交边AD于点/，则X的值为.

【答案】&

【分析】证明BOLAE,AO^OE,NBAO=/E4O=60。，再利用正切函数的定义求解即可.

【详解】解：团在YABCD中，ZD=60°,

0ZABC=6O°,AD//BC,由作图知BP平分/ABC,BA=BE,

0ABE是等边三角形，=/ABC=30。，0BO±AE,AO=OE,

^AD//BC,0ZAFB=Z£BF=3O°,0ZAFB=ZABF=30°,SAB^AF,

BBO±AE,0ZBAO=ZFAO=1（180°-30°-30°）=60°,

OFop[-

团——=——=tanZE4O-tan60°=V3,故答案为：6

OEAOJ

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图一作角平分线，等边三角形的判定和

性质，正切函数的定义，求得NB4O=NE4O=6。。是解题的关键.

例8：（2023•黑龙江大庆・统考模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线ACM相交于点

O,ZABC=60°,A3=2BC,E是AB的中点，连接CE,OE.下列结论：①ZACD=30。；②CE平分

NDCB；③CD=4OE；④&COE=2S四边形如正其中结论正确的序号有（）

A.①②B.②③④C.①②③D.①③④

【答案】C

【分析】根据AB=2BC,点E是48的中点，ZABC=60°,可知，BCE是等边三角形，得出

NBEC=NBCE=60。,AE=BE=CE,进而得出NAEC,根据平行四边形得性质可判断①，再根据平行

四边形的性质得N3CD=120。，即可说明CE是否平分NDCB,然后说明OE是ABC的中位线，可判断

8和OE的关系，再根据点。是AC的中点，得SAOE=SC°E，由点E是A3的中点，得

S般=SBCE=2s以，进而得s欣=4s诬，然后根据平行四边形的性质得S四边形械厂2S,,即可判断

④，得出答案.

【详解】回AB=23C,点E是AB的中点，^AB=2BE.

SAB=2BC,ZABC=6O°,SBC=BE,国,BCE是等边三角形，

SZBEC=ZBCE=60°,AE=BE=CE,EZ^T=120°,BZACE=ZCAE=30°.

团四边形ABC。是平行四边形，0ABCD,AB=CD=2BC,

^ZACD=ZCAE=30°,/BCD=120。，回CE是平分/DCS.则①②正确;

团点E是A3的中点，点。是AC的中点，回OE是,ABC的中位线，

02OE=BC,^CD=WE.则③正确；回点。是AC的中点，05A0£=SC0£.

回点E是A3的中点，国5”=S应=2s.至，回5"=4ss・

由平行四边形的T生质得S四边物及力=2S.板,，ElS四边形1aB=85.建，即S'4庞■=石S四边形丝。.则④不正确.

所以正确的有①②③.故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，求三角形的面积

等，弄清各三角形的面积之间的关系是解题的关键.

变式1.（2023•广西北海・统考三模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,3。相交于点O,所过

点。，交4。于点片交3C于点E.若钻=3,AC=4,AD=5,则图中阴影部分的面积是（）

A.1.5B.3C.6D.4

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用三角形全

等，把阴影面积转化为ABC的面积计算即可.

【详解】解:回四边形A3CD是平行四边形，

0JBC=AD,AD〃BC,OA=OC,NEOA=NFOC,ZEAO=ZFCO,

ZEOA=ZFOC

在AAOE和△OFC中，ZEAO=NFCO,回AOE^OFC（AAS）,05AOE=S0FC,

AO=CO

OA=OC

在「AOB和△DOC中，0<ZAOB=ZCOD,回&AO3空COD（SAS）,0S^AOB=SAD0C,

OB=OD

回钻=3,AC=4,AD=5,A笈+AC2=BC2回71BC是直角三角形，且ZB4C=90°,

13s阴影=S即c=gA&AC=gx3x4=6，故选：C.

变式2.（2023・广东潮州•二模）如图，在A5CD中，AC为对角线.⑴求证：ABC与CDA.（2）尺规作

图：作AC的垂直平分线，分别交AD,BC于点E,尸（不写作法，保留作图痕迹）；（3）若-CDE的周长为

10,求「ABCD的周长.

【答案】⑴见解析⑵见解析⑶20

【分析】（1）根据平行线的性质得到NZMC=/3C4,利用AAS即可证明△他C丝TXaM；

（2）以4C分别为圆心，大于』AC长为半径作弧交于两点，过两交点作直线，即为所作垂直平分线；

2

（3）利用垂直平分线的性质可以得到CE=AE,结合CE+ED+CD=10,得到4D+CD=10,根据平行

四边形的性质即可求得结论；

【详解】（1）团四边形ABCD是平行四边形，BC,NB=/D,SZDAC=ZBCA,

ZB=ZD

在，ABC和.CZM中，<ZDAC=ZBCA,0,ABC^*CZM（AAS）；

AC=CA

（2）如图，所即为所作；

（3）EIER垂直平分AC,SCE=AE,国二C»E的周长为10,回CE+ED+CD=10,

团AE+ED+CD=10,^AD+CD=10,13四边形ABCD是平行四边形，0AD=SGAB=CD,

回YABCD的周长=AD+8C+AB+CD=2（AD+CD）=20.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定，作垂直平分线，垂直平分线的性质，准确作图

是解题的关键.

变式3.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在YABCD中，平分ZADC,交BC于点、E,交AB的延长

线于点E⑴求证：4>=AF；⑵若AD=6,AB=3,ZA=120。，求成的长和△A£）式的面积.

AD

F

【答案】⑴见解析（2）3R=3；△ADR的面积为9/

【分析】（1）根据平行线的性质得到NCDE=NF,根据角平分线的定义得到43=/C£见，求得

ZF=ZADF,根据等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；

（2）根据线段的和差得到W=AB=3；过。作DHLAF交E4的延长线于“，根据直角三角形的性

质得到AH=^AD=3,根据三角形的面积公式即可得到的面积.

【详解】（1）证明：在YABCD中，AB//CD,^ZCDE=ZF,

团£>尸平分工ADC,SZADE=ZCDE,^\ZF=ZADF,SAD=AF.

（2）解：回AD=AF=6,AB=3,SBF=AF-AB=3；

过。作DH_LAF交E4的延长线于H,

F

0ZR4D=12O°,0ZZMH=6O°,0ZADH=3O°,SAH=-AD=3,

2

^DH=yjAD2-AH1=36>I3AADF的面积=；AF・£>"=：x6x36=9Q.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形面积的计算、等腰三角形的判定和性质等知识点，正

确作出辅助线是解题的关键.

例9：（2023•湖南,统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，已知添加下列条件不能判定四边

形A3CD是平行四边形的是（）

D

A.AD=BCB.AB,DCC.AB=DCD.ZA=ZC

【答案】C

【分析】据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知A项不符合题意；根据两组对边分别平行的四

边形是平行四边形可知B项不符合题意；据全等三角形的判定与性质可知D项不符合题意进而即可判断.

【详解】解：^\AD//BC,AD=BC,回由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，

团A项能判定四边形A3CD是平行四边形，故A项不符合题意；

^AD//BC,ABDC,团由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，

团B项能判定四边形A3C。是平行四边形，故B项不符合题意；

EIAB=OC,但43和8不一定平行，

团C项不能判定四边形ABCD是平行四边形，故C符合题意；

SAD//BC,BZADB=ZCBD,

0ZA=ZC,BD=DB,ElAAB£^ACDB（AAS）,0AE>=CB,

回D项能判定四边形A3co是平行四边形，故D项不符合题意；故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定是解题的关

键.

变式1.（2023•江苏南通・统考二模）如图，在YABCD中，点E,点/在对角线AC上.要使

AADF^ACBE,可添加下列选项中的（）

A.DF=BEB.ZDAF=ZBCEC.AE=CFD.AE=EF

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定定理；根据平行四边形的性质可得AD=3C,

AD//BC,则ZZMF=4CE,进而逐项分析判断，即可求解.

【详解】解：国四边形ABCD是平行四边形，S\AD=BC,AD//BC,SZDAF=ZBCE,

A.添加条件。尸=BE,不能根据SSA证明ZXAT小丝△C3E,故该选项不正确，不符合题意；

B.已知ZDAF=ZBCE,不能证明丝△CBE,故该选项不正确，不符合题意；

C.添加条件AE=CF,贝UAE+EF=CF+EF,即Ab=CE,根据SAS证明,故该选项正

确，符合题意；

D.添加条件AE=£F,不能证明AAZm四△CBE,故该选项不正确，不符合题意；故选：C.

变式2.（2023•河南周口•校联考模拟预测）如图，已知相＞〃及7,添加下列条件，不能判定四边形ABCD

是平行四边形的是（）

A.ZABC=ZADCB./BAD=/BCDC.ZACB=ZCADD.NBAC=ZACD

【答案】C

【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可.掌握平行四边形

的判定方法，是解题的关键.

【详解】解：A、ADBC,.-.ZABC+ZBAD=180°,

ZABC=ZADC,:.ZADC+ZBAD=1SO°,:.AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；

B、AD\BC,.-.ZABC+ZSAD=180°,

/BAD=/BCD,.-.ZABC+ZBCD=180o,:.AB//CD,

••・四边形ABC。是平行四边形，故选项B不符合题意；

C、ZACB=ZCAD,:.AD//BC,不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；

D、NBAC=ZACD,:.AB//CD,

又田ADBC,.•.四边形ABC。是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C.

例10：（2023,江苏镇江,统考中考真题）如图，8是AC的中点，点。，E在AC同侧，AE=BD,

3E=C□.⑴求证：回△3CD.（2）连接DE,求证：四边形3CDE是平行四边形.

【答案】⑴见解析(2)见解析

【分析】(1)由8是AC的中点得AB=3C,结合AE=B。，3E=CD,根据全等三角形的判定定理

"55”即可证明‘45£'回△5(»；(2)由(1)中,ABE田ABCD得NABE=NBCD,进一步得BECD,再

结合5E=CD,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明.

【详解】⑴解：国2是AC的中点，0AB=BC.

AE=BD,

在,ABE和ABC。中，＜BE=CD-ABEMBCD(SSS).

AB=BC,

(2)如图所示，ElAABE0ABCr),B1NABE=NBCD,BlBECD.

又回BE=CD,团四边形BCDE是平行四边形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性

质是解题的关键.

变式1.(2023•浙江杭州•统考中考真题)如图，平行四边形ABCD的对角线AC8。相交于点。，点E,F在

对角线3。上，且BE=EF=FD,连接AE,EC,CF,FA.

⑴求证：四边形是平行四边形.(2)若，ABE的面积等于2,求△CFO的面积.

“7T---------------D

(J

E

BC

【答案】⑴见解析（2）1

【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC,OB=OD,结合3£=即可得OE=OF,即

可证明四边形AEb是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形面积相等可得^入斯=SABE=2,再根据平

行四边形的性质可得S”,=：ScEF=gs4阱=gx2=l.

【详解】（1）证明：.四边形A3CD是平行四边形，；.Q4=OC,OB=OD,

BE=FD,■-OB-BE=OD-FD,■-OE=OF,

又，Q4=OC,.,.四边形AEC尸是平行四边形.

（2）解：SABE=2,BE—EF，,S..=S.=2,

四边形AEC尸是平行四边形，SCFO=；S,CEF=；s.=:x2=1.

【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分.

变式2.（2023・湖南•统考中考真题）如图所示，在ABC中，点。、E分别为AB、AC的中点，点X在线段

CE上，连接点G、P分别为9、CH的中点.

⑴求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）DG，3",BD=3,EF=2,求线段3G的长度.

【答案】⑴见解析；（2）石

【分析】（1）由三角形中位线定理得到=GF//BC,GF=-BC,得到

22

GF//DE,GF=DE,即可证明四边形DEFG为平行四边形；（2）由四边形DEFG为平行四边形得到

DG=EF=2,由OGL3H得到NDG3=90。，由勾股定理即可得到线段3G的长度.

【详解】（1）解：回点E分别为AB、AC的中点，^DE//BC,DE^BC,

团点G、尸分别为3"、C"的中点.HGF//BC,GF=^BC,

@GF〃DE,GF=DE,回四边形。曲G为平行四边形；

（2）回四边形。EBG为平行四边形，SDG=EF=2,BDGBH,^ZDGB=90°,

22

S\BD=3,0BG=>]BD-DG=A/32-22=A/5-

【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形DEFG为平行

四边形和利用勾股定理计算是解题的关键.

核心考点3.中位线

例11：（2023・江苏盐城•统考中考真题）在二ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，BC=10cm,则

DE的长为cm.

【答案】5

【分析】由于。、E分别为A3、AC边上的中点，那么DE是的中位线，根据三角形中位线定理可

求DE.

【详解】如图所示，

D、E分别为48、AC边上的中点，.〔DE是，ABC的中位线，.•・■D£'=LBC；

2

XVBC=10cm,0DE=-BC=5cm；故答案为：5.

2

【点睛】本题考查了三角形中位线定理.三角形的中位线等于第三边的一半.

变式1.（2023・湖北荆门•统考中考真题）如图，CO为Rt^ABC斜边上的中线，E为AC的中点.若

AC=8,CD=5,贝lj£>E=.

【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出AB,然后利用勾股定理即可得出BC,最后利用三角形

中位线定理即可求解.

【详解】解：团在RtZXABC中，8为RtZXABC斜边AB上的中线，CD=5,

0AB=2CD=1O,0BC-yjAB2-AC2=A/102-82=6-

团E为AC的中点，回。E=JgC=3故答案为：3.

【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边

的一半是解题的关键.

变式2.（2023•广西•统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,尸分别是BC,CD上的动

点，M,N分别是ERA尸的中点，则的最大值为.

【答案】V2

【分析】首先证明出是△皿的中位线，得到然后由正方形的性质和勾股定理得到

2

AE={AB。+BE2=44+BE2，证明出当BE最大时，AE最大，此时最大，进而得到当点E和点C重

合时，BE最大,即3C的长度，最后代入求解即可.

【详解】如图所示，连接AE,

0Af,N分别是AF的中点，EIMV是△4£斤的中位线，S\MN=^AE,

团四边形A3CD是正方形，0?B90?,0AE=VAB2+BE2=y/4+BE2>

团当班最大时，AE最大，此时最大，

团点E是上的动点，回当点E和点C重合时，BE最大,即8C的长度，

团此时=声=20，0MN=（AE=^,回MN的最大值为行.故答案为：0.

【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上

知识点.

变式3.（2023・湖北黄冈・统考模拟预测）如图，在ABC中，D,E,F分别为BC,AC,AB边的中

点，AH,3c于"，FD=5,则"E等于（）

A